Метод оценки левой и правой части уравнения

Решение уравнений методом оценки

Решение уравнений методом оценки основано на сравнении области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения.

Если в уравнении

то равенство возможно тогда и только тогда, когда и f(x) и g(x) одновременно равны a:

При этом, если максимальное значение функции, стоящей в одной части уравнения, равно минимальному значению функции, стоящему в другой части уравнения, и эти значения достигаются для обеих функций при x=x0, то xo — корень уравнения.

Графически это можно проиллюстрировать так:

Если максимальное значение функции, стоящей в одной части уравнения, равно минимальному значению функции, стоящему в другой части уравнения, но эти значения достигаются при разных x0, то уравнение не имеет корней:

Получив систему уравнений

достаточно решить одно из уравнений (которое проще), а затем проверить, являются ли найденные корни корнями другого уравнения.

Чаще всего при решении уравнений методом оценки правой и левой части используют следующие соображения:

причём равенство достигается при

4) Квадратичная функция в вершине параболы (x0; y0)

при a>0 принимает своё наименьшее значение:

при отрицательном коэффициенте a при x² — наибольшее значение:

где n — натуральное число.

Примеры решения уравнений методом оценки левой и правой части.

— квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение принимает в вершине

С другой стороны

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

Корень второго уравнения:

x=2. Проверяем, является ли 2 корнем первого уравнения:

— верно. Следовательно, x=2 — единственный корень.

Так как x⁴≥0, то 25+ x⁴≥25, а значит,

С другой стороны,

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

Решаем первое уравнение

Проверяем, является ли x=0 корнем второго уравнения:

— верно. Значит, x=0 — корень данного уравнения.

Так как сумма взаимно-обратных положительных чисел не меньше двух,

Так как сумма положительных взаимно-обратных чисел равна 2, если эти числа равны между собой, то

Проверяем, являются ли эти корни корнями второго уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень x= -1.

Метод оценки в задачах с параметрами

В этой статье мы рассмотрим мощный метод, который применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Для того чтобы лучше его запомнить, расскажем историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга.

Еще раз: в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов. Мы помним, что в математике существует 5 типов элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Подробно о них — в статье «Элементарные функции и их графики».

Мы знаем из курса алгебры, что уравнения, которые мы решаем, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Показательные и логарифмические, квадратные и тригонометрические уравнения — для каждого типа есть свои характерные приемы и способы решения. И основаны они на тех или иных свойствах функций. Для тригонометрических уравнений — свои способы решения, для логарифмических — свои.

Но сейчас мы рассмотрим уравнение, в левой и правой частях которого находятся функции разных типов. Вот оно:

Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от этого оно станет только хуже.

Что же с ним делать? Упростим его, насколько возможно.

Посмотрим на правую часть этого уравнения. Очевидно,

Интересно — а какой же будет левая часть? Давайте оценим и ее тоже.

Поскольку получим, что

Получается, что при всех значениях х левая часть уравнения не меньше, чем 8, а правая часть не больше, чем 8. И это значит, что решением уравнения могут быть только такие значения переменной х, когда и левая, и правая часть равны 8. Тогда они равны друг другу. В этом и состоит метод оценки.

Метод оценки применяется для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая — наибольшее.

Вот как это выглядит:

А чтобы лучше запомнить суть метода, рассказываем историю.

Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоко-высоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься!

Смотри видео о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и что из этого получилось

О чем эта история? О нашем уравнении, конечно! В левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении х они оказались равны друг другу. Легко заметить, что значения выражения в левой части всегда больше либо равны восьми («птичка»), значения выражения в правой части — меньше либо равные восьми («рыбка»). И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них станет равно восьми.

Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть. Приравняем правую часть к восьми.

Подставив в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x. Значит, является единственным корнем данного уравнения.

Вот еще одна задача на метод оценки.

Умножим обе части данного неравенства на положительную величину:

В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Метод оценки!

Выделим под логарифмом полный квадрат:

Неравенство примет вид:

Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение логарифма равно
, то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.

В то же время, наименьшее значение выражения также равно 1, и достигается оно при том же единственном значении x= 3.

Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное число!

Мы обещали задачи с параметрами, которые решаются методом оценки. Вот, пожалуйста:

18. Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Обозначим Уравнение примет вид:

Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.

Это классическая задача на метод оценки.

В нашем случае функция f в левой части уравнения и функция g в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.

Второе уравнение означает, что частное — целое число.

В первом уравнении сделаем замену

Обозначим а — 6 = b и найдем, сколько корней имеет уравнение при неотрицательных z и различных b.

Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно х имело два корня.

Это происходит, когда уравнение имеет единственный положительный корень , которому соответствуют и

Заметим, что так как если то и двух корней не получится.

График функции — парабола с вершиной М(3;-9)

1) Если , то уравнение имеет единственный корень , которому соответствуют два корня исходного уравнения: и

Поскольку , в этом случае . Это значение удовлетворяет и второму уравнению системы: — целое.

2) Уравнение > имеет единственное положительное решение также при , при этом и

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Представьте в виде произведения:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

Ответ: .

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Решить уравнение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Решите уравнение

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

Вернемся к исходной переменной:

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.