Метод оценок при решении уравнений и неравенств

Метод оценки в задачах с параметрами

В этой статье мы рассмотрим мощный метод, который применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Для того чтобы лучше его запомнить, расскажем историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга.

Еще раз: в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов. Мы помним, что в математике существует 5 типов элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Подробно о них — в статье «Элементарные функции и их графики».

Мы знаем из курса алгебры, что уравнения, которые мы решаем, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Показательные и логарифмические, квадратные и тригонометрические уравнения — для каждого типа есть свои характерные приемы и способы решения. И основаны они на тех или иных свойствах функций. Для тригонометрических уравнений — свои способы решения, для логарифмических — свои.

Но сейчас мы рассмотрим уравнение, в левой и правой частях которого находятся функции разных типов. Вот оно:

Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от этого оно станет только хуже.

Что же с ним делать? Упростим его, насколько возможно.

Посмотрим на правую часть этого уравнения. Очевидно,

Интересно — а какой же будет левая часть? Давайте оценим и ее тоже.

Поскольку получим, что

Получается, что при всех значениях х левая часть уравнения не меньше, чем 8, а правая часть не больше, чем 8. И это значит, что решением уравнения могут быть только такие значения переменной х, когда и левая, и правая часть равны 8. Тогда они равны друг другу. В этом и состоит метод оценки.

Метод оценки применяется для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая — наибольшее.

Вот как это выглядит:

А чтобы лучше запомнить суть метода, рассказываем историю.

Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоко-высоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься!

Смотри видео о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и что из этого получилось

О чем эта история? О нашем уравнении, конечно! В левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении х они оказались равны друг другу. Легко заметить, что значения выражения в левой части всегда больше либо равны восьми («птичка»), значения выражения в правой части — меньше либо равные восьми («рыбка»). И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них станет равно восьми.

Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть. Приравняем правую часть к восьми.

Подставив в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x. Значит, является единственным корнем данного уравнения.

Вот еще одна задача на метод оценки.

Умножим обе части данного неравенства на положительную величину:

В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Метод оценки!

Выделим под логарифмом полный квадрат:

Неравенство примет вид:

Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение логарифма равно
, то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.

В то же время, наименьшее значение выражения также равно 1, и достигается оно при том же единственном значении x= 3.

Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное число!

Мы обещали задачи с параметрами, которые решаются методом оценки. Вот, пожалуйста:

18. Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Обозначим Уравнение примет вид:

Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.

Это классическая задача на метод оценки.

В нашем случае функция f в левой части уравнения и функция g в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.

Второе уравнение означает, что частное — целое число.

В первом уравнении сделаем замену

Обозначим а — 6 = b и найдем, сколько корней имеет уравнение при неотрицательных z и различных b.

Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно х имело два корня.

Это происходит, когда уравнение имеет единственный положительный корень , которому соответствуют и

Заметим, что так как если то и двух корней не получится.

График функции — парабола с вершиной М(3;-9)

1) Если , то уравнение имеет единственный корень , которому соответствуют два корня исходного уравнения: и

Поскольку , в этом случае . Это значение удовлетворяет и второму уравнению системы: — целое.

2) Уравнение > имеет единственное положительное решение также при , при этом и

Метод оценок при решении задач с параметром при подготовке к ЕГЭ.
материал для подготовки к егэ (гиа, 10 класс)

Метод оценок или метод мажорант относится к нестандартным методам решения уравнений и неравенств. Он базируется на свойстве ограниченности функций и применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. В ЕГЭ по математике встречаются задачи с параметром, где требуется оценить функции. Важно научить методу оценок при подготовке к экзамену. Применение метода оценок будет успешным, если учащиеся умеют находить экстремумы элементарных функций, область значений, исследовать функцию с помощью производной

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

М етод мажорант при решении задач с параметрами Николаева Ирина Николаевна

Применим для задач в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график. Как начинать решать такие задачи ? Привести уравнение или неравенство к виду Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М , из области определения такое что Решить систему уравнений: МЕТОД МАЖОРАНТ

Пример 1 . Решить уравнение При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит х = 0 корень уравнения. Ответ: х = 0. Графическая иллюстрация

Ответ: нет корней. Пример 2 . Решите уравнение Графическая иллюстрация х = 0 не удовлетворяет второму уравнению, полученная система не имеет решений

Применим для задач в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график. Как начинать решать такие задачи ? Привести уравнение или неравенство к виду Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М , из области определения такое что Решить систему уравнений: МЕТОД МАЖОРАНТ

1 9 Задача 1. Найти все значения параметра а при которых уравнение имеет решение. Задача 2. Найти все значения параметра при каждом из которых существует хотя бы одно число x , удовлетворяющее уравнению .

Выводы: 1 10 Внешним признаком использования метода оценок является наличие функций различной природы, что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов. Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть легко сделана, тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения (неравенства). Но решающим фактором успешного применения метода оценок остается знание свойств элементарных функций.

Задача 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения. При всех значениях х выражение При всех значения х выражения Поэтому Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему: Ответ: при Решение. Перепишем уравнение в виде

Решение уравнений методом оценки

Решение уравнений методом оценки основано на сравнении области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения.

Если в уравнении

то равенство возможно тогда и только тогда, когда и f(x) и g(x) одновременно равны a:

При этом, если максимальное значение функции, стоящей в одной части уравнения, равно минимальному значению функции, стоящему в другой части уравнения, и эти значения достигаются для обеих функций при x=x0, то xo — корень уравнения.

Графически это можно проиллюстрировать так:

Если максимальное значение функции, стоящей в одной части уравнения, равно минимальному значению функции, стоящему в другой части уравнения, но эти значения достигаются при разных x0, то уравнение не имеет корней:

Получив систему уравнений

достаточно решить одно из уравнений (которое проще), а затем проверить, являются ли найденные корни корнями другого уравнения.

Чаще всего при решении уравнений методом оценки правой и левой части используют следующие соображения:

причём равенство достигается при

4) Квадратичная функция в вершине параболы (x0; y0)

при a>0 принимает своё наименьшее значение:

при отрицательном коэффициенте a при x² — наибольшее значение:

где n — натуральное число.

Примеры решения уравнений методом оценки левой и правой части.

— квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение принимает в вершине

С другой стороны

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

Корень второго уравнения:

x=2. Проверяем, является ли 2 корнем первого уравнения:

— верно. Следовательно, x=2 — единственный корень.

Так как x⁴≥0, то 25+ x⁴≥25, а значит,

С другой стороны,

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

Решаем первое уравнение

Проверяем, является ли x=0 корнем второго уравнения:

— верно. Значит, x=0 — корень данного уравнения.

Так как сумма взаимно-обратных положительных чисел не меньше двух,

Так как сумма положительных взаимно-обратных чисел равна 2, если эти числа равны между собой, то

Проверяем, являются ли эти корни корнями второго уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень x= -1.