Метод парабол для решения уравнений

Метод Симпсона (парабол)

При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y = f ( x ) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f ( x ) d x

Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b — a n и точками a = x 0 x 2 x 4 . . . x 2 π — 2 x 2 π = b . Тогда точки x 2 i — 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Суть метода парабол

Каждый интервал x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) . Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i — 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i — 2 x 2 i f ( x ) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y = f ( x ) , синей – приближение графика y = f ( x ) при помощи квадратичных парабол.

Вывод формулы метода Симпсона (парабол)

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f ( x ) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x

Пусть x 2 i — 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изобразим, что через точки с координатами x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

a i ( x 2 i — 2 ) 2 + b i · x 2 i — 2 + c i = f ( x 2 i — 2 ) a i ( x 2 i — 1 ) 2 + b i · x 2 i — 1 + c i = f ( x 2 i — 1 ) a i ( x 2 i ) 2 + b i · x 2 i + c i = f ( x 2 i )

Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

( x 2 i — 2 ) 2 x 2 i — 2 1 x 2 i — 1 ) 2 x 2 i — 1 1 ( x 2 i ) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i — 2 , x 2 i — 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x .

f ( x 2 i — 2 ) = f ( 0 ) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f ( x 2 i — 1 ) = f ( h ) = a i · h 2 + b i · h + c i f ( x 2 i ) = f ( 0 ) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x = ∫ 0 2 h ( a i x 2 + b i x + c i ) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i — 2 + 4 f 2 2 i — 1 + f x 2 i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 ( f ( x 2 i — 2 ) + 4 f ( x 2 i — 1 ) + f ( x 2 i ) ) = = h 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) + . . . + + f ( x 2 n — 2 ) + 4 f ( x 2 n — 1 ) + f ( x 2 n ) = = h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n )

Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) .

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 .

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

• при приближенном вычислении определенного интеграла;
• при нахождении приближенного значения с точностью δ n .

На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.

Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f ( x ) = x x 4 + 4 .

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n )

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b — a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f ( x i ) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h = b — a 2 n = 5 — 0 2 · 5 = 0 . 5

Найдем значение функции в точках

i = 0 : x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f ( x 1 ) = f ( 0 . 5 ) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f ( x 10 ) = f ( 5 ) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d ( x 2 ) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .

По условию имеем, что а = 0 , b = π , f ( x ) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2 . 88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f ‘ ( x ) = sin 3 x 2 + 1 2 ‘ = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f » ( x ) = 3 2 cos 3 x 2 ‘ = — 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f ‘ ‘ ‘ ( x ) = — 9 4 sin 3 x 2 ‘ = — 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f ( 4 ) ( x ) = — 27 8 cos 3 x 2 ‘ = 81 16 sin 3 x 2

Область определения f ( 4 ) ( x ) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу — 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π ) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f ( 4 ) ( x ) = 81 16 .

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π — 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h = b — a 2 n = π — 0 2 · 5 = π 10

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i = 0 : x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f ( x 1 ) = f ( π 10 ) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f ( x 10 ) = f ( π ) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ — 0 . 5

Для объединения результатов запишем данные в таблицу.

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 — 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 — 0 . 87785 — 0 . 5 = = 2 . 237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = — 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = — 3 2 cos 3 π 2 + π 2 — — 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Замечание

В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Численные методы: решение нелинейных уравнений

Задачи решения уравнений постоянно возникают на практике, например, в экономике, развивая бизнес, вы хотите узнать, когда прибыль достигнет определенного значения, в медицине при исследовании действия лекарственных препаратов, важно знать, когда концентрация вещества достигнет заданного уровня и т.д.

В задачах оптимизации часто необходимо определять точки, в которых производная функции обращается в 0, что является необходимым условием локального экстремума.

В статистике при построении оценок методом наименьших квадратов или методом максимального правдоподобия также приходится решать нелинейные уравнения и системы уравнений.

Итак, возникает целый класс задач, связанных с нахождением решений нелинейных уравнений, например, уравнения или уравнения и т.д.

В простейшем случае у нас имеется функция , заданная на отрезке ( a , b ) и принимающая определенные значения.

Каждому значению x из этого отрезка мы можем сопоставить число , это и есть функциональная зависимость, ключевое понятие математики.

Нам нужно найти такое значение при котором такие называются корнями функции

Визуально нам нужно определить точку пересечения графика функции с осью абсцисс.

Метод деления пополам

Простейшим методом нахождения корней уравнения является метод деления пополам или дихотомия.

Этот метод является интуитивно ясным и каждый действовал бы при решении задачи подобным образом.

Алгоритм состоит в следующем.

Предположим, мы нашли две точки и , такие что и имеют разные знаки, тогда между этими точками находится хотя бы один корень функции .

Поделим отрезок пополам и введем среднюю точку .

Тогда либо , либо .

Оставим ту половину отрезка, для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок снова делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которой функция имеет разные знаки, и так далее, достижения требуемой точности.

Очевидно, постепенно мы сузим область, где находится корень функции, а, следовательно, с определенной степенью точности определим его.

Заметьте, описанный алгоритм применим для любой непрерывной функции.

К достоинствам метода деления пополам следует отнести его высокую надежность и простоту.

Недостатком метода является тот факт, что прежде чем начать его применение, необходимо найти две точки, значения функции в которых имеют разные знаки. Очевидно, что метод неприменим для корней четной кратности и также не может быть обобщен на случай комплексных корней и на системы уравнений.

Порядок сходимости метода линейный, на каждом шаге точность возрастает вдвое, чем больше сделано итераций, тем точнее определен корень.

Метод Ньютона: теоретические основы

Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если — некоторое приближение к корню уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции , проведенной в точке .

Уравнение касательной к функции в точке имеет вид:

В уравнении касательной положим и .

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.

Таким образом, сходимость метода касательных Ньютона очень быстрая.

Запомните этот замечательный факт!

Без всяких изменений метод обобщается на комплексный случай.

Если корень является корнем второй кратности и выше, то порядок сходимости падает и становится линейным.

Упражнение 1. Найти с помощью метода касательных решение уравнения на отрезке (0, 2).

Упражнение 2. Найти с помощью метода касательных решение уравнения на отрезке (1, 3).

К недостаткам метода Ньютона следует отнести его локальность, поскольку он гарантированно сходится при произвольном стартовом приближении только, если везде выполнено условие , в противной ситуации сходимость есть лишь в некоторой окрестности корня.

Недостатком метода Ньютона является необходимость вычисления производных на каждом шаге.

Визуализация метода Ньютона

Метод Ньютона (метод касательных) применяется в том случае, если уравнение f(x) = 0 имеет корень , и выполняются условия:

1) функция y= f(x) определена и непрерывна при ;

2) f(a)·f(b) 0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Рассмотрим метод Ньютона на конкретном примере.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x 2 -2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f ‘(x) = 2x > 0 и f »(x) = 2 > 0.

Уравнение касательной в общем виде имеет представление:

В нашем случае: y-y₀=2x₀·(x-x₀). В качестве точки x₀ выбираем точку B₁(b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B₁, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₁. Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6.

Точка пересечения касательной и оси Ox: x₁ =

Рисунок 2. Результат первой итерации

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₁, получаем точку В₂ =(1.5; 0.25). Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В₂, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₂.

Точка пересечения касательной и оси Ox: x₂ = .

Рисунок 3. Вторая итерация метода Ньютона

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₂, получаем точку В₃ и так далее.

В3 = ()

Рисунок 4. Третий шаг метода касательных

Первое приближение корня определяется по формуле:

= 1.5.

Второе приближение корня определяется по формуле:

=

Третье приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i-ое приближение корня определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e — до выполнения неравенства |xi—xi-1|

using namespace std;

float f(double x) //возвращает значение функции f(x) = x^2-2

float df(float x) //возвращает значение производной

float d2f(float x) // значение второй производной

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

int exit = 0, i=0;//переменные для выхода и цикла

double x0,xn;// вычисляемые приближения для корня

double a, b, eps;// границы отрезка и необходимая точность

cin>>a>>b; // вводим границы отрезка, на котором будем искать корень

cin>>eps; // вводим нужную точность вычислений

if (a > b) // если пользователь перепутал границы отрезка, меняем их местами

if (f(a)*f(b)>0) // если знаки функции на краях отрезка одинаковые, то здесь нет корня

cout 0) x0 = a; // для выбора начальной точки проверяем f(x0)*d2f(x0)>0 ?

xn = x0-f(x0)/df(x0); // считаем первое приближение

cout eps) // пока не достигнем необходимой точности, будет продолжать вычислять

xn = x0-f(x0)/df(x0); // непосредственно формула Ньютона

> while (exit!=1); // пока пользователь не ввел exit = 1

Посмотрим, как это работает. Нажмем на зеленый треугольник в верхнем левом углу экрана, или же клавишу F5.

Если происходит ошибка компиляции «Ошибка error LNK1123: сбой при преобразовании в COFF: файл недопустим или поврежден», то это лечится либо установкой первого Service pack 1, либо в настройках проекта Свойства -> Компоновщик отключаем инкрементную компоновку.

Рис. 4. Решение ошибки компиляции проекта

Мы будем искать корни у функции f(x) = x2-2.

Сначала проверим работу приложения на «неправильных» входных данных. На отрезке [3; 5] нет корней, наша программа должна выдать сообщение об ошибке.

У нас появилось окно приложения:

Рис. 5. Ввод входных данных

Введем границы отрезка 3 и 5, и точность 0.05. Программа, как и надо, выдала сообщение об ошибке, что на данном отрезке корней нет.

Рис. 6. Ошибка «На этом отрезке корней нет!»

Выходить мы пока не собираемся, так что на сообщение «Exit?» вводим «0».

Теперь проверим работу приложения на корректных входных данных. Введем отрезок [0; 2] и точность 0.0001.

Рис. 7. Вычисление корня с необходимой точностью

Как мы видим, необходимая точность была достигнута уже на 4-ой итерации.

Чтобы выйти из приложения, введем «Exit?» => 1.

Метод секущих

Чтобы избежать вычисления производной, метод Ньютона можно упростить, заменив производную на приближенное значение, вычисленное по двум предыдущим точкам:

/

Итерационный процесс имеет вид:

где .

Это двухшаговый итерационный процесс, поскольку использует для нахождения последующего приближения два предыдущих.

Порядок сходимости метода секущих ниже, чем у метода касательных и равен в случае однократного корня .

Эта замечательная величина называется золотым сечением:

Убедимся в этом, считая для удобства, что .

Таким образом, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка

Отбрасывая остаточный член, получаем рекуррентное соотношение, решение которого естественно искать в виде .

После подстановки имеем: и

Для сходимости необходимо, чтобы было положительным, поэтому .

Поскольку знание производной не требуется, то при том же объёме вычислений в методе секущих (несмотря на меньший порядок сходимости) можно добиться большей точности, чем в методе касательных.

Отметим, что вблизи корня приходится делить на малое число, и это приводит к потере точности (особенно в случае кратных корней), поэтому, выбрав относительно малое , выполняют вычисления до выполнения и продолжают их пока модуль разности соседних приближений убывает.

Как только начнется рост, вычисления прекращают и последнюю итерацию не используют.

Такая процедура определения момента окончания итераций называется приемом Гарвика.

Метод парабол

Рассмотрим трехшаговый метод, в котором приближение определяется по трем предыдущим точкам , и .

Для этого заменим, аналогично методу секущих, функцию интерполяционной параболой проходящей через точки , и .

В форме Ньютона она имеет вид:

Точка определяется как тот из корней этого полинома, который ближе по модулю к точке .

Порядок сходимости метода парабол выше, чем у метода секущих, но ниже, чем у метода Ньютона.

Важным отличием от ранее рассмотренных методов, является то обстоятельство, что даже если вещественна при вещественных и стартовые приближения выбраны вещественными, метод парабол может привести к комплексному корню исходной задачи.

Этот метод очень удобен для поиска корней многочленов высокой степени.

Метод простых итераций

Задачу нахождения решений уравнений можно формулировать как задачу нахождения корней: , или как задачу нахождения неподвижной точки.

Пусть и — сжатие: (в частности, тот факт, что — сжатие, как легко видеть, означает, что).

По теореме Банаха существует и единственна неподвижная точка

Она может быть найдена как предел простой итерационной процедуры

где начальное приближение — произвольная точка промежутка .

Если функция дифференцируема, то удобным критерием сжатия является число . Действительно, по теореме Лагранжа

Таким образом, если производная меньше единицы, то является сжатием.

Условие существенно, ибо если, например, на [0,1] , то неподвижная точка отсутствует, хотя производная равна нулю. Скорость сходимости зависит от величины . Чем меньше , тем быстрее сходимость.

Рассмотрим уравнение: .

Если в качестве взять функцию , то соответствующая итерационная процедура будет иметь вид: . Как нетрудно убедиться, метод итераций в данном случае расходится при любой начальной точке , не совпадающей с собственно неподвижной точкой .

Однако можно в качестве можно взять, например, функцию . Соответствующая итерационная процедура имеет вид: .

Эти итерации сходятся к неподвижной точке для любого начального приближения :

Действительно, в первом случае , т.е. для выполнения условия необходимо чтобы , но тогда . Таким образом, отображение сжатием не является.

Рассмотрим , неподвижная точка та же самая, ситуация другая. Здесь, хотя формально производная может быть довольно большой (при малых ж), однако уже на следующем шаге она будет меньше 1.

т.е. такой итерационный процесс всегда сходится.

Метод Ньютона представляет собой частный случай метода простых итераций.

Здесь нетрудно убедиться, что при существует окрестность корня, в которой .

то если корень кратности , то в его окрестности и, следовательно,.

Если — простой корень, то сходимость метода касательных квадратичная (то есть порядок сходимости равен 2).

Поскольку , то

Таким образом, сходимость метода Ньютона очень быстрая.

Нахождение всех корней уравнения

Недостатком почти всех итерационных методов нахождения корней является то, что они при однократном применении позволяют найти лишь один корень функции, к тому же, мы не знаем какой именно.

Чтобы найти другие корни, можно было бы брать новые стартовые точки и применять метод вновь, но нет гарантии, что при этом итерации сойдутся к новому корню, а не к уже найденному, если вообще сойдутся.

Для поиска других корней используется метод удаления корней.

Пусть — корень функции , рассмотрим функцию. Точка будет являться корнем функции на единицу меньшей кратности, чем, при этом все остальные корни у функций и совпадают с учетом кратности.

Применяя тот или иной метод нахождения корней к функции , мы найдем новый корень (который может в случае кратных корней и совпадать с ). Далее можно рассмотреть функцию и искать корни у неё.

Повторяя указанную процедуру, можно найти все корни с учетом кратности.

Заметим, что когда мы производим деление на тот или иной корень , то в действительности мы делим лишь на найденное приближение , и, тем самым, несколько сдвигаем корни вспомогательной функции относительно истинных корней функции . Это может привести к значительным погрешностям, если процедура отделения применялась уже достаточное число раз.

Чтобы избежать этого, с помощью вспомогательных функций вычисляются лишь первые итерации, а окончательные проводятся по исходной функции , используя в качестве стартового приближения, последнюю итерацию, полученную по вспомогательной функции.

Мы рассмотрели решение уравнений только в одномерном случае, нахождение решений многомерных уравнений существенно более трудная задача.

Метод парабол

Рассмотренный метод секущих можно интерпретировать как метод, в котором на каждой итерации исходная функция аппроксимируется линейной функцией (секущей), построенной по двум точкам, принадлежащим f(x). Развивая далее идеи аппроксимации, можно для построения итерационных формул использовать информацию о функции в нескольких точках, предшествующих точке x(k). В методе парабол по трем последовательным приближениям

строится многочлен второй степени (парабола), приближающим исходную функцию. Иначе этот метод называют методом Мюллера или методом квадратичной интерполяции. За новое приближение берется обычно ближайший к корень соответствующего квадратного уравнения. Геометрическая интерпретация метода парабол дана на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Метод парабол

В качестве выбирается тот из корней квадратного уравнения, для которого величина наименьшая. Доказывается, что погрешность метода определяется соотношением:

Это означает, что, несмотря на привлечение дополнительной информации о функции, метод парабол имеет порядок сходимости, лишь немного превышающий порядок сходимости метода секущих. Вместе с тем возникают задачи решения квадратного уравнения, выбора одного из двух корней многочлена и, самое важное, определения области гарантированной сходимости метода. Если три приближения для построения многочлена выбраны далеко от корня и содержат погрешности, то возможно самое неожиданное поведение решения.

Отметим, что метод парабол успешно применяется для отыскания корней многочленов, в том числе комплексных; при этом метод обладает тем замечательным свойством, что начальное приближение может быть действительным.