Метод почленного деления показательных уравнений пример

Урок по теме «Решение показательных уравнений»

Разделы: Математика

– повторить основные способы решений показательных уравнений;
– показать дополнительные методы решения показательных уравнений.

– развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности;
– развивать навыки самостоятельности;
– учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.

– воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;
– воспитывать культуру общения, умение работать в коллективе, взаимопомощи;
– воспитывать средствами математики культуру личности.

Тип урока: комбинированный.

Технологии, используемые на уроке:

– технология дифференцированного и разноуровнего обучения;
– технология обучения в сотрудничестве, индивидуально– групповая технология.

Оборудование: ПК, доска, оценочные листы, компьютерная презентация, индивидуальные карточки с заданиями.

Ход урока

1. Организационный момент.

Показательные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и вступительных экзаменов. И в современных контрольно-измерительных материалах ЕГЭ эти задания присутствуют, как в первой, так и во второй частях. Поэтому всем необходимо знать основные методы решения показательных уравнений и уметь их применять при решении более сложных уравнений.

Итак, тема урока “ Решение показательных уравнений”/Слайд 1/

А эпиграфом к уроку станут слова С.Коваля: “Уравнения– это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. Т.е., другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.

Как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке, и какие вы поставите цели? (Повторить и отработать способы решения показательных уравнений).

2. Повторение и актуализация опорных знаний /Слайд 2/

1) Какие уравнения называются показательными? (Уравнения вида a х =b при a> 0, a1, т.е. содержащие переменную в показателе степени, называются показательными)/Слайд 3/

2) Решите уравнения: /Слайды 4,5/

а) 3 х =27 (3)
б) (1/7) х = 49 (-2)
в) 6 х ·(5/6) х =1/125 (-3)
г) 10 х+1 =0,1 (-2)
д) 6 х = (1/3)
е) (4/9) х =(3/2) -5 (2,5)
ж) 17 х =1 (0)
з) 2 х =-8 (корней нет)
и) 3 х =1/27 (-3)

3) Взаимопроверка домашнего задания (задания разного уровня) /Слайд 6/

Оценки выставляются в оценочный лист.

4) Какие методы решения показательных уравнений вы знаете?

(Метод уравнивания показателей, метод вынесения общего множителя за скобки, метод введения новой переменной) /Слайд 7/

Трое учащихся рассказывают о новых методах решения показательных уравнений:

1) Метод почленного деления /Слайд 8/

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Пример. Решите уравнение 2 2х+1 -7·10 х + 5 2х+1 =0

2 2х ·2– 7·2 х ·5 х +5 2х ·5=0 (:5 2х 0)
2·(2/5) 2х – 7·(2/5) х +5=0
Пусть (2/5) х =t, t>0
2t 2 -7t+5=0
Д=49-4·2·5=9
t₁=1, t₂=5/2
(2/5) х =1, (2/5) х =5/2
х=0, х=-1

2) Метод группировки /Слайд 9/

Этот метод заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Пример. Решите уравнение 3·2 2х +1/2·9 х+1 – 6·4 х+1 = -1/3·9 х+2

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

1/2·9 х+1 +1/3·9 х+2 =6·4 х+1 -3·2 2х

1/2·9 х ·9+1/3·9 х ·9 2 =6·4 х ·4-3·4 х

4,5·9 х +27·9 х =24·4 х -3·4 х

31,5·9 х =21·4 х (: 9 х 0)

3) Графический метод /Слайд 10/

Пример. Решите уравнение 3 2х =10-х. Построим таблицы значений:

Построим графики и найдем абсциссу точки пересечения. Она и будет корнем уравнения.

М.В.Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения”.

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

Посмотрите на доску и укажите, каким способом решаются уравнения:

1) 3·4 х – 5·6 х +2·9 х =0 (метод почленного деления)

2) 2 х =2/х (графический метод)

3) (3 х -81)·=0 (метод разложения на множители)

4) 4 sinх + 2 5-2sinх =18 (метод введения новой переменной)

5) 4·(1/16) х -17·(1/4) х +4=0 (метод введения новой переменной)

6) 5 х+3 – 3·5 х+1 -10·5 х =4 (метод вынесения общего множителя за скобки)

7) 2 |3х-5|| =4·8 ·|х+1| (метод уравнивания показателей)

8) х+6=(1/2) х (графический метод)

9) (метод уравнивания показателей)

Задания группам– решите уравнения: /Слайд 12/

1) 2 х -2=1-х Ответ: 1

2) 9·16 х -7·12 х -16·9 х =0 Ответ: 2

3) (3 х -81)· =0 Ответ: 1 (учесть ОДЗ)

Трое учащихся выходят к доске, объясняют выбранный способ решения, показывают решение.

Оценки в оценочный лист.

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что “математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед”. Поэтому будем работать самостоятельно.

1 вариант

2 вариант

1 уровень “3” 1) 4 х =64; 2) (2/3) х =1; 3) 5 х-2 =25; 4) 10 х2 =10

1) 10 х2+х-2 =1;
2) 2 х-2 =3 х-2 ;
3) 3 2х – 2·3 х -3=0;
4) 7·5 х -5 х-2 =-90.

1) (16/25) х+3 =(125/64) 2 ;
2) 7 х+1 -3·7 х =28;
3) 2 х-3 = 3,5 х-3 ;
4) 2·5 2х -5 х -1=0.

1) 2 2х +14·2 х+1 -29=0;
2) 6 х+1 +35·6 х-1 =71;
3) 2 х+2 +8 х =5·4 х ;
4)

1) 100 х – 80·10 -1+х -20=0;
2) ;
3) 7·5 х – 5 х+1 =2·5 -3 ;
4) 2·4 х -5·6 х +3·9 х =0.

Самостоятельно проверить правильность решения уравнений по ключу с ответами на доске, и поставить себе оценку в оценочный лист.

1 уровень “3” 1) 3; 2) 0; 3) 4; 4) 1; -1

2 уровень “4” 1 вариант: 1) 1; -2; 2) 2; 3) 1; 4) нет корней.

2 вариант: 1) -6; 2) 1; 3) 3; 4) 0.

3 уровень “5” 1 вариант: 1) 0; 2) 1; 3) 0; 2; 4) 2.

2 вариант: 1) 1; 2) 1; 3) -3; 4) -1; 0.

Составить тест из 5 уравнений по данной теме.

1) Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой “золотой ключик”, с помощью которого перед вами открывались любые двери.

Достигнуты ли цели урока? Какими методами можно решать показательные уравнения?

2) Оценка работы класса и каждого ученика в отдельности, проверка оценочных листов и выставление оценок.

Метод почленного деления показательных уравнений пример

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.

В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности, а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет­-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл

Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

• метод приведения к одному основанию;
• метод введения новых переменных;
• метод вынесения общего множителя за скобки;
• метод почленного деления;
• метод группировки;
• метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

Представим правую часть в виде 3 log 3 7 x+1 3 2x-1 = 3 log 3 7 x+1 2x-1= log 3 7 x+1 2x-1=x log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> + log 3 7 x(2- log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> )= log 3 7 x= 1+ log 3 7 2- log 3 7 x= log 3 3+ log 3 7 log 3 3 2 — log 3 7 x= log 3 21 log 3 9 7 x= log 9 7 21 ≈12.1144 Ответ: 12.1144 4 x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.png» /> — 2 x 2 Обозначим t= 2 x 2 t 2 t 1 t 2 Так как -1 2 x 2 x 2

Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image019.png» /> ,x2= 1 2 x — 1= x — 3 +2 x — 3= x — 3 x — 3= x — 3, если x ≥3 x — 3=- x +3, если x 0∙ x =0, если x ≥3 2 x =6, x =3, если x Ответ: — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image025.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image027.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 3; +∞ 22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0 /52х≠ 0
2· 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> 2х– 7· 2 5 Пусть 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2= 5 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image030.png» />
2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х=1, 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х = 5 2 3·22х+ 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1– 6·4х+1= — 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1+ 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х·9+ 1 3 31,5= 21· 4 9 4 9 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image032.png» /> х= 3 2 2 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034.png» /> 2х= 2 3 ( 5 ) 2+4+6+. +2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image035.png» /> = 5 45 1 2 Sn =n( a 1 + a n 2 x 1+ x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038.png» /> =45 2 x — 3 ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image040.png» /> 4+ 1 6- 2 x — 3 Пусть 2 x — 3 t ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.png» /> 4+ 1 6- t 4+ 1 6- t 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image045.png» /> – t ≤ t 2 — 10 t +25 6- t ≤ (t-5) 2 6-t ≤ t=5, t > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image049.png» /> 6. Отсюда 2 x — 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042.png» /> =5 и 2 x — 3 > Пусть 2 x Из уравнения a-3 a-3=5 a-3=-5 a=8 a=-2 Подставим вместо a= 2 x 2 x =8 2 x =-2 Модуль a — 3 Для решения неравенств a — 3 > a — 3 > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056.png» /> 6 получаем a 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image057.png» /> -3 или a > 2 x 2 x >9 2 x > 2 log 2 9 x > log 2 9 Ответ: <3>∪ ( log 2 9 2 (3 2x + 2 x ∙ 3 x+1 + 3 0 ) > 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> log 2 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2)∙ log 2 3 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 +1 3 2x + 2 x ∙ 3 x > (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 Поделим каждое слагаемое неравенства на ( 2 x ∙ 3 x ) 3 2 x +1> 2 3 x — 3 ∙ log 2 3 Обозначим: 3 2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image069.png» /> =y, где y > y+1 > 1 y — 3 ∙ log 2 3 y 2 +y> 1-3y ∙ log 2 3 y 2 +y- 1-3y ∙ log 2 3 >0 y 2 +y — log 2 3+3y log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3=0 D = 3 log 2 3 +1 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image076.png» /> 2 + 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image077.png» /> 4 log 2 3= 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 D >0 y = — 3 log 2 3 +1 ± 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 В связи с тем, что log 2 3 >0 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image081.png» /> , то и D > 3 log 2 3 +1 y = — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 Отметим точку y на оси, y >0 y Î — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Из этого следует, что x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Ответ: x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2