Метод почленного умножения и деления уравнений

Основные методы решения систем повышенной сложности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.

по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными»

«ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ».

УЧЕНИК 9 КЛАССА «Б»

ГОУ ГИМНАЗИИ № 1505

БАТАЛОВА ВЕРА ИВАНОВНА.

ГОД РЕАЛИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ:

2) ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ А………………………….стр. 3-9

ГЛАВА I: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ……………. стр.3-7

а) ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ………………………………стр.3

б) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр.3-4

в) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр.4-6

г) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ…стр.6

д) СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ……………………………………стр.6-7

ГЛАВА II: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………………………………………стр.7-8

а) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ………………..стр.7-8

б) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ……………стр.8

4) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………..стр.10

I. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА………………………………. стр.11-12

а) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр. 12-14

б) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ..стр. 14

в) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр. 14-16

г) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ …………..стр. 16

д) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ….……………стр. 16

Тема моего а «Основные методы решения систем уравнений с двумя переменными». Эта темя изучается в школьном курсе алгебры: в 7 классе изучаются системы линейных уравнений, а в 9 классе – системы нелинейных уравнений. Решение многих задач по алгебре, физике, геометрии приводит к составлению системы уравнений. Умение решать эти системы означает успешное изучение курсов алгебры, физики, геометрии. Решение систем уравнений включено в государственный экзамен 9 и 11 класса.

Цель моего а: разобрать основные методы решения систем уравнений. Для реализации моей цели я ставлю перед собой следующие задачи:

1) Ознакомление с литературой по теме а;

2) Обобщить основные методы решения систем линейных уравнений;

3) Познакомиться с некоторыми методами решения систем нелинейных уравнений;

4) Рассмотреть вопросы равносильности систем уравнений.

В результате изучения этой темы я составлю решебник систем уравнений. Я надеюсь что, мой решебник сможет помочь учащимся 8-9 классов лучше подготовиться к выпускным экзаменам. А основные методы решения систем с параметром я буду изучать в 10-м классе.

ГЛАВА I : МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Для начала выясню, что такое линейные и нелинейные уравнения с двумя переменной:

1) Линейные уравнения с двумя переменной – уравнение первой степени.

2) Нелинейные уравнения с двумя переменной – уравнение второй степени.

Теперь выясним, что такое решение системы уравнения с двумя переменными:

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство, называют решением системы [1] .

Осталось только два вопроса: во-первых, что является графиком уравнения и, во-вторых, вопрос о равносильности систем уравнений:

1) Графиком уравнения с двумя переменными является изображение точек её решений на плоскости[2] .

2) Две системы называются равносильными , если множества их решений совпадают. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными[3] .

Теперь, когда все основные понятия и определения разобраны, можно приступать к решению систем разных видов основными методами, которые мне известны на данный момент.

Основная цель при решении систем уравнений — решить эту систему, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются:

1) графический способ;

2) способ замены переменной и алгебраического сложения и вычитания;

3) способ почленного умножения и деления;

4) способ подстановки.

Все эти способы используются во всех предметах, где необходимы знания математики: алгебра, физика, химия, геометрия.

Рассмотрим способ № 1 : Известно, что графиком линейного уравнения является прямая. Вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы. Рассмотрим три случая расположения прямой.

Случай 1 : Прямые, которые являются графиком функции, входящих в данную систему, пересекаются.

Решим эту систему:

Уравнениями у=-1,1х+12 и у=-6х+18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых этих функций различны. Следовательно, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения. Данная система имеет единственное решение: пара чисел равная (1,2; 10,7).

Случай 2 : Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны.

Решим систему уравнений:

Прямые, являющиеся графиками линейных функций у=-0,4х+0,15 и у=-0,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений.

Случай 3 : Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают.

Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х — произвольное число, а у = — 2,5х — 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин:

1) не умение, выражать одну переменную через другую;

2) не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс).

Рассмотрим способ № 2(замена переменной): Легче всего это сделать, решив задачу, что мы сейчас и сделаем:

Условие задачи : Ученик задумал два числа. Первое число на 5 больше второго. Если от удвоенного первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 25. Какие числа задумал ученик?

Решение : Пусть х — первое число, у — второе число. По условию задачи составим систему уравнений.

В первом уравнении выразим х через у: х=у+5 .

Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему

Очевидно, что получившееся второе уравнение является уравнением с одной переменной.

Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим:

Ответ : ученик задумал числа равные -6 и -11, т. е. пара чисел (-6; -11) является решением данной системы.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин:

1) не умение, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ № 2(алгебраическое сложение): Как и в методе подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Решим систему уравнений:

В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами (+3y и -3y). Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

Заменим одно из данных нам уравнений системы, например первое, уравнением 2x = 18. Получим систему:

Полученная система равносильна данной системе. Решим полученную систему:

Из уравнения 2х=18 находим, что х=9. Подставив это значение х в уравнение 4х-3у=12 , получим уравнение с переменной у.

Решим это уравнение:

Пара чисел (11; — 9) — решение полученной системы, а значит, и данной нам системы.

Воспользовавшись тем, что в уравнениях данной нам системы коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Геометрически равносильность систем означает, что графики уравнений 4 x + 3 y = 12 и -2 x — — 3у=38 пересекаются.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по одной причине:

1) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ № 3 : Если при решении систем уравнений учащийся не может ни заменить переменную, ни алгебраически сложить, то можно прибегнуть к этому способу. Разберём на примере.

Решим систему уравнений:

Домножим верхнее уравнение на 3. Получим:

Очевидно, что и в первом и во втором уравнениях есть 3y, только с разными знаками. Дальше решаем так же, как и прошлой системе (см. 3 разбор).

В конце получаем, что пара чисел (4,2; -4,8) является решением данной нам системы.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по ряду причине:

1) не видят, что и насколько надо домножить;

2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ подстановки : Этот метод или способ решения систем уравнений используется чаще всех. Грубо говоря, этот способ мы разобрали во всех остальных, т.к. заменяя одну систему на равносильную ей, мы находим одну переменную, а затем подставляем её значение в одно из уравнений данной нам системы. А, следовательно, возникающие проблемы при решении систем уравнений этим способом такие же, как и у всех остальных методов:

1) не умения, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную;

Итак, из всего выше сказанного можно сделать вывод:

во время решения систем нелинейных уравнений у учащихся возникают проблемы по ряду двум причинам:

1) не умения, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную;

3) не видят, что и насколько надо домножить.

В этой части а я рассмотрю два основных метода решения систем нелинейных уравнений:

1) Однородные системы уравнений;

2) Симметричные системы уравнений.

1) Однородные системы уравнений:

Уравнения называются однородными, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемых складываются).

Почему же мы выделяем такие системы? Оказывается, существует стандартная подстановка x = t×y (y ≠ 0), которая позволяет решить систему.

Пусть x = t×y (y ≠ 0), тогда

Зная t, легко сразу найти , учитывая, что . Используя это, найдём y, а затем и x.

b) t =

При y = 0 решения нет.

2) Системы симметричных уравнений:

Выражение с двумя неизвестными называется симметричным, если при замене одного неизвестного на другое и наоборот выражение не изменяется.

Любое симметричное выражение с двумя неизвестными может быть представлено, как алгебраическая комбинация, через два простейших симметричных выражения: a + b = t и a×b = z.

Пусть , тогда система имеет вид: .

Вычтем из первого уравнения второе уравнение:

a)

По теореме, обратной теореме Виета, данная система порождает квадратное уравнение + 4m + 3 = 0, корнями которого являются x и y. В силу симметричности имеем: (1; 3); (3; 1).

b)

Из порождённого квадратного уравнения — 4n + 3 = 0 следует решения (-3; -1); (-1; -3).

Итак, в своём е я, во-первых, обобщил основные методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, во-вторых, рассмотрел некоторые методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными, в-третьих, составил решебник, который, я надеюсь, поможет читающим мой лучше понять тему, которую я выбрал, и сформирует навык решения систем уравнений. Другими словами я решил все задачи, которые стояли передо мной, и справился с моей целью. Надеюсь, мой реферат был интересен для чтения, повторения прошлого и знакомства с частью нового материала. Я постараюсь продолжить работу над этой темой в 10 классе в качестве дипломной работы.

Учебное пособие для учащихся 8-9 классов «Различные методы решения систем уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Различные методы решения систем уравнений»

для учащихся 8-9 классов

(автор-составитель: Федорчук О.Ф.)

Основные методы решения систем уравнений ……………………………………

Симметрические системы уравнений …………………………………………….

Системы, содержащие однородные уравнения ……………………………………

Метод разложения на множители ………………………………………………….

Комбинированный метод решения систем уравнений ……………………………

Графический метод решения систем уравнения …………………………………..

Системы уравнений в материалах ОГЭ ……………………………………………

Дополнительная литература и источники …………………………………………

Ответы к заданиям для самостоятельного решения …. …………………………..

Система уравнений является одним из основных понятий в курсе школьной алгебры. Можно рассматривать системы линейных уравнений с двумя переменными (уравнений первой степени), системы нелинейных уравнений (второй и выше степеней) и другие. Решение некоторых текстовых задач приводит к решению систем двух и более уравнений. Существуют различные методы решения систем, но только некоторые из них представлены в школьном учебнике.

Данное учебное пособие «Различные методы решения систем уравнений» адресовано учащимся 8-9 классов. В пособии представлен необходимый теоретический материал, рассмотрены примеры решения систем уравнений различными методами. К каждому методу приведены задания для самостоятельного решения и ответы к ним.

Отдельный раздел пособия посвящен заданиям на решение систем уравнений ОГЭ по математике в 9 классе (часть 2, задания №21). В нем рассмотрены системы уравнений из Открытого банка заданий ОГЭ по математике (сайт Федерального института педагогических измерений), пособия «ОГЭ 2016. Математика. Типовые экзаменационные варианты» (под редакцией И.В. Ященко), с сайта «Решу ОГЭ» (обучающая система Д.Д.Гущина), тренировочных и диагностических работ СтатГрада.

Анализ заданий ОГЭ и контрольно-измерительных материалов показал, что на экзамене в 9 классе во второй части в основном предлагаются системы уравнений, решаемые методами подстановки и алгебраических действий. Также встречаются задания, которые удобно решать, используя методы замены переменной и разложения на множители, а более сложные системы уравнений – комбинированным методом.

Если рассматривают два уравнения с двумя переменными и ставится задача найти все пары чисел (а; b ), таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений.

Си стему уравнений и записывают в виде:

Решить систему уравнений — значит найти множество всех пар чисел (а; b ), таких, что при подстановке числа а вместо х и числа b вместо у получаются верные числовые равенства. Такие пары чи сел (а; b ) называются решением системы уравнений. Если мно жество решений системы уравнений — пустое множество, то ее на зывают несовместной.

Аналогично можно определить систему уравнений с тремя и большим числом переменных. Будем рассматривать систе мы, у которых число уравнений равно числу переменных.

Две системы уравнений называются равносильными, ес ли множества их решений совпадают.

В частности, если обе системы несовместны (не имеют решений), то их также счита ют равносильными.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами. Так же как и при решении уравне ний, в процессе решения систем уравнений важно знать, при каких преобразованиях данная система переходит в равносильную ей сис тему уравнений.

При этом можно использовать следующие утверждения о равносильности систем уравнений:

если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;

если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;

если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например х , через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную х на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

В частности, можно выполнять перенос членов уравнения из одной части в другую с изменением знака и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Выделяют аналитический и графический методы решения систем уравнений.

Основными средствами аналитического решения системы являются метод подстановки, метод введения новых переменных (замены переменной), метод алгебраических действий (сложения, умножения).

Для графического решения системы двух уравнений с двумя переменными надо построить в одной системе координат графики обоих уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

В работе рассмотрим также некоторые особые виды систем уравнений и способы их решения: симметрические системы уравнений, системы, содержащие однородные уравнения, метод разложения на множители.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Основными методами решения систем уравнений являются метод подстановки, метод алгебраических действий и метод замены переменной.

Метод подстановки или исключения неизвестного основан на том, что если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую (например, y = f ( x )) или подставить полученное выражение во второе уравнение, то системы

Решение последней системы сводится к решению уравнения = 0 с одной переменной x . Подставляя затем найденные x в уравнение y = f ( x ), находим соответствующие значения y .

Этот метод особенно удобен, если в одно из уравнений системы какая-нибудь переменная входит в первой степени.

Решение. Из первого уравнения находим y = 4 – 2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем 4 – 2 2 = 16.

Приведя это уравнение к стандартному виду, получим биквадратное уравнение

5 x 4 – 16 x 2 = 0 или х 2 (5х 2 – 16) = 0.

Решая его, находим = 0,

Подставляя найденные значения x в выражение y = 4 – 2,

Задания для самостоятельного решения

3.2 Метод алгебраических действий

3.2.1 Метод алгебраического сложения уравнений основан на том, что если к обеим частям одного из уравнений системы прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставить без изменения, то получим систему, равносильную данной. Обычно с помощью этого метода получают систему, к которой затем применяют метод подстановки.

Решение. Если вычесть второе уравнение из первого, получим – 2 x – 3 y = – 11, т.е.

2 x + 3 y = 11. Значит, надо решить систему уравнений

Из первого уравнения находим, что x =.

Подставляя x во второе уравнение, получаем + y 2 = 10,

откуда 121 – 66 y + 9 y 2 + 4 y 2 = 40, т.е. 13 y 2 – 66 y + 81 = 0.

Корнями этого квадратного уравнения являются .

Если то из x = находим

3.2.2 Метод почленного умножения и деления уравнений системы рассмотрим на конкретном примере.

Решение. Разделим почленно первое уравнение на второе, получим

Задания для самостоятельного решения

3.3 Метод замены переменной также рассмотрим на конкретном примере.

Решение. Пусть , тогда ; .

Возвращаясь к переменным x и y , получаем: .

Ответ: (1,5 ; -0,5); (0 ; 1); (3 ; 1); (1,5; 2,5)

Задания для самостоятельного решения

СИММЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Обозначим многочлен от переменных x и y через P ( x , y ). Тогда P ( y , x ) обозначает многочлен, получаемый заменой в P ( x , y ) переменной х на y , а y на x .

Например, если P ( x , y ) = 6х 4 –3 x 3 y + 7 xy 3 + 8 y 4 , то P ( y , x ) = 6 y 4 –3 y 3 x + 7 yx 3 + 8х 4 .

Если выполняется равенство P ( x , y ) = Р( y , x ), то есть многочлен остается неизменным после замены х на у, а у на х, то многочлен P ( x , y ) называют симметрическим.

Например, симметрическими являются многочлены х + у и ху.

При решении систем уравнений вида , где и — симметрические многочлены, используется замена неизвестных: х + у = u , ху = v .

Решение. Запишем систему в виде

Пусть х + у = u , ху = v .

Тогда относительно u и v система примет вид .

Решив эту систему способом подстановки, найдем

Соответствующие значения v найдем из формулы v = 11 – u .

Осталось решить системы уравнений .

Первая система имеет решения (2 ; 3) и (3 ; 2). А вторая не имеет решений.

Ответ: (2 ; 3) и (3 ; 2).

Задания для самостоятельного решения

СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.1. Системы уравнений, одно из которых однородно

Многочлен Р(х,у) называется однородным многочленом n -ой степени, если все его члены имеют n -ю степень.

Уравнение Р(х,у) = 0 называется однородным уравнением n -ой степени, если Р(х,у) – однородный многочлен n -ой степени.

Решение. Первое уравнение этой системы является однородным степени 2.

Так как х = 0 ни при каком значении у не входит в решение системы, то разделим обе части первого уравнения на и введем новую переменную Получим квадратное уравнение 2 – 3 u + = 0. Корни этого уравнения ,

Теперь нужно решить совокупность двух систем

Первая система несовместна, так как при подстановке выражения у = х во второе уравнение получим 0 = 12.

Решая вторую систему, подставим выражение у = 2х во второе уравнение.

Получим 4х 2 – х 2 = 12 или х 2 = 4. Отсюда находим .

Так как у = 2х, то .

Ответ: (2 ; 4) ; (-2 ; — 4).

5.2. Системы уравнений с однородной левой частью

В некоторых системах оба уравнения не являются однородными, но, применив метод алгебраического сложения, удается перейти к равносильной системе, одно из уравнений которой является однородным.

Решение. Ни одно из уравнений не является однородным. Действительно, в первом уравнении члены и ху имеют степень 2, а -12 имеет нулевую степень. По той же причине не является однородным и второе уравнение. Но если умножить первое уравнение на 7, а второе на 3 и затем их сложить, то получим однородное уравнение 7у 2 – 10ху + 3х 2 = 0. Решая теперь систему уравнений , находим решение исходной системы: , или , .

Рассмотрим систему уравнений

Левая часть каждого из уравнений этой системы – однородный многочлен второй степени. Умножив обе части первого уравнения на -2 и заменив любое из уравнений системы (например, первое) полученной суммой уравнений, получим систему , одно из уравнений которой однородно.

Задания для самостоятельного решения

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Метод разложения на множители основан на том, что если выражения и определены для всех значений переменных х и у, то система уравнений

равносильна совокупности систем и

Решение. Система равносильна совокупности двух систем

Заметим, что – однородное уравнение и у = 0 не входит в решение системы.

Разделим первое уравнение на у 2 . Получим:

Введем новую переменную u = и найдем корни квадратного уравнения

u 2 – 3 u + 2 = 0. Получим Значит, либо либо .

Подставляя у = 2х и у = х поочередно во второе уравнение системы, получаем совокупность уравнений 5х 2 = 10 и 2х 2 = 10.

Решая уравнение 5х 2 = 10, находим Подставляя найденные значения в выражение у = 2х, получаем

Решая уравнение 2х 2 = 10 и подставляя результаты в выражение у = х, находим , ,

Таким образом, решением первой системы является:

Решая вторую систему, выразим из первого уравнения у. Получим у = х.

Так как этот случай уже рассмотрен, то решением исходной системы будет множество пар (; (;();().

Задания для самостоятельного решения

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Комбинированный метод решения систем основан на использовании нескольких методов на разных этапах решения систем.

Задания для самостоятельного решения

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решить графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Будем считать известными уравнения:

а) прямой: ах + by + c = 0

б) параболы: y = x 2 + bx + c

в) окружности: (х – а) 2 + (у – b ) 2 = R 2

г) гиперболы: ху = k

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем

= (х 2 – 2х + 1) + (у 2 + 4у + 4) – 1 – 4 – 20 = (х – 1) 2 + (у + 2) 2 – 25.

Значит, систему уравнений можно записать так:

Графиком первого уравнения является окружность с центром А(1 ; — 2) и радиусом 5.

2х – у = –1 – уравнение прямой, проходящей через точки В(0;1) и С (2;5).

Строим окружность радиусом 5 с центром в точке А и проводим прямую через точки В и С.

Эти линии пересекаются в двух точках М(1;3) и N (-3; -5).

Значит, решением системы уравнений являются

Задания для самостоятельного решения

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В МАТЕРИАЛАХ ОГЭ

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ

1. Виленкин Н.Я.Алгебра 8 класс. Учебник для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики. – Москва: «Просвещение», 2013.

2. Виленкин Н.Я.Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики. – Москва: «Просвещение», 2013.

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. – Москва: «Просвещение», 2014.

4. Шахмейстер А.Х. Системы уравнений. Пособие для школьников, абитуриентов и учителей. – С.-Петербург, Москва, 2003.

6. Открытый банк заданий ОГЭ, адрес доступа:

7. ОГЭ 2016. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (под редакцией И.В. Ященко). – Москва: Издательство «Национальное образование», 2016.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

9. 1) (3; −4); 2) (-7; −2), (-3; 2); 3) (-2;-2);(-2;2);(-1;-2);(-1;2); 4) (2;4);(5;13); 5) (1;5);(-1;); 6) (3; 6); 7) (−1; 4); (1; 4); 8) (1;1);(; 9) (−4; 2); (4; 2); 10) (−1; −6); (1; 6); (−6; −1); (6; 1); 11) (-1;3);(1;3); 12) (2; −1); (2; 1); 13) (−1; −3), (1; 3), (−3; −1); (3; 1); 14) (-1;-1); 15) (26,5;-5,5); 16) (5;9)