Метод половинного деления при решении уравнений

Метод половинного деления. Алгоритм

Решение алгебраического уравнения. Для численного решения алгебраических уравнений существует множество способов. Среди самых известных можно назвать метод Ньютона, метод Хорд, и «всепобеждающий» метод Половинного Деления. Сразу оговоримся, что любой метод является приближенным, и по сути дела лишь уточняющим значение корня. Однако уточняющим до любой точности, заданной Нами.

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия — сопоставленность или противопоставленность двух частей целого) при нахождении корня уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка [a; b] переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет. Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из условий: либо длина интервала [a; b] становится меньше заданной погрешности нахождения корня ?, либо функция попадает в полосу шума ?1 — значение функции сравнимо с погрешностью расчетов.

Сначала поставим задачу. Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?, если известно, что f(a)*f(b) Дано уравнение вида:

необходимо найти удовлетворяющие ему значения x.

Итак, приступим к решению. Первым делом, определимся, что значит f(x)=0. Посмотрите на рис.1. На нем изображен график некоей функции. В некоторых точках этот график пересекает ось абсцисс. Координаты x этих точек нам и нужно найти. Если вид уравнения простой или стандартный, например, квадратное уравнение или линейное, то применять численный метод здесь совершенно ни к чему. Но если уравнение у нас такое:

то ни в каком учебнике вы не найдете метода аналитического решения этого кошмара. Здесь и приходит на помощь непобедимый численный метод. Метод половинного деления. Из самого названия метода можно предположить, что нам понадобится что-то делить пополам.

Ученикам метод половинного деления можно преподнести в виде решения задачи.

Идет осада неприятельской крепости. На некотором расстоянии от нее установили новую пушку. Под каким углом к горизонту надо стрелять из этой пушки, чтобы попасть в заданный участок крепостной стены.

Над моделью этой задачи физики изрядно поработали. Оно и понятно: ведь многие научные задачи, как и эта, возникали прежде всего в военном деле. И решение этих задач почти всегда считалось приоритетным.

Какие же факторы принять за существенные в этой задаче? Поскольку речь идет о средневековье, то скорость снаряда и дальность полета невелики. Значит можно считать несущественным, что Земля круглая (помните обсуждение в параграфе 27), и пренебречь сопротивлением воздуха. Остается единственный фактор — сила земного притяжения.

Математик тут бы сказал, что надо решить уравнение. Мы тоже будем решать, только приближенно и очень похоже на то, как делают настоящие артиллеристы. Они же поступают следующим образом: производят несколько выстрелов, беря цель «в вилку», т.е. одно попадание выше цели, а другое ниже. Затем делят пополам угол между этими выстрелами, и при стрельбе под таким углом снаряд ложится к цели намного ближе. Но если все же не попали, то новую «вилку» снова делят пополам и т.д.

Мы заранее можем указать «вилку» для угла: 0 и ?/4 (мы надеемся, что вы помните какой угол имеет радианную меру ?/4 и чему приближенно равно ?). А дальше будем делить пополам эту «вилку» и смотреть, куда попадает снаряд, пока не добьемся нужного результата.

Как же долго нам придется вести «пристрелку», чтобы получить угол ?, с нужной точностью? Чтобы ответить на этот вопрос, отвлечемся от нашей задачи и сформулируем на чисто математическом языке, что и как мы находили.

Нам даны некоторая функция f(x) и отрезок [a;b], причем на концах этого отрезка эта функция принимает значения противоположных знаков. Если функция непрерывна, т.е. ее график — непрерывная линия, то ясно, что график функции пересекает ось абцисс в некоторой точке с отрезка [a;b], как показано на рисунке 1. Иными словами, f(c)=0, т.е. с — корень уравнения f(x)=0.

Как же предлагается находить этот корень? А вот так. Делим отрезок [a;b] пополам, т.е. берем середину отрезка а+b/2. В этой точке вычисляем значение функции f(x) (рис. 2). Если это значение 0, то корень найден; если нет, то оно имеет тот же знак, что и значение на одном из концов отрезка [a;b]. Тогда этот конец заменям точкой а+b/2. Новый отрезок тоже содержит корень уравнения f(x)=0, поскольку на его концах функция f(x) снова имеет разные знаки. Однако этот отрезок в 2 раза короче предыдущего. И самое главное — с ним можно поступить точно так же. со следующим отрезком еще раз проделать то же самое и т.д. поскольку длина отрезка каждый раз уменьшается вдвое, мы можем получить отрезок сколь угодно малой длины, внутри которого содержится корень уравнения f(x)=0. Например, если исходный отрезок был [3;4], т.е. имел длину 1, то через десять шагов мы получим отрезок длиной. Это означает, что концы отрезка дают нам приближенное значение корня с точностью, равной длине отрезка: левый конец отрезка — приближенное значение корня с недостатком, правый конец — приближенное значение корня с избытком.

Фактически мы сейчас сформулировали метод приближенного решения уравнения f(x)=0. Его можно было бы назвать методом артиллерийской пристрелки. Но математики называют его методом половинного деления.

Далее ученикам предлагается записать алгоритм и блок-схему нахождения корня уравнения с помощью метода половинного деления.

1) Найдем середину отрезка [a; b]: c=(a+b)/2;

2) Вычислим значения функции в точках a и c и найдем произведение полученных значений: d=f(c)?f(a);

3) Если d>0, то теперь точкой a станет c: a=c; Если d ?, то идем в пункт 1) если нет, то корень с нужной нам точностью найден, и он равен: x=(a+b)/2;

1 Численный метод решения нелинейных уравнений

1.1 Область локализации корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x*, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ), с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f(x)= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

Таким образом, можно приблизительно определять область локализации корней уравнения. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Некоторые виды уравнений допускают аналитическое решение. Например, степенные алгебраические уравнения степени n при n ≤ 4. Однако, в общем виде, аналитическое решение, как правило, отсутствует. В этом случае, применяются численные методы. Все численные методы решения уравнений представляют собой итерационные алгоритмы последовательного приближения к корню уравнения. То есть, выбирается начальное приближение к корню x ₀ и затем с помощью итерационной формулы генерируется последовательность x ₁, x ₂, …, x_k сходящаяся к корню уравнения .

1.2 Критерии сходимости при решении уравнений

Ø Абсолютная погрешность — абсолютное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Относительная погрешность — относительное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Близость к нулю вычисленного значения левой части уравнения (иногда это значение называют невязкой уравнения, так как для корня невязка равна нулю)

1.3 Метод половинного деления (метод дихотомии)

Метод половинного деления основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [ a , b ], такое, что f ( a ) × f ( b ) — середине отрезка [ a , b ]. Если он противоположен знаку функции в точке a, то корень локализован на отрезке [ a , c ], если же нет – то на отрезке [ c , b ]. Схема метода дихотомии приведен на рис у нке 2.

Рисунок 2. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Алгоритм метода дихотомии можно записать так:

1. представить решаемое уравнение в виде

2. выбрать a, b и вычислить

3. если f(a) × f( с ) то a=a; b = c иначе a = c; b=b

4. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 2

Пример решения уравнения методом дихотомии

Найти решение заданного уравнения методом дихотомии с точностью до 10 -5 .

Пример создания расчетной схемы на основе метода дихотомии на примере уравнения: на отрезке [1, 2]

Данный метод заключается в проверке на каждой итерации условия:

если f ( a ) × f (с) и выбор соответствующего отрезка для следующей итерации.

Рисунок 3. Последовательность итераций метода дихотомии при поиске корня уравнения на отрезке [1, 2]

a ) схема расчета (зависимые ячейки); b) режим отображения формул;

Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:

Точность до пятой значащей цифры достигается за 20 итераций.

Скорость сходимости этого метода является линейной.

При выполнении начального условия он сходится к решению всегда.

Метод половинного деления удобен при решении физически реальных уравнений, когда заранее известен отрезок локализации решения уравнения.

2 Решение уравнений , используя “Подбор параметра ”

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f(x)=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

2. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка П родолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

2.1 Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3; 3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

Рисунок 4. Поиск приближенных значений корней уравнения

Выполните команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.

Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 9) заполните следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 5. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

После щелчка на ОК получим значение первого корня -1,65793685 .

Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

3 Решение уравнений и систем уравнений, используя надстройку “Поиск решения”

Для решения уравнений можно также использовать команду Поиск решения, доступ к которой реализуется через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Найти приближенное значение корня уравнения

2. Открыть диалог Поиск решения и установить следующие параметры (рисунок 10):

þ в поле У становить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу (левую часть уравнения);

þ установить переключатель в положение ‘ значению’ и ввести значение 0 (правая часть уравнения);

þ в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргумента x целевой функции,;

þ в поле Ограничения с помощью кнопки Д обавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска (область поиска корня уравнения);

þ для запуска процесса поиска решения нажать кнопку В ыполнить.

þ Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель С охранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения.

Рисунок 6. Диалоговое окно Поиск решения

Полученное решение зависит от выбора начального приближения. Поиск начальных приближений рассмотрен выше.

Рассмотрим некоторые Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения):

þ Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).

þ Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).

þ Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.

þ Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.

þ Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Рисунок 7. Вкладка Параметры окна Поиск решения

3.1 Пример решения уравнения, используя надстройку “Поиск решения”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3]. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3;3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня. На рисунке 12 представлен пример заполнения окна Поиск решения для нахождения первого корня на отрезке [-2; -1].

Рисунок 8. Пример решения уравнения при помощи надстройки Поиск решения

Задание 1. Решение уравнений численным методом

На листе 1 (название листа: Численные методы) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания ) реализовать итерационные расчетные схемы методов, указанных в Таблице 1 для нахождения хотя бы одного корня на заданном интервале. Количество итераций просчитать, оценивая , .

Задания 2. Решение уравнений встроенными средствами “Подбор параметра” и “Поиск решения”

На листе 2 (название листа: Подбор Поиск) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания) на заданном интервале и с некоторым шагом (шаг выбрать самостоятельно) построить таблицу значений функции f(x) и определить количество корней уравнения и выделить интервалы, на которых находятся корни. Построить график функции. Уточнить на заданных интервалах с точностью до 10 -6 корни уравнения с помощью встроенных средств: Подбор параметра, Поиск решения

Двоичный поиск. Метод половинного деления

Двоичный поиск. Метод половинного деления.

Решать уравнения нас учат на уроках алгебры. Для разных типов уравнений применяются разные методы. Все они дают точные решения и все относятся к так называемым аналитическим методам. Мы знаем аналитические решения для уравнений первой и второй степени. В тех случаях, когда удается выполнить разложение на множители, нам удается аналитически решить уравнения третьей и четвертой степеней, но что мы будем делать с уравнением пятой степени, если оно на множители не раскладывается?

Когда в задаче возникают такие уравнения, их решают численными методами. Численные методы позволяют получить не точное, а приближенное решение уравнения, но с любой точностью, которую только может обеспечить компьютер.

Большинство численных методов решения уравнений являются итерационными. Это означает, что отдельный шаг (или итерация) алгоритма позволят получить лишь очередное приближение к значению корня, однако каждая последующая итерация позволяет получить все более и более точные значения корня, пока требуемая точность не будет достигнута.

Для учащихся предлагается данная теория, однако в более преемственной форме.

В начале урока ставиться цель ознакомиться с двоичным поиском и узнать, как можно решить любое уравнение. При этом сразу предупреждаем, что никаких формул не будет, а речь наша о том, как решать уравнения с помощью компьютера без всяких формул.

Предлагается игра “Угадай – ка”. Вот ее условия:

Учащиеся задумывают натуральное число от 1 до 16 (число записывают на листок и передают одноклассникам для ознакомления), а учитель задавая не более 4 вопросов, отгадывает задуманное число. При этом на вопросы учителя учащиеся отвечают только “да” или “нет”. Например, задумано число 15.

Происходит диалог следующего вида:

Учитель спрашивает: 1. Задуманное число больше 8? Ответ учеников: Да.

Учитель спрашивает: 2. Задуманное число больше 12? Ответ учеников: Да.

Учитель спрашивает: 3. Задуманное число больше 14? Ответ учеников: Да.

Учитель спрашивает: 4. Задуманное число больше 15? Ответ учеников: Нет.

Учитель отвечает: Это число 15.

Такую игру проигрывают 3 раза, тем самым убеждают учащихся, что совпадений нет, а есть точный алгоритм угадывания. Предлагается проанализировать следующие вопросы:

1. Как учитель угадывает задуманное число?

2. Почему гарантировано угадывание числа за 4 вопроса?

1. Тот промежуток чисел, в котором находится задуманное число, следует разделить пополам и выяснить в какой половине находится это число. С уменьшенным вдвое промежутком опять поступить так же, то есть, как сказали бы артиллеристы, взять искомое число в “вилку” до полного “попадания в цель”

Откуда же видно, что для этого достаточно четырёх вопросов?

2. Дело в том, что четырёхкратное деление пополам промежутка чисел от 1 до 16 приведёт к промежутку, состоящему только из двух чисел: 1 и 2. Удвоим его. Получим промежуток чисел от 1 до 4. Снова удвоим и так далее, пока верхняя граница не достигнет 2 4 =16, которая, как видите, включает наш промежуток. То есть мы должны брать ту степень числа 2, при которой наш промежуток будет полностью включаться, либо быть равным, либо меньшим.

Для лучшего восприятия посмотрите (рис.1), где красные линии – это ответ “Да”, черные – ответ “Нет”. При каждом делении промежутка на 2 существует верхняя граница N, которая звучит в вопросе: “Это число больше N ?”

Метод, который мы сейчас разобрали для отгадывания задуманного числа, называют двоичным поиском. Он применим к отысканию элемента в любом множестве, элементы которого упорядочены по отношению к какому – либо свойству.

Например: смотрим (рис. 2)

Можно знакомясь с человеком, угадывать его имя: сначала спросить про первую букву, расположена ли она в алфавите после буквы “П” , получив ответ, разделить соответствующую часть алфавита еще пополам и задать следующий вопрос о первой букве и так далее. Когда первая буква будет отгадана, начать отгадывать вторую. К концу этого процесса скорее всего, будете чувствовать себя старыми знакомыми, слегка поднадоевшими друг другу.

По данному примеру можно предложить написать алгоритм угадывания имени человека по буквам и обсудить вопросы, почему в данном случае можно применить двоичный поиск .

Устно решим задачу:

Сейчас открыто 110 химических элементов. На викторине по химии ведущий загадывал один из элементов, а участнику разрешалось задать последовательно 8 вопросов об этом элементе, на которые ведущий отвечал только “да” или “нет”, после чего участник должен назвать загаданный элемент. Зашедший на эту викторину программист – профессионал сказал, что если ему дадут таблицу Менделеева (так как он не помнит названий всех 110 элементов), то он обойдется 7 вопросами. Какие 7 вопросов вы могли бы предложить?

Алгоритм решения выглядит следующим образом. Воспользуемся таблицей Менделеева (рис.3) и зададим вопросы:

1. Этот элемент расположен по порядку возрастания порядкового номера правее 55 элемента? (110:2=55)
2. В зависимости от ответа, если “да”: элемент расположен правее 82 элемента?

Если “нет”: элемент расположен правее 28 элемента?

Вопрос: Как программист определил наименьшее количество задаваемых вопросов?

Ответ: 2 7 = 128, если 110 семь раз делить на 2, то получим всего два числа 1 и 2, то есть угадать будет легко.

Для выявления уровня способностей экспериментатор предлагает обучаемому тест, состоящий из 16 задач, расположенных в порядке возрастания сложности. Метод решения первой задачи экспериментатор объясняет сам, а затем предлагает обучаемому решить самую трудную, 16–ю задачу. Если обучаемый с ней справится, то экспериментатор предложит решить 15–ю; если не справится с 15–й , будет предложена 14–я и так далее, пока не обнаружится задача, которую обучаемый сможет решить. Её номер и показывает уровень способностей обучаемого. Вообще говоря, может случиться так, что обучаемому придется предложить решать все 15 задач. Заглянувший к экспериментатору профессиональный программист сказал, что уровень способностей можно выявить, предложив решить не более четырех задач. Объясните почему и как для этого надо организовать эксперимент.

Решение: Сначала необходимо уточнить, что промежуток от 2 до 16 (первая задача решена экспериментатором).

1. Предложить сначала решить 9 задачу;
2. если справился с 9–ой, то решать 13 – ю,
   иначе 5 – ю;
3. И так далее.

Можно изобразить рисунок, облегчающий понимание. (рис. 4)

Теперь на данном этапе учащиеся готовы вернуться к задаче, с которой начали этот урок – решение любого уравнения с помощью компьютера.

Посмотрите на график функции.(рис. 5)

Возьмем какую – либо точку на отрезке [a;b] расположенную левее корня (напомним, что корнем функции называется значение аргумента при котором функция обращается в ноль). В этой точке значение функции отрицательно и это сигнализирует нам, что искомый корень больше выбранного нами числа.

Если же взять точку правее корня, то значение функции в ней будет положительно и это сигнализирует нам, что искомый корень меньше выбранного нами числа.

Получается очень похоже на игру “Угадай — ка”, только угадать надо число являющееся корнем уравнения.

Для этого прежде всего возьмем корень в “вилку”, то есть отрезок [a;b] так, чтобы значение функции на его концах было разных знаков. Если непрерывная функция на отрезке меняет знак, то она имеет на этом отрезке хотя бы один корень. Затем найдем середину отрезка.

Вопрос: Как найти середину отрезка ?

Если в ней функция отрицательна, то дальше надо угадывать корень на правой половине отрезка; если положительна, то на левой и так далее.

Такой метод нахождения корня называют уже не двоичным поиском, а методом деления пополам.

Итак, выбирая середину отрезка, мы не можем ожидать, что сразу попадём на корень функции. Фактически мы каждый раз лишь уменьшаем вдвое отрезок, на котором наверняка имеется корень. Постепенно этот отрезок, станет настолько малым, что любой из его концов можно считать приближённым значением корня с нужной точностью.

На практике почти все измерения производятся лишь с определённой точностью Е.

Важно отметить, что метод деления пополам годится лишь в том случае, если функция f (x) непрерывна (то есть изображается на графике непрерывной линией), а на концах исходного отрезка [a; b] функция принимает значения разных знаков. Если непрерывная функция на отрезке меняет знак, то она на этом отрезке имеет по крайней мере один ноль.

Составим блок-схему (метода деления пополам) (рис. 6)

А теперь решим задачу

Уравнение y=3cos(2x+4) имеет единственный корень на отрезке [1;3]. Решим это уравнение с точностью до 0,001 методом половинного деления на ЭВМ

Переведем блок-схему на язык программирования.

DEFFN F(X)= 3*COS(2*X+4)
INPUT A,B,E
10 C=(A+B)/2
IF FN F(C)=0 THEN A=C: B=C: GOTO 20
IF FN F(A)* FN F(C) E THEN 10
X=(A-B)/2
PRINT X
END

Label 1, 2;
Var a, b, e, c, x :real;
Function fx (y :real) :real;
Begin
Fx : =3*cos(2*y+4);
End;
Begin
Writeln(‘введи a, b, e’);
Readln(a, b, e);
1: c:=(a+b)/2; writeln(с);
if fx(c) =0 then Begin a:=c; b:=c; goto 2; end;
if fx(c)*fx(a) e then goto 1;
x: = (a+b)/2;
writeln(x);

2
1.5
1.75
1.875
1.9375
1.90625
1.921875
1.9296875
1.92578125
1.927734375
1.9267578125
1.92724609375

Последний результат можно считать значением корня с точностью Е.

Изменив функцию в данной программе, можно применять тот же метод для решения других уравнений, например x – cos(x) = 0; x – ln(x+2) = 0 на промежутке [0;1] и тому подобное. Попробуйте поэкспериментировать с разными функциями и разными начальными значениями. “Охота” за корнями уравнения очень увлекательное занятие.