Методы решения тригонометрических уравнений
Разделы: Математика
Урок комплексного применения знаний.
- Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
- Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
- Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: экран, проектор, справочный материал.
Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.
Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.
II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)
1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.
Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.
2. Метод разложения на множители.
Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Метод введения дополнительного угла.
4. Метод использования универсальной подстановки.
Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx ) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки 
Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.
5. Метод понижения степени.
III. Самостоятельная работа (программированный контроль).
| 1-й вариант | 2-й вариант |
| 1) 2cos 2 x + 2sin x = 2,5 2) sin2x = -cos2x 3) (cosx – sinx) 2 = cos2x | 1) 2sin 2 x + 5cosx + 1 = 0 2) sin2x – sin3x = 0 3) sin2x = 2  sin 2 x |
Коды ответов:1-й вариант: 524, 2-й вариант: 361.
Основные методы решения тригонометрических уравнений
п.1. Разложение на множители
Алгоритм простого разложения на множители
Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения \(f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot . \cdot f_n(x)=0\) где \(f_i(x)\) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от \(x\).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: \( \left[ \begin
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(2cosx cos2x=cosx\) \begin
 | Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые \(60^<\circ>=\frac\pi3\) Поэтому: \begin |
Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара \(\frac\pi2+\pi k,\ \ \pm\frac\pi6+\pi k\), равнозначная c \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.
Алгоритм разложения на множители со знаменателем
Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ \frac
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: \( \begin
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(ctgx-tgx=\frac
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=\frac
Полученное уравнение равносильно системе: \begin
 | Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: \begin |
За счет требования \(x\ne\frac<\pi k><2>\) исключаются семейства \(x=\frac\pi2+2pi k\) и \(x=2\pi k\).
Остается только \(x=\frac\pi4+\pi k\).
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)
п.2. Приведение к квадратному уравнению
Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где \(f(x)\) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=f(x)\). Решить полученное квадратное уравнение: \begin
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(3sin^2x+10cosx-6=0\)
Заменим \(sin^2x=1-cos^2x\). Получаем: \begin
Ответ: \(\pm arccos\frac13+2\pi k\)
п.3. Приведению к однородному уравнению
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени
Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=0\)
Делим на \(cosx\). Получаем: \(tgx+1=0\Rightarrow tgx=-1\Rightarrow x=-\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k\)
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени
Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^2x\) \begin
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3\)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): \begin
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg\frac43+\pi k\)
Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени
Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^n x\)
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=tgx\). Решить полученное алгебраическое уравнение: \begin
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(2sin^3x=cosx\)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: \begin
Раскладываем на множители: \begin
Получаем: \(2t^3-t^2-1=0\Leftrightarrow t-1=0\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\(tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)
п.4. Введение вспомогательного угла
Например:
Решим уравнение \(\sqrt<3>sin3x-cos3x=1\)
Делим уравнение на \( p=\sqrt<3+1>=2: \) \begin
Ответ: \(-\frac\pi3+\frac<2\pi k><3>,\ \ \frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\)
п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
При решении уравнений вида \begin
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).
Например:
Решим уравнение \(cos3x+sin2x-sin4x=0\)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sin\frac<2x-4x><2>cos\frac<2x+4x>=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: \begin
 | Получаем, что семейства решений \(\frac\pi6+2\pi k\) и \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\) уже содержатся во множестве \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\). |
п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
При решении уравнений вида \begin
Например:
Решим уравнение \(sin5xcos3x=sin6xcos2x\)
Заметим, что: \begin
 | Семейства решений не пересекаются. |
Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: \( \left[ \begin
п.7. Понижение степени
При решении уравнений вида \begin
Например:
Решим уравнение \(sin^2x+sin^22x=1\)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: \begin
 | \(x=\frac\pi2+\pi k\) является подмножеством \(x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\) Поэтому \begin |
п.8. Замена переменных
При решении уравнений вида \(f(sinx\pm cosx,\ sinxcosx)=0\) используется замена \begin
Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=1+sinxcosx\)
Замена: \(t=sinx+cosx\)
Тогда \(t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosx\Rightarrow sinxcosx=\frac
Подставляем: \begin
п.9. Использование ограничений области значений функций
Уравнения вида \begin
Поэтому решаем систему: \( \begin
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.
Аналогично, уравнение вида \begin
Например:
Решим уравнение \(sinx+cos4x=2\)
Для этого нужно решить систему: \begin
 | Пересечением двух семейств решений будет только \(\frac\pi2+2\pi k\). Поэтому \begin |
п.10. Примеры
Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) \(4sin\left(\frac\pi2\right)+5sin^2x=4\)
Приводим уравнение к квадратному:
\(5sin^x+4cosx-4=0\)
\(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0\)
\(-5cos^2x+4cosx+1=0\)
\(5cos^2x-4cosx-1=0\)
Замена: \(t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\) \begin
б) \(6sinxcosx=5cos2x\)
\(6sinxcosx=3\cdot 2sinxcosx=3sin2x\)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
\(3sin2x=5cos2x\ |\ :\ cos2x\)
\(3tg2x=5\Rightarrow tg2x=\frac53\Rightarrow 2x=arctg\frac53+\pi k\Rightarrow x=\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>\)
Ответ: \(\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>\)
в) \(9cos^2x-5sin2x=-sin^2x\)
\(5sin2x=5\cdot 2sinxcosx=10sinxcosx\)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
\(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0\ |:\ cos^2x\)
\(tg^2x-10tgx+9=0\)
Замена: \(t=tgx\) \begin
г) \(cos3x-1=cos6x\)
Косинус двойного угла: \(cos6x=2cos^2 3x-1\)
Подставляем и раскладываем на множители:
\(cos3x-1=2cos^2 3x-1\)
\(cos3x-2cos^2 3x=0\)
\(cos3x(1-2cos3x)=0\) \begin
Ответ: \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>,\ \ \pm\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\)
д) \(\sqrt<3>sin2x-cos2x=-\sqrt<3>\)
Разделим на \(p=\sqrt<3+1>\) и введем дополнительный угол:
\(\frac<\sqrt<3>><2>sin2x-\frac12 cos2x=-\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(\frac12cos2x-\frac<\sqrt<3>><2>sin2x=\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(cos\left(2x-\frac\pi3\right)=\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(2x-\frac\pi3=\pm\frac\pi6+2\pi k\)
\(2x=\frac\pi3\pm\frac\pi6+2\pi k= \left[ \begin
\( \left[ \begin
Ответ: \(-\frac<\pi><12>+\pi k,\ \ \frac\pi4+\pi k\)
е) \(cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x\)
Формула понижения степени: \(cos^2x=\frac<1+cos2x><2>\)
Подставляем: \begin
Пример 2*. Решите уравнения:
a) \begin
1) Если \(cosx\ne 0\), то последнее слагаемое \(\frac
Получаем: \begin
2) Проверим, является ли \(cosx=0\) решением.
При \(cosx=0,\ x=\frac\pi2+\pi k,\ tgx\rightarrow\infty\). Первое слагаемое \(\frac<4>
Второе слагаемое \(\frac<18>
Третье слагаемое \(\frac
Сумма слагаемых в пределе \(tgx\rightarrow\infty\) равна \(0+0+1=1\ne 0\)
\(cosx=0\) решением не является.
Ответ: \(-arctg10+\pi k\)
б) \(\frac<3>
ОДЗ: \(cosx\ne 0,\ x\ne\frac\pi2+\pi k\) \begin
 | Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(\frac\pi4,\ arctg\frac43,\ \frac<5\pi><4>\) и \(\pi+arctg\frac43\), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях. Выбираем только точки в 1-й четверти: \(\frac\pi4\) и \(arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения период будет не \(\pi k\), а \(2\pi k\). \begin |
2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) \begin
 | Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(-\frac\pi4,\ -arctg\frac43,\ \frac<3\pi><4>\) и \(\pi-arctg\frac43\), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях. Выбираем только точки вo 2-й четверти: \(\frac<3\pi><4>\) и \(\pi-arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом \(2\pi k\). \begin |
3) Объединяем полученные решения: \begin
 | По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: \begin |
Окончательно получаем: \( \left[ \begin
Ответ: \((-1)^k arctg\frac43+\pi k,\ \ (-1)^k \frac\pi4+\pi k\)
г) \(3sinx-4cosx=5\)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
\(p=\sqrt<3^2+4^2>=5\)
\(\frac35sinx-\frac45 cosx=1\)
\(sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
\(sin\alpha sinx-cos\alpha cosx=1\)
\(cos\alpha cosx-sin\alpha sinx=-1\)
\(cos(x+\alpha)=-1\)
\(x+\alpha=\pi+2\pi k\)
\(x=-\alpha+\pi+2\pi k=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\)
Способ 2. Делаем универсальную подстановку: \begin
Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\ \ \text<и>\ x=2arctg3+2\pi k $$ равнозначны, т.е. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3\), и равны углы: $$ arcsin\frac35=\pi-2arctg3\ \ (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) \(2arctg3=\varphi\). Тогда \(arctg3=\frac\varphi2\) и \(tg\frac\varphi2=3\).
А в левой части равенства (*) \(arcsin\frac35=\alpha\) и \(sin\alpha=\frac35\)
Угол \(0\lt arcsin\frac35\lt \frac\pi2\) расположен в 1-й четверти.
Угол \(\varphi=2arctg3\) расположен во 2-й четверти \((cos\varphi\lt 0,\ sin\varphi\gt 0)\). $$ cos\varphi=\frac<1-tg^2\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<1-3^2><1+3^2>=-\frac45,\ \ sin\varphi=\frac<2tg\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<2\cdot 3><1+3^2>=\frac35 $$ Получаем, что для угла \(\alpha:\ sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
Для угла \(\varphi:\ sin\varphi=\frac35,\ cos\varphi=-\frac45\)
Откуда следует, что \(\alpha=\pi-\varphi\). Что и требовалось доказать.
Ответ: \(-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\) или \(2arctg3+2\pi k\) (т.к. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3)\)
Проект «Методы решения тригонометрических уравнений!
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
О бластное государственное автономное
дополнительного профессионального образования
«Белгородский институт развития образования»
Методы решения тригонометрических уравнений
Остапенко Татьяна Ивановна,
учитель математики и физики
МБОУ «Бехтеевская СОШ
Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения.
Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида
sin x = a, cos x= a, tq x = a, ctq x = a
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать.
sinx = a, x = (-1) k arcsin a + πk, k Є Z,
arcsin a — угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, синус которого равен a.
cosx= a, x= 
arccos a +2πk, k Є Z,
arccos a — угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен a .
tq x = a, x = arctq a + πk, k Є Z,
arctg a — угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, тангенс которого равен a .
ctq x = a, x = arcctq a + πk, k Є Z,
arcctg a — угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен a .
Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.
Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда тригонометрические функции равны -1, 0, 1, в которых решение записывается без применения общих формул.
При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций.
Рекомендации по решению тригонометрических уравнений
Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения.
Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.
Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.
Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:
Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:
Методы решения тригонометрических уравнений.
При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа – число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции , используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.
Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций.
Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
1)Решить уравнение 2 sin 2 
+ 3 sin 
—2 = 0.
Это уравнение является квадратным относительно sin 
.
Его корни: sin = 
, sin =—2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как Isin l 
1, решения первого можно записать так:
+2 k 
,
π
+ 2 k 
Если в уравнении встречаются разные тригонометрические функции, то надо заменить их все на какую-нибудь одну, используя тригонометрические тождества.
2) Решить уравнение 2 sin + cos = 2.
Если в этом уравнении заменим косинус на синус (по аналогии с предыдущими примерами) или наоборот, то получим уравнение с радикалами. Чтобы избежать этого, используем формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла:
и 
.
Делая замену, получаем уравнение относительно
: 
.
Квадратное уравнение 
имеет корни 
откуда
Это же уравнение можно решить другим способом, вводя вспомогательный угол:
Пусть
. Тогда можно продолжить преобразование: 
. Получаем простейшее уравнение 
т. е. 
, откуда 
, или 
Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле совпадают.
Понижение порядка уравнения.
Формулы удвоения 
позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заменять линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.
1)Решить уравнение
.
Можно заменить cos 2
на 2 cos 2 —1 и получить квадратное уравнение относительно cos , но проще заменить
на 
и получить линейное уравнение относительно
.
2) Решить уравнение
Подставляя вместо
, 
их выражения через
, получаем:
,
2
Использование тригонометрических формул сложения и следствий из них.
Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы сложения.
1) Решить уравнение
.
Сложим два крайних слагаемых:
, откуда
,
. Тогда
, 
.
2) Решить уравнение
.
Преобразуем произведение синусов в сумму:
,
откуда
. Полученное уравнение можно решить разными способами: 1) воспользоваться формулами сложения; 2) преобразовать 
в произведение. Удобнее воспользоваться условием равенства косинусов двух углов 
и
:
.
Получаем два уравнения:
.
Здесь решения второй серии содержат в себе все решения первой серии. Учитывая это, ответ можно записать короче:
.
Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решить, выполнив деление на старшую степень синуса (или косинуса).
Так как
, то постоянные слагаемые можно считать членами второй степени.
Пример: 
.
Заменяя 4 на 
,получаем:
Переход к половинному углу
Рассмотрим этот метод на примере:
Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
t g ² ( x / 2 ) – 3 t g ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
Введение вспомогательного угла
Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos 
и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
Пример. Решить уравнение: 
Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований.
Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию.
Пример. Решите уравнение 
Решение. Раскроем скобк и и преобразуем произведение
в сумму:
Умножим обе части уравнения на
. Заметим, что 
, 
не является решением данного уравнения. 
. Преобразуем левую часть уравнения:
; 
или 
тогда
или
, т.е. 
Исключим из найденных серий корни вида , :
а)
. Ясно, что
— четное число, т.е. 
, а потому 
.
б)
. Tax как 
, то 
,но тогда 
,
.
Ответ:
Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции.
Пример. Решите уравнение
.
Решение. Область определения уравнения задается неравенствами:
При6авим к обеим частям уравнения по единице. 
;
Разделим обе части уравнения на 
и после преобразований получим.
Тогда 
или 
.
Из первой серии корней области определения принадлежит только 
,
но это серия корней содержится в серии. Нетрудно убедиться, что входит в область определения. Например:
что верно, поскольку левая часть — число четное, а правая — нечетное.
Ответ:
.
Тождественные преобразования одной из частей уравнения.
Пример. Решите уравнение 
.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
Откуда 
, тогда 
или 
Легко видеть, что 
Ответ: 
Использование свойств пропорции.
Необходимо помнить, что применение равенств
и т. д. приводит к изменению области определения уравнения. Так, у пропорции
существует ограничение: 
, а у пропорции 
место другое ограничение:
.
Пример. Решите уравнение 
Решение. Применяя формулу тангенса разности, получим уравнение: 
. Используем свойство пропорции: 
; 
Область определения исходного уравнения:
В ходе решения произошло сужение области определения, добавились новые, ограничения: 
откуда 
Проверим, удовлетворяют ли исходному уравнению значения
а) 
-верное равенство,
— решение исходного уравнения.
б) 
верное равенство.
в)
-1 
-1 — верное равенство, Ответ:
Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений.
При решении некоторых тригонометрических уравнений бывает удобно использовать ограниченность функций, и
. Покажем это на конкретных примерах.
Пример 1. Решите уравнение 
.
Решение. Так как 
, то 
,
, откуда 
и возможные корни данного уравнения 
Подставив эти значения в левую часть уравнения, получим
а последнее равенство возможно только при 
.
Следовательно, 
— решение данного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Решите уравнение 
.
Решение. Легко видеть, что 
и 
. Следовательно, 
, но тогда 
, 
, откуда 
, 
— возможные корни данного
уравнения. Подстановка в данное уравнение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.
Ответ:
.
Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени
При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные.
Ответ: 
Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:
Ответ: 
Уравнения повышенной сложности
2sin 3 x +2sin 2 x cos x – sin x cos 2 x – cos 3 x = 0 | : cos 3 x ≠ 0;
т.к. уравнение однородное тригонометрическое 3-ей степени
2 tg 3 x + 2 tg 2 x – tgx – 1 = 0;
Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены, получим
(tg x + 1)(2tg 2 x – 1) = 0;
tgx = -1 х = — 
+ 
n , n ͼ Z
tgx= 
; х = arctg + k, k ͼ Z.
Ответ : — + n , n ͼ Z ; 
arctg + k, k ͼ Z.
( Сканави М.И. 8.081)
6sin 2 x + sin x cos x – cos 2 x = 2;
4sin 2 x + sin x cos x – 3 cos 2 x = 0; | : cos 2 x ≠ 0;
т. к. уравнение однородное тригонометрическое 2-ой степени
4tg 2 x + tg x – 3 = 0;
tgx = -1, х = — + n , n ͼ Z
tgx= 
; х = arctg + k, k ͼ Z.
Ответ : — + n , n ͼ Z;
arctg + k, k ͼ Z.
( Сканави М.И. 8.076)
sin x – sin 2 x + sin 5 x + sin 8 x = 0;
сгруппировав первое с третьим, второе с четвертым слагаемые левой части и применив формулы суммы и разности синусов, получим
2sin 3x cos 2x + 2sin 3x cos 5x = 0;
вынесем в левой части общий множитель за скобки и применим формулу суммы косинусов
2sin 3x ∙ 2 cos 
cos 
= 0;
sin 3x = 0, x = 
, n ͼ Z
cos = 0, x = 
+ 
, k ͼ Z
cos = 0; x = 
+ 
, m ͼ Z.
П
роизведем отбор корней, воспользовавшись тригонометрической окружностью
Ответ: , n ͼ Z ;
+ , k ͼ Z \ < 7 m +3| m ͼ Z >.
( Сканави М.И. 8.076)
= 2;
воспользуемся формулой косинуса двойного угла
= 2;
s
in 
= 1,
sin ≠ 0;
sin = 1;
х= + 4 
, k ͼ Z .
Ответ: 
+ 4 , k ͼ Z .
(Сканави М.И. 8.120)
+ 
— 
— 
=0
;понизим степень, воспользовавшись формулами косинуса двойного угла
1 +cos x +1 + cos 3x -1 +cos 4x -1 +cos 8x =0;
сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулой суммы косинусов
2cos 2x cos x + 2cos 2x cos 6x =0;
2cos 2x 2cos 3,5x cos 2,5x=0;
произведение всюду определенных множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю
cos 2x=0 2x= 
+ 
, n ͼ Z
cos 3,5x=0 3,5x= + 
, m ͼ Z
cos 2,5x=0; 2,5x= + , k ͼ Z;
x
= + 
, n ͼ Z
x= + 
, m ͼ Z
x= 
+ 
, k ͼ Z .
Ответ: 
+ , n ͼ Z ;
+ , m ͼ Z ;
+ , k ͼ Z .
Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.
В данной работе рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.
Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов.
Приведенные методы не исчерпывают все многообразие способов решений тригонометрических уравнений. Однако рассмотренные типы уравнений встречаются наиболее часто и важно уметь распознавать в данном уравнении тот или иной тип.
Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.
Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. – 1995. — №2. –с. 40 – 42.
Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М., «Наука», 1982 г.
Г. И. Глейзер История математики в школе. – М.: «Просвещение» 1983г.
Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. «12 уроков по тригонометрии» — М.: Илекса, 2013.- 200 с.:ил.
Крамор В.С. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1979.
Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения», Армавир, 2005г.
Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. — М.: Новая школа, 1993.
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/osnovnye-metody-resheniya-trigonometricheskih-uravnenij/
http://infourok.ru/proekt_metody_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy-574453.htm