Метод последовательных приближений для алгебраических уравнений

Метод итераций решения системы уравнений. Пример решения

Решение получаем с помощью калькулятора Решение СЛАУ методом итераций .

Достаточное условие сходимости метода простых итераций

Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.
Пусть дана система Ax = b. Преобразуем ее к виду: x= Qx + c
где Q = E — D•A, c = D•b
Здесь D — некоторая матрица. Нам необходимо подобрать такую матрицу D, чтобы выполнялось условие |Q| 0 =β, тогда:
x 1 =b — a x 0
x 2 =b — a x 1
.
x k+1 =b — a x k
Для нашей задачи достаточное условие сходимости выполняется.

Приведем к виду:
x₁=0.5-(0.2x₂-0.1x₃)
x₂=-4.07-(0.33x₁+0.17x₃)
x₃=3-(0.0833x₁-0.25x₂)
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x₁=0.5 — 0 • 0.2 — 0 • (-0.1)=0.5
x₂=-4.07 — 0 • 0.33 — 0 • 0.17=-4.07
x₃=3 — 0 • 0.0833 — 0 • (-0.25)=3
N=2
x₁=0.5 — (-4.07) • 0.2 — 3 • (-0.1)=1.61
x₂=-4.07 — 0.5 • 0.33 — 3 • 0.17=-4.74
x₃=3 — 0.5 • 0.0833 — (-4.07) • (-0.25)=1.94
N=3
x₁=0.5 — (-4.74) • 0.2 — 1.94 • (-0.1)=1.64
x₂=-4.07 — 1.61 • 0.33 — 1.94 • 0.17=-4.93
x₃=3 — 1.61 • 0.0833 — (-4.74) • (-0.25)=1.68
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x₁=1.64, x₂=-4.89, x₃=1.64

Пример №2 . Решить систему уравнений Ax = b с точностью 0.05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя. Указание. Для обеспечения выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.

Метод итераций (метод последовательных приближений)

Отыскание корней функциональных уравнений методом итераций (последовательных приближений).

Метод итераций (метод последовательных приближений) применяется для отыскания корней функциональных уравнений вида

Собственно, сам метод применяется очень просто — выбирается некоторое начальное приближение и строится итерационная последовательность вида

При определенных условиях эта итерационная последовательность сходится к корню уравнения и поэтому ее элементы могут быть взяты за приближенные значения этого корня. Если операция, задаваемая функцией F, удовлетворяет этим условия, то эта операция называется сжатием. Теорию могу порекомендовать посмотреть здесь

Калькулятор ниже просто выполняет итеративное вычисление x по заданной формуле и останавливается, когда достигнута необходимая точность, то есть значения, полученные двумя последовательными итерациями, отличаются на величину, меньшую заданной.

Кстати сказать, в качестве примера взята функция
,
которая на самом деле является итерационной функцией для вычисления квадратного корня числа а, первым алгоритмом для приближенного вычисления квадратного корня, известным из истории. Его еще называют «вавилонским методом», так как его применяли еще в древнем Вавилоне, или «методом Герона», так как греческий математик Герон был первым, кто явно описал этот способ.

Метод последовательных приближений решения дифференциального уравнения

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений , который состоит в следующем.

Строим последовательность функций, определяемых рекуррентными соотношениями

В качестве нулевого приближения можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки , в частности — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале , где

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения n-м приближением , даётся неравенством

где . Применяя метод последовательных приближений, следует остановиться на таком , для которого не превосходит допустимой погрешности.

Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Очевидно, что для данного уравнения на всей плоскости выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Строим последовательность функций, определяемых соотношениями (3), приняв за нулевое приближение :

Ясно, что при . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция решает поставленную задачу Коши.

Пример 2. Методом последовательных приближений найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию в прямоугольнике

Решение. Имеем , т. е. . За берем меньшее из чисел , т. е. . Последовательные приближения согласно (4) будут сходится в интервале . Составляем их

Абсолютная погрешность третьего приближения не превосходит величины

Замечание. Функция должна удовлетворять всем условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Следующий пример показывает, что одной непрерывности функции недостаточно для сходимости последовательных приближений.

Пусть функция определена следующим образом:

На множестве , функция непрерывна и ограничена постоянной . Для начальной точки последовательные приближения при имеют вид:

Поэтому последовательность для каждого не имеет, предела, т. е. последовательные приближения не сходятся. Заметим также, что ни одна из сходящихся подпоследовательностей и не сходится к решению, поскольку

Если же последовательные приближения сходятся, то полученное решение может оказаться неединственным , как показывает следующий пример: .

Возьмем начальное условие ; тогда

Беря в качестве нулевого приближения функцию , будем иметь

так что все последовательные приближения равны нулю и поэтому они сходятся к функции, тождественно равной нулю. С другой стороны, функция представляет собой также решение этой задачи, существующее на полупрямой .