Метод рационализации для уравнений логарифмических

40. Алгебра Читать 0 мин.

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $\log_(x+2) 0 \\ x^2 > 0 \\ x^2 \neq 1 \end \leftrightarrow \qquad \begin x > -2 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end $

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

$ \begin 12x^2-41x+35 > 0, \\ 2x^2-5x+3 > 0, \\ 12x^2-41x+35 \neq 1, \\ 2x^2-5x+3 \neq 1, \\ 3 — x > 0 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ 12x^2 — 41x + 35 \neq 0, \\ 2x^2 — 5x + 2 \neq 0, \\ -x > -3 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ (x — \displaystyle\frac<17><12>)(x — 2) \neq 0, \\ (x — 2)(x — \displaystyle\frac<1><2>) \neq 0, \\ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \\ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \\ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \\ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \\ -13x(2x-13)(x — \displaystyle\frac<70><13>) > 0, \\ 2x(x — \displaystyle\frac<13><2>)(x — \frac<70><13>) 0, x \neq 1$

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения ( x − 3) 2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения и не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-1)(x-3)%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3Cx-1%3E%3Cx-3%3E%3E0″ /> равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства log_<2>5″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex%3Elog_%3C2%3E5″ /> и 5″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;5″ /> также равносильны при 0″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;0″ />. Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex-log_%3C2%3E5%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x-5%3E0″ /> имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое ( f − g) ( a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), — обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1.

ОДЗ неравенства:

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель заменим на (2 − x − 1)( x + 2 − 1). Множитель вида заменим на ( x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

Решим его методом интервалов:

Ответ:

2.

Заметим, что выражение положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

Поделим обе части неравенства на 5 x > 0:

Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2 x − 1 в виде степени с основанием 3.

Неравенство примет вид:

Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h f −h g можно заменить на ( h − 1) ( f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

Оценим . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Ответ:

3.

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

0;\\ x+1\neq 0. \end\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E0;%5C%5C&space;x+1%5Cneq&space;0.&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x 2 тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще

Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log₂ x = t

Теперь обе части неравенства можно сократить на 5 t > 0.

Поскольку , выражение 2 t−1 можно записать как 3 ( t−1)·log₃2

Заметим, что log₃2 − 2 t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log₃2 − 2.
Вернемся к переменной x:

или

Ответ:

4. Еще одна задача из той же серии.

Запишем ОДЗ:

Умножим обе части неравенства на 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log%5E%3C2%3E_%3C2%3E32x%3E0″ />. Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части.

Поделим обе части неравенства на 0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2%5E%3Clog_%3C2%3E(4x)%3E%3E0.» />

Хорошо бы сделать замену. Пусть log₂(4 x) = t. Тогда:

Неравенство примет вид:

Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2:

Применим метод рационализации.

Оценим

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.
Напомним, что множитель log _h f можно заменить на ( h-1)( f-1), а множитель (log _h f — 1) — на ( h — 1)( f — h).

Поскольку 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x+5)%5E%3C2%3E%3E0″ /> при x ∈ ОДЗ, а 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2x%5E%3C2%3E+10x+14%3E0″ /> > 0 при всех x, получим:

Ответ: x ∈ (-5; -3]

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство:

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на

Поскольку , поделим обе части неравенства на

Применяя метод рационализации, множитель вида заменяем на

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить и ?

Что больше? Давайте представим как логарифм с основанием

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что

Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение заменим

Решить ее легко.

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства — это все числа, кроме

По методу рационализации, каждый из множителей вида заменяем на

Просто равносильные преобразования. Выражение положительно всегда — так как в уравнении дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Метод рационализации

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации — это способ решения некоторых неравенств, который позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления.

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида \[<\Large<(h(x))^\geqslant (h(x))^>>\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin\begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin 0

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[ <\large< \begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] h(x)>0 \end>>\]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы равносильно \[(a)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)\geqslant1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin h(x)\leqslant 1\\ f(x)\leqslant g(x) \end \end \end \right.\]

Совокупность равносильна \[(b)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ h(x)=1 \end\\[1ex] &\begin 0

Заметим, что решение совокупности \((a)\) плюс условие \(h(x)>0\) и решение совокупности \((b)\) полностью совпадают.

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида \[<\Large<\log_\geqslant \log_>>\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin\begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end\\[1ex] &\begin 0 0 \end \end \end \right.>>\]

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[ <\large<\begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end>>\]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы плюс условие \(h(x)\ne 1\) равносильно \[(c)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin h(x)

Совокупность равносильна (если выписать часть ОДЗ отдельно) \[(d) \quad \begin f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\[1ex] \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\ &\begin h(x)

Заметим, что решение совокупности \((c)\) плюс условия \(f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0\) и решение совокупности \((d)\) полностью совпадают.

\(\blacktriangleright\) Если \(f(x), h(x), g(x)\) — многочлены (что бывает очень часто в задачах), то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих удобство использования метода рационализации.

Пример 1. Решить неравенство \(\log_<(x^2-1)><\dfrac<2x^2+3x-5>>\leqslant 1\)

Выпишем и решим ОДЗ отдельно: \[\begin x^2-1>0\\ x^2-1\ne 1\\[1ex] \dfrac<2x^2+3x-5>>0 \end\Leftrightarrow \begin (x-1)(x+1)>0\\ x\ne \pm \sqrt 2\\[1ex] \dfrac<2(x-1)(x+2,5)>>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ x\ne \pm \sqrt 2\\ x\in (-2,5;-1)\cup(1;+\infty) \end \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x\in (-2,5;-\sqrt 2)\cup(-\sqrt 2;-1)\cup(1;\sqrt 2)\cup(\sqrt 2;+\infty)\]

Тогда на ОДЗ, учитывая, что \(1=\log_<(x^2-1)><(x^2-1)>\) , наше неравенство равносильно неравенству

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Таким образом, решением будут \(x\in (-\infty;-2]\cup[-\sqrt2;-1)\cup[1;\sqrt2]\cup[2;+\infty)\)

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим \[x\in (-2,5;-2]\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup[2;+\infty)\]

\(\blacktriangleright\) Более общий случай применения метода рационализации:
если неравенство представлено в виде \(F(x)\lor 0\) ( \(\lor\) — один из знаков \(\geqslant, \leqslant, >, ), причем функция \(F(x)\) является произведением и/или частным нескольких множителей, то на ОДЗ:

если какой-то множитель имеет вид \(h(x)^-h(x)^\) , то его можно заменить на \((h-1)(f-g)\) ;

если какой-то множитель имеет вид \(\log_f(x)-\log_g(x)\) , то его можно заменить на \((h-1)(f-g)\) .

Пример 2. Решить неравенство \((3+x-2x^2)\log_<(3x+5)>\geqslant 0\) .

Данное неравенство можно переписать в виде \((3+x-2x^2)(\log_<(3x+5)>-\log_1)\geqslant 0\) (т.к. \(\log_a1=0\) ).

Таким образом, неравенство представлено в необходимом нам виде: справа ноль, слева произведение двух скобок, причем одна из них — разность логарифмов с одинаковым основанием. Выпишем отдельно ОДЗ:

\(\begin x+2>0\\x+2\ne 1\\ 3x+5>0 \end \Leftrightarrow x\in \left(-\frac53;-1\right)\cup\big(-1;+\infty\big)\)

Тогда на ОДЗ можно заменить второй множитель по методу рационализации, т.е. исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству:

\((3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow (2x^2-x-3)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow\)

\( \Leftrightarrow (2x-3)(x+1)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow x\in \left[-\frac43;\frac32\right]\)

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: \(x\in \left[-\frac43;-1\right)\cup\left(-1;\frac32\right]\)

Пример 3. Решить неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\)

Данное неравенство уже представлено в нужном нам виде: справа ноль, слева произведение трех множителей. ОДЗ данного неравенства: \(x\in\mathbb\) .

Таким образом, неравенство равносильно:

\((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^<-2>)(5x^2-9x-2)\leqslant 0 \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow (3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0 \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow 2\cdot (-0,75)x(x+2)(x-2)(5x+1)\leqslant0 \Leftrightarrow x(x+2)(x-2)(5x+1)\geqslant0\) ,
т.к. мы разделили правую и левую часть на отрицательное число \(-0,75\) .

Решив данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-2\big]\cup\left[-\frac15;0\right]\cup\big[2;+\infty)\)

Заметим, что даже если в основании степени или логарифма находится конкретное число \(a\) , а не функция \(h(x)\) , то скобку \((a-1)\) опускать нельзя.

Найдем ОДЗ данного неравенства:

\(\begin x^2-1\geqslant 0\\ x+2>0\\ x^2>0 \end \Rightarrow \begin x\geqslant1 \text < или >x\leqslant -1\\ x>-2\\ x\ne 0 \end \quad \Rightarrow x\in (-2;-1]\cup [1;+\infty)\)

Решим данное неравенство на ОДЗ.

На ОДЗ \(\log_5(x+2)=\log_<25>(x+2)^2\) , следовательно, применяя метод рационализации, получим:

Заметим, что \(\sqrt\geqslant 0\) при всех \(x\) из ОДЗ, причем в точках \(x=\pm 1\) выражение \(\sqrt=0\) . Таким образом, это выражение не будет влиять на знак левой части, но точки \(x=\pm1\) будут являться решением неравенства, т.к. при этих \(x\) левая часть неравенства равна \(0\) . Следовательно, данное неравенство на ОДЗ будет равносильно:

Решим неравенство из совокупности методом интервалов:

Таким образом, решением данной совокупности будут

\(x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\cup \ <-1;1\>\Leftrightarrow x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\)

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим итоговый ответ: \(x\in \<-1\>\cup[1;2)\)