Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием
Разделы: Математика
Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.
Цели урока:
- Образовательная: актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
- Развивающая: развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
- Воспитательная: воспитание аккуратности и самоконтроля.
1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.
2. Подготовительный этап:
3. Проверка домашнего задания (№11.81*а[1])
При решении неравенства
Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:
Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.
4. Объяснение нового материала
Если посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g(x) – h(x) совпадает со знаком разности logf(x)g(x) – logf(x)h(x) в случае возрастающей функции (f(x) > 1, т.е. f(x) – 1 > 0) и противоположен знаку разности logf(x)g(x) – logf(x)h(x) в случае убывающей функции (0 4.03.2014
40. Алгебра Читать 0 мин.
40.691. Метод рационализации
Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).
Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.
Метод рационализации для логарифмических неравенств
Выравнивание $f$ | Выравнивание $g$ |
$\log_af \vee \log_ag$ | $(a — 1)(f — g)\vee 0 $ |
Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.
Пример. Решите неравенство $\log_
С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$
Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$
Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:
Выравнивание $f$ | Выравнивание $g$ |
$(\log_af — \log_ag)\cdot h \vee 0$ | $(f — g)\cdot h \vee 0 $ |
$(\log_fa \vee \log_ga)$ | $(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) \vee 0 $ |
$(\log_hf \cdot \log_pq) \vee 0$ | $(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) \vee 0 $ |
$\displaystyle\frac<\log_af - \log_ag> <\log_ap - \log_aq>\vee 0$ | $\displaystyle\frac |
$ \begin
Решение. Воспользуемся равносильным переходом:
$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \\ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \\ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \\ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \\ -13x(2x-13)(x — \displaystyle\frac<70><13>) > 0, \\ 2x(x — \displaystyle\frac<13><2>)(x — \frac<70><13>) 0, x \neq 1$
Метод рационализации. Часть 2
Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.
Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать
Давайте вспомним, как мы решали неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:
0,& &x-5>0; \end
То есть неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> и последняя совокупность – равносильны между собой.
Также, мы могли бы, имея в руках совокупность
0,& &x-5>0; \end
заменить ее неравенством 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/>, которое в два счета решается методом интервалов
Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.
Метод рационализации в логарифмических неравенствах
Можно и видео посмотреть.
Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать
Рассмотрим неравенство .
Представляем 4 в виде логарифма:
.
Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:
1,& &(x^2-4x)^2\leq(x-3)^4; \end
Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стала нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.
Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все в левую сторону):
0,& &(x^2-4x)^2-(x-3)^4\leq 0; \end
Вам это ничто не напоминает? По аналогии с “Важно!” (см. выше) мы данную совокупность систем заменим неравенством:
.
Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства .
Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства (ОДЗ для логарифмов смотрим здесь):
0,& &x-3\neq 1, & &(x^2-4x)^2>0; \end
Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:
Ответ:
Метод рационализации в показательных неравенствах
Решим неравенство .
Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства
.
Ответ: .
Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль
Работая с неравенствами типа , где функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами:
Решим неравенство
Перейдем к равносильному неравенству:
Ответ: .
Здесь предлагаю посмотреть краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.
А здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
http://reshutest.ru/theory/7?theory_id=267
http://egemaximum.ru/metod-racionalizacii-chast-1/