Метод рационализации при решении уравнений с модулями

40. Алгебра Читать 0 мин.

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$\log_af \vee \log_ag$	$(a — 1)(f — g)\vee 0 $

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $\log_(x+2) 0 \\ x^2 > 0 \\ x^2 \neq 1 \end \leftrightarrow \qquad \begin x > -2 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end $

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$(\log_af — \log_ag)\cdot h \vee 0$	$(f — g)\cdot h \vee 0 $
$(\log_fa \vee \log_ga)$	$(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) \vee 0 $
$(\log_hf \cdot \log_pq) \vee 0$	$(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) \vee 0 $
$\displaystyle\frac<\log_af - \log_ag> <\log_ap - \log_aq>\vee 0$	$\displaystyle\frac < p -q>\vee 0$

$ \begin 12x^2-41x+35 > 0, \\ 2x^2-5x+3 > 0, \\ 12x^2-41x+35 \neq 1, \\ 2x^2-5x+3 \neq 1, \\ 3 — x > 0 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ 12x^2 — 41x + 35 \neq 0, \\ 2x^2 — 5x + 2 \neq 0, \\ -x > -3 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ (x — \displaystyle\frac<17><12>)(x — 2) \neq 0, \\ (x — 2)(x — \displaystyle\frac<1><2>) \neq 0, \\ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \\ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \\ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \\ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \\ -13x(2x-13)(x — \displaystyle\frac<70><13>) > 0, \\ 2x(x — \displaystyle\frac<13><2>)(x — \frac<70><13>) 0, x \neq 1$

Метод рационализации

$\blacktriangleright$ Метод рационализации — это способ решения некоторых неравенств, который позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления.

$\blacktriangleright$ Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида \[<\Large<(h(x))^\geqslant (h(x))^>>\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin\begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin 0

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[ <\large< \begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] h(x)>0 \end>>\]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы равносильно \[(a)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)\geqslant1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin h(x)\leqslant 1\\ f(x)\leqslant g(x) \end \end \end \right.\]

Совокупность равносильна \[(b)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ h(x)=1 \end\\[1ex] &\begin 0

Заметим, что решение совокупности $(a)$ плюс условие $h(x)>0$ и решение совокупности $(b)$ полностью совпадают.

$\blacktriangleright$ Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида \[<\Large<\log_\geqslant \log_>>\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin\begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end\\[1ex] &\begin 0 0 \end \end \end \right.>>\]

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[ <\large<\begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end>>\]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы плюс условие $h(x)\ne 1$ равносильно \[(c)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin h(x)

Совокупность равносильна (если выписать часть ОДЗ отдельно) \[(d) \quad \begin f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\[1ex] \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\ &\begin h(x)

Заметим, что решение совокупности $(c)$ плюс условия $f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0$ и решение совокупности $(d)$ полностью совпадают.

$\blacktriangleright$ Если $f(x), h(x), g(x)$ — многочлены (что бывает очень часто в задачах), то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих удобство использования метода рационализации.

Пример 1. Решить неравенство $\log_<(x^2-1)><\dfrac<2x^2+3x-5>>\leqslant 1$

Выпишем и решим ОДЗ отдельно: \[\begin x^2-1>0\\ x^2-1\ne 1\\[1ex] \dfrac<2x^2+3x-5>>0 \end\Leftrightarrow \begin (x-1)(x+1)>0\\ x\ne \pm \sqrt 2\\[1ex] \dfrac<2(x-1)(x+2,5)>>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ x\ne \pm \sqrt 2\\ x\in (-2,5;-1)\cup(1;+\infty) \end \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x\in (-2,5;-\sqrt 2)\cup(-\sqrt 2;-1)\cup(1;\sqrt 2)\cup(\sqrt 2;+\infty)\]

Тогда на ОДЗ, учитывая, что $1=\log_<(x^2-1)><(x^2-1)>$ , наше неравенство равносильно неравенству

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Таким образом, решением будут $x\in (-\infty;-2]\cup[-\sqrt2;-1)\cup[1;\sqrt2]\cup[2;+\infty)$

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим \[x\in (-2,5;-2]\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup[2;+\infty)\]

$\blacktriangleright$ Более общий случай применения метода рационализации:
если неравенство представлено в виде $F(x)\lor 0$ ( $\lor$ — один из знаков $\geqslant, \leqslant, >, ), причем функция \(F(x)$ является произведением и/или частным нескольких множителей, то на ОДЗ:

если какой-то множитель имеет вид $h(x)^-h(x)^$ , то его можно заменить на $(h-1)(f-g)$ ;

если какой-то множитель имеет вид $\log_f(x)-\log_g(x)$ , то его можно заменить на $(h-1)(f-g)$ .

Пример 2. Решить неравенство $(3+x-2x^2)\log_<(3x+5)>\geqslant 0$ .

Данное неравенство можно переписать в виде $(3+x-2x^2)(\log_<(3x+5)>-\log_1)\geqslant 0$ (т.к. $\log_a1=0$ ).

Таким образом, неравенство представлено в необходимом нам виде: справа ноль, слева произведение двух скобок, причем одна из них — разность логарифмов с одинаковым основанием. Выпишем отдельно ОДЗ:

$\begin x+2>0\\x+2\ne 1\\ 3x+5>0 \end \Leftrightarrow x\in \left(-\frac53;-1\right)\cup\big(-1;+\infty\big)$

Тогда на ОДЗ можно заменить второй множитель по методу рационализации, т.е. исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству:

$(3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow (2x^2-x-3)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow$

$ \Leftrightarrow (2x-3)(x+1)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow x\in \left[-\frac43;\frac32\right]$

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: $x\in \left[-\frac43;-1\right)\cup\left(-1;\frac32\right]$

Пример 3. Решить неравенство $(3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0$

Данное неравенство уже представлено в нужном нам виде: справа ноль, слева произведение трех множителей. ОДЗ данного неравенства: $x\in\mathbb$ .

Таким образом, неравенство равносильно:

$(3^x-3^0)(0,25^x-0,25^<-2>)(5x^2-9x-2)\leqslant 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2\cdot (-0,75)x(x+2)(x-2)(5x+1)\leqslant0 \Leftrightarrow x(x+2)(x-2)(5x+1)\geqslant0$ ,
т.к. мы разделили правую и левую часть на отрицательное число $-0,75$ .

Решив данное неравенство методом интервалов, получим $x\in (-\infty;-2\big]\cup\left[-\frac15;0\right]\cup\big[2;+\infty)$

Заметим, что даже если в основании степени или логарифма находится конкретное число $a$ , а не функция $h(x)$ , то скобку $(a-1)$ опускать нельзя.

Найдем ОДЗ данного неравенства:

$\begin x^2-1\geqslant 0\\ x+2>0\\ x^2>0 \end \Rightarrow \begin x\geqslant1 \text < или >x\leqslant -1\\ x>-2\\ x\ne 0 \end \quad \Rightarrow x\in (-2;-1]\cup [1;+\infty)$

Решим данное неравенство на ОДЗ.

На ОДЗ $\log_5(x+2)=\log_<25>(x+2)^2$ , следовательно, применяя метод рационализации, получим:

Заметим, что $\sqrt\geqslant 0$ при всех $x$ из ОДЗ, причем в точках $x=\pm 1$ выражение $\sqrt=0$ . Таким образом, это выражение не будет влиять на знак левой части, но точки $x=\pm1$ будут являться решением неравенства, т.к. при этих $x$ левая часть неравенства равна $0$ . Следовательно, данное неравенство на ОДЗ будет равносильно:

Решим неравенство из совокупности методом интервалов:

Таким образом, решением данной совокупности будут

$x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\cup \ <-1;1\>\Leftrightarrow x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)$

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим итоговый ответ: $x\in \<-1\>\cup[1;2)$

Метод рационализации. Часть 2

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать

Давайте вспомним, как мы решали неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

0,& &x-5>0; \end &\begin x+6

То есть неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> и последняя совокупность – равносильны между собой.

Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

0,& &x-5>0; \end &\begin x+6

заменить ее неравенством 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/>, которое в два счета решается методом интервалов

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Можно и видео посмотреть.

Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать

Рассмотрим неравенство .

Представляем 4 в виде логарифма:

Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем: