Разложение квадратного трёхчлена на множители
Как разложить на множители квадратный трёхчлен
Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax 2 + bx + c .
В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:
Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.
Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.
Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:
Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:
Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:
В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:
Итак, x1 = 6 , x2 = 2 . Теперь воспользуемся формулой ax 2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). В левой части вместо выражения ax 2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x1 = 6, x2 = 2
Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:
Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.
Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2) . Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:
Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:
Итак, x1 = 4 , x2 = 3 . Приравняем квадратный трехчлен 2x 2 − 14x + 24 к выражению a(x − x1)(x − x2) , где вместо переменных a , x1 и x2 подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2
Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x 2 − 14x + 24
Как это работает
Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.
Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:
Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:
Тогда приведённый квадратный трехчлен x 2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x1 + x2 = −b . Для этого можно умножить обе его части на −1
Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:
Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x 2 + bx + c
Раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Из первых скобок вынесем общий множитель x , из вторых скобок — общий множитель −x2
Далее замечаем, что выражение ( x − x1 ) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a
Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax 2 + bx + c = 0 , то теорема Виета принимает следующий вид:
Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a
Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax 2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и
Для начала выразим b и c . В первом равенстве умножим обе части на a . Затем обе части получившегося равенства умножим на −1
Теперь из второго равенства выразим c . Для этого умножим обе его части на a
Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax 2 + bx + c . Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:
Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax1 − ax2 и ax1x2 , которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax , а из вторых — общий множитель −ax2
Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Вторые скобки содержат общий множитель a . Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:
Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x1)(x − x2) вместо переменных x1 и x2 .
Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x1 и x2 . Например, квадратный трёхчлен x 2 + 4x + 4 имеет только один корень −2
Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x1 и x2 . А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:
Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:
При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2) 2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)
Примеры разложений
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x 2 − 2x − 1 , а в правой части — его разложение в виде a(x − x1)(x − x2) , где вместо a , x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:
Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3
Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:
Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Пример 4. Найдите значение k , при котором разложение на множители трёхчлена 3x 2 − 8x + k содержит множитель (x − 2)
Если разложение содержит множитель (x − 2) , то один из корней квадратного трёхчлена равен 2 . Пусть корень 2 это значение переменной x1
Чтобы найти значение k , нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.
В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби
Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2
Теперь из второго равенства выразим k . Так мы найдём его значение.
Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным
Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Примеры разложения многочленов на множители
Примеры с решением квадратного уравнения
Пример 1.1
Разложить многочлен на множители:
x 4 + x 3 – 6 x 2 .
Выносим x 2 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + x – 6 = 0 :
.
Корни уравнения:
, .
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Пример 1.2
Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6 x 2 + 9 x .
Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0 :
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Пример 1.3
Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 – 2 x 4 + 10 x 3 .
Выносим x 3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 – 2 x + 10 = 0 .
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .
Разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.
Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул
Примеры с биквадратными многочленами
Пример 2.1
Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 + x 2 – 20 .
Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 ;
a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b ) .
;
.
Пример 2.2
Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 + x 4 + 1 .
Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 ;
a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b ) :
;
;
.
Пример 2.3 с возвратным многочленом
Разложить на множители возвратный многочлен:
.
Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = – 1 . Делим многочлен на x – (–1) = x + 1 . В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;
;
.
Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями
Пример 3.1
Разложить многочлен на множители:
.
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6 .
Подставляем поочередно эти значения:
(–6) 3 – 6·(–6) 2 + 11·(–6) – 6 = –504 ;
(–3) 3 – 6·(–3) 2 + 11·(–3) – 6 = –120 ;
(–2) 3 – 6·(–2) 2 + 11·(–2) – 6 = –60 ;
(–1) 3 – 6·(–1) 2 + 11·(–1) – 6 = –24 ;
1 3 – 6·1 2 + 11·1 – 6 = 0 ;
2 3 – 6·2 2 + 11·2 – 6 = 0 ;
3 3 – 6·3 2 + 11·3 – 6 = 0 ;
6 3 – 6·6 2 + 11·6 – 6 = 60 .
Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Поскольку исходный многочлен – третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.
Пример 3.2
Разложить многочлен на множители:
.
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–2, –1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(–2) 4 + 2·(–2) 3 + 3·(–2) 3 + 4·(–2) + 2 = 6 ;
(–1) 4 + 2·(–1) 3 + 3·(–1) 3 + 4·(–1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .
Итак, мы нашли один корень:
x 1 = –1 .
Делим многочлен на x – x 1 = x – (–1) = x + 1 :
Тогда,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2 .
Подставим x = –1 :
.
Итак, мы нашли еще один корень x 2 = –1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 18-06-2015
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»
http://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/ratsionalnye/razlozhenie_mnogochlenov/primery/
http://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/razlozhenie-kvadratnogo-tryohchlena-na-mnozhiteli