Метод редукции для уравнения теплопроводности

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.

Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.

Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.

Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.

Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.

В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример:

Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.

При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п\ так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .

Решение задач:

Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).

Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.

Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Существующие методы решения нестационарного уравнения теплопроводности и его выбор

При решении уравнений теплопроводности применяются методы математической физики: метод разделения переменных (метод Фурье); метод функций источников (функций Грина); метод тепловых потенциалов; метод интегральных преобразований.

Наиболее распространенным является метод Фурье. Сущность метода заключается в том, что решение отыскивается в виде частных решений, удовлетворяющих однородным граничным условиям. Частное решение представляется в виде произведений функций, одна из которых зависит от времени, другая – от пространственных координат. Недостатками этого метода являются: невозможность его непосредственного применения в случае неоднородных граничных условий, которые вначале должны быть приведены к однородным; невозможность его применения для полуограниченных и неограниченных тел; значительные трудности, связанные с решением краевых задач при граничных условиях четвертого рода; сложность решений для начальной стадии нагрева тел.

Метод функций источников позволяет решать краевые задачи при неоднородных краевых условиях как для конечных, так и для бесконечных тел. Физическая сущность метода состоит в представлении процесса распространения тепла как совокупность процессов выравнивания температур, вызываемая действием множества элементарных источников тепла, распространенных в пространстве и во времени. Наибольшее применение метод получил в теории сварочных процессов. К недостатку метода относится то, что построение функции Грина требует определенной изобретательности и трудновыполнимо.

Метод тепловых потенциалов позволяет сводить решение дифференциального уравнения параболического типа к интегральному уравнению, которое более удобно для проведения числовых расчетов. Недостаток метода — громоздкость, сложность, а также невозможность его непосредственного применения в случае неоднородных начальных условий.

Недостатки классических методов решения краевых задач, рассмотренных выше, привели к разработке новых методов — к интегральным преобразованиям. Одним из наиболее распространенных методов интегральных преобразований является метод Лапласа. Сущность этого метода состоит в том, что изучается не сама функция, а ее видоизменение (изображение). Метод позволяет легко решать задачи с простыми начальными условиями для неограниченных или полуограниченных тел. Однако при применении этого метода возникают значительные трудности при решении многомерных задач, начальные условия которых заданы в виде функции пространственных координат. Разработанные методы интегральных преобразований по пространственным координатам (синус-, косинус-преобразования Фурье) расширяет область применения данного метода. Синус-, косинус- преобразования применяются при граничных условиях первого и второго родов соответственно. Если же ядро преобразования -функция Бесселя, то получаем преобразование Ханкеля. Преобразование Ханкеля применяется для тел, имеющих осевую симметрию.

Ограниченность методов интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, а так же острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Сущность метода конечных интегральных преобразований Грина состоит в выборе ядра интегрального преобразования в соответствии с дифференциальным уравнением и граничными условиями, т.е. ядром преобразования служит функция Грина для данной задачи. После решения задачи в изображениях, обратное преобразование выполняется по соответствующим формулам обращения. Принципиальные недостатки указанных методов заключаются в трудностях, возникающих при прямых преобразованиях и обратных переходах.

Как видим, решение дифференциального уравнения с общими краевыми условиями методами математической физики сложно, а для задач циклического теплообмена наталкивается на определенные трудности.

В последнее время наиболее распространенным стал численный метод решения уравнений теплопроводности. Численный метод позволяет решать задачи с учетом физических свойств тела и выделяемого дополнительного источника тепла — теплоты трения и пластической деформации и обеспечивает более простой переход от условий задачи в виде систем уравнений к конкретным числовым ответам, минуя получение общего решения задачи. Поэтому при решении тепловой задачи процесса горячей прокатки труб этот метод является наиболее приемлемым.

Сущность этого метода заключается в том, что область задания дифференциальных уравнений заменяется некоторой дискретной областью, состоящей из множества точек (узлов), называемой сеткой, вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки. Для этого дифференциальные уравнения и краевые условия заменяются (аппроксимируются) системой алгебраических уравнений при помощи соответствующих разностных отношений, решение которых сводится к выполнению простых алгебраических операций.

Расчетные соотношения приводятся к виду, где будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени и постоянных температур рассматриваемой и соседних точек. Такие уравнения составляются для всех узловых точек рассматриваемой области, включая и граничные. В результате получаем замкнутую систему алгебраических уравнений.

Ввиду однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возможность для использования современной вычислительной техники.

Чаще всего, в современных расчетах, используются такие численные методы как: метод конечных разностей, метод конечных элементов, а так же метод граничных элементов. Наиболее простым из них является метод конечных разностей, но в то же время область его применения ограничена формой рассматриваемого образца. Достаточную точность можно получить только на фигурах простой формы или фигурах которые могут быть на них разложены. Метод конечных элементов — это уже более высокая ступень численных методов. Его применение не ограничено ни формой ни условиями контакта или взаимодействия. Единственными его недостатками являются относительная сложность и трудоемкость расчетов, но современные программные средства, такие как NASTRAN, ANSYS и CosmosWorks, сделали этот метод наиболее популярным и доступным в инженерных расчетах. Метод граничных элементов — это продолжение развития метода конечных элементов. Его сетка может иметь переменный шаг, что позволяет значительно повысить скорость машинных расчетов. Однако большого распространения он пока не получил.

Учитывая простую форму рассматриваемого нами объекта — длинной оправки в виде цилиндра, наиболее подходящим для численного решения уравнения теплопроводности является метод конечных разностей.

На основании проведенного обзора литературы можно сделать вывод о том, что при организации нового производства и реконструкции действующего приоритетным представляется применение агрегатов с раскатным станом, раскатка гильз на котором осуществляется на укороченной цилиндрической оправке. В связи с этим, исследование и совершенствование режимов работы технологического инструмента раскатных трубных станов является актуальной задачей, решению которой посвящена настоящая работа.