Метод релаксации решения уравнения пуассона

Численные методы решения уравнений эллиптического типа

Введение

Наиболее распространённым уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона.
К решению этого уравнения сводятся многие задачи математической физики, например задачи о стационарном распределении температуры в твердом теле, задачи диффузии, задачи о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов и многие другие.

Для решения эллиптических уравнений в случае нескольких измерений используют численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера [1]

Цель публикации получить решение уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле и Неймана, исследовать сходимость релаксационного метода решения на примерах.

Уравнение Пуассона относится к уравнениям эллиптического типа и в одномерном случае имеет вид [1]:

(1)

где x – координата; u(x) – искомая функция; A(x), f(x) – некоторые непрерывные функции координаты.

Решим одномерное уравнение Пуассона для случая А = 1, которое при этом принимает вид:

(2)

Зададим на отрезке [xmin, xmax] равномерную координатную сетку с шагом ∆х:

(3)

Граничные условия первого рода (условия Дирихле) для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде:

(4)

где х1, xn – координаты граничных точек области [xmin, xmax]; g1, g2 – некоторые
константы.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде:

(5)

Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной координатной сетке (3) с использованием метода конечных разностей, получим:

(6)

где u1, un – значения функции u(x) в точках x1, xn соответственно.

Проводя дискретизацию граничных условий Неймана на сетке (3), получим:

(7)

Проводя дискретизацию уравнения (2) для внутренних точек сетки, получим:

(8)

где ui, fi – значения функций u(x), f(x) в точке сетки с координатой xi.

Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерностью n, содержащую n – 2 уравнения вида (8) для внутренних точек области и уравнения (6) и (7) для двух граничных точек [1].

Ниже приведен листинг на Python численного решения уравнения (2) с граничными условиями (4) – (5) на координатной сетке (3).

Разработанная мною на Python программа удобна для анализа граничных условий.Приведенный алгоритм решения на Python использует функцию Numpy — u=linalg.solve(a,b.T).T для решения системы алгебраических уравнений, что повышает быстродействие при квадратной матрице . Однако при росте числа измерений необходимо переходить к использованию трех диагональной матрицы решение для которой усложняется даже для очень простой задачи, вот нашёл на форуме такой пример:

Программа численного решения на равномерной по каждому направлению сетки задачи Дирихле для уравнения конвекции-диффузии

(9)

Используем аппроксимации центральными разностями для конвективного слагаемого и итерационный метод релаксации.для зависимость скорости сходимости от параметра релаксации при численном решении задачи с /(х) = 1 и 6(х) = 0,10. В сеточной задаче:

(10)

Представим матрицу А в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольных матриц:

(10)

Метод релаксации соответствует использованию итерационного метода:

(11)

При \ говорят о верхней релаксации, при — о нижней релаксации.

На графике показана зависимость числа итераций от параметра релаксации для уравнения Пуассона (b(х) = 0) и уравнения конвекции-диффузии (b(х) = 10). Для сеточного уравнения Пуассона оптимальное значении параметра релаксации находится аналитически, а итерационный метод сходиться при .

Приведено решение эллиптической задачи на Python с гибкой системой установки граничных условий
Показано что метод релаксации имеет оптимальный диапазон () параметра релаксации.

Ссылки:

Рындин Е.А. Методы решения задач математической физики. – Таганрог:
Изд-во ТРТУ, 2003. – 120 с.
Вабищевич П.Н.Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.

Решение уравнений Лапласа и Пуассона

Для решения уравнений Пуассона и Лапласа (частный случай, когда ) – уравнений эллиптического типа – предназначена функция relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac), реализующая метод релаксации. Фактически, эту функцию можно использовать для решения эллиптического уравнения общего вида

которое может быть сведено к уравнению в конечных разностях

В частности, для уравнения Пуассона коэффициенты .

Идея метода релаксации заключается в следующем. Если нет источников (уравнение Лапласа), то значение функции в данном узле на текущем шаге определяется как среднее значение функции в ближайших узлах на предыдущем шаге k

При наличии источников разностная схема имеет вид

Метод релаксации сходится достаточно медленно, так как фактически он использует разностную схему с максимально возможным для двумерного случая шагом .

В методе релаксации необходимо задать начальное приближение, то есть значения функции во всех узлах области, а так же граничные условия.

Функция relax возвращает квадратную матрицу, в которой:

1) расположение элемента в матрице соответствует его положению внутри квадратной области,

2) это значение приближает решение в этой точке.

Эта функция использует метод релаксации для приближения к решению.

Вы должны использовать функцию relax, если Вы знаете значения искомой функции u(x, y) на всех четырех сторонах квадратной области.

a, b, c, d, e – квадратные матрицы одного и того же размера, содержащие коэффициенты дифференциального уравнения.

f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке внутри квадрата

u – квадратная матрица, содержащая граничные значения функции на краях области, а также начальное приближение решения во внутренних точках области.

rjac – Параметр, управляющий сходимостью процесса релаксации. Он может быть в диапазоне от 0 до 1, но оптимальное значение зависит от деталей задачи.

Задаем правую часть уравнения Пуассона – два точечных источника

Задаем значения параметров функции relax

Задаем граничные условия и начальное приближение – нули во всех внутренних точках области

Находим решение

и представляем его графически в виде поверхности и линий уровней.

Если граничные условия равны нулю на всех четырех сторонах квадрата, можно использовать функцию multigrid.

Алгоритм метода достаточно громоздкий, поэтому рассматривать его мы не будем.

Метод релаксации решения уравнения пуассона

Глава 5. Решение дифференциальных уравнений

5.9 Решение эллиптических уравнений (Лапласа и Пуассона)

С помощью двух встроенных функций, multigrid и relax , можно решить простейшие случаи уравнения Пуассона. Это уравнение очень часто используется в технике, например, для описания полей напряжений и деформаций в плоской задаче теории упругости, в задачах теплопроводности, гидроаэродинамики, электростатики. В MathCAD для численного решения уравнения Пуассона используется метод конечных разностей.

Уравнение Пуассона имеет вид

Если правая часть уравнения равна нулю, такое уравнение называется уравнением Лапласа

На квадратной области уравнение Пуассона представляется в виде

Численное решение ищется в MathCAD только на квадратной области, состоящей из ( n +1) ( n +1) точек. Поэтому граничные условия должны быть определены пользователем для всех четырех сторон квадрата. Самый простой ( и наиболее часто используемый) вариант – это нулевые граничные условия (уравнение Лапласа). В таком случае можно использовать функцию multigrid .

Обращение к функции:

Multigrid ( M , n cycle ),

где M – квадратная матрица размером 1 2 n , которая содержит значения правой части уравнения Пуассона в соответствующей точке квадратной области; n cycle – число циклов на каждом уровне итерации функции multigrid . Значение n cycle =2 обычно дает хорошую аппроксимацию решения.

Пример использования функции multigrid приведен на рис. 5.21.

Обнуление предыдущих значений М

Обнуление матрицы правых частей уравнения

Три точечных источника

Значения правой части уравнения Пуассона

Рис. 5. 21 Решения уравнения Лапласа с помощью функции multigrid

Если граничные условия по сторонам квадрата ненулевые, необходимо использовать функцию relax .

Обращение к функции:

relax(a, b, c, d, f, u, rjac),

где a , b , c , d , e – квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты аппроксимирующего уравнения; f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке области, где ищется решение; u – квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе квадратной области и начальное приближение для решения внутри области; rjac – спектральный радиус итераций Якоби. Это число между 0 и 1, которое управляет сходимостью процесса релаксации.

Использование этой функции требует глубокого знания метода конечных разностей для составления указанных матриц. Пример использования функции relax приведен на рис. 5.22 и 5.23.

Определим размеры сетки