Метод решения системы уравнений метод замены

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm \)

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& \end\right. \)
Замена переменных: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(a^2-2b)b=10>& \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <9b-2b^2=10>& \end\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. \)

Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Метод замены неизвестных при решении систем
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Даная презентация может быть использована на уроках в 11 классе с профильным изучением математики

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

В каждой науке столько истины, сколько математики ЧИСЛА ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ИЗУЧАЕТ МАТЕМАТИКА. ПОТРУДНЕЕ БИОЛОГИИ, НО ПОЛЕГЧЕ, ЧЕМ ГРАММАТИКА. И ХИТРИТЬ НАМ С НЕЙ БЕССМЫСЛЕННО, И РУГАТЬ ЕЕ БЕСПОЧВЕННО. КОРОЛЕВА-МАТЕМАТИКА ПОМОГАЕТ В ЖИЗНИ ОЧЕНЬ НАМ …

Что называют решением системы уравнений? Является ли пара чисел (1;2) решением системы x-y = -1 x 2 – xy +1 ? Равносильны ли системы 2x+3y = 1 2x+3y = 1 x-4y = 5 и x = 4y + 5 ? Решить систему уравнений: 1. х = y + 2 2 x +3 y = 1 (1,4 ; — 0,6) 2. (2; 6)

Какие преобразования уравнений системы приводят к системе- следствию? 1.Приведение подобных 2.Возведение в чётную степень 3.Освобождение от знаменателей. 4. Потенцирование 5. Применение формул. Обязательна ли проверка всех решений данной системы, полученных при решении системы-следствия?

Решить систему уравнений 1.

Системы уравнений с несколькими неизвестными Метод замены неизвестных

Цели: 1.Научиться: а) решать системы уравнений методом замены неизвестных; б) по записи системы определять наиболее удобный метод решения системы. 2.Совершенствовать культуру письменной и устной математической речи.

Метод замены неизвестных

Решить систему уравнений 1. 2. 3 пусть u = v =

Реши систему уравнений: 1. (2х-5) 2 + (3у-2) 2 = 17 (2х-5 )(3у-2) = 4 2. х 2 +3ху+у 2 = 61 ху = 12

Проверь себя 1. (3; 2), (4,5; 1), (2; -2/3), (0,5; 1/3) 2. (3; 4),(4; 3),(-3; -4),(-4; -3)

Итог урока Каким методом удобнее решить следующие системы:

Домашнее задание П. 14.3 № 14.27(б) № 14.28(б ) № 14.29(б )

Спасибо всем за работу

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект ««Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Обобщающий урок по теме:«Решение систем линейных уравнений с двумя переменными» Цели урока:- обучающие: обобщение и закрепление изученных.

Решение систем уравнений методом замены. (10 класс)

Урок — усвоение новых знаний, цель которого, введение метода замены для решения систем уравнений.

Тема 19. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Введение вспомогательного аргумента. Методы замены неизвестного. Способ преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом

Демонстрационный материал к уроку по алгебре «Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом».

Способы решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

Знакомство со способами решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

Презентации по теме «Системы двух линейных уравнений», «Метод подстановки для решения систем уравнений», «Метод сложения для решения систем уравнений» .

Презентации проедполагает использование при проведении онлайн урока по теме «Системы двух линейных уравнений», «Метод подстановки для решения систем уравнений», «Метод сложени.

Учебно-тренировочные материалы по теме: «Метод замены множителей при решении неравенств».

Материал для последовательного изучения метода рационализации неравенств в 7 — 11 классах.