Метод решения задачи с помощью составления уравнения называется

Урок математики «Алгебраический и арифметический способы решения задач»

Цели:

• познакомить с разными способами решения задач;
• дать представления об алгебраическом способе решения,
• научить детей выбирать разные способы решения, составлять обратные задачи.

Задачи:

• развивать логическое мышление,
• развитие мыслительных операций, таких как анализ, синтез.

Ход урока

1. Разминка

(Учащиеся стоят у своих мест, учитель задаёт вопрос, если ученик ответил верно, то присаживается).

• Что такое уравнение?
• Что значит найти корень уравнения
• Как найти неизвестный множитель? Делитель? Уменьшаемое?
• Продолжи определения: Скорость – это.
  Чтобы найти расстояние, нужно…
  Чтобы найти время, надо…

2. Проверка домашнего задания

(Дома дети в справочниках искали определения: алгебра, арифметика, геометрия).

Что изучает алгебра? арифметика? геометрия?

• Алгебра– наука, которая изучает вопросы уравнений и неравенств.
• Геометрия – одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел.
• Арифметика –наука о числах и операциях над ними.

(Эти термины понадобятся нам позднее на уроке).

3. Послушайте задачу

В каждой из четырех клеток находится 1 животное. На каждой клетке указаны надписи, но ни одна из них не соответствует действительности. Укажите, кто находится в каждой клетке. Разместите животных по их клеткам (у каждого ребёнка наборное полотно и карточки с изображением животных).

• Покажите, что у вас получилось. Как вы рассуждали? (На доске выполнить проверку).
• Каким образом вы решили эту задачу? (Рассуждая, мысля логически).
• Какая это задача? (Логическая).

Но в основном на уроках математики мы решаем задачи, в которых необходимо выполнять математические преобразования.

4. Прочитайте задачи

1. С двух верблюдов настригли 12 кг шерсти. Со второго настригли в 3 раза больше, чем с первого. Сколько килограммов шерсти настригли с каждого верблюда?
2. Леопард весит 340 кг, жираф в 3 раза тяжелее леопарда, а лев на 790 кг легче, чем жираф. На сколько килограммов леопард тяжелее льва?
3. Два жирафа бежали навстречу друг другу. Один бежал со скоростью 12 м/с, скорость другого 15 м/с. Через сколько секунд они встретятся, если расстояние между ними было 135 метров?

Сравните задачи. Что общего? В чем их отличия?

• Прочитайте задачу, которую нужно решить, составив уравнение.
• Прочитайте задачу, которую нужно решить по действиям?
• Какую задачу можно решить двумя способами?
• Сформулируйте тему нашего урока.

Разные способы решения задач

5. Решите любую задачу, составив краткую запись (в виде таблицы, чертежа)

Двое работают у доски.

Проверка

• Как решали первую задачу? (Уравнением).
• Как называется раздел математики изучающий уравнения? (Алгебра).
• Как будет называться этот способ решения? (Алгебраический).
• Какими способами решались вторая и третья задачи? (По действиям).
• Какой раздел математики изучает это? (Арифметика).
• Как будет называться этот способ решения? (Арифметический).

(Вывешиваем на доске):

6. Составить обратные задачи данным и решить их алгебраическим и арифметическим способами

7. Продуктивные задания на воспроизведение новых знаний

Задайте вопросы классу по изученной теме.

• Какой способ решения задач называется алгебраическим?
• Какой арифметическим?
• Как называется способ решения задач с помощью уравнений?

8. Домашнее задание

Составить задачу о животном, которую можно решить алгебраическим способом.

Решение задач методом составления уравнений. Методические рекомендации.

Наука и жизнь требует от школы не только сообщения определенных познавательных фактов своим воспитанникам, но и систематического ознакомления их с идеями и методами науки, передачи им интеллектуального опыта человечества. Очень важно научить обучаемых необходимым приемам рассуждений.

Просмотр содержимого документа
«Решение задач методом составления уравнений. Методические рекомендации.»

Решение задач методом составления уравнений

В методической литературе, в практике лучших учителей большое внимание уделяется воспитательной задаче обучения математике, формированию и развитию мышления обучающихся, выработке рациональных качеств мышления (порядка точности, краткости, схематичности).

Особое значение при этом приобретает выработка общих и специальных методов решения задач, формирование умений и навыков математической обработки различных фактов реальной жизни.

Наука и жизнь требует от школы не только сообщения определенных познавательных фактов своим воспитанникам, но и систематического ознакомления их с идеями и методами науки, передачи им интеллектуального опыта человечества. Очень важно научить обучаемых необходимым приемам рассуждений.

Важно не только сообщить учащимся сведения об этих приемах и методах, но и добиться того, чтобы приобретенные знания о методах обучающиеся знали и умело применяли. В современных учебниках и сборниках для учащихся недостаточно указаний, касающихся обще логических и специальных методов познания, применяемых в школе.

1.Идеи и принципы содержания и методики решения задач.

Обучение учащихся решению задач содержит в себе две важные составные части: выполнение подготовительных упражнений и решение текстовых задач.

В процессе обучения решению задач обучающиеся должны в известной мере овладевать основными идеями школьной математики, а именно:

соответствия, порядка, расположения;

доказуемости заключений относительно свойств пространственных форм и количественных соотношений в них;

применимости числа и меры к явлениям окружающегося мира.

Система работ по формированию у школьников умений и навыков выполнение подготовительных упражнений и решения задач должна строиться:

1.Гносеологический принцип познания- единство анализа и синтеза.

2. Методико-математические принципы: идейно-теоретическая направленность в обучении, особенно использование идей функциональной зависимости.

Овладение логическими и специальными методами познания, применяемыми при изучении математики в школе, особенно методами исследования различных процессов на основе учета всех возможных разновидностей данной ситуации, всех возможных соотношений между величинами, входящих в задачу.

Конструктивный подход к решению задач. Перспективный подход к решению задач, принцип обратной связи.

Повторяемость упражнений по спирали с постепенным усложнением, включением новых знаний в систему ранее приобретенных.

Самостоятельность выполнения упражнений, каждым учеником, внедрение элементов индивидуализации обучения детей в коллективе.

Самообучение и взаимное обучение в сотрудничестве.

Задачи школьной математики сводятся к небольшому числу зависимостей, которые приводят к нескольким типам уравнений.

Некоторые авторы указывают следующие виды уравнений, к которым сводится решение задач методом составления уравнений первой степени.

1-й тип задач. Задачи, приводящие к уравнениям вида f(x)= c.Например, ах+в=с.

Задачи этого типа тесно связаны с арифметическими задачами на зависимость между компонентами и результатами действий. Сюда относятся и задачи на деление с остатком.

2-й тип задач. Задачи, приводящие к уравнению вида: f(x)=g(x). Например, ах+в=сх+d.

Эти задачи алгебраического характера.

3-й тип задач. Задачи, приводящие к разностному и краткому сравнению величин путем сопоставления значений двух алгебраических выражений однородных величин. Решение таких задач приводит к уравнениям вида:

В некоторых пособиях третий тип рассматривают как варианты второго типа.

Задачи школьной математики, приводящие к квадратным уравнениям, в своей основе содержат комбинации двух линейных функций и их произведений, а также соотношения между функциями второй степени, аналогичные соотношениям, приведенным в трех типах задач для уравнений первой степени.

Функциональный подход к решению задач будет содействовать формированию у обучающихся умений и навыков в исследовании процессов реальной жизни, развитию их функционального мышления, способностей в анализе и синтезе, в индукции и дедукции. Без функционального подхода мы волей-неволей будем учить лишь решению отдельных задач, в итоге учащиеся из-за этих задач не увидят математики, ее идей и методов. Особое значение в развитии функционального мышления имеет составление таблиц, схем, графиков, диаграмм и формул.

2.Организация процесса обучения школьников при решении задач.

Рассматривая содержание и методику подготовительных упражнений, мы должны ответить на вопросы:

Какие упражнения следует выполнять?

Зачем их выполнять?

Когда их выполнять?

Как при этом будут работать дети, какие качества при этом у них будут воспитываться?

Что и зачем выполнять? Подготовительные упражнения можно разбить на две группы:

Система упражнений, не связанных с изучением текущего материала. Цель таких упражнений- систематическое повторение основных фактов и теоретических положений, уяснение логики и структуры изучаемой дисциплины.

Система упражнений, преследующих подготовку обучаемых к решению составных задач, с которыми обучающиеся ранее не встречались.

Эти два положения отвечают на первые два вопроса, что выполнять и зачем выполнять.

Важное значение для составления уравнения по условию задач имеют навыки и записи алгебраических выражений, равенств, неравенств с целью уяснений основных понятий и соотношений: равно, больше на столько-то, больше во столько-то, процент, отношение.

Для отработки этих понятий и соотношений между ними необходимы систематические упражнения в записи алгебраических выражений во всех классах основного общего образования. Существенно важно, чтобы упражнения носили не только абстрактный характер, но и характер практически реальных задач.

Полезно, чтобы каждый ученик приобрел умения и навыки записи под диктовку учителя алгебраических выражений, соответствующих сущности основных понятий, зависимостей и соотношений. Большое значение имеет запись формул, выражающих функциональную зависимость между величинами. Упражнения такого рода важны для уяснения учащимися сущности функциональной зависимости, аналитического выражения этой зависимости, развития функционального мышления.

Приведем упражнения, которые целесообразно давать систематически, повторяя их время от времени.

Скорость равномерного движения тела v, время движения t, путь s. Запишите формулы для определения s, v, t.

Цена товара К, количество m, стоимость c. Запишите формулы зависимости между c, m, К.

Производительность труда n, время работы t, объём выполненной работы А. Выразите зависимость между формулами для А, n и t.

Приняв объём работы за 1, запишите формулу зависимости между производительностью n, временем необходимым для выполнения этой работы, t и объёмом работы 1.

Мощность двигателя w, время работы t, работа А. Выразите зависимость формулами для А, w и t.

Расход горючего на 1км пути составляет n л/км, пробег машины s км, объём израсходованного горючего v л. Выразите зависимость формулами для v, s и n.

Резервуар объёмом V наполняется трубой за t ч, производительность трубы n л в час. Выразите зависимость между величинами V, n и t.

Вкладчик внес в кассу, а руб. по 3% годовых. Выразите его капитал через год формулой, обозначив этот капитал буквой А.

Вкладчик внес в банк, а руб. по р% годовых. Выразите его капитал через год обозначив этот капитал буквой К.

10.Выразите зависимость между массой m, объёмом V и плотностью d. Запишите выражения для каждой величины.

При делении 20 на 6 в частном получается 3 и в остатке 2. Свяжите все эти числа формулой. Выразите каждое число через другие.

Выразите формулой зависимость между делимым, а, делителем в, частным g и остатком r.Выразите каждое число через остальные.

Составьте эскизы известных фигур и запишите формулы для вычисления их площадей, обозначив стороны основания буквами, а и в, высоту буквой h, радиус r, площадь S с соответствующими индексами, например, площадь треугольника S3.

Запишите формулы для вычисления объёмов известных тел, составив предварительно эскизы и обозначив необходимые элементы.

Урожай с одного гектара a ц/га, площадь S га, вес урожая Р ц. Выразить зависимость между, а, S и Р формулой.

В отдельных упражнениях целесообразно указывать наименование величин.

Подготовительные упражнения полезно выполнять во всех разделах школьной математики в сочетании с изучением текущего материала.

Перед решением сложных задач полезны постепенно усложняющиеся упражнения, приводящие в конечном итоге рассматриваемому типу задач. Главным в этих упражнениях следует считать выявление закономерностей, установление функциональной зависимости, выражение этой зависимости формулой.

Рассмотрим несколько задач, при решении которых выявление закономерностей приводит к необходимому уравнению.

Задача. При выпечке ржаного хлеба припек составляет 0,3 массы взятой муки. Сколько муки нужно взять, чтобы получить 26 кг печеного хлеба?

В задаче очень важно установить функциональную зависимость между весом муки, весом печеного хлеба и припеком.

В этих целях полезно составить следующую таблицу, отражающую своеобразный эксперимент по составлению задач.

Во втором и последующих случаях результаты записываются на основании пропорциональности веса хлеба и муки.

В итоге проведенного исследования получается общая формула для решения прямой и обратной связи. Р_х=1,3*Р_{м ,} Р_м=Р_х/1,3

Она же дает возможность определить коэффициент пропорциональности и процент припека К из формулы Р_х=К* Р_х

Сам процесс решения таких задач способствует тому, чтобы учащиеся овладевали идеей функциональной зависимости между величинами, входящими в задачу, методами и техникой расчетов.

Можно высказать одно общее пожелание учителям: прежде чем приступить с учениками к решению составной задачи, целесообразно на уроке составить вместе с ними аналогичную задачу из основных простых, комбинируя и усложняя последние. Тот, кто научился хорошо строить, будет хорошо разбирать построенное без лишних потеть времени и сил.

Когда выполнять подготовительные упражнения?

Упражнения, не связанные с изучением текущего материала, направленные на усвоение основных фактов, идей и методов, целесообразно выполнять систематически с определенной повторяемостью, по спирали. Обогащая известное новыми фактами. Из опыта работы учителей установилось правило каждый вид основных упражнений повторять ежемесячно. Не следует стремится к тому, чтобы подобные упражнения выполнялись на каждом уроке, но и нецелесообразно делать чрезмерно длительные перерывы в их выполнении. В зависимости от содержания урока упражнениям отводится различное время. Если урок посвящен изучению нового материала, то повторительные упражнения можно отнести на конец урока. На уроках закрепления материала такие упражнения целесообразно давать в начале урока. В некоторых случаях подобные упражнения можно включать небольшими порциями в изложение материала урока.

Как выполнять упражнения? Как при этом будут работать дети?

Существуют различные способы и приёмы активизации выполнения упражнений каждым учеником.

Если учитель диктует условие и предлагает ученикам кратко в символической форме записать его, то при этом почти не бывает неработающих детей. Для учащихся фиксирование условия является своеобразным включением в работу. В этот период каждый из них мобилизует свои чувства и мышление на дальнейшую активную работу.

Например, учитель диктует: Найти число ,2/3 которого равны 12,6. После слов учителя «Найти число» дети пишут в своих тетрадях: х; после слов «2/3 которого» они пишут: х* 2/3; наконец, записывают: х*2/3=12,6

Таким образом, некоторая часть работы уже выполнена самостоятельно, остаётся ее продолжить. Хорошо известная истина- трудно начало дела. Когда начало положено, то дальнейшая работа уже совершается с определенным интересом. Поэтому после записи условия пример решают все обучающиеся.

Вместо диктанта полезно во многих случаях записывать условие задачи на доске в словесной форме. Учащиеся записывают его в символах в своих тетрадях и затем выполняют действия.

Во многих случаях условие может быть изображено учащимися с помощью чертежей и других иллюстраций. Например, пусть решается задача: Определить сторону квадрата, если с увеличением одной из его сторон на 2 см, а другой на 3 см. Площадь полученного прямоугольника будет на 21 см 2 больше, чем площадь квадрата. После слов «определить сторону квадрата» рисуют квадрат и пишут на его сторонах: х. После слов «с увеличением одной стороны на 2см, а другой на 3см» учащиеся чертят прямоугольник, на сторонах которого пишут «х+2 и х+3». Затем внутри фигур пишется формула для вычисления площади, и затем задача решается. Такой порядок решения задачи дает возможность учащимся ощутить и образно представить величины, входящие в задачу, и зависимость между этими величинами. После записи условия в краткой форме учащиеся выполняют задание устно, а в необходимых случаях письменно.

Таким образом, можно наметить следующую схему выполнения упражнений: Сообщение текста учителем, символическая запись учащимися условий, устное или полу письменное решение, запись ответа, проверка решения учителем, или взаимная проверка решения учащимися, или самостоятельная проверка решения.

При любом способе выполнения упражнения оно должно быть проверено самим учеником по контрольным ответам, записанным на доске, или учителем. Если упражнения даются с целью повторения и воспроизведения знаний, то полезно организовать взаимную проверку; если же учитель хочет выставить оценки за упражнения, то проверять должен сам.

Логико-психологические этапы решения задачи.

Правило решения задач.

Надежность деятельности ученика к решению задач обуславливается его умением выбора нужных операций, приводимых к получению нужного результата. Выбор операций, определяется структурой задачи, а также сформированностью приёмов умственной учебной деятельности обучающихся. Из этого вытекает необходимость расчленения задачи на составные элементы, отбор и составление этих элементов в ином плане, обеспечивающем активную работу учащимся. Из этого также вытекает необходимость разделения хода решения задачи на отдельные логико- психологические этапы, каждый из которых представляет собой определенную законченную часть решения задачи, дающую возможность осуществить операции следующего этапа.

В логико- психологическом плане такие этапы, содержащие определенные рекомендации, представляют собой программу деятельности учащихся, вызывающую соответствующие операции на уровне познавательных компетенции восприятия и мышления.

Без конкретной программы деятельности учащихся, без алгоритмов или общих указаний по поиску решения задач, по всей видимости, трудно организовать процесс обучения детей, ибо этот процесс имеет своими частями подражание и творчество.

В каждой задаче имеются явные и неявные данные и зависимости между величинами. Явные данные и зависимости психологически представляют собой сильные раздражители. Неявные данные, и особенно неявно выраженные зависимости, являются слабыми раздражителями, и поэтому дети в процессе решения задач часто не учитывают их, пропускают и как итог не справляются с решением задач.

Одна из важных задач учителя как раз и заключается в том, чтобы научить детей делать неявное явным, слабые раздражители сильными, научить детей выявлять и учитывать все данные и зависимости условия задачи.

Процессы реальной жизни характеризуются величинами, между которыми существуют определенные зависимости. Поэтому целесообразно научить детей начинать решение всякой задачи с установления процессов, описываемых в задаче, затем выявлять величины, характеризующие каждый процесс, уяснить функциональную зависимость между величинами. Все это представляет анализ задачи на функциональной основе, своеобразную теорию задачи.

Установление процессов, выявление величин и уяснение функциональной зависимости между величинами, входящими в задачу, поможет учащимся неявно выраженные данные и зависимости сделать явно выраженными, подготовить базу для решения задачи.

Выделим следующую схему и основанные на ней рекомендации.

этап. Анализ и собственная запись условия задачи. Анализ чертежа, если он необходим и построен. Сюда относятся: а) установление объекта наблюдения (исследования);

б) выделение процессов, подлежащих рассмотрению;

в) выявление величин, входящих в каждый процесс;

г) уяснение функциональной зависимости между величинами и составление формул этой зависимости;

д) схематическая запись условия задачи с обозначением неизвестных величин.

этап. Выявление оснований для составления уравнения или системы уравнений.

этап. Составление уравнения или системы уравнений.

этап. Решение уравнения или системы уравнений.

этап. Исследование корней уравнения (системы) с целью установлений решений задачи. Смысловой анализ решения задачи. Проверка расчетов и обоснований.

Анализ решения задачи. Рефлексия. Рассмотрение всех вариантов решения задачи. Выяснение возможности обобщения. Установление общих правил для решения подобных задач. Поиск более рациональных приемов решения задач.

Рассмотрим подробно каждый этап и рекомендации для учащихся при решении следующей задачи:

Автобус проходит расстояние АВ, равное 120 км, равномерно за определенное время. Через час после отправления из А, автобус был задержан у шлагбаума на 10 минут и, чтобы прибыть в пункт В по расписанию, должен был увеличить скорость на 6 км/ч. Найти первоначальную скорость.

Этап. Анализ и собственная запись условия задачи.

Математическое описание процесса заключается в установлении величин, характеризующих этот процесс, в выявлении закономерных связей между величинами, в записи формул, уравнений, или вычерчивании графиков, отражающих эти зависимости, в определении неизвестных различными способами.

Следующим шагом должно быть осознание структуры задачи, выявление неявных данных и зависимостей между величинами. Целесообразно, чтобы задача при этом была расчленена на составные части и записана каждым из учеников по-своему, но так, чтобы ничего не было упущено из ее условия.

Важно, чтобы при решении задачи явные и неявные ее данные были приведены во взаимодействие, чтобы ученики провести эксперимент с целью получения частных соотношений, на основе которых устанавливаются общие зависимости, закономерности, а затем различными способами выразить один и тот же факт.

По первому этапу целесообразно, чтобы ученикам были даны следующие рекомендации:

1) Уясните смысл текста задачи и значение каждого слова. Вспомните или прочитайте определение понятий, входящих в условие задачи.

2) Установите объект исследования (наблюдения).

3) Выявите процессы, описываемые в задаче. Заметьте сколько их, сколько раз придется вести наблюдение, сколько раз придется вести записи.

4) Укажите величины, характеризующие каждый процесс, обозначьте их и проставьте единицы измерения, уясните зависимость между величинами и запишите ее формулой. Если трудно написать формулу сразу в общем виде, запишите ее на частных примерах, а затем в общем виде.

5) Запишите условие задачи в понятной и доступной вам форме, для чего: выберите одну из неизвестных величин и обозначьте ее буквой, составьте для каждого процесса задачи алгебраические выражения. включая данные н неизвестные. Не забудьте о выбранных единицах измерения. Упростите выражения.

6) Расположите записанные алгебраические выражения в порядке, удобном для расчетов и сравнений, используйте при этом таблицу, график, рисунок или текстовое пояснение.

При решении приведенной выше задачи целесообразно составить графическую иллюстрацию условия задачи, на которую по мере анализа задачи следует нанести данные и неизвестные.

В тетрадях пишут:

s₁=x км t₂ = ч

Иллюстрация и дополнительные подрисовки (стрелки, знаки, символы и т.д.) содействуют более отчетливому представлению отношений между частями задачи, связей и нередко приводят непосредственно к желаемому результату.

Величины, характеризующие каждый вид движения (процесс): скорость v км/ч, время t ч, путь s =v t (учащимся со слабой успеваемостью целесообразно предложить записывать и производные формулы v=; t=).

Статья «Решение задач способом составления уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение задач способом составления уравнения

Современное содержание математического образования направлено главным образом на интеллектуальное развитие младших школьников, формирование культуры и самостоятельности мышления.

Данный аспект является главным в развитии личности ученика, так как мышление влияет на воспитанность человека. Достаточная подготовленность к мыслительной деятельности снимает психологические нагрузки в учении, предупреждает неуспеваемость, сохраняет здоровье.

Важнейшим фактором в развитии мыслительных операций служат педагогические системы развивающего обучения. К такой системе относится методика обучения по УДЕ.

Одна из основных целей технологии УДЕ – создание действенных и эффективных условий для развития познавательных способностей детей, их интеллекта и творческого начала, расширение математического кругозора.

В основу технологии УДЕ положен принцип: чтобы обучать ускоренно и при высоком уровне знаний, необходимо рассматривать целостные группы взаимосвязанных понятий. В триадах задач реализуется фактор дополнительности подсознательных механизмов познания.

Триада означает выполнение учеником на одном уроке:

обращение этого задания и самостоятельное обобщение решенной задачи;

составление новой задачи и её решение.

Этот приём даёт хороший эффект в обучении, так как он побуждает учащихся осмысливать и усваивать материал на основе более высокой степени обучения.

Вопрос преемственности между начальным и средним звеньями обучения очень актуален.

В среднем звене школы ученики, например, на уроках математики обучаются решению задач путём составления уравнения, и учителя сталкиваются с недопониманием учащимися этой темы. А решать задачи путём составления уравнения можно уже в начальной школе с использованием технологии УДЕ.

Сделаем срез методики обучения решению задач путём составления уравнения.

а) Выражение с окошечками: 3 + 1 = 4 + 1 = 4

б) Знакомство с понятиями «слагаемое» и «сумма»:

3 и 1 – слагаемые. Числа, которые складываются, называются слагаемыми.

4 – сумма. Число, которое получается в результате сложения, называется суммой.

в) четверка примеров:

3 + 1 = 4 4 – 1 = 3

1 + 3 = 4 4 – 3 = 1

Триада задач (на нахождение суммы и неизвестного слагаемого)