Метод характеристик при решение задачи коши для уравнений гиперболического типа
Стерлитамакский филиал Башкирский государственный университет
NovaInfo58, с. 11-15
Опубликовано 25 января 2017
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 85
CC BY-NC
Аннотация
В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.
Ключевые слова
Текст научной работы
Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению
где u=u(x,y,z,t), a — скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид
которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].
В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:
Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.
Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик
где A=0, 2B=e y , C=-1. Вычислим D=B^2-AC=\frac
. Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.
Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
- Егор Азарьев 4 лет назад Просмотров:
1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» М. Ю. ЖУКОВ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (учебное-методическое пособие) Ростов на Дону 2008
2 Жуков М. Ю. Квазилинейные гиперболические уравнения: Учебно-методическое пособие. Ростов на Дону, с. Пособие содержит теоретический и практический материал по применению метода характеристик для исследования квазилинейных гиперболических уравнений. Рассмотрены основные понятия, теория инвариантов Римана, интегральные законы сохранения, метод характеристик в случае одного уравнения и дано решение типовых примеров. Пособие содержит большое количество задач для самостоятельного решения и может быть использовано для проведения контрольных работ, зачетов, а также самостоятельной работы студентов. Предназначено для студентов естественных факультетов университета.
3 Оглавление Введение Гиперболические уравнения 5 2. Инварианты Римана Интегральные законы сохранения Метод характеристик для одного уравнения Автомодельные решения гиперболических уравнений Задача Коши для системы уравнений. Характеристики Задача о волновом фронте. Транспортное уравнение 41 Контрольные вопросы 49 3
4 Введение Теория квазилинейных гиперболических уравнений играет важную роль при описании линейных и нелинейных волн. Достаточно сказать, что именно квазилинейные гиперболические уравнения используются для математическом моделировании волновых движений жидкости, ударных волн и волн разрежения в газовой динамике, цунами, боры, перемещения ледников, лавин, селей, переноса массы электрическим полем, хроматографии, транспортных потоков и многих других физических процессов. Математические методы, используемые для решения квазилинейных гиперболических уравнений играют важную роль во многих разделах уравнений математической физики и занимают важное место в образовании студентов естественных факультетов. Цель этого пособия помочь студентам в усвоении некоторых важных разделов теории квазилинейных гиперболических уравнений таких, как инварианты Римана, интегральные законы сохранения и условия на разрывах, метод характеристик для одного уравнения. В пособии для одного уравнения рассмотрена также задача о распаде начального разрыва, описывается возникновение ударных волн, волн разрежения и их взаимодействие. Приведенные примеры и задачи позволят студентам использовать пособие не только для изучения метода, но и для самоконтроля. 4
6 Определение 1.4. Система (1.2) называется гиперболической в узком смысле в некоторой связной области D пространства переменных (x, t, u), если в каждой точке этой области выполнены условия: 1. Все собственные значения λ = λ i (x, t, u), i = 1. n матрицы A = A(x, t, u) вещественны и различны. В этом случае они могут быть упорядочены λ 1 0 некоторая константа. Запишем вектор u, матрицу A и систему в матричной форме ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u 1 u =, A =, + u 2 c 2 0 u 2 c 2 0 u 2 t x = 0. Собственные значения матрицы определяются уравнением ( ) λ 1 det A = det = λ 2 c 2 = 0. c 2 λ Тогда λ 1 = c, λ 2 = c. Таким образом, система (1.7) по определению (1.4) является гиперболической в узком смысле. Обратим внимание, что дифференцирование (1.7) дает u 1 tt u 2 xt = 0, u 2 tx c 2 u 1 xx = 0. Если функция u 2 дважды непрерывно дифференцируема, то u 2 xt = u 2 tx и для u 1 получится волновое уравнение u 1 tt c 2 u 1 xx = 0. 6
7 Пример 1.2. Уравнения одномерной изоэнтропической газовой динамики (или баротропной жидкости) записываются в виде ρ t + uρ x + ρu x = 0, ρ(u t + uu x ) = p x, p = p(ρ), (1.8) где ρ плотность, u скорость, p давление (известная функция плотности). Ведем вектор u и запишем систему в матричной форме ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ u ρ ρ u =, + = 0. u u ρ 1 p (ρ) u u t Собственные значения матрицы определяются уравнением ( ) u λ ρ det A = det = (u λ) 2 p (ρ) = 0. ρ 1 p (ρ) u λ Если p (ρ) > 0, то x λ 1 = u p (ρ), λ 2 = u + p (ρ) и система (1.8) по определению (1.4) является гиперболической в узком смысле. Например, для идеального газа p(ρ) = c 2 ρ, где c > 0 скорость распространения звука в газе, имеем λ 1 = u c, λ 2 = u + c. При p (ρ) 8 В этом случае, «матрица» A = A(x, t, u) это просто функция и «собственное значение» будет λ = A(x, t, u). Таким образом, одно квазилинейное уравнение всегда является гиперболическим в узком смысле. Пример 1.4. Перенос массы электрическим полем в многокомпонентной смеси с нелинейными свойствами описывается системой ( c i µi c i ) t + = 0, i = 1. n, s = β k c k, 1 + s > 0. (1.10) 1 + s x где c i 0 концентрации компонент смеси, µ i = const подвижности компонент смеси в электрическом поле, 1 + s проводимость смеси, β i = const коэффициенты влияния компонент на проводимость. Подчеркнем, что β i могут быть как положительными так и отрицательными, но при этом проводимость смеси 1 + s > 0. Иными словами, система (1.10) рассматривается в некоторой ограниченной области пространства переменных (x, t, c 1. c n ), определенной неравенствами c i 0, 1 + s > 0. Заменой переменных c i = β i u i система (1.10) приводится к виду ( u i µi u i ) t + = 0, i = 1. n, s = 1 + s x k=1 u k, 1 + s > 0. (1.11) k=1 Здесь знак величин u i может быть произвольный. Приведем (1.11) к форме (1.3). Очевидно, что ( µi u i ) ( µi u i ) u j = 1 + s u j 1 + s x Вычислим матрицу A ij = u j x ( µi u i j=1 1 + s где δ ij дельта символ Кронекера. ) = µ iδ ij 1 + s µ iu i (1 + s) 2, (1.12) 8
9 Уравнение (1.4) для определения левых собственных векторов l и собственных значений λ примет вид или Введем обозначения < µi δ ij 1 + s µ iu i (1 + s) 2 >l i = λl j µ j l j 1 + s µ i u i l i (1 + s) = 2 λlj. (1.13) R = (1 + s)λ, H = Тогда (1.13) записывается в форме l j = µ i u i l i 1 + s. H µ j R. (1.14) Подставив l j в H при H 0, с учетом выражения для s выводим 1 + u i µ i u i = µ i R. Преобразовав это выражение, окончательно получим уравнение для определения R = R(u) и, следовательно, λ = R/(1 + s). 1 R = u i µ i R. (1.15) В случае, когда u i > 0, µ i > 0, i = 1. n и все µ i > 0 различны, решения уравнения вещественны (см. задачу 1.1) и система (1.11) является гиперболической в узком смысле. Задача 1.1. Показать, что корни уравнения (1.15) R = R k в случае, когда u i > 0 и 0 10 Задача 1.2. Рассмотреть уравнение (1.15) при n = 2 в области (1+s) > 0. Показать следующее: 1. При µ 1 µ 2 0 на плоскости (u 1, u 2 ) имеется область, в которой система (1.11) не является гиперболической. Задача 1.3. Уравнения мелкой воды. Рассмотреть уравнения, описывающие движение слоя воды по наклонной плоскости под действием силы тяжести h t + (hv) x = 0, (hv) t + ( hv ) 2 gh2 cos α = gh sin α kv 2, x где h(x, t) толщина слоя, v(x, t) скорость течения, g = const ускорение силы тяжести, α угол наклона плоскости к горизонту, k = const коэффициент трения слоя жидкости о плоскость. Являются ли эти уравнения гиперболическими в узком смысле? Задача 1.4. Будет ли система u 1 t + M(u 1, u 2 )u 1 x = 0, u 2 t + M(u 1, u 2 )u 2 x = 0 гиперболической (гиперболической в узком смысле)? Задача 1.5. Уравнения изотахофореза. Рассмотреть уравнения (ср. с примером 1.4) ( u i µi u i ) t + s где µ i = const и µ 1 0, Доказать, что при u i > 0 эти уравнения являются гиперболическими в узком смысле. Задача 1.6. Показать, что левые собственные вектора матрицы A являются правыми собственными векторами транспонированной матрицы A T. k=1 10
11 2. Инварианты Римана Гиперболическая система уравнений (1.2) или (1.3) путем умножением на левые собственные вектора приводится к эквивалентному виду l k (u t + λ k u x ) = l k b, k = 1. n (2.1) или в покомпонентной записи < u lk i i t + λ u i >k = x lkb i i, k = 1. n. (2.2) Определение 2.1. Система (2.1) или (2.2) называется характеристической формой записи системы (1.2) или (1.3). Определение 2.2. Система квазилинейных уравнений (1.2) или (1.3) называется системой в инвариантах Римана, если ее можно представить в виде R k R k + λ k t x = g k, k = 1. n, (2.3) где λ k = λ k (x, t, R) собственные значения матрицы A системы (1.2) или (1.3), g k = g k (x, t, R), R = (R 1. R n ). Величины R k называются инвариантами Римана. Замечание 2.1. Строго говоря, систему (2.3) можно рассматривать и независимо от исходной системы уравнений (1.2) или (1.3), имея ввиду частный случай квазилинейных уравнений. Для того, чтобы системы оказались связанными между собой необходимо существование зависимостей вида u = u(x, t, R) и R = R(x, t, u). Теорема 2.1. Достаточное условие существования инвариантов Римана. Пусть существуют такие R k, что R k (x, t, u) u i = µ k l i k, i, k = 1. n, (2.4) где µ k = µ k (x, t, u) некоторые множители. Тогда система уравнений (1.2) или (1.3) приводится к виду (2.3). 11
12 Замечание 2.2. Соотношения (2.4) представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. В случае n = 2 такая система всегда имеет решение и, следовательно, инварианты Римана существуют. Более точно, в случае n = 2 всегда можно найти множители µ 1, µ 2 (интегрирующие множители), такие, что система (2.4) разрешима. Замечание 2.3. Уравнения (2.4) определяют инварианты Римана с точностью до несущественных постоянных и с точностью до произвольных множителей. Действительно, если R k решение для множителей µ k, то величины a(r k + const) будут решениями для множителей aµ k. Пример 2.1. Пусть дана система (см. пример 1.1) u 1 t u 2 x = 0, u 2 t c 2 u 1 x = 0, (2.5) где c > 0 некоторая константа. Левые собственные вектора матрицы A A 11 = 0, A 12 = 1, A 21 = c 2, A 22 = 0 будут определяться соотношениями l 1 A 11 + l 2 A 21 = λl 1, l 1 A 12 + l 2 A 22 = λl 2. (2.6) Для λ 1 = c имеем cl 2 = l 1, l 1 = cl 2. С точностью до множителя, получим левый собственный вектор l 1 l 1 = (l 1, l 2 ) = (c, 1), λ 1 = c. Аналогично для λ 2 = c имеем cl 2 = l 1, l 1 = cl 2. С точностью до множителя, получим левый собственный вектор l 2 l 2 = (l 1, l 2 ) = ( c, 1), λ 2 = c. 12
13 Рассмотрим уравнения (2.4) R 1 u 1 = µ 1l 1 1, или, полагая µ 1 = µ 2 = 1 R 1 u 2 = µ 1l 2 1, R 2 u 1 = µ 2l 1 2, R 2 u 2 = µ 2l 2 2. (2.7) R 1 u 1 = l1 1 = c, R 1 u 2 = l2 1 = 1, R 2 u 1 = l1 2 = c, R 2 u 2 = l2 2 = 1. Легко проверить, что решением будет (с точностью до несущественных постоянных) R 1 = cu 1 + u 2, R 2 = cu 1 + u 2. (2.8) Очевидно, что u k можно выразить через инварианты Римана u 1 = R1 R 2 2c, u 2 = R1 + R 2. 2 Система (2.3), то есть система в инвариантах Римана, имеет вид R 1 t cr 1 x = 0, R 2 t + cr 2 x = 0. (2.9) Приведем также характеристическую форму записи системы (2.5). Используя выражения для собственных векторов и собственных значений, из (2.2) получим или l 1 k < u 1 t + λ k u 1 > < u + lk 2 2 x t + λ k u 2 >= 0 (2.10) x c(u 1 t cu 1 x) + (u 2 t cu 2 x) = 0, c(u 1 t + cu 1 x) + (u 2 t + cu 2 x) = 0. Заметим, что перегруппировав члены, с учетом (2.8) вновь получим (2.9) (cu 1 + u 2 ) t c(cu 1 + u 2 ) x = 0, ( cu 1 + u 2 ) t + c( cu 1 + u 2 ) x = 0. Пример 2.2. Рассмотрим уравнения из примера 1.2 при p(ρ) = c 2 ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ u ρ ρ u =, + = 0. u u c 2 ρ 1 u u t x 13
14 Собственные значения матрицы A 11 = u, A 12 = ρ, A 21 = c 2 ρ 1, A 22 = u будут (см. пример 1.2) λ 1 = u c, λ 2 = u + c. Для определения левых собственных векторов имеем (2.6) l 1 A 11 + l 2 A 21 = λl 1, l 1 A 12 + l 2 A 22 = λl 2. При λ 1 = u c получим l 1 u + l 2 c 2 ρ 1 = (u c)l 1, l 1 ρ + l 2 u = (u c)l 2. или l 2 cρ 1 = l 1, l 1 ρ = cl 2. Левый собственный вектор определяется с точностью до множителя. Полагая l 2 = k, получим l 1 = (l 1 1, l 2 1) = ( kcρ 1, k), λ 1 = u c. Чтобы записать l 2 при λ 2 соотношениях c на ( c) = u + c, достаточно заменить в полученных l 2 = (l 1 2, l 2 2) = (kcρ 1, k), λ 2 = u + c. Для нахождения инвариантов Римана имеем уравнения (2.7) или R 1 u 1 = µ 1l 1 1, R 1 ρ = µ 1( kcρ 1 ), R 1 u 2 = µ 1l 2 1, R 1 u = µ 1k, R 2 u 1 = µ 2l 1 2, R 2 ρ = µ 2kcρ 1, R 2 u 2 = µ 2l 2 2 R 2 u = µ 2k. Полагая µ 1 = k 1, µ 2 = k 1, имеем R 1 ρ = c ρ, R 1 u = 1, R 2 14 ρ = c ρ, R 2 u = 1.
15 Интегрируя, выводим выражения для инвариантов Римана R 1 = c ln ρ + u, R 2 = c ln ρ + u. Зависимость u = u(r) имеет вид ( R 2 R 1 ) ρ = exp, u = 1 2c 2 (R1 + R 2 ). Исходная система записывается в инвариантах Римана в форме (2.3) R 1 ( R 1 t + + R 2 ) R 1 c 2 x = 0, R 2 ( R 1 t + + R 2 ) R 2 + c 2 x = 0. Приведем также характеристическую форму записи (2.2) или (2.10) cρ 1 (ρ t + (u c)ρ x ) + (u t + (u c)u x ) = 0. Пример 2.3. Покажем, что уравнения (1.11) из примера 1.4 ( u i µi u i ) t + = 0, i = 1. n, s = u k, 1 + s > 0. (2.11) 1 + s приводятся к инвариантам Римана. x Рассмотрим уравнение (1.15) для определения собственных значений и запишем его в виде F (R) k=1 u i µ i R 1 R = 0. (2.12) Полагая R = R(u 1. u n ) и дифференцируя F (R) по u j, получим F (R) δ ij u j µ i R + u i R (µ i R) 2 u + 1 R j R 2 u = 0. j Для R/ u j, имеем R u j = < >u i (µ i R) R 2 µ j R. С учетом выражения (1.14) для левого собственного вектора, выводим < >R u = u i j µlj, µ = (µ i R) R 2 H. 15
16 Пусть R k корень уравнения (1.15) и λ k = R k /(1 + s) собственное значение матрицы (1.12). Тогда R k инвариантом Римана для (1.11), так как в этом случае R k u j = µlj k, µ k = < >u i (µ i R k ) (R k ) 2 H в точности совпадает с условием существования инвариантов Римана (2.4). Уравнения (2.3) в инвариантах Римана, соответствующие исходным уравнениям (2.11) имеют вид R k t + Rk R k 1 + s x = 0, k = 1. n, (2.13) Заметим, что величина s = u i, входящая в (2.13) должна быть выражена через инварианты Римана, то есть s = s(r 1. R n ). Иными словами, необходимы еще дополнительные преобразования для того, чтобы в (2.13) присутствовали лишь инварианты Римана. Умножая (2.12) на R n (µ k R), получим L(R) R k=1 u i n k=1,k i (µ k R) n (µ k R) = 0. (2.14) Понятно, что L(R) является полиномом степени n относительно переменной R. Пусть R k корни этого полинома. Тогда с точностью до множителя A полином можно представить в виде n L(R) A (R R k ). (2.15) k=1 Используя (2.14), легко записать коэффициенты полинома L(y)) при степенях y n и y 0 L(y) ( 1) n 1 y n k=1 ( u i ( 1) n y n + + = ( 1) n 1 (1 + s)y n ( ) n µ k y 0 = (2.16) k=1 ) n µ k y 0. k=1
17 Проводя аналогичные действия, из (2.15) имеем L(y) Ay n + + ( 1) n Ay 0 Сравнивая (2.16) и (2.17), выводим A = ( 1) n 1 (1 + s), (1 + s) ( 1) n A n R k = k=1 n R k. (2.17) k=1 n R k = k=1 n µ k. k=1 n µ k. (2.18) Используя (2.18), запишем уравнения (2.13) для инвариантов Римана в окончательном виде R k t + R k n R i k=1 n Rk = 0, k = 1. n. (2.19) x µ i Задача 2.1. Найти инварианты Римана для уравнений мелкой воды (см. задачу 1.3) h t + (hv) x = 0, (hv) t + ( hv ) 2 gh2 cos α = gh sin α kv 2. x Задача 2.2. Найти инварианты Римана для уравнений (см. задачу 1.4) u 1 t + M(u 1, u 2 )u 1 x = 0, u 2 t + M(u 1, u 2 )u 2 x = 0. Задача 2.3. Найти инварианты Римана для уравнений изотахофореза (см. задачу 1.5) ( u i µi u i ) t + s где µ i = const и µ 1 0, Задача 2.4. Пусть даны уравнений изотахофореза (см. задачу 1.5) ( u i µi u i ) t + = 0, i = 1. n, s = u k, s > 0. s x 17 k=1 k=1
18 Не определяя матрицу A, собственных значений и векторов, показать, что имеется инвариант Римана R = для которого выполнено уравнение u i µ i, R t = 0. Задача 2.5. Найти инварианты Римана для системы уравнений ( ) u u i i+1 t u 0 где β k некоторые константы. x n 1 = 0, i = 0. n 1, u n = β k u k, Задача 2.6. Рассматривая полиномы (2.14), (2.15) при R = µ s, показать, что u s cвязаны c инвариантами Римана (R 1. R n ) соотношениями u s = R k k=1 k=1, k s k=0 n n µ k (µ s R k ) k=1 k=1 n n, s = 1. n µ s (µ s µ k ) Заметим, что такая связь, позволяет, решив уравнения (2.19), получить решение уравнений (2.13). 18
19 3. Интегральные законы сохранения Определение 3.1. Соотношение (ψ i (x, t, u) dx ϕ i (x, t, u) dt) + σ i (x, t, u) dx dt = 0. (3.1) Γ которое должно выполняться для любого кусочно-гладкого контура Γ и ограниченной им односвязной области S, называется интегральным законом сохранения. Функции ψ i (x, t, u), ϕ i (x, t, u), σ i (x, t, u) считаются заданными. Из (3.1) при достаточной гладкости подынтегрального выражения и произвольности контура Γ следует S ψ i t(x, t, u) + ϕ i x(x, t, u) = σ i (x, t, u), i = 1. n. (3.2) Определение 3.2. Система уравнений (3.2) называется системой квазилинейных уравнений, записанных в консервативной форме. Введем обозначение ϕ i (x, t, u) u j = A ij (x, t, u), Тогда система записывается в виде (ср. с (1.3)) B ij (x, t, u) uj t + j=1 j=1 ψ i (u) u j = B ij (u). (3.3) A ij (x, t, u) uj x = σi (x, t, u), i = 1. n. (3.4) Если отказаться от требований гладкости подынтегрального выражения в (3.1) и рассматривать кусочно-разрывные функции u i, то из (3.1) следует условие на разрыве. Определение 3.3. Пусть имеется линия x = x(t) на которой функция u i (x, t) имеет разрыв первого рода, то есть u i (x(t + 0), t) u i (x(t 0), t). Вытекающие из (3.1) условия D[ψ i (u)] = [ϕ i (u)], i = 1. n, D = dx(t). (3.5) dt 19
20 называются условиями Рэнкина-Гюгонио на разрыве для системы уравнений (3.2). Здесь D называется скоростью движения линии разрыва, а символ [ ] означает величину разрыва соответствующей функции, например, для функции f(x, t) [f(x, t)] = f(x(t + 0), t) f(x(t 0), t). (3.6) Замечание 3.1. Для того, чтобы подчеркнуть на какой именно линии имеется разрыв, используется обозначение [f(x, t)] x=x(t) = f(x(t + 0), t) f(x(t 0), t). (3.7) Замечание 3.2. Уравнения (3.2) (или (3.4)) и условия на разрыве однозначно определяются интегральным законом сохранения (3.1). Если имеется квазилинейное уравнение вида (3.2), записанное в консервативной форме, и закон (3.1) неизвестен, то из вида уравнения (3.2) невозможно записать условие на разрыве для одного и того же уравнения (3.2) могут быть различные условия на разрыве. Пример 3.1. Пусть имеются два различных интегральных закона сохранения (ψ(u) dx ϕ(u) dt) = 0, ϕ(u) = 1 2 u2, ψ(u) = u. (3.8) и Γ (ψ(u) dx ψ(u) dt) = 0, ϕ(u) = 1 3 u3, ψ(u) = 1 2 u2. (3.9) Γ Из (3.8) имеем дифференциальное уравнение и условие на разрыве [ ] 1 u t + uu x = 0, D[u] = 2 u2. (3.10) Из (3.9) имеем дифференциальное уравнение и условие на разрыве [ ] [ ] 1 1 uu t + u 2 u x = 0, D 2 u2 = 3 u3. (3.11) Уравнения (3.10) и (3.11), фактически, совпадают, так как (3.11) можно сократить на u потери решения u = 0 при этом не произойдет. Условия на разрыве (3.10) и (3.11) отличаются друг от друга. 20
21 В случае (3.10) имеем В случае (3.11) имеем D = u 1 + u 2. (3.12) 2 D = 1 2 (u2 1 + u 1 u 2 + u 2 2). (3.13) Здесь u 1 = u(x(t 0), t), u 2 = u(x(t + 0), t). Таким образом, для одного и того же уравнения могут быть различные условия на разрыве. Задача 3.1. Записать уравнения и условия на разрыве для интегральных законов сохранения (3.1) в следующих случаях: 1. ψ i = u i, ϕ i = µ iu i s, σi = 0, s = u k. 2. ψ i = u i, ϕ i = µ iu i 1 + s, σi = 0, s = k=1 u k. k=1 21
22 4. Метод характеристик для одного уравнения Рассмотрим задачу Коши для одного (не системы) однородного квазилинейного уравнения, записанного в консервативной форме u t + ϕ x (u) = 0, 0, (4.1) где ϕ(u), ψ(x) заданные функции. Обозначим u t=0 = ψ(x), 23 Определение 4.1. Линия Γ, на которой решение уравнения (4.4) не изменяется, называется характеристикой, а уравнения (4.8) называются уравнениями характеристики. Из первого уравнения (4.8) следует, что t = τ с точностью до несущественной постоянной. Это означает, что в качестве параметра τ можно выбрать t, за исключением случая, когда характеристика будет прямой линией, параллельной оси x. Далее рассматривается только случай τ = t. Исходное уравнение (4.4) в частных производных первого порядка при помощи (4.7), (4.8) записывается в виде двух обыкновенных дифференциальных уравнений du(t) dt = 0, dx(t) dt = v(u(t)). (4.10) Переход от (4.4) к (4.10) удобно осуществлять, формально вводя оператор дифференцирования d dt = t + v x. (4.11) Действуя этим оператором (материальной производной) на u и x, с учетом уравнения (4.4) получим (4.10) du dt = u t + v u x = 0, dx dt = x t + v x x = v. Для того, чтобы учесть начальное условие (4.5) и получить задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, потребуем выполнения для X начального условия где a некоторая константа. X(0) = a, (4.12) Уравнение dx/dt = v определяет семейство характеристик, а условие (4.12) задает характеристику, проходящую через точку a на оси x. Начальное условие (4.5) для функции u(x, t) запишем в виде Здесь учтено, что x t=0 = X(0) = a. U(0) = u(x, t) t=0 = ψ(x) t=0 = ψ(a). (4.13) 23
24 Таким образом, задача Коши (4.4), (4.5) для уравнения в частных производных первого порядка сводится к задаче Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений du dt = 0, U(0) = ψ(a), dx dt = v(u), X(0) = a. (4.14) Заметим, что удобно не вводить новые обозначения U для функции u на линии Γ и X для x на линии Γ и записывать (4.14) в виде du dt = 0, u t=0 = ψ(a), (4.15) dx dt = v(u), x t=0 = a. (4.16) Система (4.15), (4.16) легко интегрируется. Из (4.15) имеем Подставляя (4.17) в (4.16), получим u = ψ(a). (4.17) dx dt = v(ψ(a)), x t=0 = a. (4.18) Интегрирование с учетом начального условия дает уравнение характеристики в неявной форме x = tv(ψ(a)) + a. (4.19) Пусть удалось, используя (4.19), представить a как функцию x, t x = tv(ψ(a)) + a a = a(x, t). (4.20) Тогда решение задачи (4.4), (4.5) при помощи (4.17), (4.20) записывается в виде u(x, t) = ψ(a(x, t)). (4.21) Замечание 4.1. Для достаточно гладких функций v(u) и ψ(u) из уравнения (4.19) при малых t всегда можно определить a(x, t). Однако, для произвольных x, t решение (4.19) является достаточно сложной задачей, во многих случаях не имеющей решения. Именно определение зависимости a = a(x, t) представляет основную трудность при реализации метода характеристик. 24
25 Пример 4.1. Методом характеристик построить решение задачи Коши u t + u u x = 0, u t=0 = x. (4.22) Вместо того, чтобы использовать (и помнить) готовые формулы, на практике удобнее действовать следующим образом. Введем оператор дифференцирования (4.11) d dt = t + u x. Действуя оператором на u, x, получим Поставим начальные условия du dt = 0, dx dt Решая задачу Коши (4.23), (4.24), получим Тогда a = a(x, t) = = u. (4.23) x t=0 = a, u t=0 = x t=0 = a. (4.24) u = a, x = ut + a = at + a. (4.25) x x, u(x, t) = a(x, t) = 1 t t 1. (4.26) Пример 4.2. Градиентной катастрофой называется ситуация, при которой в конечный момент времени t = t 0 производная u x решения задачи (4.4), (4.5) обращается в бесконечность, то есть u x (x, t 0 ) =, но u(x, t 0 ) ограничено. Используя (4.19), (4.21) можно получить условия возникновения градиентной катастрофы. Дифференцируя (4.19) и (4.21) по x, имеем Тогда a x = u x = ψ a (a)a x, 1 = tv u (ψ(a))ψ a (a)a x + a x. (4.27) tv u (ψ(a))ψ a (a), u x = Таким образом, если система уравнений ψ a (a) 1 + tv u (ψ(a))ψ a (a). (4.28) 1 + tv u (ψ(a))ψ a (a) = 0, x = tψ(a) + a (4.29) 25
26 имеет решение, то возможно возникновение градиентной катастрофы. Конечно, на самом деле, уравнения (4.29) неявным образом определяют некоторую линию на плоскости (x, t), на которой возможно обращение в бесконечность производной u x. Замечание 4.2. Уравнения (4.29) определяют линию, на которой возможно градиентная катастрофа, лишь для задачи (4.4), (4.5). В случае, когда уравнение (4.4) будет неоднородным, необходимо, действуя по аналогии с примером 4.2, искать условия обращения u x в бесконечность. Пример 4.3. Методом характеристик можно решать и задачи с неоднородными уравнениями. Пусть дана задача Коши на бесконечной прямой u t + u u x = u, u t=0 = ψ(x), 27 Можно ли представить решение в виде (4.35), если в уравнении (4.33) функция v будет v = v(x, t, u)? Как формула (4.35) согласуется с методом характеристик? Задача 4.2. Методом характеристик построить решение задачи Коши u t + u u x = 0, u t=0 = e x2, 0, (4.37) где θ(t) известная функция, x 0 задано. Введем оператор дифференцирования (4.11) u x=0 = θ(t), t > 0, (4.38) d dt = t + u x. Действуя оператором на u, x, получим Поставим краевое условие du dt = 0, dx dt = u. (4.39) t x=x0 = T, u x=x0 = θ(t) x=x0 = θ(t ). (4.40) Здесь T некоторая константа (точка на оси t, через которую проходит характеристика). Решая задачу (4.39), (4.40) для функции u, получим Тогда для определения x имеем задачу u = θ(t ). (4.41) dx dt = θ(t ), t x=x0 = T, (4.42) 27
28 Решая (4.42), выводим x x 0 = (t T ) θ(t ). (4.43) Если из (4.43) удастся определить T = T (x, t), то решением краевой задачи (4.37), (4.38) будет u(x, t) = θ(t (x, t)). (4.44) Задача 4.4. Методом характеристик построить решение задачи Коши u t + u u x = 0, u Γ = f(x, t) Γ, 0, (4.45) где f(x, t) известная функция, а линия Γ задана при помощи известной функции g(t) Γ = <(x, t) : x = g(t)>, t > 0. (4.46) Следует ли накладывать какие-либо ограничения, помимо требований гладкости, на функцию g(t), задающую линию Γ? Задача 4.5. Рассмотреть задачу 4.5 в случае уравнения u t + v(u) u x = 0 28
29 5. Автомодельные решения гиперболических уравнений Однородная система квазилинейных уравнений u t + A(u)u x = 0 (5.1) или, записанная для компонент, u i t + A ij (u)u j x = 0, i = 1. n (5.2) j=1 допускает частные решения, зависящие от комбинации переменных x, t. Введем величину z, называемую автомодельной переменной где x 0, t 0 некоторые константы. z = x x 0 t t 0, (5.3) Будем разыскивать решение уравнений (5.2) в виде Учитывая, что имеем u i (x, t) = u i (z), i = 1. n. (5.4) z t = x x 0 (t t 0 ) 2 = z t t 0, z x = 1 t t 0, (5.5) u i t = u i zz t = zui z, t t 0 u i z = u i zz x = ui z, t t 0 Подставляя в (5.2), выводим zu i z + A ij (u)u j z = 0, i = 1. n. (5.6) j=1 Таким образом, замена (5.3) позволяет свести уравнения в частных производных первого порядка к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функций, зависящих лишь от z. 29
30 Определение 5.1. Пусть дана система уравнений Решение вида (если оно существует) u t + A(u)u x = 0. (5.7) u = u(z), z = x x 0 t t 0 (5.8) называется автомодельным решением, а переменная z автомодельной переменной. Пример 5.1. Пусть имеется одно квазилинейное уравнение u t + u u x = 0. Ищем его решение в виде (5.4). Используя (5.5), получим (5.6) zu z + u u z = 0 или ( z + u) u z = 0. Очевидно, что имеется два решения. Первое решение u = const, соответствующее случаю u z = 0, является тривиальным, а второе решение u(x, t) = z = x x 0 t t 0 как раз и есть автомодельное решение уравнения. Пример 5.2. Пусть имеется одно квазилинейное уравнение Как и в примере 5.1, получим u t + v(u) u x = 0. zu z + v(u) u z = 0. Для нахождения автомодельного решения имеем алгебраическое уравнение, которое определяет автомодельное решение u(z) неявным образом v(u(z)) = z. Заметим, что во многих случаях, для анализа поведения решения u(z) удобно строить график функции z = v(u). 30
31 Из приведенных примеров видно, что для одного квазилинейного уравнения, по крайней мере, формальное построение автомодельного решения является простой задачей. Далее, ограничиваемся рассмотрением уравнений гиперболических в узком смысле (см. определение 1.4) и в случае системы (5.6) потребуем z = λ k (u), (5.9) где λ k (u) собственное значение матрицы A(u) для какого-либо фиксированного значения k. Тогда, вектор r k (u) = C k (u)(u 1 z. u n z ) T (5.10) является правым собственным вектором матрицы A, соответствующий собственному значению λ k (u). Множитель C k (u) возникает в связи с тем, что собственные вектора определены с точностью до множителя. Если собственный вектор r k (u) известен, то (5.9) можно записать в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка du i (z) dz = C 1 k (u) ri k(u), i = 1. n. (5.11) Для определения C k (u) продифференцируем (5.9) по z λ k du i 1 = u i dz. (5.12) Используя (5.11), для определения C k (u), получим 1 = C 1 λ k k u i ri k(u). или C k = Окончательно (5.11) записывается в виде du i dz = j=1 r i k (u) λ k (u) u j λ k u i ri k(u). (5.13) r j k (u) 31, i = 1. n. (5.14)
32 Таким образом, система обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения автомодельных решений полностью определена. Замечание 5.1. Понятно, что на самом деле (5.14) в случае системы гиперболической в узком смысле определяет не одно автомодельное решение, а семейство из n автомодельных решения для различных индексов k. Определение 5.2. Решение системы (5.14) для фиксированного k называется волной разрежения индекса k (или k-ой волной разрежения). Определение 5.3. Система уравнений гиперболическая в узком смысле u t + A(u)u x = 0. (5.15) называется выпуклой по Лаксу, если для любых собственных значений λ k выполнены неравенства λ k (u) r j u j k (u) 0, k = 1. n. (5.16) j=1 Понятно, что выпуклость по Лаксу гарантирует определение ненулевого множителя C k (u) и возможность записи уравнений для нахождения автомодельных решений в виде (5.14). Пример 5.3. Найдем автомодельные решения для уравнений рассмотренных в примере 2.2 ( ) ρ u =, u ( ) ρ Собственные значения матрицы будут (см. примеры 1.2, 2.2) u t + ( ) ( ) u ρ ρ c 2 ρ 1 A 11 = u, A 12 = ρ, A 21 = c 2 ρ 1, A 22 = u u λ 1 = u c, λ 2 = u + c. Для определения правых собственных векторов имеем A 11 r 1 + A 12 r 2 = λr 1, A 21 r 1 + A 22 r 2 = λr u x = 0.
33 Уравнения линейно зависимы и достаточно рассмотреть одно из них, например, A 11 r 1 + A 12 r 2 = λr 1 или ur 1 + ρr 2 = λr 1. Подставляя собственные значения (верхний знак соответствует λ 1 ), имеем ur 1 + ρr 2 = (u c)r 1 ρr 2 = cr 1. Так как собственные вектора можно определять с точностью до множителя, то, выбирая r 2 = c, запишем r 1 = (r 1 1, r 2 1) T = ( ρ, c) T, r 2 = (r 1 2, r 2 2) T = (+ρ, c) T, Вычисляя производные λ k, получим λ 1 ρ = 0, λ 1 u = 1, λ 2 ρ = 0, λ 2 u = 1. Тогда λ 1 ρ r1 1 + λ 1 λ 2 u r2 1 = c 0, ρ r1 2 + λ 2 u r2 2 = c 0, Таким образом, система уравнений выпукла по Лаксу (см. определение 5.3). Для определения автомодельного решения (волны разрежения индекса k = 1) имеем уравнение (5.14) dρ dz = ρ c, du dz = c c = 1, λ 1 = u c = z. Аналогично, для волны разрежения индекса k = 2, получим Окончательно dρ dz = +ρ c, где A 1, A 2 некоторые константы. du dz = c c = 1, λ 2 = u + c = z. ρ = A 1 e z/c, u = z + c, λ 1 = u c, ρ = A 2 e +z/c, u = z c, λ 2 = u + c, 33
34 Пример 5.4. Пусть система гиперболических уравнений приводится к однородной системе, записанной в инвариантах Римана (см. (2.3)) R k t + λ k (R) Rk x = 0, k = 1. n, (5.17) Вводя автомодельную переменную (5.3) и производя замены аналогичные (5.5), запишем zr k z + λ k (R)R k z = 0, k = 1. n, (5.18) Для того, чтобы найти волну разрежения индекса m, потребуем λ m (R) = z. (5.19) Тогда ( λ m + λ k )R k z = 0, k = 1. n, (5.20) Если система является гиперболической в узком смысле, то все собственные значения λ различны и из (5.20) следует R k z = 0 R k = const, k m. (5.21) Инвариант Римана R m = R m (z) определяется из уравнения (5.19). Таким образом, m-ая волна разрежения определяется набором инвариантов Римана где R i = const, i m. R = (R 1. R m 1, R m (z), R m+1. R n ), (5.22) λ m (R 1. R m 1, R m (z), R m+1. R n ) = z, Пример 5.5. Рассмотрим систему (2.19) R k t + R k n R i n Rk = 0, k = 1. n. x µ i и найдем m-ую волну разрежения. 34
35 Используя результаты примера 5.4, имеем R k = const, k m. Для определения R m (z) имеем λ m = Тогда R k n R i n = z. µ i R m (z) = (β m z) 1/2, β m = n µ i n, i m R i = const. Задача 5.1. Найти автомодельное решение для уравнений (см. задачу 1.4 и 2.2) u 1 t + M(u 1, u 2 )u 1 x = 0, u 2 t + M(u 1, u 2 )u 2 x = 0. Задача 5.2. Найти автомодельное решение для уравнений изотахофореза (см. задачу 1.5 и 2.3) ( u i µi u i ) t + s x = 0, i = 1. n, s = u k, s > 0, где µ i = const и µ 1 0 некоторая константа, не имеет автомодельных решений. Задача 5.4. Дано уравнение u t + A(x, t, u)u x = b(x, t, u). Как функции A(x, t, u) и b(x, t, u) должны зависеть от переменных x, t для того, чтобы было возможно построить автомодельное решение? Тривиальный случай A(x, t, u) = A(u), b(x, t, u) = 0 не рассматривать. 35 k=1
36 Задача 5.5. Какой вид имеет условие выпуклости (см. определение 5.3 и формулу (5.16)) в случае одного квазилинейного уравнения? Что означает нарушение условия выпуклости (5.16) для одного квазилинейного уравнения? Будет ли уравнение ( ) u u t + = u 2 выпуклым по Лаксу? Можно ли для указанного уравнения построить автомодельное решение? x 36
37 6. Задача Коши для системы уравнений. Характеристики Рассмотрим постановку задачи Коши для системы гиперболических уравнений u t + A(x, t, u)u x = b(x, t, u) (6.1) Запишем эту систему в характеристической форме (2.1) l k (u t + λ k u x ) = l k b, k = 1. n (6.2) или в покомпонентной записи < u lk i i t + λ u i >k = x lkb i i, k = 1. n. (6.3) Рассмотрим окрестность некоторой линии Γ, задаваемой уравнениями x = x(τ), t = t(τ), x τ (τ) + t τ (τ) = 0, (6.4) Γ = <(x, t) : x = x(τ), t = t(τ), τ 1 τ τ 2 >. (6.5) Зададим на Γ функцию u(x, t) где ϕ(τ) известная функция. u Γ = u(x(τ), t = t(τ)) = ϕ(τ), (6.6) Определение 6.1. Условия (6.6) называются начальными, функция ϕ называется начальной функцией, кривая Γ начальной кривой. Задача (6.1), (6.6) называется задачей Коши для системы гиперболических уравнений. Замечание 6.1. На самом деле при постановке задачи Коши следует дополнительно указывать требования гладкости для A, b, u, ϕ и кривой Γ. В дальнейшем, в случае необходимости, такие требования будут формулироваться в каждом конкретном случае. 37
38 Предположим, что все входящие в (6.1), (6.6) функции достаточно гладкие и рассмотрим возможность определения по начальным данным на линии Γ производных u t, u x. Введем обозначения для производных u t Γ = q, u x Γ = p, (6.7) Дифференцируя начальные условия (6.6) по τ и рассматривая уравнение (6.2) в характеристической форме на линии Γ, запишем l k (q + λ k p) = l k b, k = 1. n, (x, t) Γ (6.8) dt(τ) dτ q + dx(τ) p = dϕ(τ) dτ dτ (6.9) или в покомпонентной записи ( lk i q i + λ k p i) = lkb i i = f k, k = 1. n, (6.10) dt dτ qk + dx dτ pk = dϕk, k = 1. n. (6.11) dτ Здесь f k обозначение для правых частей уравнений. Величины l k, b, λ k в соотношениях (6.8) (6.11) являются известными функциями переменной τ. Уравнения (6.10), (6.11) система 2n уравнений для определения 2n неизвестных q 1. q n, p 1. p n, т. е. производных функции u на линии Γ. Предположим, что dt/dτ 0 (см. задачу 6.1). Умножая (6.10) на dt/dτ и исключая при помощи (6.11) из уравнений величины q i dt/dτ, получим систему n линейных уравнений для определения p 1. p n ( dx dt l i k dτ + λ k dτ ) p i = dt dτ f k Определитель этой системы имеет вид n ( D(τ) = det(lk) i dx dτ + λ dt k dτ k=1 l i k dϕ i, k = 1. n. (6.12) dτ ). (6.13) Из гиперболичности уравнений (6.1), в соответствии с определением 1.3, следут det(lk i ), так как левые собственные вектора образуют базис. 38
39 Если выполнено условие ( dx dτ + λ k то система (6.12) имеет единственное решение. ) dt 0, k = 1. n, (6.14) dτ Таким образом, при выполнении условий (6.14) производные q, p определяются на линии Γ единственным образом. Замечание 6.2. При выполнении условий (6.14) и достаточной гладкости A, b, u, ϕ, дифференцируя (6.10), (6.11) по τ (такие системы называются дифференциальным следствием исходной системы), можно единственным образом получить вторые, третьи, четвертые и т. д. производные функции u на кривой Γ. Это означает, что задача Коши (6.1), (6.6) разрешима и имеет единственное решение. Рассмотрим ситуацию, когда для какого-либо k, для определенности, k = m, условие (6.14) не выполнено, то есть dx dτ + λ dt m dτ = 0. Определение 6.2. Если на кривой Γ, определяемой уравнениями x = x(τ), t = t(τ), выполнено соотношение dx(τ) dτ + λ m (x(τ), t(τ), ϕ(τ)) dt(τ) dτ = 0, (6.15) то кривая Γ называется характеристикой номера m, а собственное значение называется λ m характеристическим направлением или скоростью характеристики. Таким образом, в случае, когда Γ является характеристикой задача Коши (6.1), (6.6) может быть неразрешима, так как определитель D(τ) системы (6.12), обращается в нуль. Для того, чтобы задача Коши в этом случае имела смысл необходимо выполнение дополнительного условия разрешимости, которое легко получается из (6.12) при k = m с учетом (6.15) dt dτ f m lm i dϕ i = 0. (6.16) dτ 39
40 При выполнении условия (6.16) система (6.12), а следовательно и задача Коши, имеет бесконечное множество решений. Это позволяет сформулировать иное определение характеристки Определение 6.3. Кривая Γ называется характеристикой, если решение задачи Коши (6.1), (6.6) либо не существует, либо определено не единственным образом. Задача 6.1. Рассмотреть случай, когда в уравнениях (6.10), (6.11) производная dt/dτ = 0. Учесть условие x τ (τ) + t τ (τ) = 0 из (6.4). Задача 6.2. Записать условие разрешимости (6.16) в случае одного гиперболического уравнения. Задача 6.3. Привести пример задачи Коши для одного уравнения в случае, когда начальные данные заданы на характеристике. Задача 6.4. Для одного гиперболического уравнения сравнить определение характеристики 4.1 с определениями 6.2,
42 Определение 7.1. Говорят, что функция u(x, t) имеет слабый разрыв на линии x = ϕ(t), если функция на этой линии непрерывна, а ее производные имеют разрывы первого рода. Говорят, что u(x, t) имеет сильный разрыв на линии x = ϕ(t), если функция на этой линии имеет разрыв первого рода. Введем новую переменную θ = x ϕ(t). (7.5) Формально, строим решение (7.2) для уравнения (7.1) в виде ряда по степеням θ, считая коэффициенты ряда, зависящими от t w(x, t) = w 0 + w 1 (t)θ + w 2 (t)θ , θ 0. (7.6) Заметим, что условие непрерывности решения (7.3) при θ = 0, то есть при x = ϕ(t), выполнено автоматически. Подставляя (7.6) в функции A(u), b(u) и производя разложение в ряды по степеням θ, с учетом (7.4) получим b(w) = b(w 0 + w 1 θ + w 2 θ ) = b w iwi 1θ + O(θ 2 ), (7.7) A(w 0 ) = A(w 0 + w 1 θ + w 2 θ ) = A(w 0 ) + A w iwi 1θ + O(θ 2 ). (7.8) Здесь все производные вычислены при w = w 0. Кроме этого, для сокращения записи использовано правило суммирования по повторяющимся индексам, то есть b w iwi 1 b w 1. (7.9) iwi Напомним, что проще всего получить (7.7), (7.8) можно, формально вычисляя производные по θ от функций f(w 0 + w 1 θ + w 2 θ ). Можно еще уменьшить громоздкость записи, введя дополнительно обозначения w = w i wi. (7.10) 42
43 Тогда формулы (7.7), (7.8) записываются совсем коротко b(w) = θ w 1 b + O(θ 2 ), (7.11) A(w) = A(w 0 ) + θ w 1 A + O(θ 2 ). (7.12) Заметим, что t θ = ϕ t, x θ = 1. (7.13) Дифференцируя (7.6) по x, t, получим t w = ϕ t w 1 +θ t w 1 2θϕ t w 2 +O(θ 2 ), x w = w 1 +2θw 2 +O(θ 2 ). (7.14) Подставляя (7.11), (7.12), (7.14) в (7.1), имеем ϕ t w 1 + θ t w 1 2θϕ t w 2 + O(θ 2 ) + + ( A(w 0 ) + θ w 1 A + O(θ 2 ) ) (w 1 + 2θw 2 + O(θ 2 )) = = θ w 1 b + O(θ 2 ) Приравнивая члены при одинаковых степенях θ, выводим ϕ t w 1 + A(w 0 )w 1 = 0, (7.15) ϕ t w 2 + A(w 0 )w 2 = 1 2
44 Обратим внимание на связь полученных формул с формулами (5.9), (5.10), использованных при построении автомодельных решений. Для определения w 2 с учетом (7.17) имеем λ k (w 0 )w 2 + A(w 0 )w 2 = 1 2
45 Проанализируем полученные результаты. 1. Соотношение (7.17) означает, что линия x = ϕ(t) является характеристикой номера k (см. определение 6.2). 2. На линии x = ϕ(t) имеются разрывы производных (слабые разрывы), величина которых с учетом (7.2), (7.14), (7.17), (7.18) определяется соотношениями [u t ] x=ϕ(t) = u θ=+0 t u θ=+0 t = ϕ t w 1 = λ m (w 0 )r m (w 0 )M(t), (7.25) [u x ] x=ϕ(t) = u θ=+0 x u θ=+0 x = w 1 = r m (w 0 )M(t). (7.26) 3. «Интенсивность» слабых разрывов M(t) определяется уравнением (7.22), которое называется транспортным уравнением M t (t) αm(t) + βm 2 (t) = 0. (7.27) Если в начальный момент времени t = 0 задано M(0) = 0, то решение уравнения (7.27) будет M(t) 0. Для ненулевых начальных данных M(0) = M 0 0 уравнение сводится к линейному заменой M(t) = 1/y(t) y t + αy β = 0. Решением в этом случае будет αm 0 βm 0 + (α βm 0 )e αt, α 0, M(t) = M 0 βm 0 t + 1, α = 0, Отметим, что, формально, (7.28) справедливо и при M 0 = 0. (7.28) Замечание 7.4. Выражение (7.28) означает что M(t) не может обращаться в нуль за конечные интервалы времени, если только оно не равнялось нулю в начальный момент времени. Другими словами, слабый разрыв движется по характеристике и не может ни исчезнуть, ни возникнуть сам по себе он обязательно должен быть задан в начальный момент. 45
46 Замечание 7.5. Выражение (7.28) показывает, что при некоторых значениях параметров α, β, M 0 возможна градиентная катастрофа обращение производных u t, u x в бесконечность в конечный момент времени. Например, если α = 0, βm 0 0. См. также пример 4.2. Замечание 7.6. Задача о волновом фронте всегда имеет решение, по крайней мере формальное, в случае системы однородных уравнений (то есть b = 0). В этом случае условие (7.4) выполнено для любых w 0 и в транспортном уравнении (7.27), в силу (7.24) коэффициент α = 0. Пример 7.1. Будем строить решение задачи о волновом фронте для уравнений рассмотренных в примерах 2.2, 5.3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u 1 ρ ρ u ρ ρ u = =, + u 2 u u c 2 ρ 1 u u t x = 0, c > 0. Собственные значения, левые и правые собственные векторы матрицы A 11 = u, A 12 = ρ, A 21 = c 2 ρ 1, A 22 = u будут (см. примеры 1.2, 2.2, 5.3) λ 1 = u c, λ 2 = u + c, r 1 = (r1, 1 r1) 2 T = ( ρ, c) T, r 2 = (r2, 1 r2) 2 T = (ρ, c) T, l 1 = (l 1 1, l 2 1) = ( c, ρ), l 2 = (l 1 2, l 2 2) = (c, ρ). Вычислим производные матрицы A ( ) ( ) A u = u ρ 0 1 =, 1 ρ c 2 ρ 1 u c 2 ρ 2 0 ( ) ( ) A u = u ρ 1 0 =. 2 u c 2 ρ 1 u 0 1 Коэффициенты α, β транспортного уравнения (7.22) определяются формулами (7.23) или (7.24). Исходная система уравнений однородна (b = 0) и, следовательно, коэффициент α = 0. 46
47 Далее выберем в качестве w 0 некоторый постоянный вектор w 0 = (ρ 0, u 0 ) T и, для определенности, будем строить решение задачи, когда в соотношении (7.17) индекс k = 2 ϕ t = λ 2 (ρ 0, u 0 ) = u 0 + c. Пусть в начальный момент времени t = 0 слабый разрыв находился в точке x = x 0, то есть ϕ(0) = x 0. Тогда слабый разрыв будет двигаться с постоянной скоростью по закону (по характеристике λ 2 (ρ 0, u 0 )) Используя (7.23), (7.24), запишем ϕ(t) = x 0 + (u 0 + c) t. (r 2 A) = r j A 2 w = A j r1 2 w + A 1 r2 2 w = ρ A 2 ρ + c A u = j ( ) ( ) ( ) c ρ0 = ρ 0 + c =, c 2 ρ c 2 ρ 1 0 c ( ) ( ) ( ) c ρ0 ρ0 2cρ0 (r 2 A)r 2 = =, c 2 ρ 1 0 c c 0 ((r 2 A)r 2, l 2 ) = 2c 2 ρ 0, (r 2, l 2 ) = 2cρ 0, β = ((r k A)r k, l k ) (r k, l k ) Транспортное уравнение (7.27) имеет вид = c. и его решение будет (см. (7.28)) M t (t) + cm 2 (t) = 0 M(t) = M 0 cm 0 t
48 Поведение слабых разрывов описывается соотношениями (7.25), (7.26) [u t ] x=ϕ(t) = λ 2 (w 0 )r 2 (w 0 )M(t), [u x ] x=ϕ(t) = r 2 (w 0 )M(t). или [ρ t ] x=ϕ(t) = (u 0 + c)ρ 0 M(t), [ρ x ] x=ϕ(t) = ρ 0 M(t). [u t ] x=ϕ(t) = (u 0 + c)cm(t), [u x ] x=ϕ(t) = cm(t). 48
http://docplayer.com/55665464-Kvazilineynye-giperbolicheskie-uravneniya.html