Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений

§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.

Общий вид алгебраической поверхности второго порядка представляет собой многочлен второй степени относительно трех переменных:

Одним из наиболее продуктивных методов изучения поверхностей в пространстве является метод сечений. Он заключается в исследовании кривых, получающихся в сечениях поверхности плоскостями, параллельными координатным. Для этого достаточно зафиксировать одну из переменных в уравнении поверхности и получить, тем самым, уравнение кривой в плоскости, параллельной двум другим координатным осям. Этот метод будет использован в последующих параграфах при исследовании поверхностей второго порядка. При этом будут рассматриваться только уравнения, непосредственно сводящиеся к каноническим.

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

8.4. Построение поверхностей

Мы приступаем к изучению формы поверхностей второго порядка, определённых в предыдущем разделе своими каноническими уравнениями. Напомним, что это вторая из двух основных задач аналитической геометрии: зная уравнение поверхности, изучить её геометрические свойства.

Метод, который мы будем применять, называется методом сечений: пересекая поверхность плоскостями, параллельными координатным плоскостям, будем рассматривать линии пересечения и по их виду делать выводы о форме поверхности.

Каноническое уравнение эллипсоида:

Отметим симметрию поверхности: если точка (x, у, z) лежит на эллипсоиде, то и все точки (±x, ±у, ±z) тоже лежат на эллипсоиде. Значит, поверхность симметрична относительно любой из координатных плоскостей. Пересечём эллипсоид плоскостью z = h. Получим линию

Это эллипс, полуоси которого убывают с увеличением |h|. При h = c эллипс превращается в точку, при h > c плоскость z = h не пересекает эллипсоид. Эллипсы получаются и при сечении эллипсоида плоскостями x = h, у = h. Используя эти данные, изображаем поверхность. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если две полуоси равны, то получается эллипсоид вращения. Например, эллипсоид, образованный при вращении эллипса (лежит в плоскости XOZ) вокруг оси OZ. Если a = b = c, то эллипсоид превращается в сферу.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

(15.22)

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Существует девять типов невырожденных поверхностей, уравнения которых с помощью преобразования координат могут быть приведены к одному из следующих видов. Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими уравнениями.

1. Эллипсоид: (рис. 15.1).

2. Конус второго порядка: (рис. 15.2).

3. Гиперболоиды

1) однополостный: (рис. 15.3);

2) двуполостный: (рис. 15.4).

Рис. 15.3 Рис. 15.4

4. Параболоиды

1) эллиптический: (рис. 15.5);

2) гиперболический: (рис.15.6).

Рис. 15.5 Рис. 15.6

5. Цилиндры

1) эллиптический: (рис. 15.7);

2) гиперболический: (рис. 15.8);

Рис. 15.7 Рис. 15.8

3) параболический: (рис. 15.9).

Основным методом исследования формы поверхности является метод параллельных сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о типе поверхности. Таким образом можно изучать основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.

В определенных случаях уравнение (15.22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим, так называемые, вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев:

– пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

– точка (0, 0, 0);

– пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);

– прямая (ось Oz);

– пара пересекающихся плоскостей;

– пара параллельных плоскостей;

– пустое множество точек;

– плоскость (пара совпадающих плоскостей).

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

1)

2)

3)

4)

Решение. 1) Воспользуемся методом выделения полных квадратов.

Преобразуем левую часть уравнения:

Значит, заданное уравнение равносильно уравнению

или

Имеем уравнение однополостного гиперболоида, центр которого находится в точке (–1, 1, 2). Его ось симметрии – прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (–1, 1, 2).

2) Поскольку

то заданное уравнение равносильно уравнению

или что приводит окончательно к уравнению гиперболического параболоида смещенного в точку (–1, 0, 1).

3) Выделяем полные квадраты в выражении, стоящем в левой части уравнения:

Поэтому заданное уравнение принимает вид:

или (после деления на 36)

Это уравнение эллипсоида с центром в точке (3, – 1, 2).

4. Методом выделения полных квадратов уравнение приводится к уравнению

т. е.

Почленное деление на 36 дает:

Это уравнение эллиптического цилиндра, смещенного в точку
(–2, 5, 0).

Пример 2. Исследовать поверхность методом сечений и построить ее:

Решение. Для исследования геометрических свойств и формы поверхности используем метод сечений.

Определим сечение поверхности плоскостями где параллельными координатной плоскости Oxy:

Очевидно, что это кривые, проекции которых на ось Oxy задаются уравнением

(15.23)

Уравнение (15.23) при не имеет решений относительно Это означает, что соответствующее сечение есть пустое множество точек, а значит, рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости При уравнение (15.23) определяет эллипс

с полуосями и вырождающийся в точку (0, 0, 1) при Заметим, что все эллипсы, которые получаются в сечениях поверхности плоскостями подобны между собой, причем с уменьшением h их полуоси неограниченно монотонно возрастают.

Дальнейшее уточнение формы можно получить, рассматривая сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz:

и

В первом случае имеем кривую т. е. параболу с параметром вершиной в точке и ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz. Во втором – параболу с параметром вершиной в точке и аналогичным направлением ветвей.

Выполненное исследование позволяет построить заданную поверхность (рис. 15.10). Это эллиптический параболоид с вершиной в точке (0, 0, 1), направленный в сторону убывания значений z с осью симметрии Oz.

Пример 3. Построить тело, ограниченное поверхностями

Решение. Уравнение задает плоскость. Перейдя к уравнению плоскости «в отрезках», получим:

т. е. плоскость пересекает координатные оси в точках (3, 0, 0), (0, 3, 0) и (0, 0, 3) соответственно.

Уравнение задает круговой цилиндр, осью которого служит Oz. Уравнение определяет координатную плоскость Oxy.

Сделаем рисунок тела (рис. 15.11, 15.12), ограниченного заданными поверхностями.