Метод сечения и уравнения равновесий

Техническая механика

Сопротивление материалов

Метод сечений. Напряжения

Сущность метода сечений

Для расчетов элементов конструкции на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате приложения внешних сил в разных точках и частях конструкции.
Но как заглянуть внутрь материального тела, чтобы выяснить, какие же силы возникают между его частицами или отдельными частями, при приложении нагрузок? Представление о внутренних усилиях, возникающих в теле или элементе конструкции можно получить лишь с помощью воображения и аксиом статики, поясняющих условия равновесного состояния материальных тел.
Способы определения этих внутренних сил с помощью науки сопротивление материалов включают такой прием, как метод сечений .

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен ее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие на нее до разреза со стороны отброшенной части. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием приложенных к сечению внешних и внутренних сил (третий закон Ньютона – действие равно противодействию).
При применении этого метода выгоднее отбрасывать ту часть элемента конструкции (тела), для которой проще составить уравнение равновесия. Таким образом, появляется возможность определить внутренние силовые факторы в сечении, благодаря которым оставшаяся часть тела находится в равновесии (прием, часто применяемый в Статике).

Применяя к оставленной части тела условия равновесия, невозможно найти закон распределения внутренних сил по сечению, но можно определить статические эквиваленты этих сил (равнодействующие силовые факторы).
Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус, рассмотрим, какие статические эквиваленты внутренних сил проявляются в поперечном сечении бруса.

Рассечем брус (рис. 1) поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.
Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а-а , будут главный вектор F_гл , приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент М_гл = М_и , уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N , направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q , перпендикулярную этой оси и лежащую в плоскости сечения. Эти составляющие главного вектора и главный момент называют внутренними силовыми факторами , действующими в сечении бруса. Составляющую N называют продольной силой , составляющую Q – поперечной силой , пару сил с моментом М_и – изгибающим моментом .

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов применим известные из Статики уравнения равновесия оставленной части бруса:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ M = 0; (ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 2) , для определения которых применяют известные из Статики шесть уравнений равновесия оставленной части бруса:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ M_x = 0; Σ M_y = 0; Σ M_z = 0 .

Эти силовые факторы в общем случае носят следующие названия: N – продольная сила, Q_x , Q_y – поперечные силы, М_кр – крутящий момент, М_их и М_иу – изгибающие моменты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные силовые факторы.
Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N . Это деформация растяжения (если N направлена от сечения) или сжатия (если N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q . Это деформация сдвига .

3. В сечении возникает только крутящий момент М_кр . Это деформация кручения .

4. В сечении возникает только изгибающий момент М_и . Это деформация чистого изгиба . Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент М_и и поперечная сила Q , то изгиб называют поперечным .

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий момент и продольная сила), то имеет место сочетание основных деформаций (сложное сопротивление).

Напряжение

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопротивления материалов является напряжение (обозначается р ).
Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении, и определяется, как отношение величины внутренней силы к площади сечения.
Напряжение является величиной векторной.

Вектор напряжения можно разложить на две составляющие (рис. 3) – одну вдоль оси сечения, вторую – в плоскости сечения (перпендикулярно оси). Эти составляющие носят название нормальное напряжение (обозначается σ) и касательное напряжение (обозначается τ ).
Поскольку нормальные и касательные напряжения расположены под прямым углом друг к другу, модуль полного напряжения p можно определить по теореме Пифагора:

Единица измерения напряжения – паскаль (Па).
1 Па = Н / м 2 . Поскольку эта единица очень мала, в расчетах часто применяют более крупную кратную единицу – мегапаскаль (МПа), который равен миллиону паскалей (10 6 Па).

Объяснить сущность напряжения можно на таком простом примере.
В соответствии с гипотезой об отсутствии первоначальных внутренних усилий, считается, что когда к телу не приложены внешние нагрузки его частицы не взаимодействуют друг с другом, т. е. абсолютно равнодушны к «соседкам» справа, слева и т. п. Но стоит приложить к телу внешнюю нагрузку, его частицы начинают лихорадочно цепляться друг за друга, пытаясь удержаться в «кучке». Если нагрузка растягивает тело, его частицы держатся друг за дружку, не давая разорвать тело, если нагрузка сжимающая — частицы тела стараются удержать «соседок» на прежнем расстоянии.
Совокупность всех этих усилий внутренних частиц, противостоящих внешним раздражителям-нагрузкам, и является напряжением.
Задачи сопромата чаще всего сводятся к тому, чтобы определить предельные величины нагрузок, способных разорвать связи между частицами, из которых состоит тело или, по известным предельным напряжениям определить, какие нагрузки способно выдержать тело не разрушаясь, не деформируясь и т. д.

Нетрудно заметить, что напряжение измеряется в тех же единицах, что и давление, поэтому можно провести некоторую аналогию между этими физическими понятиями. Принципиальная разница заключается в том, что давление — внешний силовой фактор (т. е. воздействующий на тело или его части извне), а напряжение — внутренний силовой фактор, характеризующий степень взаимодействия (взаимосвязи) частиц тела между собой.

Метод сечений. Силовые факторы в методе сечений

Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки.

Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.2, а).

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1.2, б). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение . Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называются силой упругости или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений .

Этапы метода сечений

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части внутренними силами (рис. 1.3, б).

Внутренние силы в методе сечений

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента (рис. 1.3, д).

Сила N — продольная сила

– поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия ( уравновесим ):

.

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Вычисление продольной и поперечных сил, крутящего и изгибающих моментов

продольная сила N равна сумме проекций всех сил (активных и реактивных), действующих на любую из частей рассеченного стержня, на ось z;

поперечные силы равны сумме проекций всех сил, действующих на любую из частей стержня, на оси x и y, соответственно;

крутящий момент равен сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно продольной оси z;

изгибающие моменты равны сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно осей x и y, соответственно.

iSopromat.ru

Метод сечений (иногда его называют РОЗУ) — наиболее удобный способ определения внутренних силовых факторов для построения их эпюр, который рассматривает равновесие отсеченных частей бруса.

РОЗУ — расшифровывается так:

• Рассекаем (мысленно) брус на две части;
• Отбрасываем одну из частей;
• Заменяем ее действие внутренними усилиями;
• Уравновешиваем рассматриваемую часть определяя величину внутренних силовых факторов.

Суть метода сечений

Брус рассекается на две части и рассматривается только одна его часть, а воздействие на нее другой части заменяется соответствующими внутренними усилиями, которые определяются из условия равновесия.

Рассмотрим его на примере прямого бруса, к которому приложена произвольная плоская система нагрузок. Отметим, что указанная система нагрузок удерживает брус в неподвижном (статичном) положении.

Обозначим характерные точки бруса:

Эти точки одновременно являются границами силовых участков бруса, т.е. данный брус имеет 5 силовых участков.

Для того чтобы определить внутренние усилия например на участке DK в любом месте участка проведем сечение которое условно делит брус на две части, в данном случае левую и правую:

Зная, что весь брус изначально статичен, можно утверждать, что так же будет статичен любой его фрагмент, включая обе показанные части.

Для определения внутренних усилий можно выбрать любую из них, при этом результаты расчетов будут одинаковы. Поэтому для упрощения вычислений принято выбирать ту часть, к которой приложено меньше нагрузок.

В данном случае к левой части приложено 4 усилия, а к правой всего два.

Здесь выбор правой части бруса снижает вероятность ошибки при расчетах.

Выбрав оптимальную часть бруса, обозначим расстояние от ближайшей границы силового участка до рассматриваемого сечения переменной z.

На данном участке сечение может занимать любое положение между точками K (где z=0) и D (где z равно длине участка DK), включая сами эти точки.

Это записывается как 0≤z≤DK.

Затем для каждого внутреннего силового фактора записываются выражения в виде суммы соответствующих внешних нагрузок приложенных к рассматриваемой части бруса.

Далее рассчитываются их значения на границах силовых участков при z=0 и z=DK.

В случаях, когда переменная z в выражениях имеет степень 2 или выше (т.е. эпюра будет иметь вид параболы) можно рассчитать величину внутренних сил для промежуточных положений сечения, например при z=DK/2.

Указанные действия необходимо проделать по каждому силовому участку.
По полученным данным строятся необходимые эпюры.

Порядок построения эпюр методом сечений:

1. Определяются опорные реакции,
2. Определяется количество силовых участков бруса,
3. В пределах каждого участка брус делится на две части поперечным сечением,
4. Выбирается часть, к которой приложено меньше нагрузок,
5. Записываются необходимые выражения для внутренних силовых факторов,
6. Рассчитываются значения для характерных положений сечения,
7. Строятся эпюры.

Метод РОЗУ

Данный метод расчета внутренних усилий в брусе является аналогом метода сечений.
Аббревиатура РОЗУ расшифровывается как: Разрезаем-Отбрасывем-Заменяем-Уравновешиваем.

Принцип метода РОЗУ:

1. Разрезаем (мысленно) находящийся в равновесии под действием внешних сил брус в интересующем нас месте на две части;
2. Отбрасываем одну из частей (обычно ту, к которой приложено больше внешних нагрузок);
3. В общем случае заменяем действие отброшенной части на оставшуюся часть шестью внутренними силовыми факторами (усилиями);
4. Каждый внутренний силовой фактор определяем из соответствующего уравнения равновесия:

Уравнения метода РОЗУ
Для определения наиболее нагруженного (опасного) сечения обычно строят графики изменения внутренних силовых факторов по длине бруса (эпюры), при этом брус разбивается на силовые участки.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах