Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
Страницы работы
Фрагмент текста работы
12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
12.1. Цель работы
Целью работы является закрепление знаний, полученных в лекционном курсе «Вычислительная математика» по разделу «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных», приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.
Найти приближенное решение уравнения Лапласа в заданной области с указанными граничными условиями, принять h1=h2=0.1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
12.3 Теоретические сведения
Уравнение относительно неизвестной функции u(x,y) двух или более независимых переменных , которое содержит частные производные этой функции, называется уравнением в частных производных (УЧП).
В общем виде ДУ второго порядка относительно функции двух независимых переменных u(x,y) записывается так :
(12.1)
Функция F— заданная функция восьми аргументов .
Далее будем рассматривать линейные уравнения второго порядка :
Все коэффициенты и правая часть не зависят от u(x,y).
Методы классификации УЧП :
· По порядку уравнения ( наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение)
· По числу переменных ( по числу независимых переменных )
· По критерию « линейное-нелинейное»
A,B,C,D,E,F,G – константы или заданные функции переменных x,y.
· По критерию «однородное-неоднородное»
Однородное , если G(x,y)≡0 для всех x и y.
Если G(x,y)≠0 – неоднородное .
· По виду коэффициентов
A,B,C,D,E,F,G – константы – уравнение с постоянными коэффициентами.
Основные типы УЧП :
Описывает процессы теплопроводности и диффузии : B 2 =4AC
Описывает колебательные системы и волновые движения : B 2 >4AC
Описывает установившиеся процессы : B 2 2 ).
Для уравнения Лапласа система может быть записана в виде:
В данной работе система решается методом простых итераций по формулам:
В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять:
Данная разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Это означает , что выбрав достаточно малый шаг h можно сколь угодно точно численно решить исходную задачу.
12.4 Пример выполнения задания
Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа :
Нумерация элементов матриц начнется с 1
Краевые элементы матрицы искомой поверхности
Для начала расчета зададим начальное приближение , то есть вектор в каждом слое. Рассмотрим слой с точками (0,0.1) и (1,0.1).
Первоначально считаем, что изменение функции происходит равномерно , т.е. с некоторым постоянным шагом :
отрезок разбит на 10 частей , следовательно изменения значения функции происходит на каждом шаге на величину
Тогда получаем, что
Только внутренние элементы матрицы
Сделав такое предположение, мы получаем полностью заполненную матрицу u , при этом надо помнить , что это только начальные (стартовые