Метод сеток это метод решения уравнений

Численные методы решения краевых задач

Постановка задачи и основные положения

Рассмотрим двухточечные краевые задачи, часто встречающиеся в приложениях, например, при решении задач вариационного исчисления, оптимального управления, механики жидкости и газа и др. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение

и краевые условия

где [math]F \bigl(x,y,y’,\ldots,y^<(n)>\bigr);

j=\overline[/math] — функции указанных аргументов, заданные в некоторой области их изменения; [math]L[/math] и [math](n-L)[/math] — число условий на левом и правом концах отрезка [math][a,b][/math] соответственно. Общее количество условий равно порядку дифференциального уравнения. Требуется найти функцию [math]y=y(x)[/math] , которая на отрезке [math][a,b][/math] удовлетворяет уравнению (7.1), а на концах отрезка — краевым условиям (7.2).

Если уравнения (7.1),(7.2) линейны относительно искомой функции и ее производных, то краевая задача называется линейной.

Для простоты ограничимся частным случаем линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка [math](n=2)[/math] , которая наиболее часто ставится в вычислительной практике и записывается в виде

(\Omega \equiv [a,b]),[/math]

где [math]p(x),\, q(x),\, f(x)\in C_2[a,b][/math] — заданные функции, а [math]\alpha_0,\,\alpha_1,\, \beta_0,\, \beta_1,\,A,\,B[/math] — заданные числа, 0,

j=0;1[/math] . Требуется найти функцию [math]y(x)[/math] , удовлетворяющую уравнению (7.3) и краевым условиям (7.4). Краевые условия при [math]\alpha_\ne0,

j=0;1[/math] , задают линейную связь между значениями искомого решения и его производной на концах отрезка [math][a,b][/math] .

В простейшем случае, когда [math]\beta_0=0,

\beta_1=0[/math] , краевые условия задают на концах отрезка [math][a,b][/math] только значения функции [math]y(a),\,y(b)[/math] . Такие функциональные условия называют краевыми условиями первого рода. В этом случае краевая задача называется первой краевой задачей.

В случае, когда [math]\alpha_0=0,

\alpha_1=0[/math] , т.е. на концах отрезка заданы только значения производных, краевые условия являются дифференциальными. Такие краевые условия называют условиями второго рода или «мягкими». Последнее название обусловлено тем, что они определяют на концах отрезка [math][a,b][/math] всего лишь наклоны интегральных кривых, а не значения функции [math]y(x)[/math] . В этом случае задача (7.3),(7.4) называется второй краевой задачей.

В общем случае, когда [math]\alpha_0[/math] и (или) [math]\alpha_1;

\beta_0[/math] и (или) [math]\beta_1[/math] не равны нулю, краевые условия носят функционально-дифференциальный характер и называются условиями третьего рода. Тогда задача (7.3),(7.4) называется третьей краевой задачей.

Например, условия [math]y(a)=A,

y(b)=B[/math] являются условиями первого рода. Геометрически это означает, что при решении первой краевой задачи требуется найти интегральную кривую уравнения (7.3), проходящую через данные точки [math](a,A),\, (b,B)[/math] (рис. 7.1,а). Условия [math]y'(a)=A,\, y'(b)=B[/math] являются условиями второго рода. Геометрически вторая краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, пересекающей прямые [math]x=a,

x=b[/math] под заданными углами [math]\alpha,\,\beta[/math] , где [math]\operatorname\alpha=A,

\operatorname\beta=B[/math] (рис. 7.1,6). Условия [math]y'(a)=A,

y(b)=B[/math] являются частным случаем краевых условий третьего рода, так как [math]\alpha_0=0,

\beta_1=0[/math] . Геометрически данная краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, проходящей через точку [math](b,B)[/math] и пересекающей прямую [math]x=a[/math] под данным углом [math]\alpha[/math] , где [math]\operatorname\alpha= A[/math] (рис. 7.1,в).

В общем случае краевая задача может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь несколько или бесконечно много решений.

Утверждение 7.1 (о существовании и единственности решения краевой задачи (7.3),(7.4)). Для того чтобы существовало единственное решение краевой задачи (7.3),(7.4), необходимо и достаточно, чтобы однородная краевая задача

имела только тривиальное решение [math]y(x)\equiv0[/math] .

Пример 7.1. Найти аналитическое решение следующих краевых задач:

0 \leqslant x \leqslant \frac<\pi><2>,

y\! \left(\frac<\pi><2>\right)-y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)=2[/math] (третья краевая задача);

0 \leqslant x \leqslant 1,

y(1)=0[/math] (первая краевая задача).

Воспользуемся известной методикой отыскания общих решений дифференциальных уравнений. Подставив в них заданные краевые условия, получим аналитические решения данных краевых задач.

1. Найдем общее решение однородного уравнения [math]y»+y=0[/math] , одинакового для обеих рассматриваемых задач. Так как характеристическое уравнение [math]\lambda^2+1=0[/math] имеет комплексные сопряженные корни [math]\lambda_<1,2>=\pm i= \alpha\pm \beta i[/math] [math](\alpha=0,

\beta=1)[/math] , то общее решение будет

2. Частные решения неоднородных уравнений находятся методом подбора. Подставляя [math]y_<\text>(x)=C[/math] в уравнение [math]y»+y=1[/math] , а [math]y_<\text>(x)=Dx[/math] в уравнение [math]y»+y=-x[/math] , получаем [math]C=1,

D=-1[/math] . Поэтому [math]y_<\text>(x)=1[/math] в случае «а», [math]y_<\text>(x)=-x[/math] в случае «б».

3. Найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

а) [math]y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+1[/math] ; б) [math]y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-x[/math] .

4. Определим значения произвольных постоянных из краевых условий третьего рода (случай «а») и первого рода (случай «б»):

а) найдем [math]y'(x)=-C_1\sin x+C_2\cos x[/math] . Тогда

Отсюда [math]C_1=1[/math] и [math]y(x)=1+\cos x[/math] — решение краевой задачи «а»;

б) общее решение [math]y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-x[/math] и, следовательно, [math]y(0)=C_1=0,

y(1)=C_1\cos1+ C_2\sin1-1=0[/math] , отсюда [math]C_2= \frac<1><\sin1>[/math] и [math]y(x)=\frac<\sin x><\sin1>-x[/math] — решение краевой задачи «б». Таким образом, решение краевой задачи представляет собой такое частное решение, которое удовлетворяет краевым условиям.

Рассмотренный метод нахождения аналитического решения краевых задач применим для ограниченного класса задач. Поэтому в вычислительной практике используются численные и приближенно-аналитические методы, позволяющие найти приближенное решение краевых задач, точные аналитические решения которых не могут быть найдены.

Метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу с краевыми условиями первого рода (первую краевую задачу):

где [math]p(x),q(x),f(x)\in C_2[a,b][/math] — заданные функции; [math]A,\,B[/math] — заданные числа.

Очевидно, любой отрезок [math][a,b][/math] , на котором ищется решение краевой задачи, можно привести к отрезку [math][0;1][/math] с помощью линейного преобразования [math]\widetilde= \frac[/math] . Действительно, тогда новая переменная [math]\widetilde\in [0;1][/math] . В результате без ограничения общности краевая задача (7.5) может быть решена сначала на отрезке [math][0;1][/math] , а затем это решение с помощью преобразования [math]x=a+(b-a)\cdot \widetilde[/math] может быть записано на отрезке [math][a,b][/math] . То же относится и к исследованию свойств полученного решения.

Утверждение 7.2 (о единственности решения краевой задачи (7.5)). Если функции [math]p(x),q(x),f(x)[/math] принадлежат классу [math]C_2[a,b],

q(x) \geqslant 0[/math] на [math][0;1][/math] , то краевая задача (7.5) имеет единственное решение [math]y(x)\in C_4[0;1][/math] .

Для решения задачи (7.5) применим метод сеток, получаемый путем аппроксимации первой и второй производных. Введем равномерную сетку (где [math]n[/math] — число отрезков разбиения)

Функции [math]p(x),q(x),f(x)[/math] заменяются их проекциями на сетку [math]\Omega_n[/math] , то есть [math]p(x)\to p(x_)=p_i,[/math] [math]q(x)\to q(x_)=q_i,[/math] [math]f(x)\to f(x_)= f_i,[/math] . Вместо точного решения [math]y(x)[/math] отыскивается некоторое приближение [math]\widehat_= \widehat(x_)\approx y(x_),

i=\overline<0,n>[/math] . Первая и вторая производные аппроксимируются на трехточечном шаблоне [math](x_,x_,x_)[/math] по формулам второго порядка (5.10),(5.14):

Краевые условия для этой задачи аппроксимируются точно, т.е. [math]y(a)[/math] и [math]y(b)[/math] заменяются на [math]\widehat_<0>[/math] и [math]\widehat_[/math] . После замены от дифференциальной задачи (7.5) переходим к разностной схеме:

представляющей собой систему алгебраических уравнений трехдиагонального вида:

\delta_=f_[/math] . Здесь система (7.6) записана для внутренних узлов сетки [math]\Omega_n[/math] . Она является трехдиагональной системой линейных алгебраических уравнений и решается методом прогонки.

1. Изложенный метод сеток допускает обобщение. Например, его можно применять для решения нелинейной краевой задачи:

где [math]F(x,y)[/math] — нелинейная по [math]y[/math] функция (в общем случае, который здесь не рассматривается, функция [math]F[/math] зависит также и от [math]y'[/math] ).

Рассуждая аналогично рассмотренному выше способу, перейдем к разностной задаче:

В силу нелинейности правой части полученная алгебраическая система является нелинейной и для ее решения нельзя использовать метод прогонки в том виде, в каком он изложен для линейной задачи. Поэтому для ее решения используем метод простых итераций, с помощью которого при фиксированном [math]k[/math] (номер итерации) система алгебраических уравнений (7.8) превращается в линейную, так как величины, входящие в правую часть системы, известны из предыдущей итерации. Действительно, для k-й итерации получается система (которая решается на каждой итерации методом прогонки)

Можно показать, что итерации сходятся при выполнении условия [math]q=\frac<1><8>(x_n-x_0)^2M_1 [math]M_1=\max_<[a,b]>\left|\frac<\partial F><\partial y>\right|[/math] с линейной скоростью.

2. Краевые условия второго и третьего рода в задаче, аналогичной (7.5), могут быть аппроксимированы несколькими способами.

Первый способ. Использование аппроксимационных формул (5.4) первого порядка

В силу первого порядка этих аппроксимаций метод сеток в этом случае также будет иметь первый порядок аппроксимации.

Второй способ. Применение формулы Тейлора и ее преобразование с использованием дифференциального уравнения. Таким способом может быть достигнут второй порядок аппроксимации.

Третий способ. Применение левосторонней (5.8) и правосторонней (5.9) формул, аппроксимирующих производные со вторым порядком:

3. Порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий.

Алгоритм применения метода сеток

1. Задать сетку [math]\Omega_n[/math] на отрезке [math][a,b][/math] или сформировать ее из условий достижения требуемой точности.

2. Используя аппроксимационные формулы (5.10),(5.14) и один из трех способов аппроксимации краевых условий (в случае, если они второго или третьего рода), перейти от исходной дифференциальной задачи к системе алгебраических уравнений (разностной схеме), неизвестными в которой являются величины, «близкие» к решению краевой задачи в узлах сетки.

3. Найти решение разностной задачи путем решения трехдиагональной системы уравнений и таким образом определить приближенное решение краевой задачи.

Пример 7.2. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+y=1,

0 \leqslant x \leqslant \frac<\pi><2>,[/math] [math]y'(0)=0,[/math] [math]y\! \left(\frac<\pi><2>\right)-y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)=2[/math] при [math]n=3[/math] , используя первый способ аппроксимации краевых условий. Записать разностные схемы для второго и третьего способов при произвольном [math]n[/math] .

В поставленной задаче

Для решения задачи воспользуемся методикой.

1. Так как [math]n=3[/math] , то сетка имеет вид [math]\Omega_3=\[/math] , где [math]x_=ih,

y\! \left(\frac<\pi><6>\right)=y_1,[/math] [math]y\! \left(\frac<\pi><3>\right)=y_2,[/math] [math]y\! \left(\frac<\pi><2>\right)=y_3[/math] . Будем искать приближенные значения [math]\widehat_0,\widehat_1, \widehat_2, \widehat_3[/math] . Проекции функций [math]p(x), q(x), f(x)[/math] на сетку имеют вид [math]p_=0,

2. Составим разностную схему. Согласно (7.6), для внутренних узлов сетки получаем

i=1;2[/math] или [math]\widehat_-(2-h^2)\widehat_+ \widehat_=h^2,

Применим первый способ аппроксимации краевых условий. По формуле (5.4) с учетом условия [math]y'(0)=0[/math] на левом конце имеем

На правом конце [math]y\! \left(\frac<\pi><2>\right)=y_3,

y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)=y’_3[/math] , и по второй из формул (7.9) [math]\widehat\,’_<3>= \frac<\widehat_<3>-\widehat_<2>>[/math] . Тогда краевое условие [math]y\! \left(\frac<\pi><2>\right)-y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)=2[/math] аппроксимируется выражением

В результате получаем разностную схему первого порядка аппроксимации (трехдиагональную систему линейных алгебраических уравнений)

Сравнивая первое уравнение этой системы с рекуррентным соотношением [math]\widehat_= P_\cdot \widehat_+ Q_[/math] метода прогонки, характеризующим обратный ход, получаем [math]P_0=1,

После этого вычисляются все последующие прогоночные коэффициенты по формулам:

Здесь [math]\alpha_,\beta_,\gamma_[/math] соответствуют коэффициентам левой части полученной алгебраической системы, а [math]\delta_[/math] — правой части.

Далее выполняется обратный ход: [math]\widehat_<3>=Q_3,

\widehat_<2>= P_2\widehat_<3>+ Q_2,

\widehat_<1>= P_1\widehat_<2>+ Q_1[/math] .

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 7.1, в которой последний столбец соответствует точному решению [math]y(x)=1+\cos x[/math] , найденному в примере 7.1.

7.1>>\\\hline i& \alpha_& \beta_& \gamma_& \delta_& P_& Q_& \widehat_& y(x) \\\hline 0& 0&-1,\!0000&-1& 0,\!00000& 1,\!00000& 0& 1,\!8648& 2,\!0000\\\hline 1& 1& 1,\!72584& 1& 0,\!27415& 1,\!37771&-0,\!37770& 1,\!8648& 1,\!8666\\\hline 2& 1& 1,\!72584& 1& 0,\!27415& 2,\!87240&-1,\!87242& 1,\!6277& 1,\!5000\\\hline 3& 1& 0,\!47640&-& 1,\!04200&-& 1,\!21853& 1,\!21853& 1,\!0000\\\hline \end[/math]

В силу того, что краевые условия аппроксимированы с первым порядком относительно [math]h[/math] , в данном случае получена разностная схема первого порядка, так как порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий.

Воспользуемся вторым способом аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка аппроксимации. Разложим [math]y(x)[/math] в точке [math]x=x_1[/math] относительно точки [math]x_0[/math] по формуле Тейлора:

Выразим из этого соотношения [math]y'(x_0)[/math] и подставим в него вместо [math]y»(x_0)[/math] выражение [math]y»(x_0)=1-y(x_0)=1-y_0[/math] , определяемое исходным дифференциальным уравнением:

Как показывает это соотношение, дифференциальное условие на левой границе аппроксимируется на двухточечном шаблоне [math](x_0,x_1)[/math] со вторым порядком аппроксимации двухточечным алгебраическим уравнением:

Аналогично получается двухточечное алгебраическое уравнение при / [math]i=n-1[/math] и [math]i=n[/math] . Разложение [math]y(x)[/math] в точке [math]x=x_[/math] относительно точки [math]x_n[/math] по формуле Тейлора имеет вид

Выражая отсюда [math]y'(x_n)[/math] с учетом связи [math]y»(x_n)=1-y(x_n)=1-y_n[/math] , следующей из исходного дифференциального уравнения, получаем

Подставим это выражение в граничное условие:

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений в окончательном виде записывается следующим образом:

Эта трехдиагональная система, отличающаяся от полученной первым способом только первым и последним уравнениями, решается численно методом прогонки.

Применим третий способ аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка. Так, для крайней левой точки используется левосторонняя формула (5.8):

Тогда получается трехточечное алгебраическое уравнение:

Аппроксимация производной [math]y’\! \left(\frac<\pi><2>\right)[/math] в крайней правой точке по правосторонней формуле [math]\widehat\,’_= \frac<1> <2h>\bigl(\widehat_-4\widehat_+ 3\widehat_\bigr)[/math] приводит к трехточечному алгебраическому уравнению:

Тогда в этом случае получается следующая система линейных алгебраических уравнений:

Здесь [math]\widehat_<2>[/math] в первом уравнении и [math]\widehat_[/math] в последнем нарушают ее трехдиагональный характер. В этом случае система приводится к трехдиагональному виду путем исключения [math]\widehat_<2>[/math] и [math]\widehat_[/math] из первых двух и последних двух уравнений системы и после этого решается методом прогонки.

Методы минимизации невязки

Описываемые здесь методы относятся к приближенно-аналитическим и могут применяться при решении достаточно широкого класса задач. На основе одного из приближенно-аналитических методов (метода Галеркина) строится метод конечных элементов, излагаемый в разд. 7.5.

Рассмотрим линейную краевую задачу (7.3),(7.4). Ее решение будем искать в виде

где [math]\varphi_0(x), \varphi_1(x), \ldots, \varphi_m(x)[/math] — элементы заданной системы функций; [math]a_1,\ldots,a_m[/math] — неопределенные коэффициенты. Заданная система функций называется базисной, и ее элементы должны удовлетворять условиям:

а) [math]\varphi_(x)\in C_2[a,b],

б) при любом конечном [math]m[/math] функции [math]\varphi_1(x), \ldots, \varphi_m(x)[/math] линейно независимы на отрезке [math][a,b][/math] ;

в) [math]\varphi_0(x)[/math] удовлетворяет краевым условиям (7.4)

г) [math]\varphi_1(x), \ldots, \varphi_m(x)[/math] удовлетворяют условиям

называется невязкой . Она равна разности левой и правой частей уравнения (7.3), образующейся при подстановке [math]\widehat_(x)[/math] вместо [math]y(x)[/math] в дифференциальное уравнение, и характеризует степень отклонения функции [math]\widehat_(x)[/math] от точного решения краевой задачи. Если при некоторых значениях коэффициентов [math]a_1,\ldots,a_m[/math] невязка тождественно равна нулю на отрезке [math][a,b][/math] , а именно

то функция [math]\widehat_(x)[/math] совпадает с точным решением краевой задачи (7.3),(7.4), так как удовлетворяются и уравнение, и краевые условия.

Однако при решении краевых задач, как правило, не удается получить невязку тождественно равной нулю. Поэтому ставится задача: вычислить коэффициенты [math]a_1,\ldots,a_m[/math] таким образом, чтобы невязка в каком-либо смысле стала меньшей. Полученные в результате коэффициенты определяют приближенное решение (7.11).

Выражение для невязки [math]\varepsilon(x; a_1,\ldots, a_m)[/math] с учетом (7.11) удобно записывать в следующей эквивалентной форме:

где [math]L\widehat_\equiv \widehat\,»_(x)+ p(x)\widehat\,’_(x)-q(x) \widehat_(x),

L[/math] — линейный оператор задачи (7.3),(7.4) (выполняются равенства [math]L(y+z)= Ly+Lz,[/math] [math]L(Cy)=C\cdot Ly[/math] для любых [math]y,\,z[/math] и постоянной [math]C[/math] ).

Рассмотрим различные методы, минимизирующие невязку .

А. Метод коллокации. На интервале [math](a,b)[/math] задаются т точек [math]x_1,\ldots, x_n[/math] (точек коллокации) и требуется, чтобы в каждой из них невязка (7.14) обращалась в нуль:

С учетом (7.16) эта система принимает вид

Если полученная система [math]m[/math] линейных уравнений совместна, то из нее определяются коэффициенты [math]a_1,\ldots, a_m[/math] , которые затем подставляются в (7.11).

Б. Метод наименьших квадратов (непрерывный вариант). Неизвестные коэффициенты [math]a_1,\ldots, a_m[/math] должны обеспечивать минимум интеграла от квадрата невязки:

Для решения задачи применяются необходимые условия безусловного экстремум:

Подставляя (7.16) в (7.19), получаем систему [math]m[/math] линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов [math]a_1,\ldots, a_m\colon[/math]

В. Метод наименьших квадратов (дискретный вариант). Неизвестные коэффициенты [math]a_1,\ldots,a_m[/math] должны обеспечивать минимум суммы квадратов значений невязки в заданном наборе точек [math]x_1,\ldots,x_n;

n \geqslant m[/math] , то есть [math]x_\in (a,b),

Для решения задачи применяются необходимые условия безусловного экстремума

Отсюда следует система [math]m[/math] линейных уравнений для нахождения коэффициентов [math]a_1,\ldots,a_m[/math] , которая по форме записи совпадает с (7.20), но скалярное произведение определяется по формуле [math]\textstyle<(f,g)= \sum\limits_^ f(x_)g(x_)>[/math] .

Замечание. При [math]n=m[/math] результаты, полученные точечным методом наименьших квадратов и методом коллокации, совпадают. В этом случае точки [math]x_1,\ldots, x_n[/math] являются точками коллокации.

Г. Метод моментов (взвешенных невязок). Неизвестные коэффициенты ах. ат находятся из условия равенства нулю /и моментов невязки:

j=\overline<1,m>[/math] — функции, удовлетворяющие условиям:

б) функции [math]\psi_(x)[/math] являются элементами системы степеней [math]x[/math] или системы тригонометрических функций.

j=\overline<1,m>[/math] называются весовыми, а условие (7.22) является условием ортогональности невязки к весовым функциям.

Д. Метод Галсркина. Он является частным случаем метода моментов, когда в качестве весовых функций используются базисные. Коэффициенты [math]a_1,\ldots,a_m[/math] находятся из условия ортогональности функций базисной системы [math]\varphi_1(x),\ldots, \varphi_(x)[/math] к невязке:

Отсюда следует система [math]m[/math] линейных уравнений для нахождения коэффициентов:

Известно, что при достаточно большом [math]m[/math] условие (7.23) обеспечивает малость невязки в среднем.

Алгоритм применения методов минимизации невязки

1. В выражении (7.11) выбрать систему базисных функций, задать число [math]m[/math] в зависимости от требуемой точности.

2. Найти коэффициенты [math]a_1,\ldots,a_m[/math] путем решения одной из систем алгебраических уравнений (7.18),(7.20),(7.24) в зависимости от выбранного метода.

3. Выписать приближенное решение краевой задачи по формуле (7.11).

Пример 7.3. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+y=-x,

0 \leqslant x \leqslant 1,[/math] [math]y(0)=0,

y(1)=0[/math] методом коллокации, интегральным методом наименьших квадратов, методом Галеркина

В поставленной задаче

Точное решение найдено в примере 7.1.

Воспользуемся сначала методом коллокации.

1. Зададим [math]m=2[/math] и будем искать решение в виде

где [math]\varphi_0(x)\equiv0[/math] (эта функция удовлетворяет каждому из краевых условий, т.е. [math]\varphi_0(0)=0,

\varphi_0(1)=0[/math] ), функции [math]\varphi_1(x)= x(1-x),

\varphi_2(x)= x^2(1-x)[/math] . Функции [math]\varphi_1(x),\, \varphi_2(x)[/math] линейно независимые, дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяют условию (7.13). Действительно,

Таким образом, решение краевой задачи ищется в форме

2. Так как [math]m=2[/math] и [math]\varphi_0(x)\equiv 0[/math] , то система (7.18) имеет вид

Выберем узлы коллокации: [math]x_1=1\!\!\not<\phantom<|>>\,4,

Таким образом, имеем линейную систему относительно [math]a_1[/math] и [math]a_2\colon[/math]

3. Приближенное решение задачи: [math]\widehat_2(x)= \frac<217>(42+40x)[/math] .

Решим теперь задачу методом наименьших квадратов (см. непрерывный вариант).

1. Решение краевой задачи ищется в форме [math]\widehat_2(x)= a_1\cdot x(1-x)+ a_2\cdot x^2(1-x)[/math] .

2. Так как [math]f(x)=-x,

\varphi_0(x)\equiv 0[/math] , то система (7.20) имеет вид

Итак, имеем линейную систему относительно [math]a_1[/math] и [math]a_2\colon[/math]

Приближенное решение задачи: [math]\widehat_2(x)=0,\!1875419x(1-x)+ 0,\!1694707x^2(1-x).[/math] .

Решим задачу методом Галеркина.

1. Пусть сначала [math]m=1[/math] . Решение ищется в форме [math]\widehat_1(x)= a_1\cdot x(1-x)[/math] .

2. Тогда система (7.24) преобразуется к виду

Так как [math]\varphi_1(x)= x(1-x),

L\varphi_1(x)= \varphi»_1(x)+ \varphi_1(x)=-2+x(1-x)[/math] , получаем

После вычисления интегралов имеем уравнение [math]-\frac<3><10>\,a_1=-\frac<1><12>[/math] , откуда [math]a_1=\frac<5><18>[/math] .

3. Приближенное решение краевой задачи: [math]\widehat_1(x)=\frac<5><18>\,x(1-x)[/math] . Пусть теперь [math]m=2[/math] .

1. Решение краевой задачи ищется в форме [math]\widehat_2(x)=a_1\cdot x(1-x)+ a_2\cdot x^2(1-x)[/math] .

2. Тогда система (7.24) имеет вид

Вычисляя интегралы, находим

3. Приближенное решение краевой задачи: [math]\widehat_2(x)= x(1-x)\! \left(\frac<71><369>+ \frac<7><41>\,x\right)[/math] .

Сопоставим полученные решения с точным (табл. 7.2).

7.2>>\\\hline x& y_<\text>& y_<\text>& y_<\text>& \text \\\hline 0,\!25& 0,\!045& 0,\!04311& 0,\!0440& 0,\!044014 \\\hline 0,\!50& 0,\!071& 0,\!06807& 0,\!0698& 0,\!069747 \\\hline 0,\!75& 0,\!062& 0,\!05899& 0,\!0600& 0,\!060050 \\\hline \end[/math]

Очевидно, метод Галеркина дал более точный результат.

Пример 7.4. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+2xy’-2y=2x^2,

0 \leqslant x \leqslant 1,[/math] [math]y'(0)=-2,

y(1)+y'(1)=0[/math] методом Галеркина.

В поставленной задаче

1. Зададим [math]m=2[/math] и подберем функции [math]\varphi_0(x),\, \varphi_1(x),\, \varphi_2(x)[/math] , используя систему [math]1,x,x^2,\ldots[/math] . Функция [math]\varphi_0(x)[/math] должна удовлетворять условиям (7.12):

Пусть [math]\varphi_0(x)=b+cx[/math] , где [math]b,\,c[/math] — неопределенные коэффициенты. Тогда

Отсюда [math]b=4[/math] и [math]\varphi_0(x)=4-2x[/math] .

Функции [math]\varphi_1(x),\, \varphi_2(x)[/math] должны удовлетворять условиям (7.13):

Первое условие выполняется для функций вида [math]\varphi_= x^+b_[/math] . Значения [math]b_[/math] находятся из второго условия [math]1+b_+j+1=0[/math] , откуда [math]b_=-j-2[/math] . Тогда получаем [math]\varphi_1(x)=x^2-3,

Таким образом, решение краевой задачи ищется в форме

2. Тогда система (7.24) имеет вид

3. Приближенное решение краевой задачи [math]\widehat_2(x)= x^2-2x+1[/math] .

Методы сведения краевой задачи к задаче Коши

Метод стрельбы. Суть этого метода заключается в сведении решения краевой задачи к многократному решению задачи Коши. Принцип построения метода стрельбы рассмотрим на примере нелинейной краевой задачи:

где [math]f(x,y,y’)[/math] — нелинейная функция, обусловливающая нелинейность дифференциального уравнения (7.25).

При введении новой переменой [math]z=y'[/math] уравнение (7.25) записывается в нормальной форме Коши, а краевые условия видоизменяются:

где [math]\eta=y'(a)=\operatorname\alpha[/math] — параметр, равный тангенсу угла наклона интегральной кривой в точке [math]x=a[/math] . Угол [math]\alpha[/math] (параметр [math]\eta[/math] ) в процессе многократного решения краевой задачи должен принять такое значение, чтобы интегральная кривая «попала в цель», т.е. в точку [math](b,B)[/math] (рис.7.2 ,а). В общем случае полученное при некотором значении [math]\eta[/math] решение [math]y(x,\eta)[/math] не будет удовлетворять условию [math]y(b,\eta)=B[/math] на правом конце отрезка.

Следовательно, требуется найти такое значение параметра [math]\eta[/math] , чтобы оно было корнем нелинейного уравнения [math]\Phi(\eta)= y(b,n)-B=0[/math] . Для решения этого уравнения, как правило, используются методы половинного деления или секущих. В случае использования метода половинного деления сначала делают «пробные» выстрелы при выбранных наугад или в соответствии с некоторым алгоритмом значениях [math]\eta[/math] до тех пор, пока среди значений [math]\Phi(\eta)[/math] не окажется двух противоположных по знаку. Им соответствует начальный интервал неопределенности, который далее последовательно сокращается путем деления пополам. При применении метода секущих используется формула

где [math]\eta^<(0)>,\,\eta^<(1)>[/math] — начальные значения параметра, [math]k[/math] — номер итерации. Итерации прекращаются при выполнении условия окончания [math]\bigl|\Phi(\eta^<(k)>)\bigr| \leqslant \varepsilon[/math] или [math]\bigl|\eta^<(k+1)>-\eta^<(k)>\bigr| \leqslant \varepsilon[/math] с некоторым положительным [math]\varepsilon[/math] , характеризующим точность решения задачи.

Замечание. Точность решения краевой задачи зависит не только от точности определения параметра [math]\eta[/math] , но также и от точности решения соответствующей задачи Коши. Поэтому одновременно с уточнением параметра [math]\eta[/math] рекомендуется уменьшать шаг при решении задачи Коши, либо выбирать более точный метод.

Рассмотрим применение метода стрельбы для решения линейной краевой задачи (7.3),(7.4):

Метод сеток это метод решения уравнений

3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

3.2. Понятие о методе конечных разностей

Для численного решения дифференциального уравнения с частными производными обычно применяют метод конечных разностей или метод сеток. Он позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений.

Метод сеток состоит в следующем:

1) область непрерывного изменения аргументов заменяют областью их дискретного изменения;

2) непрерывные производные заменяют разностными отношениями;

3) для краевых и начальных условий записывают разностный аналог.

Таким образом, сетка представляет собой множество точек. Отдельные точки называются узлами сетки. Функция, определяемая в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Рассмотрим примеры сеток.

1. Равномерная сетка на отрезке [а, в ].

Разобьем отрезок на n равных частей и получим систему точек x ₀ , x ₁ , x ₂ ,…, x _n такую что:

Непрерывная функция y ( x ) заменяется сеточной функцией y _h ( x _i ), определяемой в узлах сетки и зависимой от шага h как от параметра.

2. Равномерная сетка на плоскости.

Разобьем отрезок [0, x _max ] на n равных частей и получим систему точек x ₀ , x ₁ ,…, x _n , где h ₁ = x _max / n .Отрезок [0, y _max ] разделим на m равных частей точками y ₀ , y ₁ ,…, y _m с шагом h ₂ = y_max / m . Через точки x _i проведем линии, параллельные оси x . Искомая функция U ( x , y ) заменяется сеточной функцией и зависят от параметров h ₁ и h ₂ .

3.2.1. Конечные разности.

-правая разностная производная,

— левая разностная производная;

— центральная разностная производная.

Левая и правая конечные разности аппроксимируют производную с первым порядком точности, а центральная разностная производная – со вторым порядком точности.

Конечно – разностная производная второго порядка имеет вид:

При замене частных производных разностными отношениями применяется аналогичный подход:

Курсовая работа: Решение параболических уравнений

Реферат

В курсовой работе рассматривается метод сеток решения параболических уравнений. Теоретическая часть включает описание общих принципов метода, его применение к решению параболических уравнений, исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. В практической части разрабатывается программа для численного решения поставленной задачи. В приложении представлен текст программы и результаты выполнения тестовых расчетов.

Объем курсовой работы: 33 с.

Ключевые слова: параболическое уравнение, уравнение теплопроводности, метод сеток, краевая задача, конечные разности.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа

1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравненийпараболического типа

1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток

1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы

2. Реализация метода

2.1 Разработка программного модуля

2.2 Описание логики программного модуля

2.3 Пример работы программы

К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных. В общем случае такое уравнение записывается следующим образом:

.

Заметим, что численными методами приходится решать и нелинейные уравнения, но находить их решение много труднее, чем решение линейных уравнений.

введем в рассмотрение величину . В том случае, когда уравнение называется параболическим. В случае, когда величина не сохраняет знак, имеем смешанный тип дифференциального уравнения. Следует отметить, что в дифференциальном уравнении все функции являются известными, и они определены в области , в которой мы ищем решение.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа

Для решения дифференциальных уравнений параболического типа существует несколько методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.Пусть дано дифференциальное уравнение

. (1.1)

Требуется найти функцию в области с границей при заданных краевых условиях. Согласно методу сеток в плоской области строится сеточная область , состоящая из одинаковых ячеек. При этом область должна как можно лучше приближать область . Сеточная область (то есть сетка) состоит из изолированных точек, которые называются узлами сетки. Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки : чем меньше , тем больше узлов содержит сетка. Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области , а все соседние узлы принадлежат сетке . В противном случае он называется граничным. Совокупность граничных узлов образует границу сеточной области .

Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Замена дифференциального уравнения разностным может быть осуществлена разными способами. Один из способов аппроксимации состоит в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. Различные формулы численного дифференцирования имеют разную точность, поэтому от выбора формул аппроксимации зависит качество аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением.

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности, являющееся частным случаем уравнений параболического типа:

, (1.2)

– известная функция.

Будем искать решение этого уравнения в области

Заметим, что эту полуполосу всегда можно привести к полуполосе, когда . Уравнение (1.2) будем решать с начальными условиями:

, (1.3)

– известная функция, и краевыми условиями:

(1.4)

где – известные функции переменной .

Для решения задачи область покроем сеткой .

Узлы сетки, лежащие на прямых , и будут граничными. Все остальные узлы будут внутренними. Для каждого внутреннего узла дифференциальное уравнения (1.2) заменим разностным. При этом для производной воспользуемся следующей формулой:

.

Для производной запишем следующие формулы:

,

,

.

Можем получить три вида разностных уравнений:

, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

.

Разностные уравнения (1.5) аппроксимируют уравнение (1.2) с погрешностью , уравнение (1.6) – с такой же погрешностью, а уравнение (1.7) уже аппроксимирует уравнение (1.2) с погрешностью .

В разностной схеме (1.5) задействованы 4 узла. Конфигурация схемы (1.5) имеет вид:

В схеме (1.6) также участвуют 4 узла, и эта схема имеет вид:

В схеме (1.7) участвуют 5 узлов, и эта схема имеет вид:

Первая и третья схемы – явные, вторая схема неявная. В случае явных схем значения функции в узле очередного слоя можно найти, зная значения в узлах предыдущих слоев. В случае неявных схем для нахождения значений решения в узлах очередного слоя приходится решать систему уравнений.

Для узлов начального (нулевого) слоя значения решения выписываются с помощью начального условия (1.3):

(1.8)

Для граничных узлов, лежащих на прямых и , заменив производные по формулам численного дифференцирования, получаем из граничных условий (1.4) следующие уравнения:

(1.9)

Уравнения (1.9) аппроксимируют граничные условия (1.4) с погрешностью , так как используем односторонние формулы численного дифференцирования. Погрешность аппроксимации можно понизить, если использовать более точные односторонние (с тремя узлами) формулы численного дифференцирования.

Присоединяя к системе разностных уравнений, записанных для внутренних узлов, начальные и граничные условия (1.8) и (1.9) для разностной задачи получим полные разностные схемы трех видов. Для проведения вычислений самой простой схемой оказывается первая: достаточно на основании начального условия найти значения функции в узлах слоя , чтобы в дальнейшем последовательно определять значения решения в узлах слоев и т.д.

Третья схема также весьма проста для проведения вычислений, но при ее использовании необходимо кроме значений решения в узлах слоя найти каким-то образом значения функции и в слое . Далее вычислительный процесс легко организовывается. В случае второй схемы, которая является неявной, обязательно приходится решать систему уравнений для нахождения решения сеточной задачи.

С точки зрения точечной аппроксимации третья схема самая точная.

Введем в рассмотрение параметр . Тогда наши разностные схемы можно переписать, вводя указанный параметр. При этом самый простой их вид будет при .

В любом случае согласно методу сеток будем иметь столько уравнений, сколько имеется неизвестных (значения искомой функции в узлах). Число неизвестных равно числу всех узлов сетки. Решая систему уравнений, получаем решение поставленной задачи.

Разрешимость этой системы для явных схем вопросов не вызывает, так как все действия выполняются в явно определенной последовательности. В случае неявных схем разрешимость системы следует исследовать в каждом конкретном случае. Важным вопросом является вопрос о том, на сколько найденные решения хорошо (адекватно) отражают точные решения, и можно ли неограниченно сгущая сетку (уменьшая шаг по осям) получить приближенные решения, сколь угодно близкие к точным решениям? Это вопрос о сходимости метода сеток.

На практике следует применять сходящиеся разностные схемы, причем только те из них, которые являются устойчивыми, то есть при использовании которых небольшие ошибки в начальных или промежуточных результатах не приводят к большим отклонениям от точного решения. Всегда следует использовать устойчивые разностные схемы, проводя соответствующие исследования на устойчивость.

Первая из построенных выше разностных схем в случае первой краевой задачи будет устойчивой при . Вторая схема устойчива при всех значениях величины . Третья схема неустойчива для любых , что сводит на нет все ее преимущества и делает невозможной к применению на ЭВМ.

Явные схемы просты для организации вычислительного процесса, но имеют один весьма весомый недостаток: для их устойчивости приходится накладывать сильные ограничения на сетку. Неявные схемы свободны от этого недостатка, но есть другая трудность – надо решать системы уравнений большой размерности, что на практике при нахождении решения сложных уравнений в протяженной области с высокой степенью точности может потребовать больших объемов памяти ЭВМ и времени на ожидание конечного результата. К счастью, прогресс не стоит на месте и уже сейчас мощности современных ЭВМ вполне достаточно для решения поставленных перед ними задач.

1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравнений параболического типа

Рассмотрим частный случай задачи, поставленной в предыдущем разделе. В области

найти решение уравнения

(1.10)

с граничными условиями

(1.11)

и начальным условием

. (1.12)

Рассмотрим устойчивую вычислительную схему, для которой величина не является ограниченной сверху, а, значит, шаг по оси и может быть выбран достаточно крупным. Покроем область сеткой

Запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1.10) во всех внутренних узлах слоя . При этом будем использовать следующие формулы:

,

.

Эти формулы имеет погрешность . В результате уравнение (1.10) заменяется разностным:

(1.13)

Перепишем (1.13) в виде:

. (1.14)

Данная вычислительная схема имеет следующую конфигурацию:

(1.15)

(1.16)

Система (1.14) – (1.16) представляет собой разностную задачу, соответствующую краевой задаче (1.10) – (1.12).

За величину мы положили .

(1.14) – (1.16) есть система линейных алгебраических уравнений с 3-диагональной матрицей, поэтому ее резонно решать методом прогонки, так как он в несколько раз превосходит по скорости метод Гаусса.

. (1.17)

Здесь , – некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Заменив в (1.17) на будем иметь:

. (1.18)

Подставив уравнение (1.18) в (1.14) получим:

. (1.19)

Сравнив (1.17) и (1.19) найдем, что:

(1.20)

Положим в (1.14) и найдем из него :

,

.

(1.21)

Заметим, что во второй формуле (1.21) величина подлежит замене на согласно первому условию (1.15).

С помощью формул (1.21) и (1.20) проводим прогонку в прямом направлении. В результате находим величины

Затем осуществляем обратный ход. При этом воспользуемся второй из формул (1.15) и формулой (1.17). Получим следующую цепочку формул:

(1.22)

Таким образом, отправляясь от начального слоя , на котором известно решение, мы последовательно можем найти значения искомого решения во всех узлах стеки.

Итак, мы построили неявную схему решения дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток.

1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток

При решении задачи методом сеток мы допускаем погрешность, состоящую из погрешности метода и вычислительной погрешности.

Погрешность метода – это та погрешность, которая возникает в результате замены дифференциального уравнения разностным, а также погрешность, возникающая за счет сноса граничных условий с на .

Вычислительная погрешность – это погрешность, возникающая при решении системы разностных уравнений, за счет практически неизбежных машинных округлений.

Существуют специальные оценки погрешности для решения задач методом сеток. Однако эти оценки содержат максимумы модулей производных искомого решения, поэтому пользоваться ими крайне неудобно, однако эти теоретические оценки хороши тем, что из них видно: если неограниченно измельчать сетку, то последовательность решений будет сходиться равномерно к точному решению. Здесь мы столкнулись с проблемой сходимости метода сеток. При использовании метода сеток мы должны быть уверены, что, неограниченно сгущая сетку, можем получить решение, сколь угодно близкое к точному.

Итак, на примере решения краевой задачи для дифференциального уравнения параболического типа рассмотрим основные принципы метода сеток. Отметим, что если при решении разностной задачи небольшие ошибки в начальных и краевых условиях (или в промежуточных результатах) не могут привести к большим отклонениям искомого решения, то говорят, что задача поставлена корректно в смысле устойчивости по входным данным. Разностную схему называют устойчивой, если вычислительная погрешность неограниченно не возрастает. В противном случае схема называется неустойчивой.

1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы

Пусть есть решение уравнения (1.14), удовлетворяющее возмущенным начальным условиям

и граничным условиям

.

Здесь – некоторые начальные ошибки.

.

Погрешность будет удовлетворять уравнению

(1.23)

(в силу линейности уравнения (1.14)), а также следующими граничными и начальными условиями:

, (1.24)

. (1.25)

Частное решение уравнения (1.23) будем искать в виде

. (1.26)

Здесь числа и следует подобрать так, чтобы выражение (1.26) удовлетворяло уравнению (1.23) и граничным условиям (1.24).

При целом удовлетворяет уравнению (1.23) и условиям (1.24).

Подставим уравнение (1.26) в уравнение (1.24). При этом получим:

.

Выражение в квадратных скобках равно

.

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение вместо выражения в квадратных скобках и проводя сокращения на получим:

,

откуда находим :

.

Таким образом, согласно уравнению (1.26), получаем линейно-независимые решения уравнения (1.23) в виде

Заметим, что это частное решение удовлетворяет однородным краевым условиям (1.24). Линейная комбинация этих частных решений также является решением уравнения (1.23):

, (1.27)

причем , определенное в выражении (1.27), удовлетворяет для любых однородным граничным условиям (1.24). Коэффициенты подбираются исходя из того, что должны удовлетворять начальным условиям (1.25):

.

В результате получаем систему уравнений

,

содержащую уравнений с неизвестными . Решая построенную систему определяем неизвестные коэффициенты .

Для устойчивости исследуемой разностной схемы необходимо, чтобы при любых значениях коэффициентов , определяемое формулой (1.27), оставалось ограниченной величиной при . Для этого достаточно, чтобы для всех выполнялось неравенство

. (1.28)

Анализируя (1.28) видим, что это неравенство выполняется для любых значений параметра . При этом при или в крайнем случае, когда

,

остается ограниченным и при фиксированном не возрастает по модулю. Следовательно мы доказали, что рассматриваемая разностная схема устойчива для любых значений параметра .

2. Реализация метода

2.1 Разработка программного модуля

Поставлена цель: разработать программный продукт для нахождения приближенного решения параболического уравнения:

(1.29)

,

(1.30)

Разобьем область прямыми

– шаг по оси ,

– шаг по оси .

Заменив в каждом узле производные конечно-разностными отношениями по неявной схеме, получим систему вида:

. (1.31)

Преобразовав ее, получим:

, (1.32)

В граничных узлах

(1.33)

В начальный момент

. (1.34)

Эта разностная схема устойчива при любом . Будем решать систему уравнений (1.32), (1.33) и (1.34) методом прогонки. Для этого ищем значения функции в узле в виде

, (1.35)

где – пока неизвестные коэффициенты.

. (1.36)

Подставив значение (1.35) в (1.32) получим:

.

. (1.37)

Из сравнения (1.35) и (1.37) видно, что

. (1.38)

. (1.39)

Для из (1.32) имеем:

.

.

Откуда, используя (1.35), получим:

, (1.40)

. (1.41)

Используя данный метод, мы все вычисления проведем в следующем порядке для всех .

1) Зная значения функции на границе (1.33), найдем значения коэффициентов по (1.40) и по (1.38) для всех .

2) Найдем по (1.41), используя для начальное условие (1.34).

3) Найдем по формулам (1.39) для .

4) Найдем значения искомой функции на слое, начиная с :

2.2 Описание логики программного модуля

Листинг программы приведен в приложении 1. Ниже будут описаны функции программного модуля и их назначение.

Функция main() является базовой. Она реализует алгоритм метода сеток, описанного в предыдущих разделах работы.

Функция f (x, y) представляет собой свободную функцию двух переменных дифференциального уравнения (1.29). В качестве аргумента в нее передаются два вещественных числа с плавающей точкой типа float. На выходе функция возвращает значение функции , вычисленное в точке .

Функции mu_1 (t) и mu_2 (t) представляют собой краевые условия. В них передается по одному аргументу (t) вещественного типа (float).

Функция phi() является ответственной за начальный условия.

В функции main() определены следующие константы:

– правая граница по для области ;

– правая граница по для области ;

– шаг сетки по оси ;

– шаг сетки по оси ;

Варьируя и можно изменять точность полученного решения от менее точного к более точному. Выше было доказано, что используемая вычислительная схема устойчива для любых комбинаций параметров и , поэтому при устремлении их к нуля можем получить сколь угодно близкое к точному решение.

Программа снабжена тремя механизмами вывода результатов работы: на экран в виде таблицы, в текстовый файл, а также в файл списка математического пакета WaterlooMaple. Это позволяет наглядно представить полученное решение.

Программа написана на языке программирования высокого уровня Borland C++ 3.1 в виде приложения MS-DOS. Обеспечивается полная совместимость программы со всеми широко известными операционными системами корпорации Майкрософт: MS-DOS 5.x, 6.xx, 7.xx, 8.xx, Windows 9x/Me/2000/NT/XP.

2.3 Пример работы программы

В качестве примера рассмотрим численное решение следующего дифференциального уравнения параболического типа:

,

Задав прямоугольную сетку с шагом оси 0.1 и по оси 0.01, получим следующее решение:

2.10 1.91 1.76 1.63 1.53 1.44 1.37 1.31 1.26 1.22 1.18

2.11 1.75 1.23 1.20 1.15 1.10 1.07 1.04 1.04 1.07 1.21

2.12 1.61 0.95 0.96 0.93 0.91 0.90 0.90 0.94 1.03 1.24

2.13 1.51 0.79 0.81 0.81 0.80 0.81 0.83 0.89 1.03 1.27

2.14 1.45 0.69 0.73 0.74 0.74 0.76 0.80 0.88 1.04 1.31

2.15 1.41 0.64 0.69 0.70 0.71 0.74 0.79 0.89 1.05 1.34

В таблице ось x расположена горизонтально, а ось t расположена вертикально и направлена вниз.

На выполнение программы на среднестатистическом персональном компьютере тратится время, равное нескольким миллисекундам, что говорит о высокой скорости алгоритма.

Подробно выходной файл output.txt, содержащий таблицу значений функции представлен в приложении 3.

В работе был рассмотрен метод сеток решения параболических уравнений в частных производных. Раскрыты основные понятия метода, аппроксимация уравнения и граничных условий, исследована разрешимость и сходимость получаемой системы разностных уравнений.

На основании изученного теоретического материала была разработана программная реализация метода сеток, проанализирована ее сходимость и быстродействие, проведен тестовый расчет, построен графики полученного численного решения.

1. Березин И.С., Жидков Н.П.Методы вычислений. Т.2. – М.: Физматгиз, 1962.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А.Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

3. Пирумов У.Г.Численные методы. – М.: Издательство МАИ, 1998.

4. Калиткин Н.Н.Численные методы. – М.: Наука, 1976.