Метод сеток уравнение дирихле лапласа

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Страницы работы

Фрагмент текста работы

12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

12.1. Цель работы

Целью работы является закрепление знаний, полученных в лекционном курсе «Вычислительная математика» по разделу «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных», приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

Найти приближенное решение уравнения Лапласа в заданной области с указанными граничными условиями, принять h₁=h₂=0.1

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

12.3 Теоретические сведения

Уравнение относительно неизвестной функции u(x,y) двух или более независимых переменных , которое содержит частные производные этой функции, называется уравнением в частных производных (УЧП).

В общем виде ДУ второго порядка относительно функции двух независимых переменных u(x,y) записывается так :

(12.1)

Функция F— заданная функция восьми аргументов .

Далее будем рассматривать линейные уравнения второго порядка :

Все коэффициенты и правая часть не зависят от u(x,y).

Методы классификации УЧП :

· По порядку уравнения ( наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение)

· По числу переменных ( по числу независимых переменных )

· По критерию « линейное-нелинейное»

A,B,C,D,E,F,G – константы или заданные функции переменных x,y.

· По критерию «однородное-неоднородное»

Однородное , если G(x,y)≡0 для всех x и y.

Если G(x,y)≠0 – неоднородное .

· По виду коэффициентов

A,B,C,D,E,F,G – константы – уравнение с постоянными коэффициентами.

Основные типы УЧП :

Описывает процессы теплопроводности и диффузии : B 2 =4AC

Описывает колебательные системы и волновые движения : B 2 >4AC

Описывает установившиеся процессы : B 2 2 ).

Для уравнения Лапласа система может быть записана в виде:

В данной работе система решается методом простых итераций по формулам:

В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять:

Данная разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Это означает , что выбрав достаточно малый шаг h можно сколь угодно точно численно решить исходную задачу.

12.4 Пример выполнения задания

Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа :

Нумерация элементов матриц начнется с 1

Краевые элементы матрицы искомой поверхности

Для начала расчета зададим начальное приближение , то есть вектор в каждом слое. Рассмотрим слой с точками (0,0.1) и (1,0.1).

Первоначально считаем, что изменение функции происходит равномерно , т.е. с некоторым постоянным шагом :

отрезок разбит на 10 частей , следовательно изменения значения функции происходит на каждом шаге на величину

Тогда получаем, что

Только внутренние элементы матрицы

Сделав такое предположение, мы получаем полностью заполненную матрицу u , при этом надо помнить , что это только начальные (стартовые

Реферат: Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :

область D ограничена линиями: x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;

Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1 . Точность решения СЛАУ e=0.01 .

3. ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.

Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.

1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область D_h путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: y_i =y₀ ± ih, x_j =x₀ ± ih , i,j=0,1,2…. РР Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (x_i ,y_j ).

2. За область D_h принимают те точки множества (x_i ,y_j ) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.

3.Во всех точках области D_h вычисляются значения функции f(x_i ,y_j ) .

4. За область D_h * принимаются все внутренние точки области D_h , т.е. удовлетворяющие требованию:

5. Во всех точках области D_h * вычисляется функция F_(N) *[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):