Метод сталлоне решение кубических уравнений

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Схема метода Кардано

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Формула Кардано

Пример решения кубического уравнения

Схема метода Кардано

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )

где a₀, a₁, a₂, a₃ – произвольные вещественные числа,

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где t – новая переменная.

то выполнено равенство:

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :

(8)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

В развернутой форме эти решения записываются так:

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

С другой стороны,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано» .

Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

Пример . Решить уравнение

Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

Следовательно, уравнение (13) принимает вид

Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

то уравнение (15) примет вид

(17)

Далее из (17) получаем:

Отсюда по формуле (16) получаем:

Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.

Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

Математика | Кубические уравнения по методу Сталлоне

Просмотров: 14 506

fatima hasanova

А как вы догадались, что нужно взять 125?

Аслан Бабазаде

Вот я решал уравнения √x + √y =8 , я специально такое число выбрал ну вот решаю , преобразование делаю, замены перемен , получаю кубическое уравнение , у меня во время замен перемен было √y=t , но я кубическое уравнение поделил на t-4 , получил скобки , где произведения равна нулю если хотя бы один из множителей равен нулю , квадратное уравнение меньше нуля , линейное t раввное 4, подстввляю получаю y равен 16 так как корень из y = t , а t=4 , но вот потом x нахожу и получается x тоже равен 16 , делаю проверку получаю верное равенства √16+√16=8 , ладно но я знаю что если √x равен 9 , √y равен 25 Или наоборот √x = 25 , а √y =9 получаем число при сложение 8 .

Лавриченко Николай

Рояль в кустах, изящно подобранные коэффициенты. За дураков держите.

Дмитрий Землянский

Не понял как подбирать число, вы просто взяли 125 и решили, а к другим вариантам какой принцип подбора?

Сухроб Давлатов

Спасибо большое за решение! Самая Лучшая Учительница В Мире!👏👏👏

Математика | Кубические уравнения по методу Сталлоне

(Видео не для слабонервных) или КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ КАРДАНОПодробнее

ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбикомПодробнее

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинПодробнее

Самый простой способ решить кубическое уравнениеПодробнее

Решение кубических уравнений | Математика с Ольгой ЕвстратовойПодробнее

Кубические уравнения | МатематикаПодробнее

Простейшее кубическое уравнение | ЕГЭ. Задание 5. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин !Подробнее

ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3-6x^2-4x+24=0 Группировка и Деление столбиком многочленаПодробнее

Решить кубическое уравнение. Два способаПодробнее

Решение уравнений третьей степени (формула Кардано)Подробнее

ФОРМУЛА КАРДАНО-ТАРТАЛЬЯ + РЕКЛАМА МФТИ. Подробнее

Решение кубических уравненийПодробнее

Решение любых кубических уравнений, быстро, оригинальноПодробнее

Решение кубического уравнения общего вида, используя комплексные числа, по формуле Кардано!Подробнее

Подстановка Виета или как решить кубическое уравнение, представив его в виде куба разности.Подробнее

S_AE2. Кубические уравненияПодробнее

Формула Кардано. Решение уравнений третьей степени.Подробнее

Формула Кардано для решения кубических уравненийПодробнее