Метод умножения в системе уравнений 9 класс

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm \)

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& \end\right. \)
Замена переменных: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(a^2-2b)b=10>& \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <9b-2b^2=10>& \end\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. \)

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Решение системы уравнений
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Рассматриваются вопросы методов решения системы уравнений. Приводятся примеры.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МБУДО «ЦДТ «Азино» Советского района г.Казани

на тему «Решение системы уравнений»

педагог Церетели Н.К.

объединение «Шаг за шагом к знаниям»

образовательная программа по алгебре

возраст детей 15 лет (9 класс)

учебная группа 1

база проведения МБОУ «Гимназия №125»

дата проведения 02.12.2019г

1. Образовательные : обобщить знания и закрепить умения учащихся решать системы уравнений второй степени различными способами.

2. Развивающие : применяя ИКТ развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся и развивать логическое мышление учащихся .

3. Воспитательные : воспитывать умения навыков самоконтроля, воли, взаимопомощи, упорства в достижении целей.

Тип урока: урок –обобщение.

Формы урока: групповая.

Методы урока: практический, исследовательский.

Оборудование: компьютер, проектор, экран для демонстраций

Задачи: ( обучающие, воспитывающие, развивающие)

Ход учебного занятия:

1. Организационный момент; (2 мин)
2. Проверка домашней работы; (6 мин)

1. Практическая часть урока: (30 мин)

а) Первый тур: «Устные вопросы группам»;

1.Что называется системой уравнений второй степени?
2. Какие способы решений систем уравнений второй степени вы знаете?
3. Назовите наиболее удобный способ решения систем уравнений второй степени?
4. Удобен ли графический способ для системы второй степени? Ответ обоснуйте.

5. Назовите достоинства способа сложения?

6. Любую ли систему можно решить способом сложения?

б) Второй тур: «Общие практические задания»;

Маленький тест (Работа по презентации)

1. На рисунке изображен графики функций

у= х 2 – 2х–3 и у =1–х

Используя графики решите систему уравнений.

1. На рисунке изображены графики функций

у= х 2 – 2х–3 и у= 1–х

1. Используя графики решите систему уравнений.

Укажите рисунок, на котором приведена графическая иллюстрация

решения системы уравнений

Задания по группам

• Решить систему уравнений графическим способом:

• Решить систему уравнений методом подстановки:

Решить систему уравнений методом сложения:

Группы защищают свои проекты

в) Третий тур: «Тест».

1. Выполнение теста (Раздаточный материал)

2. Проверка по эталону

5 – 6 баллов – оценка «3»;

7 – 9 баллов – оценка «4»; 10 баллов – оценка «5».

IV. Подведение итогов урока. Рефлексия. (2 мин).

Проверь задания и результаты запиши в карточку-зачѐтку

Количество баллов за домашнее задание

Количество баллов за маленький тест

Количество баллов за тест

Общее кол-во баллов

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Открытый урок по алгебре 9 кл тема: п13 «Решение систем уравнений второй степени» (4-ый урок) Цели урока: 1. Образовательные : обобщить знания и закрепить умения учащихся решать системы уравнений второй степени различными способами. 2. Развивающие : применяя ИКТ развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся и развивать логическое мышление учащихся . 3. Воспитательные : воспитывать умения навыков самоконтроля, воли, взаимопомощи, упорства в достижении целей. Тип урока: урок –обобщение. Формы урока: групповая. Методы урока: практический, исследовательский . Оборудование: компьютер, проектор, экран для демонстраций.

Этапы урока : Организационный момент; (2 мин) Проверка домашней работы; (6 мин) Практическая часть урока: (30 мин) а) Первый тур: «Устные вопросы группам»; б) Второй тур: «Общие практические задания»; в) Третий тур : «Тест». IV. Подведение итогов урока. Рефлексия. (2 мин).

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» М.В.Ломоносов Урок-соревнование по теме: «Решение систем уравнений второй степени»

Ф.И. ученика Лист самоконтроля. Всего баллов ОЦЕНКА за урок 1 Этап: Устные вопросы 2 Этап: Общие практические задания 3 Этап: Тест Задания 1балл 1балл № 1 (1б) № 2 (1б) № 3 (1б) № 4 (1б) № 5 (1б) № 6 (1б) № 7 (2б) Количество баллов Лист самоконтроля 5 – 6 баллов – оценка «3» ; 7 – 9 баллов – оценка «4» ; 10 баллов – оценка «5». 1 тур: Устные вопросы; 2 тур: Общие практические задания; 3 тур: Тест.

Решите систему уравнений:

Ответьте на вопросы. 1.Что называется системой уравнений второй степени? 2. Какие способы решений систем уравнений второй степени вы знаете? 3. Назовите наиболее удобный способ решения систем уравнений второй степени? 4. Удобен ли графический способ для системы второй степени? Ответ обоснуйте. 5. Назовите достоинства способа сложения? 6. Любую ли систему можно решить способом сложения? 3-й этап: Первый тур: «Устные вопросы группам»

3 1 2 Маленький тест На рисунке изображены графики функций у=х 2 – 2х–3 и у=1–х Используя графики решите систему уравнений. 4 ВЕРНО! ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! у=1–х у=х 2 – 2х –3 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 (-2; 5), (2; -3) х 1 =-2 , х 2 =2; ПОДУМАЙ! Нет решений у 1 =-3 , у 2 =5;

3 2 1 Маленький тест На рисунке изображены графики функций у= х 3 и у=2х+4 Используя графики решите систему уравнений 4 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! у=2х+4 у=х 3 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 (2; 8) х 1 =-2 , х 2 =2; ПОДУМАЙ! Нет решений х = 2 ВЕРНО!

Укажите рисунок, на котором приведена графическая иллюстрация решения системы уравнений 3 4 2 1 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Верно! 2 1 0 4 4 -2 х у у х х х у у -2 4 4 -4 -4 -2 -2

Второй тур: «Общие практические задания» Задания группам: Решить систему уравнений графическим способом: Решить систему уравнений методом подстановки: Решить систему уравнений методом сложения: .

Выразить у через х в каждом уравнении Построить в одной системе координат график каждого уравнения Определить координаты точки пересечения Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

1 0 1 x y y= y=x+2 у — х=2, у — = 0; Выразим у через х у=х+2, у= ; Построим график первого уравнения у=х+2 Построим график второго уравнения у= Ответ: (2; 4);(-1;1) 4 -1 2 Найдем координаты точек пересечения графиков функций

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной Записать ответ: х =…; у =… .

х — у=2, ; Выразим х через у х=2+у, Подставим х=2+у, Решим уравнение х=2+у, у=0; Подставим х=2, у=0. Ответ: (2;0);(3;1). у=0 или 1-у=0 у=1 х=2+у, у=1; Подставим х=3, у=1. 1) 2)

Уравнять модули коэффициентов, умножив почленно уравнения системы на число так, чтобы коэффициенты стали противоположными числами; сложить почленно левые и правые части уравнений системы; решить полученное уравнение с одной переменной; Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной Записать ответ: х=…; у=… .

х 2 — 2у 2 =14, х 2 + у 2 =9; Уравняем модули коэффи- циентов перед у х 2 — 2у 2 =14, х 2 +2у 2 =18; + 2 х 2 = 32 , х 2 — 2у 2 =14; Сложим уравне- ния почленно Решим уравнение х 2 = 16 , х 2 — 2у 2 =14 ; Подставим х 2 = 16 , 16- 2у 2 =14; Решим уравнение х 2 = 16 , у 2 = 1 ; х=  4 , у=  1 ; Ответ: ( 4 ; 1); (4; -1); (-4; 1); (-4; -1). |  2

Третий тур : «Тест»:

Часть 1. Часть 2. 1(1б) 2 (1б) 3(1б) 4(1б) 1(1б) 2(1б) 3(2б) в (2;-3),(-2;5) а в 2 а б Ответы: Вариант1. Ответы: Вариант2. Часть 1. Часть 2. 1(1б) 2(1б) 3(1б) 4(1б) 1(1б) 2(1б) 3(1б) б (2;3),(-2;-5) в б 4 а а

Итоги: 5 – 6 баллов – оценка «3» ; 7 – 9 баллов – оценка «4» ; 10 баллов – оценка «5» .

Спасибо за урок Молодцы! Благодарим за внимание!