Метод уравнений кирхгофа для переменного тока

Правила Кирхгофа для цепей переменного тока

Вы будете перенаправлены на Автор24

Правила Кирхгофа для цепей переменного тока

Уравнение Ома для переменного тока:

где импеданс $Z=R+i\left(\omega L-\frac<1><\omega C>\right)$ позволяет решать все задачи для переменного тока в цепи, которая содержит индуктивность, емкость, сопротивление. Роль этого закона такая же, как и закона Ома для цепей постоянного тока. Следовательно, схема анализа разветвленных цепей переменного тока аналогична, анализу цепей постоянного тока.

Представим, что имеем сложную цепь переменного тока. Мы должны рассматривать только квазистационарные токи, так как для их мгновенных значений справедливы законы Кирхгофа, что и для постоянных токов. Для любого замкнутого контура выполняется второе правило Кирхгофа:

где $<<\mathcal E>>_$ — комплексные амплитуды ЭДС генераторов, $Z_k$ — комплексные импедансы, $I_$ — комплексные амплитуды сил тока.

[Определение] Для каждой точки разветвления цепи переменного тока выполняется первое правило Кирхгофа:

Необходимо отметить, что законы постоянного тока применяются к комплексным амплитудам напряжения и ЭДС, тока и сопротивлений отдельных участков цепи. Получается, что любую задачу о расчете цепи переменного тока можно решить, если получить решение для схемы, по которой течет постоянный ток, а затем заменить все физические величины (токи, напряжения, ЭДС, сопротивления участков) на их комплексные аналоги.

Обобщение правил Кирхгофа на разветвленные цепи переменного тока было сделано Д.У. Рэлеем.

Готовые работы на аналогичную тему

Как уже говорилось, каждая величина, которая входит в правила Кирхгофа является комплексной и уже содержит фазу (следовательно, и знак), при составлении уравнений надо проставлять знаки, так как один участок может принадлежать разным контурам, и соответственно может быть пройден по разным направлениям. Решение уравнений дает возможность найти как амплитуды всех сил токов, так и их фазы. Так как величины, входящие в уравнения комплексные, то количество уравнений в два раза больше, чем было бы, если бы токи были постоянными.

Метод контурных токов

При расчете сложных цепей используют метод контурных токов. Этот метод является следствием правил Кирхгофа. Сложный контур рассматривается как совокупность простых замкнутых контуров. В данном методе принимается то, что на всех участках каждого замкнутого контура течет один и тот же ток. Эти токи называются котурнами. Суммарная сила тока, которая течет по участку контура, равна алгебраической сумме сил контурных токов, для которых этот участок общий. Уравнение Кирхгофа записывается через контурные токи. При этом количество уравнений для контурных токов равно числу неизвестных токов.

Схема расчета сопротивления в цепи переменного тока

Для получения сопротивления цепи переменного тока можно применять простое правило. Гипотетически заменить каждую индуктивность ($L$) на комплексное сопротивление вида $i\omega L$, каждую емкость ($С$) — на $\frac<1>$, все активные сопротивления оставить $R$. С полученными комплексными сопротивлениями провести те же операции, что и при вычислении сопротивления цепи постоянного тока, используя правила нахождения сопротивления параллельных и последовательных соединений. Полученная в результате комплексная величина $Z=X+iY$ будет комплексным сопротивлением цепи (импедансом). При этом $X$ — активное сопротивление цепи, $Y$ — реактивное сопротивление. Величина $\left|Z\right|$ — модуль импеданса:

есть сопротивление цепи переменного тока, оно определяет амплитуду силы тока при известной амплитуде напряжения на концах цепи. Аргумент импеданса определяет угол ($\varphi $), на который напряжение опережает ток в цепи:

Описанный метод расчета комплексных сопротивлений часто применяется в электротехнике. Он не требует вычисления сдвигов фаз (что требуется при построении диаграмм), так как они учтены в комплексных сопротивлениях. Кроме того этот метод позволяет проводить вычисления с любой точностью, тогда как методы графический и векторных диаграмм наглядны, но не точны.

При последовательном соединении импедансов он рассчитывается как сумма:

При параллельном, соответственно:

Задание: Найдите токи, которые текут в участках цепи, которая изображена на рис.1. Считать известными импедансы, которые указаны на рисунке.

Решение:

На рис.1 сложный контур состоит из трех простых контуров. В уравнении Кирхгофа при обходе замкнутого контура (между его узлами) используется сила тока, протекающая по этому участку. На каждом участке контура, в общем случае, сила тока отличается. Найдем полный импеданс для каждого участка контура между узлами (обозначим его соответствующим индексом). Положительное направление обхода обозначено стрелками.

Запишем уравнения, в соответствии с правилами Кирхгофа:

где $Z_<11>,Z_<22>,Z_<33>$ — собственные импедансы контуров, равные:

\[Z_<11>=Z_1+Z_2+Z_3(1.4),\ \] \[Z_<22>=Z_4+Z_5+Z_6+Z_2\left(1.5\right),\] \[Z_<33>=Z_3+Z_6+Z_2\left(1.6\right).\]

$Z_<12>$, $Z_<13>$. — взаимные импедансы контуров. Они равны импедансам участков контуров, причем их знак зависит от того в каком направлении проходит ток соответствующий участок по отношению к контурному току. В нашем случае:

Количество уравнений, которые мы записали, равно количеству неизвестных токов. Решим нашу систему уравнений:

где определитель системы равен:

Задача решена.

Задание: Цепь содержит конденсатор, емкость которого равна $C$, и активное сопротивление $R$ элементы соединены параллельно. Чему равен модуль импеданса? На какой угол напряжение опережает по фазе ток при таком соединении элементов?

Решение:

Заменим емкость $C$ на величину: $\frac<1>$, учитывая, что соединение элементов параллельное, суммарный импеданс найдем как:

Приведем выражение для импеданса к виду:

Для этого правую часть выражения (2.1) умножим и разделим на $\frac<1>-i\omega C$, получим:

Модуль импеданса равен:

Ответ: $\left|Z\right|=\frac<\sqrt<1+\omega^2C^2R^2>>,\varphi=-arc\left(\omega RC\right).$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 03 2021

Правила кирхгофа для цепей переменного тока — справочник студента

Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

• Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
• Узел – точка соединения трех или более ветвей.
• Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.

При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

1 закон Кирхгофа

В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда).
Алгебраическая сумма — это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

• I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
• Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
• Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
• Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
• Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
• Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
• А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
• Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.

2 закон Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи.

Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

• На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
• БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
• ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
• ГА: φГ – I4r4 = φА.
• Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
• или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
• Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.

Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Уравнение для постоянных напряжений — Уравнение для переменных напряжени —

Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

• Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.
• При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.
• Определить знак можно по алгоритму:

• 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
• 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
• 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).

Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.

Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

Решение задач

1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

Дано:
Решение:

Используя первый закон Кирхгофа, запишем уравнение для цепи. Сумма токов сходящихся в узле равна нулю. Примем входящие токи положительными, а выходящие отрицательными. Тогда: Используя второй закон Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода произвольны, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, знак «+», если иначе, то «-». С источниками ЭДС так же. Для первого контура токи I1 и I3 совпадают с направлением обхода, ЭДС Е1 также совпадает, то есть берем их со знаком «+». Для первого и второго контуров по второму закону Кирхгофа получаем следующие уравнения: Таким образом, получаем систему из трех уравнений, являющуюся решением задачи:

2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.

Законы Кирхгофа простыми словами ⋆ diodov.net

Два закона Кирхгофа вместе с законом Ома составляют тройку законов, с помощью которых можно определить параметры электрической цепи любой сложности.

Законы Кирхгофа мы будем проверять на примерах простейших электрических схем, собрать которые не составит никакого труда.

Для этого понадобится несколько резисторов, пара источников питания, в качестве которых подойдут гальванические элементы (батарейки) и мультиметр.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа говорит, что сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Существует и другая, аналогичная по смыслу формулировка: сумма значений токов, входящих в узел, равна сумме значений токов, выходящих из узла.

Давайте разберем сказанное более подробно. Узлом называют место соединения трех и более проводников.

• 
• Ток, который втекает в узел, обозначается стрелкой, направленной в сторону узла, а выходящий из узла ток – стрелкой, направленной в сторону от узла.
• 
• Согласно первому закону Кирхгофа
• 

Условно присвоили знак «+» всем входящим токам, а «-» ‑ все выходящим. Хотя это не принципиально.

1 закон Кирхгофа согласуется с законом сохранения энергии, поскольку электрические заряды не могут накапливаться в узлах, поэтому, поступающие к узлу заряды покидают его.

Убедиться в справедливости 1-го закона Кирхгофа нам поможет простая схема, состоящая из источника питания, напряжением 3 В (две последовательно соединенные батарейки по 1,5 В), три резистора разного номинала: 1 кОм, 2 кОм, 3,2 кОм (можно применять резисторы любых других номиналов). Токи будем измерять мультиметром в местах, обозначенных амперметром.

1. 
2. Если сложить показания трех амперметров с учетом знаков, то, согласно первому закону Кирхгофа, мы должны получить ноль:
3. I1 — I2 — I3 = 0.
4. Или показания первого амперметра А1 будет равняться сумме показаний второго А2 и третьего А3 амперметров.

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа воспринимается начинающими радиолюбителями гораздо сложнее, нежели первый. Однако сейчас вы убедитесь, что он достаточно прост и понятен, если объяснять его нормальными словами, а не заумными терминами.

• Упрощенно 2 закон Кирхгофа говорит: сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений
• ΣE = ΣIR
• Самый простой случай данного закона разберем на примере батарейки 1,5 В и одного резистора.
• 
• Поскольку резистор всего один и одна батарейка, то ЭДС батарейки 1,5 В будет равна падению напряжения на резисторе.
• Если мы возьмем два резистора одинакового номинала и подключим к батарейке, то 1,5 В распределятся поровну на резисторах, то есть по 0,75 В.
• 
• Если возьмем три резистора снова одинакового номинала, например по 1 кОм, то падение напряжения на них будет по 0,5 В.
• 
• Формулой это будет записано следующим образом:
• 

Рассмотрим условно более сложный пример. Добавим в последнюю схему еще один источник питания E2, напряжением 4,5 В.

Обратите внимание, что оба источника соединены последовательно и согласно, то есть плюс одной батарейки соединяется с минусом другой батарейки или наоборот. При таком способе соединения гальванических элементов их электродвижущие силы складываются: E1 + E2 = 1,5 + 4,5 = 6 В, а падение напряжения на каждом сопротивлении составляет по 2 В. Формулой это описывается так:

Правила (законы) Кирхгофа простыми словами: формулировки и расчеты

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях.

В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Рис. 1. Схема контура

Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Рис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Рис. 4. Магнитные контуры цепей

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений».

Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода.

( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Рис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

• I1R1 + I3 R3 = E1;
• I2R2 + I3R3 = E2.

Решаем систему уравнений:

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Решая эту систему, получим:

1. I1 = 1,36 (значения в миллиамперах).
2. I2 = 2,19 мА.;
3. I3 = 3,55 мА.

• Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:
• E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).
• Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.
• Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

Закон кирхгофа для электрической цепи для чайников

По каждому проводнику, составляющему электрическую цепь, течет ток. В точке, где проводники сходятся, называемой узлом, справедливо правило: ток суммарный, подтекающий к нему, равняется сумме, оттекающих.

Законы кирхгофа

Другими словами – сколько зарядов подтечет к этой точке за единицу времени, столько же оттечет. Если принять, что приходящий будет «+», а оттекающий – «-», то суммарная его величина будет нулевой.

Это и есть Первый закон кирхгофа для электрической цепи. Смысл его в том состоит, что заряд не накапливается.

Закон Второй, применим к цепи электрической разветвленной.

Эти универсальные законы Кирхгофа применяют очень широко, поскольку позволяют решить множество задач. Большим их достоинство считают простую и понятную всем формулировку, несложные вычисления.

История

Пополнил ряды немецких ученых Кирхгоф в девятнадцатом столетии, когда в стране, находившаяся на пороге революции индустриальной, требовались новейших технологии. Ученые занимались поиском решений, которые могли бы ускорить развитие промышленности.

Активно занимались исследованиями в области электричества, поскольку понимали, что в будущем оно будет широко использоваться. Проблема состояла на тот момент не в том, как составлять электрические цепи из возможных элементов, а в проведении математических вычислений. Тут и появились законы, сформулированные физиком. Они очень помогли.

Алгебраическая сумма приходящих к узлам токов и исходящих из него равна нулю. Эта одновременно вытекает из другого закона — постоянства энергии.

К узлу подходят 2 провода, а отходит один. Значение тока, текущего от узла, такое же, как сумма его, протекающего по двум остальным проводникам, т.е. идущим к нему. Правило Кирхгофа объясняет, что, при ином раскладе, накапливался бы заряд, но такого не бывает. Все знают, что всякую сложную цепь легко разделить на отдельные участки.

Но, при этом непросто определить путь, по которому он проходит. Тем более, что на различных участках сопротивления не одинаковы, поэтому и распределение энергии не будет равномерным.

В соответствие со Вторым правилом Кирхгофа, энергия электронов на каждом из замкнутых участков электрической цепи равняется нулю – нулю равняется всегда в таком контуре суммарное значение напряжений. Если бы нарушилось данное правило, энергия электронов при прохождении определенных участков, уменьшалась бы или увеличивалась. Но, этого не наблюдается.

Применение

Таким образом, благодаря этим двум, выдвинутым Кирхгофом утверждениям, установлено зависимость токов от напряжений в разветвленных участках.

Формула Первого закона такова:

• Для схемы, приведенной ниже, справедливо:
• 
• I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0
• Плюсовые — это токи, идущие к точке, а те, что выходят из нее «-».
• Записывается это так:

• k — количество ЭДС источников;
• m – ветви замкнутого контура;
• Ii,Ri – их сопротивление i-й и ток.

В данной схеме: Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4.

• ЭДС принимается «+» при совпадении ее направления с выбранным направлением обхода.
• При совпадении направления тока и обхода на резисторе, с плюсом будет также напряжение.

Расчет цепи

Способ заключается в умении составления систем уравнений, а также решении их, для нахождения токов в каждой ветви (b), а уже, зная их, умении нахождения величины напряжений.

Проще говоря, количество ветвей совпадать должно с неизвестными величинами в системе. Вначале записывают их, исходя из первого правила: число их идентично с количеством узлов.

Но, независимыми будут (y – 1) выражений. Обеспечивается это выбором, а происходит он так, чтобы разнились они (последующий со смежными) минимум одной ветвью.

1. Далее, составляются уравнения с использованием второго закона: b — (y — 1) = b — y +1.
2. Независимым считают контур, содержащий одну (или больше) ветвь, которая в другие не входит.
3. В качестве примера можно рассмотреть такую схему:

• Сдержит она:
• узлов – 4;
• ветвей –6.

По Первому закону записывают три выражения, т.е. y — 1 = 4 – 1=3.

1. И столько же на основании Второго, поскольку b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3.
2. В ветвях выбирают плюсовое направление и путь обхода (у нас — по стрелке часовой).
3. Получается:

Осталось относительно токов решить получившуюся систему, понимая, что, когда в процессе решения он получается отрицательным, это свидетельствует о том, что направлен он будет в противоположную сторону.

Правило Кирхгофа применительно к синусоидальным токам

Правила для синусоидального, такие же, как для тока постоянного. Правда, учитываются величины напряжений с комплексными токами.

• Первое звучит: «в электрической цепи нулю равна сумма алгебраическая комплексных токов в узле».
• Второе правило выглядит так: «алгебраическая сумма ЭДС комплексных в контуре замкнутом равняется сумме алгебраической значений комплексных напряжений, имеющихся на пассивных составляющих данного контура.
• Видео: Законы Кирхгофа

Законы Ома и Кирхгофа, теория и примеры

Закон Ома является основным законом, который используют при расчетах цепей постоянного тока. Он является фундаментальным и может применяться для любых физических систем, где есть потоки частиц и поля, преодолевается сопротивление.

Законы или правила Кирхгофа являются приложением к закону Ома, используемым для расчета сложных электрических цепей постоянного тока.

Закон Ома

• Обобщенный закон Ома для неоднородного участка цепи (участка цепи, содержащего источник ЭДС) имеет вид:
• 
• – разность потенциалов на концах участка цепи; – ЭДС источника на рассматриваемом участке цепи; R – внешнее сопротивление цепи; r – внутреннее сопротивление источника ЭДС. Если цепь разомкнута, значит, тока в ней нет (), то из (2) получим:

ЭДС, действующая в незамкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Получается, для нахождения ЭДС источника следует измерить разность потенциалов на его клеммах при незамкнутой цепи.

Закон Ома для замкнутой цепи записывают как:

Величину иногда называют полным сопротивлением цепи. Формула (2) показывает, что электродвижущая сила источника тока, деленная на полное сопротивление равна силе тока в цепи.

Закон Кирхгофа

Пусть имеется произвольная разветвленная сеть проводников. В отдельных участках включены разнообразные источники тока. ЭДС источников постоянны и будем считать известными. При этом токи во всех участках цепи и разности потенциалов на них можно вычислить при помощи закона Ома и закона сохранения заряда.

Для упрощения решения задач по расчетам разветвлённых электрических цепей, имеющих несколько замкнутых контуров, несколько источников ЭДС, используют законы (или правила) Кирхгофа. Правила Кирхгофа служат для того, чтобы составить систему уравнений, из которой находят силы тока в элементах сложной разветвленной цепи.

Первый закон Кирхгофа

Сумма токов в узле цепи с учетом их знаков равна нулю:

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле цепи – это заряд, который приходит в узел за единицу времени.

При составлении уравнение используя законы Кирхгофа важно учитывать знаки с которыми силы токов входят в эти уравнения. Следует считать, что токи, идущие к точке разветвления, и исходящие от разветвления имеют противоположные знаки. При этом нужно для себя определить какое направление (к узлу или от узла) считать положительным.

Второй закон Кирхгофа

Произведение алгебраической величины силы тока (I) на сумму вешних и внутренних сопротивлений всех участков замкнутого контура равно сумме алгебраических значений сторонних ЭДС () рассматриваемого контура:

Каждое произведение определяет разность потенциалов, которая существовала бы между концами соответствующего участка, если бы ЭДС в нем была равно нулю. Величину называют падением напряжения, которое вызывается током.

Второй закон Кирхгофа иногда формулируют следующим образом:

Для замкнутого контура сумма падений напряжения есть сума ЭДС в рассматриваемом контуре.

Второе правило (закон) Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома. Так, если в изолированной замкнутой цепи есть один источник ЭДС, то сила тока в цепи будет такой, что сумма падения напряжения на внешнем сопротивлении и внутреннем сопротивлении источника будет равна сторонней ЭДС источника.

Если источников ЭДС несколько, то берут их алгебраическую сумму. Знак ЭДС выбирается положительным, если при движении по контуру в положительном направлении первым встречается отрицательный полюс источника.

(За положительное направление обхода контура принимают направление обхода цепи либо по часовой стрелке, либо против нее).

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.

Расчет многоконтурной линейной электрической цепи, имеющей «b» ветвей с активными и пассивными элементами и «у» узлов, сводится к определению токов отдельных ветвей и напряжений на зажимах элементов, входящих в данную цепь.

Пассивной называется ветвь, не содержащая источника ЭДС. Ветвь, содержащая источник ЭДС, называется активной.

1-й закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет получить (y — I) уравнений.

Недостающие уравнения в количестве b — (у — I) составляют, исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнение записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.

Порядок выполнения расчета:

1. выделяют в электрической цепи ветви, независимые узлы и контуры;
2. с помощью стрелок указывают произвольно выбранные положительные направления токов в отдельных ветвях, а также указывают произвольно выбранное направление обхода контура;
3. составляют уравнения по законам Кирхгофа, применяя следующее правило знаков:
   1. токи, направленные к узлу цепи, записывают со знаком «плюс», а токи, направленные от узла,- со знаком «минус» (для первого закона Кирхгофа);
   2. ЭДС и напряжение на резистивном элементе (RI) берутся со знаком»плюс», если направления ЭДС и тока в ветви совпадают с направлением обхода контура, а при встречном направлении — со знаком «минус»;
4. решая систему уравнений, находят токи в ветвях. При решении могут быть использованы ЭВМ, методы подстановки или определителей.

Отрицательные значения тока какой-либо ветви указывают на то, что выбранные ранее произвольные направления тока оказались ошибочными. Это следует учитывать, например, при построении потенциальной диаграммы, где следует знать истинное направление тока.

На рис. 4, а изображена исходная электрическая схема, для которой следует рассчитать токи в ветвях. Направления токов и обхода контуров приведены на рис. 4, б.

Система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид

Дальше >
Лекции по основам электротехники >

Учебные работы по всем предметам

Законы Кирхгофа, объясняем простыми словами

С помощью первого и второго законов Кирхгофа, а также закона Ома можно найти параметры схемы любой сложности. Поэтому знание, а самое главное понимание этих трех законов строго обязательно для всех кто занимается электроникой. В этой статье я постараюсь максимально просто объяснить и на простейших схемах показать, как работают законы Кирхгофа. Итак, давайте начнем.

Первый закон Кирхгофа

Итак, Первый закон Кирхгофа говорит нам о том, что сумма токов в любом узле абсолютно любой электрической цепи равна нулю. Или так же говорит, что алгебраическая сумма втекающих токов равна алгебраической сумме вытекающих из узла токов.

Узлом в сети называется такой участок цепи, в котором соединяются три и более проводника. Ток, входящий в узел, обозначается стрелочкой, имеющей направление к узлу, а вытекающий — стрелочкой, имеющей направление от узла

И теперь на основании первого закона Кирхгофа запишем следующее уравнение:

Эта же формула может быть записана следующим образом:

При этом положительные и отрицательные знаки токам присвоены условно и если вы поменяете их с точностью до наоборот, то ничего принципиально не изменится.

Для того, чтобы наглядно увидеть работу Первого закона Кирхгофа, давайте соберем простейшую схему.

В качестве источника питания вы можете выбрать абсолютно любой элемент, начиная от пальчиковой батарейки и заканчивая блоком питания с возможностью регулировки.

Примечание. Не обязательно использовать резисторы с номиналом, который указан на схеме. Вы можете подобрать абсолютно любые, какие есть у вас в наличии.

Итак, согласно 1 закону Кирхгофа у нас должно быть верно, следующее уравнение:

Для проведения практических измерений нам нужно в место на схеме где указан амперметр подключить, например, мультиметр.

Как мы видим по показаниям мультиметра закон работает.

Второй закон Кирхгофа

С пониманием второго закона у многих радиолюбителей в самом начале пути возникают трудности. Но если объяснить по-простому, то все более чем просто, сейчас докажу.

• Итак, определение второго закона Кирхгофа звучит так:
• В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех пассивных элементах цепи.
• Согласитесь, звучит не очень понятно, а вот если сказать проще то:
• Сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений и формула, выражающая этот закон, будет иметь такой вид

Для понимания давайте разберем самую простую схемку с одним пассивным элементом (резистором) и источником питания в виде пальчиковой батарейки.

Так как у нас резистор один, то падение напряжение на его выводах будет равно величине ЭДС элемента питания (батарейки), то есть 1,5 В = 1,5 В.

Если несколько усложнить схему и добавить к резистору еще один с аналогичным сопротивлением, то в этом случае, то напряжение в 1,5 Вольта поделится пополам на резисторах и будет равно 0,75 В.

Так же произойдет деление напряжения, если мы в цепочку включим третий резистор с одинаковым сопротивлением.

Формула обретет следующий вид:

Давайте для понимания соберем эту схему и произведем измерения.

Как видите, согласно второму закону Кирхгофа, небольшое расхождение в показаниях мультиметра спишем на погрешность прибора (китай как никак).

Кроме одного источника питания в цепи их может быть несколько как, например, в этой схеме

В этом случае у нас два источника питания подключены последовательно встречно, в таком варианте к нашим резисторам будет приложена разность ЭДС, то есть формула обретет следующий вид:

Второй закон Кирхгофа функционирует в цепях независимо от того сколько источников ЭДС и нагрузок будет в схеме. Так же нет принципиальной разницы, где они будут располагаться.

Так же первый и второй законы Кирхгофа одинаково применимы как для постоянного, так и для переменного тока.

Статья оказалась полезна или интересна, тогда ставим лайк и спасибо за уделенное внимание!

Правила Кирхгофа расчета цепей постоянного тока

В теории цепей постоянного тока обычно ставятся следующие задачи 1) вычисление тока или напряжения на любом элементе схемы, если задан ее вид и параметры элементов, подключение источников тока и их напряжения 2) вычисление полного сопротивления цепи. Эти задачи могут быть решены на основе общего метода, опирающегося на законы сохранения. С помощью него можно рассчитывать любые цепи постоянного тока.

Этот метод состоит из двух утверждений, называемых правилами Кирхгофа. Узлом называется точка цепи, к которой присоединяются три или более элементов цепи.

Поскольку заряд в узле не накапливается, то количество его, втекающего в узел в единицу времени должно быть равно количеству заряда, покидающего узел.

То есть, сумма токов, втекающих в узел, должна быть равна сумме вытекающих токов.

Видно, что на рисунке в узел втекает ток i1, а вытекают i2 i3 i4. Поэтому . Ясно, что в узел должен втекать хотя бы один ток, и хотя бы один должен вытекать. Видно, что это простое правило непосредственно следует из закона сохранения заряда.

Второе правило использует понятие контура. Контуром называется последовательность нескольких узлов, связанных элементами цепи. Если узлы не повторяются, то контур является простым. Рассмотрим простой контур ABDCA

В курсе 8 класса мы рассмотрим лишь контуры с элементами, не содержащими источников тока (пассивными). В данном случае, это резисторы. Для описания контура необходимо выбрать направление его обхода. Мы выбрали направление по часовой стрелке, хотя можно было и наоборот. Падение напряжения на участке АВ равно согласно закону Ома. Аналогично можно найти , , . В последней формуле стоит знак -, поскольку ток i1 направлен против нашего обхода контура, то есть, двигаясь в этом направлении по резистору R1 мы идем против электрического поля. Оно, тем самым, совершает отрицательную работу. Теперь становится ясно, чему равна сумма падений напряжения по замкнутому контуру ABDCA. Ведь это работа сил электрического поля (отнесенная к единичному заряду). Источников в этом контуре нет, поэтому энергию взять неоткуда. Если бы работа сил поля была отлична от 0, то получился бы источник бесконечной энергии, производимой силами электрического поля. Отсюда вывод . Этот простой вывод, полученный из закона сохранения энергии называется Вторым правилом Кирхгофа. Выражая напряжения через токи, получим . Если контур не замкнут, то полное падение напряжения между его концами равно сумме падений напряжений на его элементах. Поскольку полная работа сил электрического поля есть сумма работ на последовательных участках контура.

Покажем на примере, как использовать эти правила, заодно прояснив некоторые вопросы. Для этого используем мостовую схему, к которой нельзя применить свойства симметрии. Однако некоторую симметричность мы ей все-таки придадим, чтобы математическая часть задачи была не очень громоздкой.

Сопротивления обозначены на схеме, а источник с напряжением U подключен так, что его + соответствует левой клемме, и, следовательно, полный ток цепи, обозначенный буквой i, течет по часовой стрелке. Поэтому однозначно определены направления токов через резисторы R и 2R, однако куда течет ток через резистор 3R сразу сказать нельзя. Поступим так.

Выберем его направление так, как нам захочется (вниз), а затем будем решать задачу. Если вдруг в процессе решения ток i3 окажется отрицательным, то на самом деле он течет снизу вверх. Уравнения сами скажут нам, куда реально направлен этот ток. Для упрощения наших уравнений легко догадаться, что токи через резисторы R будут одинаковыми.

Ведь изменение полярности источника приведет к изменению направлений всех токов, причем резисторы R «поменяются местами». То же можно сказать о токах через резисторы 2R. Обозначив узлы и токи как на рисунке, можно приступить к составлению уравнений.

Наша задача – найти полное сопротивление между точками АС и токи во всех элементах, при условии, что к точкам АС приложено напряжение U.

В узле А выполнено соотношение . В узле В выполнено соотношение .

Легко сообразить, что узлы C и D дадут такие же уравнения, и ничего нового из них не получишь. Замкнутых контуров в цепи два: ABDA и BCDB. Видно, что они полностью идентичны. Выберем первый контур с направлением обхода по часовой стрелке. . Видно, что этих уравнений недостаточно. Ведь токи зависят от напряжения U, а оно пока не входит в наши уравнения. Для этого нужно взять незамкнутый контур АВС . Поэтому . Получена система уравнений

Она состоит из четырех неизвестных токов, которые могут быть выражены. Три последних уравнения не содержат тока i. Выразив первый ток из второго уравнения, подставляем его в (3) и (4).

Теперь возвращаемся к току i.

Теперь можно вычислить полное сопротивление цепочки.

Задача полностью решена, поскольку вычислены все токи и полное сопротивление. Пользуясь этим универсальным (но далеко не простым в расчетах) методом, можно решать любые задачи о цепях постоянного тока.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

№18 Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока.

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

где n — число ветвей, сходящихся в узле

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

где m — число ветвей, образующих контур

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Киргофа в векторной форме

Законы Киргофа в символической форме

Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям выше; применение метода векторных диаграмм, использование в расчетах комплексных чисел и уравнений, являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 18.1).

Токи первых двух ветвей известны:

Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы

Рис. 18.1 — Узел электрической цепи

Непосредственное сложение синусоид:

Сумма двух синусоид одинаковой чыстоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Киргофа в векторной форме для цепи на рис. 18.1 имеем:

В прямоугольной системе координат строим векторы I1m и I2m и находим вектор I3m, равный их сумме (рис. 18.2)

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то:

Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.

Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Рис. 18.2 — Векторная диаграмма токов

3. Решение символическим методом

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

По первому закону Киргофа в символической форме

Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а агрумент — начальной фазе.

Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, потому:

Обращаем внимание на то, что I1+I2≠I3. Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.