Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в пакете MathCAD
Решение нелинейных уравнений
Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:
· уточнение корней до заданной точности.
Рассмотрим эти два этапа подробно.
Отделение корней нелинейного уравнения
Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD , в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.
Пример. Дано алгебраическое уравнение
.
Определить интервалы локализации корней этого уравнения.
Пример. Дано алгебраическое уравнение
.
Определить интервалы локализации корней этого уравнения.
На рисунке приведен график функции , построенный в MathCAD . Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨
Уточнение корней нелинейного уравнения
Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и многие другие.
Функция root . В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root , которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где – имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, – границы интервала локализации корня.
Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.
Заметим, что для вычисления всех трех корней использовался прием понижения порядка алгебраического уравнения, рассмотренный в п. 8.1.1. ¨
Функция root с двумя аргументами требует задания (до обращения к функции) переменной начального значения корня из интервала локализации.
Пример 8.1.5. Используя функцию root , вычислить изменения корня нелинейного уравнения при изменении коэффициента а от 1 до 10 с шагом 1.
Функция polyroots . Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка (не выше 5) рекомендуется использовать функцию polyroots . Обращение к этой функции имеет вид polyroots (v) , где v – вектор, состоящий из n +1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.
Пример. Используя функцию polyroots , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных
Блок Given . При уточнении корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительный блок Given , имеющий следующую структуру:
Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры Логический .
Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.
Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr ( x ), которая возвращает приближенное значение корня.
Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find ( x ) и в появившемся контекстном меню (см. рисунок) выбрать подходящий алгоритм.
Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr ( x ).
Использование численных методов в функциях Find ( x ), Minerr ( x ) требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения.
Пример. Используя блок Given , вычислите корень уравнения в интервале отделения .
Решение систем уравнений
В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:
· алгебраические системы уравнений;
· трансцендентные системы уравнений.
Среди алгебраических систем уравнений особое место занимают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
В матричном виде систему можно записать как
,
где – матрица размерности , – вектор с проекциями.
Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve , обращение к которой имеет вид: lsolve (А, b ), где А – матрица системы, – вектор правой части.
Решение систем нелинейных уравнений
MathCAD дает возможность находить решение системы уравнений численными методами, при этом максимальное число уравнений в MathCAD 2001 i доведено до 200.
Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.
Задание начального приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. При небольшом числе неизвестных этот этап можно выполнить графически, как показано в примере.
Пример. Дана система уравнений:
Определить начальные приближения для решений этой системы.
Видно, что система имеет два решения: для первого решения в качестве начального приближения может быть принята точка (-2, 2), а для второго решения – точка (5, 20). ¨
Вычисление решения системы уравнений с заданной точностью . Для этого используется уже известный вычислительный блок Given .
Функция Find вычисляет решение системы уравнений с заданной точностью, и вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – список переменных, по которым ищется решение. Начальные значения этим переменным задаются в блоке . Число аргументов функции должно быть равно числу неизвестных.
Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:
· ограничения со знаком ¹ ;
· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;
· блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (или Minerr ).
Пример. Используя блок Given , вычислить все решения системы предыдущего примера. Выполнить проверку найденных решений.
Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений
Методы уточнения корней
Численные методы
На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы.
Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться огромное количество действий, и здесь без быстродействующего компьютера не обойтись.
Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения задачи являются:
— погрешность метода решения;
— погрешности округлений в действиях над числами.
Погрешность метода вызвана тем, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев численный метод представляет собой бесконечный процесс, который в пределе приводит к искомому решению. Процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.
Погрешность округления зависит от количества арифметических действий, выполняемых в процессе решения задачи. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные численные методы. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного метода.
Решение нелинейных уравнений
Постановка задачи
Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.
В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать:
где f ( x) – некоторая непрерывная функция аргумента x.
Всякое число x0 , при котором f (x0) ≡ 0, называется корнем уравнения f ( x) = 0.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.
При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.
Локализация корней
Для отделения корней уравнения f ( x) = 0 необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [ a, b] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.
Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b], а на концах отрезка её значения имеют разные знаки, т. е.
должно отличаться от точного x0 не более чем на величину ε:
Процедура численного определения приближенных значений корней нелинейных уравнений, как правило, состоит в выборе начального приближения к корню x0 Î[ a, b] и вычислении по некоторой формуле последующих приближений , x1 x2 и т.д. Каждый такой шаг называется итерацией, а сами методы уточнения – итерационными методами. В результате итераций получается последовательность приближенных значений корня
x0 , x1 , . . . , xk, . . . , которая называется итерационной последовательностью. Если эти значения с ростом k стремятся к точному значению корня x0, то говорят, что итерационный процесс сходится :
Методы уточнения корней
Дата добавления: 2017-09-19 ; просмотров: 3272 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Метод итераций
Правила ввода функции
- Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).
Достаточные условия сходимости метода итерации
Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:
- Получить шаблон с омощью этого сервиса.
- Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
- Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).
Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .
http://helpiks.org/9-30762.html
http://math.semestr.ru/optim/iteration_method.php