Метод вариации постоянных дифференциальные уравнения высших порядков

Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа

Метод Лагранжа (вариация постоянных)

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка, также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений. Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь – произвольные постоянные; – n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения:
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем – члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь – уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a_i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Далее рассмотрены примеры решения уравнений методом Лагранжа.

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Решение примеров > > >

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2013 Изменено: 22-06-2017

Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y» + 4y’ + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y» + 4y’ + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y₁ = e — x и y₂ = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C₁(x)e — x + C₂(x)e -3 x . Для нахождения производных C’₁, C’₂ составляем систему уравнений (8)
C′₁·e -x +C′₂·e -3x =0
-C′₁·e -x -3C′₂·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4

Корни характеристического уравнения: r₁ = 4, r₂ = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁=e 4x , y₂=e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C₁·e 4x +C₂·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C′₁·e 4x +C′₂·e 2x =0
C′₁(4e 4x ) + C′₂(2e 2x ) = 4/(2+e -2x )
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = 2/(e 2x +2e 4x )
C’₂ = -2e 2x /(e 2x +2e 4x )
Интегрируем полученные функции C’_i:
C₁ = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * ₁
C₂ = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * ₂

Поскольку y =C₁·e 4x +C₂·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C₁ = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * ₁) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * ₁ e 4x
C₂ = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * ₂)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₂ e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * ₁ e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₂ e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₁ e 4x + C * ₂ e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * ₁ + C * ₂ = 3 ln(3) — 1 + C * ₁ + C * ₂ = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C₁ e 2x + C₂ -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C₁ + C₂ +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C₁ + 2C₂ +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * ₁ + C * ₂ = 1 + 3ln3
4C₁ + 2C₂ +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * ₁ + C * ₂ = 2
4C₁ + 2C₂ = 4
или
C * ₁ + C * ₂ = 2
2C₁ + C₂ = 2
Откуда: C₁ = 0, C * ₂ = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x

Дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемlia-math.narod.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные.» — Транскрипт:

1 Дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные ДУ второго порядка с правой частью специального вида 1/16

2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Рассмотрим линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) второго порядка: 2/16 Уравнение: Теорема 1 (1) левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется соответствующим ему однородным уравнением. (2) Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения y = C 1 y 1 +C 2 y 2, соответствующего ему однородного уравнения: ( о структуре общего решения ЛНДУ)

3 Метод вариации произвольных постоянных Частное решение у* уравнения (1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). 3/16 Пусть — общее решение уравнения (2) Заменим в общем решении постоянные С 1 и С 2 на неизвестные функции С 1 (х), С 2 (х) : Чтобы функция (3) была решением уравнения (1), необходимо чтобы функции С 1 (х), С 2 (х) удовлетворяли системе уравнений: (3) (4)

4 Метод вариации произвольных постоянных Определитель системы: 4/16 так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений уравнения (2). Поэтому система (4) имеет единственное решение: Интегрируя функции находим С 1 (х), С 2 (х) а затем по формуле (3) составляем частное решение уравнения (1).

5 Метод вариации произвольных постоянных 5/16 Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: Составим систему:

6 Метод вариации произвольных постоянных 6/16 Решим систему методом Крамера:

7 Метод вариации произвольных постоянных 7/16 Запишем частное решение уравнения: Следовательно, общим решением уравнения будет:

8 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: 8/16 (5) Согласно теореме 1, общее решение этого уравнения ищется в виде: Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть уравнения f(x) имеет так называемый специальный вид: I II

9 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, заключается в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (5) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5) и из полученного тождества находят значения коэффициентов. 9/16 Правая часть имеет вид: I Многочлен n — ой степени Действительное число Уравнение (5) запишется в виде: Частное решение ищем в виде: где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения; записанный с неопределенными коэффициентами — многочлен степени n,

10 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 10/16 rnY* r = 0 ( α не является корнем хар. уравнения: ) r = 1 : r = 2:0 1 2

11 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 11/16 Найти общее решение уравнения: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: α = 0 не является корнем характеристического уравнения Подставим в исходное уравнение:

12 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 12/16 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x : Общее решение исходного уравнения:

13 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 13/16 Правая часть имеет вид: Частное решение ищем в виде: где r – число, равное кратности α + iβ как корня характеристического уравнения; неопределенными коэффициентами, где l — наивысшая степень многочленов P и Q, то есть: — многочлены степени l, записанные с II Многочлены степени n и m Действительные числа

14 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 14/16 r l Y* r = r = 1 : 0 1

15 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 15/16 Найти общее решение уравнения: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: Число является корнем хар. уравнения, поэтому r = 1 = 36 = 0

16 ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 16/16 Подставим в исходное уравнение: Приравняем коэффициенты при sin x и при cos x