Метод векторов для решения уравнений

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий школьного курса геометрии. Использование векторного метода является «панацеей» при решении многих планиметрических и стереометрических задач. Вектор находит широкое применение в физике. Но на этом использование вектора школьниками, как правило, и заканчивается. Нам показалось интересным найти возможность использовать вектор при решении алгебраических задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Лудкова Дарина Павловна

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №29»

Курьян Татьяна Казимировна

высшая квалификационная категория

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №29»

пр. Морской д.56 А

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий школьного курса геометрии. Использование векторного метода является «панацеей» при решении многих планиметрических и стереометрических задач. Вектор находит широкое применение в физике. Но на этом использование вектора школьниками, как правило, и заканчивается. Мне показалось интересным найти возможность использовать вектор при решении алгебраических задач.

Изучив соответствующую литературу, я установила, что « эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных
областях математики, механики, а также в технике».[5.126]. Работы Г. Вес-
селя, Ж.Аргана, К.Ф.Гаусса, В.Гамильтона,
Г. Грассмана, Ф.Мебиуса внесли огромный вклад в развитие векторного исчисления и его приложений .

Однако, возможность использования свойств вектора при решении алгебраических задач, стала для меня настоящим открытием, подтолкнувшим к исследованию все новых и новых задач, решение которых с помощью вектора не только более «изящнее» традиционного способа, но реально даёт возможность сэкономить время на решении, избежать громоздких вычислений.

При решении задач векторным методом необходимы знания о свойствах скалярного произведения двух векторов, а именно: | | · | |. Причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Заметим, что = | | · | | , если векторы сонаправленые и = -| | · | |, если векторы противоположно направлены. [1.198] Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т. е. если векторы и — коллинеарны, то . [2.320]

В данной работе я показываю возможность использования свойств векторов при решении уравнений и их систем, при решении и доказательстве неравенств, при исследовании некоторых свойств функций.

Если возвести в квадрат левую и правую части уравнения, произвести преобразования и снова возвести в квадрат, получим уравнение шестой степени, решение которого достаточно трудоемко. Использование векторного метода значительно упрощает решение.

Рассмотрим векторы и . Найдем их скалярное произведение: . Вычислим длины векторов и : ; и произведение их длин.

Таким образом, имеем: = | | · | | , т. е. векторы сонaправлены. Тогда соответственные координаты пропорциональны. Поэтому,

Отсюда и x 3 -3 x 2 + x +1 = 0.

Заметим, что х = 1 – корень полученного уравнения.

Тогда: x 3 -3 x 2 + x +1=( x -1)( x 2 -2 x -1).

Второе уравнение имеет два корня х=1±

Весьма эффективным выглядит использование векторов при решении систем уравнений, которые на первый взгляд традиционным способом совсем не разрешимы.

Заметим, что х≥1 и у≥1.

Рассмотрим векторы и .

, .

Тогда, из второго уравнения исходной системы следует, что , а это означает, что векторы и коллинеарны. Значит, и .

Рассмотрим функцию . Тогда f(x)=f(y). Так как функция монотонно возрастает при х≥1, то х=у .

Первое уравнение исходной системы принимает вид: . Отсюда . Учитывая, что х≥1, имеем

Для решений заданий с параметрами требуется не только высокий уровень математического и, главное, логического мышления того, кто берется за решение таких заданий, но и способность осуществлять исследовательскую деятельность. Однако к некоторым из таких заданий можно приложить все тот же алгоритм векторного метода.

Рассмотрим уравнение, которое требуется решить для всех значений параметра р :

Выполним преобразования в левой и правой частях уравнения,

,

Получили уравнение вида: , где , а . Заметим, что при уравнение принимает вид: и имеет два корня: -1 и 1.

Если , то остальные решения получим, решив уравнение

.

Ранее получено, что 1 является корнем данного уравнения, поэтому решим уравнение .

Итак, корнями уравнения является –р – 1 и р – 1 .

Ответ: если р=0 , то х=±1 ; если р≠0 , то х=-1±р .

Решение тригонометрических уравнений и неравенств – неотъемлемая часть любого экзамена, в том числе и Единого Государственного. Рассмотрим неравенство, которое, по моему мнению, не зная векторный метод решить выпускнику средней школы было бы очень сложно:

Рассмотрим векторы и .

Исходя из неравенства , имеем .

На основании полученного и исходного неравенств получаем равенство

, из которого следует, что векторы и коллинеарны.

Решим систему неравенств:

Решим неравенство (1).

Получаем, , с другой стороны (по условию)

Значит, , следовательно, векторы и коллинеарны, а их координаты пропорциональны, т. е.

Решим неравенство (2):

С другой стороны, , значит, , следовательно, векторы коллинеарны, а их координаты пропорциональны,

Таким образом, что бы найти решение системы неравенств надо решить систему уравнений (1) и (2):

Традиционными для различных олимпиад и конкурсов являются задания по доказательству неравенств. И традиционно эти задания считаются одними из самых сложных. Использование свойств векторов в некоторых случаях может свести самые большие проблемы к минимуму.

Рассмотрим следующее задание.

Доказать, если х 1 +х 2 +…+x n =3, y 1 +y 2 +…+y n =4, z 1 +z 2 +…+z n =5 , то ;

Рассмотрим n векторов таких, что , тогда .

Давно и прочно вошли в экзаменационные работы задания по нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. Но далеко не все выпускники школы справляются с этими заданиями. На мой взгляд, это связано с проблемами по нахождению производных некоторых функций. Громоздкие преобразования «отпугивают» не только «троечников», и задачи остаются не решенными. Применение свойств векторов в некоторых случаях может помочь избежать эти трудности.

Найдем наибольшее значение функции .

Функция определена, если Таким образом, .

Рассмотрим векторы и

Заметим, что при x = 0,5 векторы имеют следующие координаты: , а значит векторы – сонаправлены.

, = .

В силу неравенства , ; отсюда ; т.е.

Причем знак равенства достигается тогда, и только тогда, если векторы и коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны. Таким образом,

Решая эту систему, получим x = 2,5.

Таким образом , у наиб = у (0,5)= y (2,5)=2.

Векторный метод показался мне не только универсальным, но вполне доступным для большинства моих сверстников. Мне захотелось поделиться своим открытием со старшеклассниками нашей школы. Никто из опрашиваемых мной учеников 9-11 классов не знал об этом методе. Мне представилась возможность познакомить с результатом моих исследований учеников нашей школы. В свете предстоящих экзаменов векторным методом особенно заинтересовались некоторые одиннадцатиклассники. Вместе с ними мы нашли немало заданий, предлагаемых на ЕГЭ, при решении которых можно применить данный метод.

Свойства векторов, которые нашли широкое распространение в геометрии и в физике, явились плодотворными и в алгебре. Алгоритм применения свойств векторов позволил упростить решение многих сложных заданий, позволил создать особый метод решения различных алгебраических задач.

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2008.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия, 10 – 11: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2008.
3. Куланин Е. Д., Федин С. Н. 5000 конкурсных задач по математике. – М.: ООО «Фирма “Издательство АСТ”», 1999.
4. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Справочное пособие. – М.: МГУ, 1991.
5. Преподавание геометрии в 6—8 классах. Сборник статей. В. А. Гусев, Ю. М. Кояягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан. Векторы и их применение к решению задач. М.: «Просвещение» 1979.-
6. Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Составитель Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990.
7. Супрун В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998.
8. Супрун В. П. Нестандартные методы задач по математике. – М.: Полымя, 2000.

Векторный метод в школьном курсе геометрии

Разделы: Математика

Традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема “Векторный метод в решении задач”. В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Конец XIX и начало XX столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Будучи материалом математическим, векторный аппарат находит широкое применение в первую очередь в физике и других прикладных науках. Векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом.

В данной работе рассмотрены основные свойства векторов, которые следует отнести к векторной алгебре. Приведена классификация задач и приемов их решения с использованием векторного метода.

Целью статьи является не столько пересказ учебного материала, отраженного во всех школьных учебниках геометрии, сколько акцентуация внимания на некоторых вопросах, которые вызывают наибольшую методическую трудность, вопросах, активизирующих мыслительную деятельность обучающихся, могущих послужить основой для небольших учебных исследований.

1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.

Термин вектор употребляют в геометрии по крайней мере в двух смыслах. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике “векторные величины”. Различают соответственно “конкретный вектор” – направленный отрезок и “абстрактный (или, как принято говорить, свободный) вектор”.

Направленным отрезком называют отрезок, у которого указан порядок концов, т.е. один конец назван началом, а другой конец – концом этого отрезка. Направленный отрезок называют вектором. Вообще, вместо векторов – направленных отрезков часто рассматривают “векторы” – упорядоченные пары точек: одна точка начало, другая – конец, не исключая их совпадения.

Свободным вектором (или просто вектором) называется абстрактный объект, связанный с равными направленными отрезками тем, что каждый из равных направленных отрезков считается представителем данного свободного вектора, а неравные направленные отрезки представляют собой неравные свободные векторы. Так понимаемый вектор называется свободным потому, что он представляется направленным отрезком независимо от того, от какой точки он отложен. Равные направленные отрезки и представляют один и тот же вектор.

В частности, все нуль–векторы представляют один и тот же нуль–вектор, который обозначается .

Вектор характеризуется направлением и длиной (модулем). Задать вектор, – значит, задать направление и длину. Длина нуль–вектора равна 0, а направления он не имеет. Изображается нуль вектор любой точкой, которая рассматривается, как его начало и конец. Считается, что нулевой вектор параллелен и перпендикулярен любому вектору.

2. ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И СВОЙСТВА.

Равные и коллинеарные векторы

Свойства векторов полезно рассматривать в аналогии со свойствами скалярных величин. Например, свойства равных векторов в аналогии со скалярными величинами представлены в следующей таблице:

векторы

скаляры а=арефлексивностьa=bb=aсимметричность, a=b, b=c a=cтранзитивность

Общеизвестно следующее свойство равных веторов: если четырехугольник ABCD – параллелограмм, то .

Введя этот признак, можно озадачить учащихся такими вопросами:

1. О равенстве каких еще векторов, можно говорить применительно к параллелограмму ABСD?
2. Можно ли утверждать, что при наличии пары равных векторов можно получить и другую пару также равных векторов?
3. Можно ли найти равные векторы в каких–либо пространственных телах (например, в параллелепипеде, призме)?

И еще одно свойство: от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (сравните со свойствами параллельных прямых).

Задача. Как видно из свойств равных векторов, любые два вектора, равных между собой, но не лежащих на одной прямой, принадлежат некоторому параллелограмму. Что можно сказать о векторах, составляющих основания трапеции? Что можно сказать о векторах, принадлежащих основаниям усеченной призмы?

Учащиеся должны продемонстрировать понимание разницы между равными векторами и коллинеарными. К тому же необходимо “увидеть” не только сонаправленные, но и противоположные векторы.

Сумма векторов. Умножение вектора на число.

Рассмотрим свойства суммы также в аналогии со скалярами:

Весьма полезно после этого разобрать, какие из рассмотренных свойств имеют аналогию со свойствами произведения скалярных величин, а какие – нет.

Координаты вектора. Скалярное произведение.

Проекцией v_x вектора на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком “–” в противном случае. Заметим, что проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между вектором и осью.

При разложении вектора на составляющие вдоль осей координат в декартовой системе координат вводится понятие координат вектора как коэффициентов разложения: если то вектор имеет координаты . При этом длина вектора равна

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их абсолютных величин на косинус угла между ними: .

В декартовой системе координат скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов: Весьма полезным при изучении данной темы может оказаться рассмотрение аналогичных определений в трехмерной модели пространства:

3. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОТРАБОТКИ ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА И ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ВЕКТОРАМИ.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Хотя следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным и к решению некоторых задач может быть неприменим или малоэффективен.

После изучения основных понятий и фактов, целесообразно провести обобщающий урок, результатом которого должна стать следующая таблица, используемая в дальнейшем при решении задач более высокого уровня.

Компонентами умения использовать векторный метод являются следующие умения:

1. переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот (осуществлять переход от соотношения между фигурами на соотношения между векторами и наоборот);
2. выполнять операции над векторами (находить сумму, разность векторов);
3. представлять вектор в виде суммы, разности векторов;
4. преобразовывать векторные соотношения;
5. переходить от соотношения между векторами к соотношениям между их длинами;
6. выражать длину вектора через его скалярный квадрат;
7. выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.

Классифицируем наиболее употребительные задачи, при решении которых применяется векторный метод.

1. Доказательство параллельности прямых и отрезков.
2. Задачи на доказательство деления отрезка в данном отношении.
3. Доказательство принадлежности трех точек одной прямой.
4. Доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
5. Задачи на обоснование зависимости между длинами отрезков.
6. Задачи на вычисление величины угла.

Ключом к решению задач указанных типов является приведенная выше таблица.

5. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД.

1) Отрезки АВ и СD параллельны. Записать это соотношение в векторной форме.
2) Точка С принадлежит отрезку АВ и АВ:ВС=m:n. Что означает это на векторном языке?

7.8. Докажите.

Задачи указанных типов формируют умения и навыки, являющиеся компонентами векторного метода решения задач. В процессе решения этих задач вырабатываются критерии использования векторов для доказательства различных зависимостей. Приведем несколько примеров задач, при решении которых использован векторный метод.

Методы решения некоторых уравнений и неравенств с помощью вектора Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Аскарова Меруерт Аскаровна

В статье рассматриваются методы, использующие понятие вектора для решения некоторых уравнений и неравенств , изучению которых в общеобразовательной школе уделяется мало внимания. Применение предлагаемых методов иллюстрируется на решении различных уравнений и неравенств с повышенной сложностью.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Аскарова Меруерт Аскаровна

Текст научной работы на тему «Методы решения некоторых уравнений и неравенств с помощью вектора»

Methods of solving some equations and inequalities using vector

Методы решения некоторых уравнений и неравенств с помощью вектора

Аскарова Меруерт Аскаровна /Askarova Meruert — кандидат педагогических наук, профессор, кафедра математики и информационных систем, Казахский национальный педагогический университет им. Абая, г. Алматы, Республика Казахстан

Аннотация: в статье рассматриваются методы, использующие понятие вектора для решения некоторых уравнений и неравенств, изучению которых в общеобразовательной школе уделяется мало внимания. Применение предлагаемых методов иллюстрируется на решении различных уравнений и неравенств с повышенной сложностью.

Abstract: the article addresses the methods that use the concept of vector to solve some equations and inequalities, the study of which in a secondary school has received little attention. The application of the proposed method is illustrated by solving various equations and inequalities with increased complexity.

Ключевые слова: нестандартный метод, применение свойства векторов, уравнения и неравенства, математическое мышление.

Keywords: nonstandard method, using the properties of vectors, equations and inequalities, mathematical thinking.

К числу нестандартных методов решения уравнений и неравенств относится метод, основанный на применении свойств векторов. Их применение требует от учащихся несколько необычных рассуждений. Этот метод позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенств. Тем более, что такие методы, как правило, не изучаются в общеобразовательной школе.

Знание нестандартных методов и приемов решения задач повышенной сложности способствует развитию учащихся нестандартного математического мышления, что является необходимым условием для последующего успешного изучения высшей математики в вузах с углубленным изучением математики.

Первоначально приведем понятие и свойства вектора, а затем проиллюстрируем их применение на примерах.

Вектор a в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами a, a2, a3 и модуль (длины) вектора a вычисляется по формуле

|a| aj2 + aj + aj (11) Суммой (разностью) двух векторов a(a, a2, a) и b (b, b ) называется вектор c (c, c2, c3), координаты которого вычисляются как c = а\ + b , c2 = a2 + b2 , c3 = a3 + b3 (соответственно,

c = a — b, c2 = a2 — b, c = a — b )■

Два отличных от нуля вектора называется коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на паралельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциаональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.

Для векторов а(а, а2,а) и Ь (Ь, Ь2Ь) справедливо неравенство |а| +

^/а2 + а\+а\ +,!Ь + ь22 + Ь (а ± Ь)2+(а ± Ь)2 + (а ± Ь )2 (1.2)

Формула (1.2) обобщаются на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл (1.2) состоит в том, что длина ломаной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула (1.2) иначе называется неравенством треугольника.

Следует особо отметить, что равенство в (1.2) достигается тогда и только тогда, когда векторы а и

Ь коллинеарные. В частности, из равенства в (1.2) следует, что

Причем равенство |а| + сонаправлены, т. е.

имеет место тогда и только тогда, когда векторы а и Ь

а1 _ а2 _ аз ^ д

В свою очередь, равенства а + противоположно направлены и

свидетельствует о том, что векторы а, Ь

Скалярным произведением а • Ь векторов а(а, а2, а ) и Ь (Ъ1, Ь2, Ь3) назывется число (скаляр), которое вычесляется по формуле

а • Ь =\а | • | Ь | •со^^ (1.3),

где р -угол, образованный векторами а и Ь .

Из формулы (1.3) вытекает неравенство а • Ь 2 ). 1. Решить уравнение

7(X + у)2 + (2х — у)2 +1 + ^(2у — х)2 + (у +1)2 + 9 = ^9у2 + (2х +1)2 +16 (1) Решение. Положим а(х + у); 2х — у; 1) и Ь (2у — х;у +1;3) . Тогда \ а \= V(х + у)2 + (2х — у)2 +1 и \ Ь \= д/(2у — х)2 + (у +1)2 + 9 . Пусть С = а + Ь , тогда с(3у;2х +1;4) и \ с \=^/9у2 + (2х +1)2 +16.

В таком случае из уравнения (1) вытекает равенство а • Ь =\ а \ • \ Ь \.

Следовательно, векторы а и Ь являются коллинеарными. В этой связи имеет место х + у 2х — у 1

-=-= — . Отсюда получаем систему уравнений

2 у — х 3 |4х + у = 0

2х — у _ 1 [бх — 4у = 1

Корнями последней системы уравнений являются х = — и у =—.

2. Решить неравенства Vх +1 + л/2х — 3 + л/50 — 3х /50 — 3х , \ а \= л/3 и

\ Ь \= Vх +1 + 2х — 3 + 50—3х = =л/48 = 4л/3, то известное неравенство а • Ь 5>/2 (3)

Доказательство. Рассмотрим в трехмерном пространстве и векторов | а | с координатами

(xk; ук;zk) , где к = 1,2. и . Тогда | ак |=д/Х2к + у2 + Z2 . Пусть а = а + а2 +. + ап . Тогда

+ Хк +. + xn; у + Ук +. + Уп; Z + Z2 +. + zK) = а(3;4;5) и | а |=л/32 + 42 + 52 = 5л/2. Так как в рассматриваемом примере неравенства (1.3) принимает вид | а | + | а2 | +. + | ал |>| а | то после подстановки в него выражений для | а |,| а2 |. | а | и | а | получаем неравенства (3).

4. Решить неравенство л/sin4 Х +1 + Vcos4 Х +1 V5 . Отсюда и из неравенства (4) получаем равенство Vsin4 x +1 + Vcos4 x +1 = у[5 , из которого следует, что векторы а и b коллинеарные.

Следовательно, имеет место —— = 1 или tgx = ±1. Корнями последнего уравнения являются

x = — (2к +1), где к — целое число. я

Ответ: x = — (2k +1) , где к — целое число.

5. Решить уравнение 2ylx -1 + 5x = ^¡(x2 + 4)(x + 24) (5)

Решение. Область допустимых значений переменой x в уравнении (5) являются x > 1.

Пусть а(2; x) и b (л/x —1 ;5) . Тогда а ■ b = 2л/x — 1 + 5x и | а | • | b |= д/(x2 + 4)(x + 24) .

Следовательно, уравнение (5) представляет собой равенство а ■ b =| а | ■ | b |. Отсюда следует, что

векторы а и b являются коллинеарными. В этой связи можно записать уравнение , = — (6)

Обозначим f (x) = . — и g (x) = — . Функция y = f (x) является непрерывной и л/x -1 5

убывающей при x > 1, а функция y = g(x) непрерывной и возрастающей на всей числовой оси OX. Поэтому уравнение (6) имеет не более одного корня. Подбором находим его единственный корень x = 5 . Ответ: x = 5.

6. Решить уравнение л/15 — 12cosx + V7-4/3 sin x = 4 (7)

Решение. Введем рассмотрение векторы a(V3sin x; 2л/3 — V3cos x) и

b (2 — V3sin x;V3cosx), тогда | а |= V15 — 12cosx и | b hVT—4/3 sin x .

Пусть С = а + b . В таком случае вектор С (c ;c2) имеет координаты С = V3sin x + 2 — л/3 sin x = 2 и c2 = 2л/3 ^V3cos x ^V3cos x = 2л/3 , а его длина равна

Нетрудно видеть, что уравнение (7) представляет собой равенства, \а\ +

Следовательно, векторы а и b коллинеарные, а еще точнее сонаправленые. А этот факт означает, что их одноименные координаты пропорциональны и их отношение больше нуля, т.е. имеет место система

‘ V3 sin x iS—л/3 cos x

Из уравнения системы (8) следует л/3 sin x + cosx = 2, -sin x + — cosx = 1;

sin I x +—1 = 1 и x = — (6n +1) , где n — целое число.

rr . ^ V3sin x . Так как v3sin x 0 получаем неравенство sin x > 0,

которое выполняется для X = — (6п +1) , где п — целое число. Следовательно, найденные значения

X удовлетворяют системе (8) . Я

Ответ: X = — (6п + 1) , где п — целое число.

7. Найти минимальное значение функции

,2 , ,.2 Л„ , ч,, , С , /„.2 , ,,2

.(x, y) = т]x2 + y2 — 4x + 2y + 5 + ^/x2 + y2 + 6x — 4y +13

Решение. Представим функцию . (x, y) в виде

F(x,y) = yj(x — 2)2 + (y +1)2 + V(x + 3)2 + (y — 2)2 (9)

Введем на плоскости вектора а, b с координатами (x — 2; y +1) и (x + 3; y — 2), соответственно. Так как | а |= д/(x — 2) + (y +1) и \b\=yl (x + 3)2 + (y — 2) , то из формулы (9) следует, что F(x, y) =| а | + | b |.

Пусть С = а — b , тогда координатами вектора С является (—5;3) и | С \=J52 + 32 = ^34. Поскольку С = а — b , то |а| + b > а — b и F(x,y) > ->/34. Теперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функции F(x, y) достижима, т.е. существуют такие значения x = x , и y = y , при которых функция F (x, y) принимает значение л/34.

Если F(x,y) = V34, то |а| + b = а — b , т.е. векторы а и b коллинеарн^1е. Отсюда следует,

x — 2 y +1 1 — 5 y 1 — 5 y „

что -=- или x =-. Положим y = —1, тогда x =-= 2 .

x + 3 y — 2 3 1 3

Если значения x и y подставить в (9), то F(2,—1) = V34 . Следовательно, минимальное

значение функции F(x, y) равно

В заключение хотелось бы сказать, что при решении сложных задач по математике, используется самые разнообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно поддается классификации. Как правило, рассмотренные методы ориентированы на решении относительно узкого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться весьма необходимо для успешного решения математических задач повышенной сложности. В статье приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающих) методов.

1. Арлазаров В. В., Татаринцев А. В., Тиханина И. Г., Чекалкин Н. С. Сборник задач по математике для физико-математических школ. М., 2007.

2. Аскарова М. А. Векторды пайдалану аркылы тендеулер мен тецазджтерда шешу. Учебное пособие. Алматы, 2013.

3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М., 2012.

4. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. М., 2001.

The solution to the problems of economic orientation as a means of formation

of educational competence Askarova M.

Решение задач экономической направленности как средство формирования

образовательной компетенции Аскарова М. А.

Аскарова Меруерт Аскаровна /Askarova Meruert — кандидат педагогических наук, профессор, кафедра математики и информационных систем, Казахский нацинальный педагогический университет им. Абая, г. Алматы, Республика Казахстан

Аннотация: в статье рассматриваются вопросы о решении задачи экономической направленности как средство формирования образовательной компентенции.