Метод введения новой переменной показательные уравнения примеры

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной

Продолжаем разбирать решение показательных уравнений различными методами. В этой статье мы рассмотрим, как проводится решение показательных уравнений методом введения новой переменной. Сначала кратко напомним теорию. После этого решим несколько характерных показательных уравнений методом введения новой переменной.

Теория

На текущем сайте www.cleverstudents.ru есть отдельная статья, посвященная методу введения новой переменной. Там детально изложена теория метода со всеми необходимыми обоснованиями и доказательствами. Там же дан алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной. Здесь мы не будем дублировать эту информацию, а напомним лишь самые основные положения.

Метод введения переменной – общий, в том смысле, что с его помощью можно решать уравнения любых видов, в частности, показательные.

Метод введения переменной используется для решения уравнений, в которых переменная содержится только в составе нескольких одинаковых выражений, или уравнений, которые могут быть приведены к такому виду. То есть, с помощью метода введения новой переменной проводится решение уравнений f(g(x))=0 и f₁(g(x))=f₂(g(x)) . Для наглядности приведем примеры показательных уравнений, для решения которых подходит метод введения новой переменной: , и др.

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной проводится в следующей последовательности. Вводится новая переменная. Решается уравнение с новой переменной. Если оно не имеет решений, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же уравнение с новой переменной имеет решения, то осуществляется возврат к старой переменной, и находится решение исходного уравнения.

Характерные примеры

На практике встречается довольно много разнообразных показательных уравнений, которые решаются методом введения новой переменной. Сейчас мы разобьем их на несколько групп, возьмем из каждой группы по одному типичному представителю, и покажем их решение. Такой подход позволит справиться с решением почти любого заданного показательного уравнения методом введения переменной. Для его решения нужно будет определить, к какой группе относится заданное уравнение, и провести его решение по аналогии с решением типичного примера.

В первую группу определим показательные уравнения, в которых явно видны одинаковые выражения с переменной. Такими, например, являются уравнения и . Покажем решение первого из них.

Решите уравнение .

Во вторую группу поместим показательные уравнения, в которых фигурируют степени с одинаковыми основаниями и противоположными показателями. В качестве примера приведем уравнения и . Сюда же давайте отнесем и уравнения, в которых присутствуют степени с одинаковыми показателями и взаимно обратными основаниями. Таким, например, являются показательные уравнения и . При решении подобных показательных уравнений методом введения новой переменной в качестве новой переменной t берется одна из степеней, другая степень выражается через переменную t как 1/t . Давайте покажем решение одного из записанных уравнений.

Решите уравнение .

Здесь же хочется отдельно выделить уравнения, в которых взаимно обратные числа в основаниях степеней завуалированы сопряженными выражениями. Например, в показательном уравнении основания степеней и являются взаимно обратными числами, ведь . Это позволяет провести решение показательного уравнения методом введения новой переменной.

Решите показательное уравнение .

Методом введения новой переменной проводится решение показательных уравнений, в записи которых находятся степени с одинаковыми основаниями и кратными показателями. Приведем несколько примеров таких уравнений: 5 2·x +9·5 x −10=0 , 2 x −8−2 −x +8·2 −2·x =0 , . Введением новой переменной решение подобных показательных уравнений можно свести к решению рациональных уравнений.

Решите уравнение .

К предыдущей группе стоит отнести еще показательные уравнения, степени в которых имеют одинаковые показатели, но разные основания, представляющие собой разные целые степени одного из оснований. Характерными представителями таких уравнений являются, например, 25 x +9·5 x −10=0 и . Покажем, как выглядит решение первого из этих показательных уравнений методом введения новой переменной.

Решите уравнение 25 x +9·5 x −10=0 .

Нередко встречаются показательные уравнения, которые являются однородными уравнениями относительно некоторых степеней. Вот характерные примеры однородных показательных уравнений: (10 x ) 2 +9·10 x ·2 x −10·(2 x ) 2 =0 , и т.п. Такие уравнения, как правило, решаются методом введения новой переменной после предварительного деления обеих частей уравнения на одну и ту же «старшую» степень.

Решите уравнение (10 x ) 2 +9·10 x ·2 x −10·(2 x ) 2 =0 .

Вообще, введению новой переменной часто предшествует ряд преобразований уравнения. Это, в частности, видно на предыдущем примере. Преобразования, характерные для показательных уравнений, детально разобраны в материале решение показательных уравнений через преобразования.

4. Метод введения новой переменной

Теория:

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем.

Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Рассмотрим способ подстановки на примерах.

Уравнение 3 x = 9 имеет корень x = 2 , а уравнение 3 x = − 5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Способы решения показательных уравнений

Разделы: Математика

Урок посвящен изучению нового материала и построен в форме лекции с элементами беседы. Показательные уравнения являются обязательным элементом подготовки выпускников, а потому достаточно часто встречаются в заданиях ЕГЭ. На последующих уроках отрабатываются рассмотренные способы решения показательных уравнений. Для более полного усвоения темы учащиеся выполняют индивидуальное задание, состоящее из 10 уравнений различных видов. Урок сопровождается компьютерной презентацией (Приложение 1).

1. Изучение нового материала

Определение Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.

Примеры показательных уравнений:

В ходе беседы выявляется характерная особенность этих уравнений – переменная находится в показателе степени. Далее учащимся на интерактивной доске предлагается задание, направленное на «узнавание» показательных уравнений. Анимация настроена так, что при верном выборе уравнение увеличивается в размере.

Выберите показательные уравнения:

Учащиеся выбирают уравнения №№ 2, 3, 4, 6, 8, эти уравнения предлагается записать в тетрадь для решения дома.

2. Способы решения показательных уравнений

Выделяют две группы способов: графический и аналитические.

2.1. Вспомним суть графического способа решения уравнений:

1. Построить графики двух функций (левая и правая части уравнения);
2. Найти абсциссы точек пересечения графиков;
3. Записать ответ.

Рассмотрим графический способ решения на примере уравнения 2 x = 4 Построим графики функций y = 2 x , y = 4 и найдем абсциссу точки пересечения графиков: x = 2.

Графический способ можно применить не всегда, поэтому рассмотрим более универсальные основные аналитические способы решения показательных уравнений.

2.2. Аналитические способы:

1. Приравнивание показателей;
2. Вынесение общего множителя за скобки;
3. Введение новой переменной;
4. Использование однородности.

Рассмотрим каждый способ подробнее и разберем на примере.

2.2.1. Приравнивание показателей.

1. Уединить слагаемое, содержащее переменную;
2. Привести степени к одному основанию;
3. Приравнять показатели;
4. Решить полученное уравнение;
5. Записать ответ.

2.2.2. Вынесение общего множителя за скобки

Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.

2.2.3. Введение новой переменной

Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.

Пример:

Пусть 4 x = а тогда уравнение можно записать в виде:

Сделаем обратную замену:

2.2.4. Использование однородности

Определение Показательные уравнения вида называются однородными.

Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

Разделим обе части уравнения на

3. Первичное закрепление материала

Учащимся предлагается выбрать способ решения для каждого из уравнений, записанных в тетради для решения дома:

Далее на интерактивной доске решаются уравнения (после решения уравнение «растворяется», и появляется новое, что очень удобно):

4. Подведение итогов урока, домашнее задание

Итоги урока: вопросы, обсуждение того, что на уроке было непонятно, что понравилось, выставление оценок за урок.

Задание на дом: конспект; выписанные 5 уравнений.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник/ Под ред. А.Г.Мордковича. – М.:Мнемозина, 2003. – 315с.
2. Кодификатор элементов содержания к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения в 2011 году единого государственного экзамена по математике, «Федеральный институт педагогических измерений», 2011.
3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл.сред.школы. – М.: Просвещение, 1990. – 320 с.
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник. – М.:Мнемозина, 2002. – 375с.