Метод введения параметра при решении уравнений

Лекция 2. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной .

Рассмотрим уравнение вида

F ( x , y , y ‘ ) = 0 ,

не разрешённое относительно производной. Если попытаться выразить из него y ‘ , то можно получить , вообще говоря , несколько уравнений

Геометрически это означает , что в каждой точке задаётся несколько направлений поля (см.рис.2).

Следовательно через любую точку M ( x , y ) может проходить несколько интегральных кривых . Для того, чтобы выделить из этого множества единственную интегральную кривую, проходящую через заданную точку M₀ ( x₀ , y₀) , надо помимо значений ( x₀ , y₀ ) дополнительно задать в этой точке направление поля y ‘ ( x₀) = y ‘_{0 .}

Задача Коши . Найти решение уравнения F ( x , y , y ‘ ) = 0, удовлетворяющее начальным условиям y ( x₀) = y₀ и y ‘ ( x₀) = y ‘₀ , где y ‘₀ — решение уравнения F ( x₀ , y₀ , y ‘ ) = 0.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть в некоторой окрестности U точки (x₀ , y₀ , y ‘₀ ), где y ‘₀ — решение уравнения F ( x₀ , y₀ , y ‘ ) = 0, выполнены условия :

1) F( x , y , y ‘ ) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные F’_y и F’_{y ‘} по совокупности переменных ( x , y , y ‘ ) ;

2) значение производной F_y‘_‘ (x₀ , y₀ , y’₀ )0.

Тогда в некоторой окрестности точки x₀ существует единственное решение уравнения F (x, y, y’) = 0, удовлетворяющее условиям y(x₀) = y₀ и y’ (x₀) = y’₀ .

Метод введения параметра.

На практике при решении уравнений F( x , y , y ‘ ) = 0 часто используют следующий метод.

Предположим , что уравнение F( x , y , y ‘ ) = 0 “легко” решить относительно y : y = f ( x , y ‘ ). Тогда введем замену y ‘ = p ( параметр зависит от x ). Предполагая, что дифференциальное уравнение имеет решение y = y ( x ) , получим ( в силу уравнения )

Из этих равенств выражаем :

Это уравнение разрешено относительно производной . Пусть его общее решение имеет вид p = p ( x , C ) .Тогда общее решение заданного уравнения можно записать в виде y =f ( x , p ( x , C ) ). Решение найдено.

Таким методом можно решать , в частности , уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение вида называется уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных x и y . Частным случаем этого уравнения является уравнение Клеро. Оно имеет вид :

Пример 1 . Решить уравнение

Решение. Выразим из уравнения (5) переменную y :

.Заменим и получим

Продифференцируем его по x :

Из этих равенств получаем :

После подстановки этих выражений в (6) будем иметь

Ответ :

Этим методом можно также решать уравнения , в которых «легко» выражается переменная x . Рассмотрим

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Выразим из уравнения (7) переменную x и введём параметр p :

Продифференцируем уравнение (8) по p :

Отсюда в силу равенства dy = p dx получим :

Проинтегрируем это уравнение :

Таким образом , с учётом ( 8 ) , получаем общее решение в параметрическом виде :

Примеры. Решить уравнения :

Уравнения в полных дифференциалах.

Если в уравнении (9) функции

В этом случае уравнение (9) называют уравнением в полных дифференциалах. После интегрирования получим общее решение уравнения

Теорема 1. Пусть функции непрерывные в некоторой односвязной области . Тогда необходимым и достаточным условием того, что уравнение (9) — в полных дифференциалах , является условие

Доказательство. 1. Необходимость.

Если выбрать функцию так, чтобы

то и , следовательно ,

Таким образом , в уравнении (9)

Теорема 1 доказана.

Из теоремы следует , что общее решение уравнения (9) можно записать в виде

если Функцию U можно также представить в виде

Предположим , что . Тогда можно попытаться найти такую функцию , чтобы . Функция называется интегрирующим множителем . В этом случае мы получаем уравнение

в полных дифференциалах. Следовательно, в силу теоремы 1,

Это уравнение позволяет найти интегрирующий множитель. Рассмотрим

Пример. Решить уравнение

Решение. Простой проверкой убеждаемся , что (10) не является уравнением в полных дифференциалах. Умножим его на неизвестную функцию :

Попробуем найти из уравнения :

Пусть . Обозначим через и получим

После подстановки этих выражений в (11) будем иметь :

Проинтегрируем полученное уравнение :

Таким образом, интегрирующий множитель можно взять в виде

Умножим теперь уравнение (10) на функцию

Теорема 2. Если функции M и N непрерывные , имеют непрерывные частные производные первого порядка по x и по y , и , то интегрирующий множитель существует.

Замечание. Точка ( x₀ , y₀ ), в которой M ( x₀ , y₀ ) = N ( x₀ , y₀ ) = 0 является особой точкой уравнения (9). Поведение решений в окрестности особой точки изучается в лекции 3.

Примеры. Решить дифференциальные уравнения :

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.

Уравнения, не разрешённые относительно производной, выглядят так: .

Уравнения первого порядка n-ой степени решаются так:

Если из уравнения y можно выразить, то есть , то это решается методом введения параметра, а именно: Обозначим , получим:

Продифференцируем по x:

Получили уравнение, разрешённое относительно производной. p(x,C) подставляем в (*), получим: . Это и будет решение.

Рассмотрим теперь случай, когда из уравнения можно явно выразить x, то есть . Вводим параметр , получаем . Дифференцируем по y обе части:

Мы получили уравнение, разрешённое относительно производной . В итоге получаем: .

Уравнение Лагранжа – это уравнение, линейное относительно x и y, оно имеет вид: . Уравнения Лагранжа ВСЕГДА интегрируется в квадратурах.

Принцип решения: Вводим параметр , получаем:

Пусть , поделим всё выражение на A(p):

Продифференцируем по x:

Получили линейное уравнение первого порядка. Отсюда находим .

В итоге решение в параметрическом виде:

Отдельно рассмотрим случай, когда :

Если это тождество, то есть , то:

Если это не тождество, а уравнение с корнями: например, p0 – корень, то есть , тогда – решение.

Частный случай уравнения Лагранжа – это уравнение Клеро. Это когда уравнение Лагранжа имеет следующий вид: . Принцип решения: Вводим параметр , получаем . Дифференцируем по x, получаем:

Общее решение уравнения Клеро:

Здесь – семейство всевозможных кривых; – огибающая этого семейства, тоже является решением и называется особое решение.

Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.

Простейшие ОДУ высших порядков, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида F (x, y(x), y ‘(x), y »(x), … , y(n)(x)) = 0, где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме: y(n) = f(x, y, y ‘, y », … , y(n − 1)).

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия. Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0, y ‘(x0) = y1, y »(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.

Общим решением дифференциального уравнения F(x, y(x), y ‘(x), y »(x), … , y(n )(x)) = 0 называется функция y = Ф(x, С1, С2, … , Сn), содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, … , Сn, и обладающая следующими свойствами:

Ф(x, С1, С2, … , Сn) является решением уравнения при любых допустимых значениях С1, С2, … , Сm;

для любых начальных данных y(x0) = y0, y ‘(x0) = y1, y »(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1, для которых задача Коши имеет единственное решение, существуют значения постоянных С1 = A1, С2 = A2, … , Сn = An, такие что решение y = Ф(x, A1, A2, …, An) удовлетворяет заданным начальным условиям.

Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x, y) = 0 или G(x, y, С1, С2, . Сn) = 0.

Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах. Класс таких уравнений относительно узок.

Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ‘. y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка, , т.е. уравнения вида Заменой z(x) = y(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка: Если z = z(x,C1. Cn-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле

Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y(n) = f (x), его общее решение имеет вид

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие независимой переменной — уравнения вида F(y, y’, . y(n)) = 0. Порядок уравнения можно понизить заменив y ‘ = p(y). После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p(y) , в котором порядок старшей производной от p(y) будет на единицу меньше, чем порядок старшей производной от y(x) в исходном уравнении.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие искомой функции — уравнения вида F(x, y’, . y(n)) = 0. Порядок уравнения можно понизить заменив y ‘ = p(x). После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p(x) на единицу меньшего порядка, чем исходное уравнение: F(x, p, p’, . p(n — 1)) = 0. Если правая часть уравнения F(x, y, y ‘. y(n) ) = 0, удовлетворяет условию однородностиF(x, ty, ty ‘. ty(n) ) = tk F(x, y, y ‘. y(n) ) то говорят, что это уравнение, однородное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ‘. y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, однородные относительно неизвестной функции и всех ее производных. Порядок такого уравнения можно понизить заменой

Выражение для первой производной от y(x) не содержит производной от z(x):

.

Поэтому, заменив в исходном уравнении y, y ‘. y(n) их выражениями через z(x), получим относительно z(x) дифференциальное уравнение на единицу меньшего порядка.

Основные понятия, относящиеся к системам ОДУ: порядок системы, нормальная форма системы, общее и частное решения, общий и первый интегралы. Задача Коши для нормальной системы, её геометрический смысл.

Совокупность соотношений вида:

Где y1, y2, …, yn искомые функции от независимой переменной x, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Будем предполагать функции F2, F2, …, Fn такими, что система разрешима относительно производных от искомых функций:

Такие системы называются нормальными системами дифференциальных уравнений.

Число уравнений, входящих в систему, называется порядком этой системы. Значит, наша система имеет n-ый порядок.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Семейство решений системы (2), зависящее от n произвольных постоянных C1, C2, …, Cn

называют обычно общим решением этой системы.

Дадим определение общего решения системы (2) в области D изменения переменных x, y1, y2, …, yn.

В качестве области D будем рассматривать область в пространстве (x, y1, y2, …, yn), в каждой точке которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши для системы (2).

Совокупность n функций (6), определённых в некоторой области изменения переменных x, C1, C2, …, Cn, имеющих непрерывные частные производные по x, будем называть общим решением системы (2) в области D, если система (6) разрешима относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn в области D, так что при любых значениях x, y1, y2, …, yn, принадлежащих области D, системой (6) определяются значения C1, C2, …, Cn:

и если совокупность n функций (6) является решением системы (2) при всех значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn, доставляемых формулами (7), когда точка (x, y1, y2, …, yn) пробегает область D.

Решение, получающееся из формулы общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn,, включая бесконечности, будет частным решением.

Решая задачу Коши при помощи формулы общего решения всегда получаем частное решение.

1-ое определение интеграла системы. Функция φ(x, y1, y2, …, yn), не приводящаяся к постоянной, называется интегралом системы (2), если при замене y1, …, yn любым частным решением этой системы она обращается в постоянную.

2-ое определение интеграла системы. Функция φ(x, y1, y2, …, yn), имеющая непрерывные частные производные по x, y2, …, yn, и такая, что в рассматриваемой области не обращаются одновременно в нуль, называется интегралом системы (2), если полный дифференциал этой функции обращается тождественно в нуль в силу системы (2), то есть имеет место тождество:

.

Равенство , где – интеграл системы (2) в смысле первого или второго определения, а C – произвольная постоянная, называется первым интегралом системы (2). Например, каждое из равенств (7) является первым интегралом системы (2).

Совокупность n первых интегралов (7) обладает тем свойством, что она разрешима относительно искомых функций y1, y2, …, yn, причём в результате этого мы получаем общее решение (6) системы (2) в области D. Всякую совокупность n первых интегралов, обладающую таким свойством, будем называть общим интегралом системы (2) в области D.

Фундаментальные системы решений нормальной системы однородных линейных ОДУ. Теорема существования фундаментальных систем. Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы однородных линейных ОДУ.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

называется линейной системой. При система становится однородной. В векторно-матричной форме: , где
,

Будем искать решение . Ищем решение системы в таком виде:

Фундаментальной системой решений системы уравнений (*) называется системы из n линейно независимых вектор-функций.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: .

Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы неоднородных линейных ОДУ.

Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

Здесь A

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.

Если матрица A(x) и вектор-функция b(x) непрерывны на [a, b], и пусть Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы , то общее решение неоднородной системы Y’ = A(x)Y + b(x) имеет вид:

где C — произвольный постоянный вектор-столбец, x0 — произвольная фиксированная точка из отрезка [a, b].

Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ — формулу Коши.

Решением задачи Коши , Y(x0) = Y0 является вектор-функция

Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений нормальной системы неоднородных линейных ОДУ.

Определение системы неоднородных линейных ОДУ. Система ОДУ вида:

называется линейной неоднородной. Пусть

Система (*) в векторно-матричном виде: . — система однородная, иначе – неоднородная.

Сам метод. Пусть имеется линейная неоднородная система , тогда — линейная однородная система, соответствующая линейной неоднородной. Пусть – фундаментальная матрица системы решений, , где C – произвольный постоянный вектор, — общее решение системы. Станем искать решение системы (1) в виде , где C(x) – неизвестная (пока) вектор-функция. Хотим, чтобы вектор-функция (3) была решением системы (1). Тогда должно быть справедливо тождество:

(произвольный постоянный вектор, который получается в результате интегрирования, можно считать равным 0). Здесь точки x0, – любые.

Видим, таким образом, что если в (3) в качестве C(t) брать , то вектор-функция будет решением системы (1).

Общее решение линейной неоднородной системы (1) может быть записано в виде . Пусть требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию . Подстановка (4) начальных данных (5) даёт . Следовательно, решение задачи Коши (1)-(5) может быть записано в виде: . В частном случае, когда , последняя формула принимает вид: .