Метод якоби решения уравнения пуассона

Численные методы решения уравнений эллиптического типа

Введение

Наиболее распространённым уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона.
К решению этого уравнения сводятся многие задачи математической физики, например задачи о стационарном распределении температуры в твердом теле, задачи диффузии, задачи о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов и многие другие.

Для решения эллиптических уравнений в случае нескольких измерений используют численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Точность решения опреде­ляется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера [1]

Цель публикации получить решение уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле и Неймана, исследовать сходимость релаксационного метода решения на примерах.

Уравнение Пуассона относится к уравнениям эллиптического типа и в одномерном случае имеет вид [1]:

(1)

где x – координата; u(x) – искомая функция; A(x), f(x) – некоторые непрерывные функции координаты.

Решим одномерное уравнение Пуассона для случая А = 1, которое при этом принимает вид:

(2)

Зададим на отрезке [xmin, xmax] равномерную координатную сетку с шагом ∆х:

(3)

Граничные условия первого рода (условия Дирихле) для рассматривае­мой задачи могут быть представлены в виде:

(4)

где х1, xn – координаты граничных точек области [xmin, xmax]; g1, g2 – некоторые
константы.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) для рассматривае­мой задачи могут быть представлены в виде:

(5)

Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной координатной сетке (3) с использованием метода конечных разностей, по­лучим:

(6)

где u1, un – значения функции u(x) в точках x1, xn соответственно.

Проводя дискретизацию граничных условий Неймана на сетке (3), по­лучим:

(7)

Проводя дискретизацию уравнения (2) для внутренних точек сетки, по­лучим:

(8)

где ui, fi – значения функций u(x), f(x) в точке сетки с координатой xi.

Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерностью n, содержащую n – 2 уравнения вида (8) для внутренних точек области и уравнения (6) и (7) для двух граничных точек [1].

Ниже приведен листинг на Python численного решения уравнения (2) с граничными условиями (4) – (5) на координатной сетке (3).

Разработанная мною на Python программа удобна для анализа граничных условий.Приведенный алгоритм решения на Python использует функцию Numpy — u=linalg.solve(a,b.T).T для решения системы алгебраических уравнений, что повышает быстродействие при квадратной матрице . Однако при росте числа измерений необходимо переходить к использованию трех диагональной матрицы решение для которой усложняется даже для очень простой задачи, вот нашёл на форуме такой пример:

Программа численного решения на равномерной по каждому направлению сетки задачи Дирихле для уравнения конвекции-диффузии

(9)

Используем аппроксимации центральными разностями для конвективного слагаемого и итерационный метод релаксации.для зависимость скорости сходимости от параметра релаксации при численном решении задачи с /(х) = 1 и 6(х) = 0,10. В сеточной задаче:

(10)

Представим матрицу А в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольных матриц:

(10)

Метод релаксации соответствует использованию итерационного метода:

(11)

При \ говорят о верхней релаксации, при — о нижней релаксации.

На графике показана зависимость числа итераций от параметра релаксации для уравнения Пуассона (b(х) = 0) и уравнения конвекции-диффузии (b(х) = 10). Для сеточного уравнения Пуассона оптимальное значении параметра релаксации находится аналитически, а итерационный метод сходиться при .

1. Приведено решение эллиптической задачи на Python с гибкой системой установки граничных условий
2. Показано что метод релаксации имеет оптимальный диапазон () параметра релаксации.

Ссылки:

1. Рындин Е.А. Методы решения задач математической физики. – Таганрог:
   Изд-во ТРТУ, 2003. – 120 с.
2. Вабищевич П.Н.Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом
   «ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.

Метод якоби решения уравнения пуассона

Глава 5. Решение дифференциальных уравнений

5.9 Решение эллиптических уравнений (Лапласа и Пуассона)

С помощью двух встроенных функций, multigrid и relax , можно решить простейшие случаи уравнения Пуассона. Это уравнение очень часто используется в технике, например, для описания полей напряжений и деформаций в плоской задаче теории упругости, в задачах теплопроводности, гидроаэродинамики, электростатики. В MathCAD для численного решения уравнения Пуассона используется метод конечных разностей.

Уравнение Пуассона имеет вид

.

Если правая часть уравнения равна нулю, такое уравнение называется уравнением Лапласа

.

На квадратной области уравнение Пуассона представляется в виде

.

Численное решение ищется в MathCAD только на квадратной области, состоящей из ( n +1) ( n +1) точек. Поэтому граничные условия должны быть определены пользователем для всех четырех сторон квадрата. Самый простой ( и наиболее часто используемый) вариант – это нулевые граничные условия (уравнение Лапласа). В таком случае можно использовать функцию multigrid .

Обращение к функции:

Multigrid ( M , n cycle ),

где M – квадратная матрица размером 1 2 n , которая содержит значения правой части уравнения Пуассона в соответствующей точке квадратной области; n cycle – число циклов на каждом уровне итерации функции multigrid . Значение n cycle =2 обычно дает хорошую аппроксимацию решения.

Пример использования функции multigrid приведен на рис. 5.21.

Обнуление предыдущих значений М

Обнуление матрицы правых частей уравнения

Три точечных источника

Значения правой части уравнения Пуассона

Рис. 5. 21 Решения уравнения Лапласа с помощью функции multigrid

Если граничные условия по сторонам квадрата ненулевые, необходимо использовать функцию relax .

Обращение к функции:

relax(a, b, c, d, f, u, rjac),

где a , b , c , d , e – квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты аппроксимирующего уравнения; f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке области, где ищется решение; u – квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе квадратной области и начальное приближение для решения внутри области; rjac – спектральный радиус итераций Якоби. Это число между 0 и 1, которое управляет сходимостью процесса релаксации.

Использование этой функции требует глубокого знания метода конечных разностей для составления указанных матриц. Пример использования функции relax приведен на рис. 5.22 и 5.23.

Определим размеры сетки

Введем 5 квадратных матриц для коэффициентов a, b, c, d, e ,

входящих в сеточную аппроксимацию уравнения Пуассона

чем больше эти коэффициенты, тем меньше шаг решения,

тем точнее результат. Можно взять

Задает положение и интенсивность источника

Пусть во всех узлах значения правой части одинаковы

Граничные условия

на верхней границе

на нижней границе

по бокам

Поменяйте условия. Включите серые выражения.

Это аналог функции multigrid

Спектральный радиус Якоби r

Решение уравнения Пуассона

Рис. 5. 22 Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax

Рис. 5. 23 Результаты решение уравнения Пуассона с помощью функции relax

Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

В данной статье мы расскажем общие сведения об итерационных методах решения СЛАУ, познакомим с методом Зейделя и Якоби, а также приведем примеры решения систем линейных уравнений при помощи данных методов.

Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации

Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.

Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x 0 .

Рассмотрим систему A x = b .

Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду x = B x + d . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ x ( 0 ) = ( x 1 0 , x 2 0 , . . . x m 0 ) и находим последовательность приближений к корню.

Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие В 1 . Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.

Метод Якоби

Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x 1 , из 2-го выражаем неизвестное x 2 и т.д.

Результатом служит матрица В , в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:

b i j = — a i j / a i i , i , j = 1 , 2 . . . , n

Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:

d i = b i / a i i , i = 1 , 2 , . . . , n

Расчетная формула метода простой итерации:

x ( n + 1 ) = B x ( x ) + d

Матричная запись (координатная):

x i ( n + 1 ) = b i 1 x n 1 + b i 2 x ( n ) 2 + . . . + b

Критерий окончания в методе Якоби:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε 1 , где ε 1 = 1 — B B ε

В случае если B 1 / 2 , то можно применить более простой критерий окончания итераций:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε

Решить СЛАУ методом Якоби:

10 x 1 + x 2 — x 3 = 11 x 1 + 10 x 2 — x 3 = 10 — x 1 + x 2 + 10 x 3 = 10

Необходимо решить систему с показателем точности ε = 10 — 3 .

Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:

x 1 = — 0 , 1 x 2 + 0 , 1 x 3 + 1 , 1 x 2 = — 0 , 1 x 1 + 0 , 1 x 3 + 1 x 3 = 0 , 1 x 1 — 0 , 1 x 2 + 1

Выбираем начальное приближение, например: x ( 0 ) = 1 , 1 1 1 — вектор правой части.

В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:

x 1 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 + 0 , 1 × 1 + 1 , 1 = 1 , 1 x 2 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 , 1 + 0 , 1 + 1 = 0 , 99 x 3 ( 1 ) = 0 , 1 × 1 , 1 — 0 , 1 × 1 + 1 = 1 , 01

Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:

x ( 2 ) = 1 , 102 0 , 991 1 , 011 , x ( 3 ) = 1 , 102 0 , 9909 1 , 0111 , x ( 4 ) = 1 , 10202 0 , 99091 1 , 01111

Находим норму матрицы В , для этого используем норму B ∞ .

Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то B ∞ = 0 , 2 1 / 2 , поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε

Далее вычисляем нормы разности векторов:

x ( 3 ) — x ( 2 ) ∞ = 0 , 002 , x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ = 0 , 00002 .

Поскольку x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ ε , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.

x 1 = 1 , 102 ; x 2 = 0 , 991 ; x 3 = 1 ,01 1 .

Метод Зейделя

Метод Зейделя — метод является модификацией метода Якоби.

Суть: при вычислении очередного ( n + 1 ) — г о приближения к неизвестному x i при i > 1 используют уже найденные ( n + 1 ) — е приближения к неизвестным x 1 , x 2 , . . . , x i — 1 , а не n — о е приближение, как в методе Якоби.

x i ( n + 1 ) = b i 1 x 1 ( n + 1 ) + b i 2 x 2 ( n + 1 ) + . . . + b i , i — 1 x i — 2 ( n + 1 ) + b i , i + 1 x i + 1 ( n ) +

+ . . . + b i m x m ( n ) + d i

За условия сходимости и критерий окончания итераций можно принять такие же значения, как и в методе Якоби.

Решить СЛАУ методом Зейделя. Пусть матрица системы уравнений А — симметричная и положительно определенная. Следовательно, если выбрать начальное приближение, метод Зейделя сойдется. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы не накладывается.

Решим 3 системы уравнений:

2 x 1 + x 2 = 3 x 1 — 2 x 2 = 1 , x 1 + 2 x 2 = 3 2 x 1 — x 2 = 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1

Приведем системы к удобному для итерации виду:

x 1 ( n + 1 ) = — 0 , 5 x 2 ( n ) + 1 , 5 x 2 ( n + 1 ) = 0 , 5 x 1 ( n + 1 ) + 0 , 5 , x 1 ( n + 1 ) = — 2 x 2 ( n ) + 3 x 2 ( n + 1 ) = 2 x 1 ( n + 1 ) — 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1 .

Отличительная особенность, условие сходимости выполнено только для первой системы:

Вычисляем 3 первых приближения к каждому решению:

1-ая система: x ( 0 ) = 1 , 5 — 0 , 5 , x ( 1 ) = 1 , 75 0 , 375 , x ( 2 ) = 1 , 3125 0 , 1563 , x ( 3 ) = 1 , 4219 0 , 2109

Решение: x 1 = 1 , 4 , x 2 = 0 , 2 . Итерационный процесс сходится.

2-ая система: x ( 0 ) = 3 — 1 , x ( 1 ) = 5 9 , x ( 2 ) = — 15 — 31 , x ( 3 ) = 65 129

Итерационный процесс разошелся.

Решение: x 1 = 1 , x 2 = 2

3-я система: x ( 0 ) = 1 , 5 2 , x ( 1 ) = 2 — 6 , x ( 2 ) = 0 2 , x ( 3 ) = 0 2

Итерационный процесс зациклился.

Решение: x 1 = 1 , x 1 = 2

Метод простой итерации

Если А — симметричная и положительно определенная, то СЛАУ приводят к эквивалентному виду:

x = x — τ ( A x — b ) , τ — итерационный параметр.

Расчетная формула имеет следующий внешний вид:

x ( n + 1 ) = x ( n ) — τ ( A x n — b ) .

Здесь B = E — τ A и параметр τ > 0 выбирают таким образом, чтобы по возможности сделать максимальной величину B 2 .

Пусть λ m i n и λ m a x — максимальные и минимальные собственные значения матрицы А .

τ = 2 / ( λ m i n + λ m a x ) — оптимальный выбор параметра. В этом случае B 2 принимает минимальное значение, которое равняется ( λ m i n + λ m a x ) / ( λ m i n — λ m a x ) .