Метод жордана гаусса решения систем линейных уравнений теория

Метод Жордана-Гаусса для решения СЛАУ

В данной статье мы рассмотрим метод Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений, отличие метода Гаусса от метода Жордана-Гаусса, алгоритм действий, а также приведем примеры решений СЛАУ.

Основные понятия

Метод Жордана-Гаусса — один из методов, предназначенный для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Этот метод является модификацией метода Гаусса — в отличие от исходного (метода Гаусса) метод Жордана-Гаусса позволяет решить СЛАУ в один этап (без использования прямого и обратного ходов).

Матричная запись СЛАУ: вместо обозначения А в методе Жордана-Гаусса для записи используют обозначение Ã — обозначение расширенной матрицы системы.

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

4 x 1 — 7 x 2 + 8 x 3 = — 23 2 x 1 — 4 x 2 + 5 x 3 = — 13 — 3 x 1 + 11 x 2 + x 3 = 16

Записываем расширенную матрицу системы:

Ã = 4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16

Напоминаем, что слева от черты записывается матрица системы А :

A = 4 — 7 8 2 — 4 5 — 3 11 1

На каждом шаге решения необходимо выбирать разрешающие элементы матрицы. Процесс выбора может быть различным — в зависимости от того, как выбираются элементы, решения будут отличаться. Можно выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы, а можно выбирать произвольно.

В этой статье мы покажем оба способа решения.

Произвольный способ выбора разрешающих элементов

Первый этап:

Следует обратиться к 1-му столбцу матрицы Ã — необходимо выбрать ненулевой (разрешающий) элемент.

В 1-ом столбце есть 3 ненулевых элемента: 4, 2, -3. Можно выбрать любой, но, по правилам, выбирается тот, чей модуль ближе всего к единице. В нашем примере таким числом является 2.

Цель: обнулить все элементы, кроме разрешающего, т.е. необходимо обнулить 4 и -3:

4 — 7 8 2 — 4 5 — 3 11 1

Произведем преобразование: необходимо сделать разрешающий элемент равным единице. Для этого делим все элементы 2-ой строки на 2. Такое преобразование имеет обозначение: I I : 2 :

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 I I ÷ 2 → 4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 — 3 11 1 | 16

Теперь обнуляем остальные элементы: 4 и -3:

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 — 3 11 1 | 16 I — 4 × I I I I I — ( — 3 ) × I I

Необходимо выполнить преобразования:

I — 4 × I I и I I I — ( — 3 ) × I I = I I I + 3 × I I

Запись I — 4 × I I означает, что от элементов 1-ой строки вычитаются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 4.

Запись I I I + 3 × I I означает, что к элементам 3-ей строки прибавляются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 3.

I — 4 × I I = 4 — 7 8 — 23 — 4 1 — 2 5 / 2 — 13 / 2 = = 4 — 7 8 — 23 — 4 — 8 10 — 26 = 0 1 — 2 3

Записываются такие изменения следующим образом:

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 — 3 11 1 | 16 I — 4 × I I I I I — ( — 3 ) × I I → 0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2

Необходимо обнулить 2-ой столбец, следовательно, нужно выбрать разрешающий элемент: 1, -2, 5. Однако 2-ую строку матрицы мы использовали в первом этапе, так что элемент -2 не может быть использован.

Поскольку необходимо выбирать число, чей модуль ближе всего к единице, то выбор очевиден — это 1. Обнуляем остальные элементы 2-го столбца:

0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I I — ( — 2 ) × I I I I — 5 × I

0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I I + 2 × I I I I — 5 × I → 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2

Теперь требуется обнулить элементы 3-го столбца. Поскольку первая и вторая строки уже использованы, поэтому остается только один вариант: 37 / 2 . Обнуляем с его помощью элементы третьего столбца:

0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2

I — ( — 2 ) × I I I = I + 2 × I I I и I I — ( — 3 2 ) × I I I = I I + 3 2 × I I

получим следующий результат:

0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 1 | — 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 0 1 0 | 1 1 0 0 | — 2 0 0 1 | — 1

Ответ: x 1 = — 2 ; x 2 = 1 ; x 3 = — 1 .

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 I I ÷ 2 → 4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 — 3 11 1 | 16 I — 4 × I I I I I — ( — 3 ) × I I →

→ 0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I I — ( — 2 ) × I I I I — 5 × I → 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2 I I I ÷ 37 2 →

→ 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 1 | — 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 0 1 0 | 1 1 0 0 | — 2 0 0 1 | — 1 .

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы

Принцип выбора разрешающих элементов строится на простом отборе соответствующих элементов: в 1-ом столбце выбирается элемент 1-го столбца, во 2-ом — второй, в 3-ем — третий и т.д.

Первый этап

В первом столбце необходимо выбрать элемент первой строки, т.е. 4. Но поскольку в первом столбце есть число 2, чей модуль ближе к единице, чем 4, то можно поменять местами первую и вторую строку:

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 → 2 — 4 5 | — 13 4 — 7 8 | — 23 — 3 11 1 | 16

Теперь разрешающий элемент — 2. Как показано в первом способе, делим первую строку на 2, а затем обнуляем все элементы:

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 I ÷ 2 → 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 4 — 7 8 | — 23 — 3 11 1 | 16 I I — 4 × I I I I + 3 × I → 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 1 — 2 | 3 0 5 17 / 2 | — 7 / 2

На втором этапе требуется обнулить элементы второго столбца. Разрешающий элемент — 1, поэтому никаких изменений производить не требуется:

0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I + 2 × I I I I I — 5 × I I → 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2

На третьем этапе необходимо обнулить элементы третьего столбца. Разрешающий элемент — 37/2. Делим все элементы на 37/2 (чтобы сделать равными 1), а затем обнуляем:

0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2 I I I ÷ 37 2 → 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 1 — 2 | 3 0 0 1 | — 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 1 0 0 | — 2 0 1 0 | 1 0 0 1 | — 1

Ответ: x 1 = — 2 ; x 2 = 1 ; x 3 = — 1 .

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 I ÷ 2 → 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 4 — 7 8 | — 23 — 3 11 1 | 16 I I — 4 × I I I I + 3 × I → 0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I + 2 × I I I I I — 5 × I I →

→ 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2 I I I ÷ 37 2 → 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 1 — 2 | 3 0 0 1 | — 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 1 0 0 | — 2 0 1 0 | 1 0 0 1 | — 1

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

3 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 = — 6 3 x 1 + x 2 + 2 x 4 = — 10 6 x 1 + 4 x 2 + 11 x 3 + 11 x 4 = — 27 — 3 x 1 — 2 x 2 — 2 x 3 — 10 x 4 = 1

Записать расширенную матрицу данной системы Ã :

3 1 2 5 | — 6 3 1 0 2 | 10 6 4 11 11 | — 27 — 3 — 2 — 2 — 10 | 1

Для решения используем второй способ: выбор разрешающих элементов на главной диагонали системы. На первом этапе выбираем элемент первой строки, на втором — второй строки, на третьем — третьей и т.д.

Необходимо выбрать разрешающий элемент первой строки, т.е. 3. Затем обнуляем все элементы столбца, разделяя на 3 все элементы:

3 1 2 5 | — 6 3 1 0 2 | — 10 6 4 11 11 | — 27 — 3 — 2 — 2 — 10 | 1 I ÷ 3 → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 3 1 0 2 | — 10 6 4 11 11 | — 27 — 3 — 2 — 2 — 10 | 1 I I — 3 × I I I I — 6 × I I V + 3 × I →

→ 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 0 — 2 — 3 | — 4 0 2 7 1 | — 15 0 — 1 0 — 5 | — 5

Необходимо обнулить элементы второго столбца. Для этого выделяем разрешающий элемент, но элемент первой строки второго столбца равен нулю, поэтому необходимо менять строки местами.

Поскольку в четвертой строке есть число -1, то меняем местами вторую и четвертую строки:

1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 0 — 2 — 3 | — 4 0 2 7 1 | — 15 0 — 1 0 — 5 | — 5 → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 — 1 0 — 5 | — 5 0 2 7 1 | — 15 0 0 — 2 — 3 | — 4

Теперь разрешающий элемент равен -1. Делим элементы второго столбца на -1, а затем обнуляем:

1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 — 1 0 — 5 | — 5 0 2 7 1 | — 15 0 0 — 2 — 3 | — 4 I I ÷ ( — 1 ) → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 1 0 5 | 5 0 2 7 1 | — 15 0 0 — 2 — 3 | — 4 I — 1 / 3 × I I I I I — 2 × I →

→ 1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 7 — 9 | — 25 0 0 — 2 — 3 | — 4

На третьем этапе необходимо также обнулить элементы третьего столбца. Для этого находим разрешающий элемент в третьей строке — это 7. Но на 7 делить неудобно, поэтому необходимо менять строки местами, чтобы разрешающий элемент стал -2:

1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 7 — 9 | — 25 0 0 — 2 — 3 | — 4 → 1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 — 2 — 3 | — 4 0 0 7 — 9 | — 25

Теперь делим все элементы третьего столбца на -2 и обнуляем все элементы:

1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 — 2 — 3 | — 4 0 0 7 — 9 | — 25 I I I ÷ ( — 2 ) → 1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 — 9 | — 25 I — 2 / 3 × I I I I V — 7 × I I I →

1 0 0 — 1 | — 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 — 39 / 2 | — 39

Обнуляем четвертый столбец. Разрешающий элемент — — 39 2 :

1 0 0 — 1 | — 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 — 39 / 2 | — 39 I V ÷ ( — 39 2 ) → 1 0 0 — 1 | — 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 1 | 2 I + I V I I — 5 × I V I I I — 3 / 2 × I V →

→ 1 0 0 0 | — 3 0 1 0 0 | — 5 0 0 1 0 | — 1 0 0 0 1 | 2 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 5 ; x 3 = — 1 ; x 4 = 2

Метод Жордана-Гаусса

Вы будете перенаправлены на Автор24

Метод Жордана-Гаусса – это метод решения линейных уравнений путём полного исключения неизвестных. Данный метод является модификацией метода Гаусса, только в случае метода Жордана-Гаусса элементарные преобразования проводятся дальше.

История возникновения метода

Исторически метод Гаусса возник достаточно давно. Решение систем уравнений подобным способом было изложено ещё в древнем китайском математическом трактате под названием “Математика в девяти книгах”, представляющим собой разрозненное собрание решений различных прикладных математических задач.

Некоторые главы этого трактата датируются 150 г. до н.э.

В Европе же первым, кто занимался изучением этого метода, был Исаак Ньютон. Учёный изучил много книг по алгебре того времени и обнаружил, что ни в одной из них не предложено решений систем уравнений со множеством переменных, после чего он предложил свой способ решения.

Его работа на эту тему была опубликована в 1707 г., в это время Ньютон уже больше не работал в Кембридже. После этого в течение века метод появился во многих книгах и учебниках по алгебре.

В 1810 году известный немецкий учёный и математик К. Ф. Гаусс опубликовал свои дополнения к этому методу вместе с другими своими работами по линейной алгебре, после чего метод с получением верхней треугольной матрицы стал широко известен под его именем.

Затем в в конце XIX века геодезист и математик Жордан разработал на основе метода Гаусса свой усовершенствованный вариант с получением диагональной матрицы.

Примечательно, что он сделал это практически одновременно с другим учёным, тем не менее, в названии усовершенствованного метода отразилось только имя геодезиста Жордана.

Практическое применение метода Жордана-Гаусса

Метод Жордана и Гаусса используется для решения систем линейных уравнений, а также для получения обратных матриц и нахождения ранга матрицы. Также этот метод весьма полезен и часто применяем для решения технических задач со множеством неизвестных.

Готовые работы на аналогичную тему

Для решения получаемых на основе технических задач систем уравнений выделяют наибольшие по модулю переменные для уменьшения ошибки погрешности, а затем производят поочередное удаление лишних переменных из строчек матрицы.

Для решения технических задач методом Жордана-Гаусса также используются реализации на различных языках программирования, они позволяют получать более точные значения переменных.

Объяснение сущности метода Жордана-Гаусса

Обычно матрица, полученная с помощью метода Жордана-Гаусса выглядит как диагональ с единицами, вот например:

$A = \begin 1& 0 &0 &a_1 \\ 0& 1 &0 &a_2 \\ 0 & 0 & 1 &a_3 \end$

Разница между методом Гаусса и методом Жордана-Гаусса состоит в том, что в случае метода Гаусса необходимо привести только нижнюю часть матрицы к нулям, тогда как в случае метода Жордана-Гаусса в каждой строчке матрицы остаётся лишь один коэффициент при переменной.

С помощью метода Гаусса можно найти базисное и общее решение системы уравнений, также как и с помощью метода Жордана-Гаусса.

Базисное решение системы уравнений – это решение, при котором все свободные переменные равны нулю.

Общее решение системы уравнений – это решение, при котором основные переменные выражаются через свободные переменные.

Также методом Жордана-Гаусса производят получение обратных матриц.

Получение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса

Обратная матрица – это такая матрица, при умножении на которую из исходной матрицы получается единичная матрица. Обратные матрицы существуют только для квадратных и невырожденных матриц.

Сущность метода нахождения обратной матрицы состоит в том, чтобы записать рядом исходную матрицу и единичную, и затем, производить элементарные преобразования по методу Жордана-Гаусса одновременно к двум матрицам.

В результате мы получим диагональную единичную матрицу из исходной, а рядом с ней будет её обратная матрица, полученная из единичной матрицы.

Получение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса.

Запишем рядом единичную матрицу и исходную:

$ \begin 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end$

Теперь к нижней строчке прибавляем верхнюю строчку, умноженную на $-3$:

$ \begin 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end$

Прибавляем к верхней строчке нижнюю:

$ \begin 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end$

Делим вторую строку на $-2$:

$ \begin 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end$

Обратной исходной будет следующая матрица:

Чтобы решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса, к матрице возможно применить те же элементарные преобразования, что и в случае решения методом Гаусса, а именно:

умножение любой строчки на константу, отличную от нуля;
вычитание или сложение двух любых строчек;
перестановка любых двух строчек местами;
удаление строчек, состоящих из одних нулей;
удаление лишних строк, пропорциональных друг другу.

Соответственно, чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана, необходимо выполнить ряд преобразований над получающейся после применения метода Гаусса матрицей.

Общий алгоритм решения системы уравнений методом Жордана-Гаусса

Выбирают строчку, в которой первый элемент имеет ненулевое значение максимально приближенное к единице и ставят её на место первой строки. Такой элемент называют также “разрешающим”
Приводят значение верхней левой ячейки к $1$ посредством деления или умножения всей верхней строки.
Из оставшихся строчек вычитают верхнюю строчку, помноженную на коэффициент, стоящий на первом месте в строчке, над которой ведутся преобразования.
Далее тоже самое проделывают необходимое количество раз с целью получения треугольной матрицы, в которой все элементы ниже главной диагонали, проходящей слева направо сверху вниз, равны нулю. Последовательность действий, описанных выше, называется прямым ходом преобразования матрицы.
После получения треугольной матрицы затем вычитают последнюю строку из предпоследней, помножив последнюю строку на элемент из предпоследней. На данном этапе в последней и предпоследней строке остаётся по одному коэффициенту. Эту операцию повторяют пока не дойдут до верха матрицы, получив диагональную матрицу. Эти действия носят название обратного хода преобразования матрицы.

Задача. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

$\begin 3x_1 + 2x_2 – 5x_3 = -1 \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 13 \\ x_1 + 2x_2 – x_3 = 9 \end$

Теперь запишем эту систему в виде расширенной матрицы:

$ \begin 3& 2 & -5 & -1\\ 2 & -1& 3 & 13 \\ 1 & 2 & -1 & 9 \\ \end$

Путём элементарных преобразований методом Гаусса получим следующую матрицу:

$ \begin 1& 2 & -1 & 9\\ 0 & 1& -1 & 1 \\ 0 & 0& 1 & 4 \\ \end$

Теперь начнём использовать обратный ход и преобразуем эту матрицу чтобы получить диагональ из единиц.

Сначала к средней и верхней строчкам необходимо добавить последнюю строчку, получается:

$ \begin 1& 2 & 0 & 13\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end$

А теперь к верхней строчке прибавим среднюю, умноженную на $-2$:

$ \begin 1& 0 & 0 & 3\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end$

Получаем следующую систему:

$\begin x_1 = 3 \\ x_2 = 5 \\ x_3 = 4 \end$

Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

$\begin x_1 – 8x_2 + x_3 — 9x_4 = 6 \\ x_1 – 4x_2 – x_3 — 5x_4 = 2 \\ -3x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 5x_4 = 4 \\ 5x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 12 \end$

Сначала запишем систему в матричном виде:

$ \begin 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ -1 & -4& -1 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 8 & 5 & 4 \\ 5& 2 & 2 & 3 & 12 \\ \end$

Затем преобразуем до треугольной:

К самой верхней строчке прибавляем вторую строчку, домноженную на $-1$. К третьей строчке прибавляем утроенную самую верхнюю строчку, затем к последней строчке прибавляем самую верхнюю, помноженную на $-5$:

$ \begin 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 4& -2 & 4 & -4 \\ 0 & -22 & 11 & -22 & 22 \\ 0& 42 & -3 & 48 & -18 \\ \end$

Теперь вторую строчку необходимо поделить на $2$, третью строчку на на $11$, а самую нижнюю строку делим на 3:

$ \begin 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 2 \\ 0& 14 & -1 & 16 & -6 \\ \end$

Удаляем третью строчку, так как она пропорциональна со второй. А к последней строке прибавляем вторую, предварительно домноженную на $-7$:

$ \begin 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 6 & 2 & 8 \\ \end$

Теперь сокращаем последнюю строчку с $2$:

$ \begin 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end$

В полученной матрице количество строк и столбцов неодинаково, а значит, она имеет бесконечное множество решений. Продолжаем дальнейшее преобразование системы, для этого необходимо в третьем столбце получить числа с равным модулем, поэтому сначала верхнюю строку умножаем на $-3$, а среднюю на $3$:

$ \begin -3& 24 & -3 & 27 & -18 \\ 0 & 6& -3 & 6 & -6 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end$

Складываем поочередно первую строчку с третьей, а затем вторую с третьей:

$ \begin -3& 24 & 0 & 28 & -14 \\ 0 & 6 & 0 & 7 & -2 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end$

Домножаем вторую строчку на $-4$ чтобы получить одинаковые по модулю числа во втором столбце нашей матрицы:

$ \begin -3& 24 & 0 & 28 & -14 \\ 0 & -24 & 0 & -28 & 8 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end$

Складываем верхнюю строчку со второй:

$ \begin -3& 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & -24 & 0 & -28 & 8 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end$

Теперь необходимо разделить верхнюю строчку на $-3$, среднюю строчку на $-24$, а последнюю строчку нужно разделить на 3:

$ \begin 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 7/6 & -1/3 \\ 0& 0 & 1 & 1/3 & 4/3 \\ \end$

Если переписать в виде системы, получим следующее:

$\begin x_1 = 2 \\ x_2 + \frac<7><6>x_4 = -\frac<1> <3>\\ x_3 + \frac<1><3>x_4 = \frac<4> <3>\\ \end$

А теперь просто выражаем базисные переменные:

$\begin x_1 = 2 \\ x_2 = -\frac<7><6>x_4 — \frac<1> <3>\\ x_3 = -\frac<1><3>x_4 + \frac<4> <3>\\ \end$

Данная система является общим решением уравнения.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 12 2021

Метод Гаусса-Жордана. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Жордана.

Метод Гаусса-Жордана предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является модификацией метода Гаусса. Нередко этот метод называют методом Жордана или Жордана-Гаусса.

В данном методе решения СЛАУ мы работаем с расширенной матрицей системы. Преобразования, допустимые в методе Гаусса-Жордана те же, что и в методе Гаусса:

Смена мест двух строк.
Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю.

В принципе, можно менять местами и столбцы матрицы системы, но тогда нужно запоминать новый порядок переменных в уравнениях. Например, смена мест второго и пятого столбцов матрицы системы означает, что переменные $x_2$ и $x_5$ поменялись местами во всех уравнениях.

Буквами $r$ (от слова «row») я стану обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Перед тем, как описать алгоритм решения СЛАУ рассматриваемым методом, отмечу пару моментов насчёт вычёркивания строк. Договоримся, что нулевые строки мы вычёркиваем по мере их появления. Кроме того, на любом шаге можно, хоть это и не обязательно, вычёркивать одинаковые строки (т.е. строки, все соответствующие элементы которых равны меж собой), оставляя при этом одну из этих строк. Например, если строки $r_2$, $r_5$, $r_6$ одинаковы, то можно оставить одну из них, – например, строку $r_2$. При этом строки $r_5$ и $r_6$ будут удалены.

Удалять можно не только одинаковые строки. Если все элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки, умноженным на некое отличное от нуля число, то одну из этих строк можно вычеркнуть. Например, для строк $(-2;\;5;\;0)$ и $(-6;\;15;\;0)$ имеем $(-6;\;15;\;0)=3\cdot(-2;\;5;\;0)$. Следовательно, одну из этих строк можно вычеркнуть из матрицы.

Впрочем, обязательным условием оставим лишь вычёркивание нулевых строк. Из повторяющихся или пропорциональных строк в любом случае останется лишь одна, а остальные позже станут нулевыми и будут удалены из матрицы.

Если в ходе выполнения алгоритма возникла строка вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end\right)$, где $x\neq<0>$, то нет смысла продолжать преобразования, так как система является несовместной, т.е. не имеет решения.

Перед тем, как рассмотреть преобразования метода Гаусса-Жордана, введём несколько терминов.

Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Буквами $r$ (от слова «row») станем обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Описание алгоритма с произвольным выбором разрешающего элемента

Если говорить коротко, то суть данного метода состоит в последовательном переборе столбцов матрицы системы, в каждом из которых выбирается некий ненулевой элемент, именуемый разрешающим элементом. Пусть в текущем столбце в качестве разрешающего элемента выбран $a_$. Если $a_\neq<1>$, то домножая строку $r_i$ на $\frac<1>>$, добиваемся того, чтобы разрешающий элемент стал равен 1.

Далее выполняем действия со строками, чтобы обнулить все ненулевые элементы j-го столбца, кроме разрешающего элемента. После этого переходим к следующему столбцу. При этом из каждой строки можно взять разрешающий элемент лишь один раз.

Нулевые строки вычёркиваются по мере их появления. Если разрешающий элемент станет выбрать невозможно, алгоритм прекращается. Данным методом решены примеры №1 и №2 на этой странице.

Более развёрнутое пояснение этого метода дано в примечании ниже.

Подробное описание метода: показать\скрыть

На первом шаге мы работаем с первым столбцом матрицы системы. Выберем в первом столбце произвольный отличный от нуля элемент $a_\neq<0>$. Это разрешающий элемент. Если $a_\neq<1>$, то умножаем строку $r_i$, содержащую разрешающий элемент, на $\frac<1>>$, чтобы разрешающий элемент стал равен единице. Если $a_=1$, то никакого домножения, разумеется, делать не нужно. Затем с помощью строки $r_i$ производим обнуление всех остальных ненулевых элементов первого столбца, после чего переходим к следующему шагу. Из строки $r_i$ выбирать разрешающие элементы в последующих шагах запрещено. Из некоей строки можно выбрать разрешающий элемент лишь один раз – это крайне важно.

На втором шаге переходим к следующему столбцу матрицы системы. Посмотрим, нет ли в этом столбце элемента, не равного нулю, при этом не принадлежащего строке, из которой был выбран разрешающий элемент на предыдущем шаге. Если такого разрешающего элемента во втором столбце нет, то переходим к третьему, четвёртому столбцу и так далее – до тех пор, пока либо не найдём столбец, в котором будет нужный нам элемент, либо убедимся, что искомый столбец в матрице системы отсутствует (это будет означать окончание алгоритма).

Допустим, что мы нашли столбец, в котором присутствует искомый разрешающий элемент. Обозначим этот элемент $b_$. Затем, аналогично первому шагу, если $b_\neq<1>$, умножаем строку $r_n$, содержащую разрешающий элемент, на $\frac<1>>$. После этого производим обнуление всех остальных ненулевых элементов k-го столбца. Из строк, которым принадлежали разрешающие элементы на первом и втором шагах, выбирать разрешающие элементы в последующих шагах запрещено.

После обнуления переходим к следующему столбцу и так далее. Полагаю, что логика данного метода ясна. На каждом шаге мы рассматриваем некий столбец. В этом столбце ищем ненулевой разрешающий элемент $a$, при этом данный ненулевой элемент не должен лежать в тех строках, из которых выбирались разрешающие элементы на предыдущих шагах. Если такой разрешающий элемент $a$ мы находим, то при $a\neq<1>$ умножаем строку, содержащую данный элемент, на $\frac<1>$. Затем выполняем обнуление всех остальных ненулевых элементов текущего столбца. Если же мы не находим искомого элемента в текущем столбце, то переходим к следующему столбцу – пока не найдём нужный столбец или же не убедимся в отсутствии искомого столбца. Как только выбор разрешающего элемента станет невозможен, алгоритм закончится.

Описание алгоритма с последовательным перебором строк

Если предыдущий вариант алгоритма предполагал последовательный перебор столбцов, то в данном случае мы будем осуществлять последовательный перебор строк. На каждом шаге этого варианта метода Гаусса-Жордана используется некая строка расширенной матрицы системы. На первом шаге применяется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Замечание про нулевые и повторяющиеся строки, сделанное выше, остаётся в силе. Нулевые строки вычёркиваем по мере их появления.

Обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеется хоть одна строка, причём $k$ – номер ведущего элемента текущей строки (этот элемент обозначим буквой $a$), а $k_<\min>$ – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

Последовательно перебирая строки, мы придём к использованию последней строки. Пусть ведущий элемент $a$ этой строки имеет номер $k$. Если $a\neq<1>$, то умножаем последнюю строку на $\frac<1>$. Затем обнуляем ненулевые элементы k-го столбца, расположенные над последней строкой. На этом решение заканчивается. Данным способом решены примеры №3, №4, №5 и №6 на этой странице.

Как конкретно происходит обнуление элементов, рассмотрим на практике. Буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_<\min>$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой. Разрешающий элемент во всех примерах выделен красным цветом.

Расширенная матрица системы будет такой:

На каждом шаге метода Гаусса-Жордана нам придётся выбирать некие ненулевые элементы матрицы системы (разрешающие элементы). Выбирать можно по-разному, и в зависимости от выбора разрешающих элементов будет отличаться процесс решения. В этом примере мы станем выбирать разрешающий элемент произвольно.

Обратимся к первому столбцу матрицы системы (матрица системы записана до черты). Надо выбрать в первом столбце какой-либо ненулевой элемент, который и будет разрешающим элементом.

У нас в первом столбце три ненулевых элемента: 4, 2, -3. Мы можем выбрать любой из них. Удобно, когда разрешающий элемент равен 1 или -1 (почему это так, будет ясно из дальнейшего), однако такого элемента в первом столбце нет. Возьмём в качестве разрешающего элемента число 2.

Для начала сделаем так, чтобы разрешающий элемент (он выделен красным цветом) стал равен единице. Для этого разделим все элементы второй строки на 2. Это преобразование обозначается так: $1/2\cdot$ и записывается следующим образом:

$$ \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ \boldred <2>& -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) \begin \phantom <0>\\ 1/2\cdot \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left( \begin \normblue <4>& -7 & 8 & -23\\ \boldred <1>& -2& 5/2 & -13/2\\ \normblue <-3>& 11 & 1 & 16 \end \right) $$

Наша цель: обнулить все ненулевые элементы первого столбца, кроме разрешающего элемента. Т.е. обнулению подлежат числа 4 и -3, которые выделены синим цветом. Для этого нужно выполнить такие операции со строками:

Запись $r_1-4r_2$ означает, что из элементов первой строки вычитаются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 4. А запись $r_3+3r_2$ говорит о том, что к элементам третьей строки прибавляются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 3. Если выполнение подобных операций в уме затруднительно (а поначалу именно так и бывает), то выпишите изменяемые строки отдельно. Например, так:

Заметьте, что вторую строку эти преобразования не затрагивают, поэтому в новую матрицу вторая строка перейдёт без изменений.

$$ \left( \begin \normblue <4>& -7 & 8 & -23\\ \boldred <1>& -2& 5/2 & -13/2\\ \normblue <-3>& 11 & 1 & 16 \end \right) \begin r_1-4r_2\\ \phantom <0>\\ r_3+3r_2 \end \rightarrow \left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & -2& 5/2 & -13/2\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end\right). $$

На этом первый шаг закончен. Все «синие элементы» первого столбца обнулены. Полагаю, теперь ясно, почему в качестве разрешающего элемента удобно брать 1 или -1: этот выбор банально позволит уменьшить работу с дробями или же вообще избежать такой работы.

Обратимся к следующему столбцу. Посмотрим, можно ли выбрать разрешающий элемент во втором столбце. В этом столбце есть три ненулевых элемента: 1, -2 и 5. Элемент -2 мы не можем выбрать в качестве разрешающего, так как он принадлежит строке, из которой был взят разрешающий элемент на предыдущем шаге. Следовательно, на роль разрешающего элемента есть два кандидата: 1 и 5.

Разумеется, самым удачным выбором будет 1. На первом шаге, чтобы разрешающим элементом стала единица, мы делили вторую строку на 2. Здесь эта операция не нужна, так как разрешающий элемент уже равен 1. С помощью разрешающего элемента (он выделен красным) мы обнулим два остальных ненулевых элемента второго столбца, выделенных синим цветом:

$$ \left( \begin 0 & \boldred <1>& -2 & 3\\ 1 & \normblue<-2>& 5/2 & -13/2\\ 0 & \normblue <5>& 17/2 & -7/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+2r_1\\ r_3-5r_1 \end \rightarrow \left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & 0 & -3/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end\right). $$

Второй шаг окончен. Все «синие элементы» обнулены. Переходим к третьему шагу.

Теперь перейдём к следующему, т.е. третьему столбцу. В этом столбце есть три ненулевых элемента, т.е. -2, -3/2 и 37/2. Элементы -2 и -3/2 не могут быть разрешающими, так как из строк, в которых лежат данные элементы, мы брали разрешающие элементы на предыдущих шагах. В качестве разрешающего элемента можно взять лишь 37/2. Операции, которые мы станем выполнять, полностью аналогичны производимым ранее: сделать разрешающий элемент единицей, а потом обнулить ненулевые элементы текущего столбца:

$$ \left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & 0 & -3/2 & -1/2\\ 0 & 0 & \boldred <37/2>& -37/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\ 2/37\cdot \end \rightarrow \left( \begin 0 & 1 & \normblue <-2>& 3\\ 1 & 0 & \normblue <-3/2>& -1/2\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -1 \end \right) \begin r_1+2r_3\\r_2+3/2\cdot\\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end \right). $$

Выбрать разрешающий элемент в следующем столбце матрицы системы невозможно, так как матрица системы содержит всего три столбца. Решение окончено, ответ получен.

Единица в первом столбце соответствует первой переменной $x_1$, т.е. $x_1=-2$. Единица во втором столбце соответствует переменной $x_2$, т.е. $x_2=1$. Наконец, единица в третьем столбце соответствует третьей переменной, т.е. $x_3=-1$. Если хотите более подробных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Как получились значения переменных? показать\скрыть

Давайте перейдём от последней полученной нами матрице к системе:

Упрощая полученную систему, имеем:

Полное решение без пояснений выглядит так:

$$ \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ \boldred <2>& -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) \begin \phantom <0>\\ 1/2\cdot \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ \boldred <1>& -2& 5/2 & -13/2\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) \begin r_1-4r_2\\ \phantom <0>\\ r_3+3r_2 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left( \begin 0 & \boldred <1>& -2 & 3\\ 1 & -2 & 5/2 & -13/2\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+2r_1\\ r_3-5r_1 \end \rightarrow \left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & 0 & -3/2 & -1/2\\ 0 & 0 & \boldred <37/2>& -37/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\ 2/37\cdot \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & 0 & -3/2 & -1/2\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -1 \end \right) \begin r_1+2r_3\\r_2+3/2\cdot\\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end \right). $$

Напишу пару строк относительно возможного облегчения преобразований данного метода. Как видно из предыдущего примера, работа с дробями может быть довольно утомительной, поэтому, разумеется, возникает желание эту работу минимизировать. Зачастую такой работы удаётся избежать, если разрешающий элемент равен 1 или -1.

Самое первое действие, которое можно попробовать выполнить, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1, это банальная смена мест строк. Например, представим себе, что после первого шага мы получили такую матрицу:

$$ \left(\begin 1 & 5 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 1 & 10 & -4 & 1 \end \right) $$

Разумным будет выбор единицы из четвёртой строки в качестве разрешающего элемента во втором столбце. Однако если есть необходимость взять разрешающий элемент из иной строки, то можно просто поменять строки местами. Например, если мы хотим, чтобы разрешающий элемент принадлежал второй строке, поступим так:

$$ \left(\begin 1 & 5 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & -1 & 1 & -4 & 1 \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & 5 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 10 & -4 & 1\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3 \end \right) $$

Смена мест строк зачастую позволяет упростить расчёты, поэтому этим приёмом нередко пользуются. Можно использовать и иной приём: выполнить вспомогательную операцию со строками, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1. Для демонстрации этого приёма обратимся к разобранному нами примеру №1. Мы хотим использовать на первом шаге разрешающий элемент из второй строки, но нас не устраивает, что данный элемент равен 2. Выполним вспомогательное действие $r_2+r_3$, и тогда разрешающий элемент станет равен -1:

$$ \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) \begin \phantom <0>\\ r_2+r_3 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ -1 & 7& 6 & 3 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) $$

Выполнять описанные выше вспомогательные действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если действий с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов метода Гаусса-Жордана, то, разумеется, лучше упростить себе расчёты и выполнить некое дополнительное действие, чтобы потом не работать с дробями.

Расширенная матрица системы будет такой:

В этом примере мы, как и в предыдущем примере №1, станем выбирать разрешающий элемент произвольно.

Обратимся к первому столбцу матрицы системы. Надо выбрать в первом столбце какой-либо ненулевой элемент, который и будет разрешающим элементом.

У нас в первом столбце три ненулевых элемента: -6, 1, -4. Мы можем выбрать любой из них. Возьмём в качестве разрешающего элемента число 1. Так как разрешающий элемент уже равен 1, то домножать третью строку на некий множитель нет необходимости, т.е. просто переходим к обнулению всех остальных ненулевых элементов первого столбца.

Стоит обратить внимание на то, что все элементы второй строки нацело делятся на 3, поэтому умножим вторую строку на $\frac<1><3>$. Это не обязательное действие, просто немного упростит расчёты.

Обратимся к следующему столбцу. Посмотрим, можно ли выбрать разрешающий элемент во втором столбце. В этом столбце есть лишь один ненулевой элемент: число -2. Однако элемент -2 мы не можем выбрать в качестве разрешающего, так как он принадлежит строке, из которой был взят разрешающий элемент на предыдущем шаге.

Переходим к следующему столбцу. В третьем столбце есть три ненулевых элемента: 12, -3 и -3. Выберем в качестве разрешающего элемента число -3, расположенное во второй строке.

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & \boldred <-3>& 5 & -2 & 1\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ -1/3\cdot \\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin r_1-12r_2\\ \phantom <0>\\ r_3+3r_2 \\ \phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

Обратите внимание, что $r_4=-r_1$, поэтому мы уже сейчас можем убрать одну из строк $r_1$ или $r_4$, однако для наглядности уберём лишнюю строку на следующем шаге, когда четвёртая строка станет нулевой.

Вновь переходим к следующему, т.е. уже четвёртому, столбцу. В этом столбце есть четыре ненулевых элемента: 2, -5/3, -5, -2. Элементы -5/3 и -5 мы не можем взять в качестве разрешающих, потому что они принадлежат строкам, из которых разрешающие элементы брались на предыдущих шагах. Выберем 2 в качестве разрешающего элемента:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 0 & \boldred <2>& -3 & -5\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin 1/2\cdot\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2+5/3\cdot \\ r_3+5r_1 \\ r_4+2r_1\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\ 1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\ 1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2 \end \right) $$

На последней матрице мы убрали нулевую строку. Решение окончено, так как в следующем столбце разрешающий элемент выбрать уже невозможно – все строки использованы.

Обратите внимание на столбцы, которые содержат по одному ведущему элементу некоей строки. Это столбец №1 (он содержит ведущий элемент строки №3), столбец №3 (он содержит ведущий элемент строки №2) и столбец №4 (он содержит ведущий элемент строки №1). Эти столбцы для наглядности я выделил синим цветом:

$$ \left(\begin \normblue <0>& 0 & \normblue <0>& \normblue <1>& -3/2 & -5/2\\ \normblue <0>& 0 & \normblue <1>& \normblue <0>& -11/6 & -9/2\\ \normblue <1>& -2 & \normblue <0>& \normblue <0>& -13/2 & -19/2 \end \right) $$

Выделенные столбцы соответствуют переменным $x_1$, $x_3$ и $x_4$. Эти переменные будут базисными, а переменные $x_2$ и $x_5$ – свободными. В принципе, из полученной матрицы можно сразу записать ответ. Например, первая строка данной матрицы соответствует уравнению $x_4-\frac<3><2>x_5=-\frac<5><2>$, откуда имеем $x_4=-\frac<5><2>+\frac<3><2>x_5$. Ответ будет таким:

Полное решение без пояснений таково:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -6 & 12 & 9 & 15 & 0 & -21\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ -4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11 \end \right) \begin \phantom<0>\\ 1/3\cdot \\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ \boldred <1>& -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ -4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2+2r_3 \\ \phantom <0>\\ r_4+4r_2 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & \boldred <-3>& 5 & -2 & 1\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ -1/3\cdot \\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin r_1-12r_2\\ \phantom <0>\\ r_3+3r_2 \\ \phantom<0>\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 0 & \boldred <2>& -3 & -5\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin 1/2\cdot\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2+5/3\cdot \\ r_3+5r_1 \\ r_4+2r_1\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\ 1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\ 1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2 \end \right) $$

Этот пример станем решать с помощью последовательного перебора строк. Для начала запишем расширенную матрицу данной системы:

На первом шаге алгоритма мы станем использовать первую строку. В первой строке ведущим является первый элемент (число 3), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках (числа 3, 6 и -3) имеют номера 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=1$. Так как $k\le>$, то разрешающим элементом будет ведущий элемент первой строки, т.е. число 3. Умножим первую строку на $\frac<1><3>$, чтобы разрешающий элемент стал равен 1, а затем обнулим ненулевые элементы первого столбца.

На втором шаге алгоритма используем вторую строку. Ведущий элемент второй строки (число -2) имеет номер $k=3$. Ведущие элементы нижележащих строк (числа 2 и -1) имеют номера 2, т.е. наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=2$. Так как $k\gt>$, то надо поменять местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, надо поменять местами вторую строку с третьей или четвёртой.

Так как в четвёртой строке ведущий элемент равен -1, что удобно в расчётах, то пусть в обмене поучавствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:

$$ \left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) $$

Теперь ведущий элемент во второй строке имеет номер $k=2$. Ведущие элементы в нижележащих строках (числа 2 и -2) имеют номера 2 и 3, наименьшим из которых будет $k_<\min>=2$. Так как $k\le>$, то разрешающим элементом будет ведущий элемент второй строки. Умножим вторую строку на -1, чтобы разрешающий элемент стал равен 1, а затем обнулим ненулевые элементы второго столбца.

$$ \left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & \boldred <-1>& 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin \phantom<0>\\-1\cdot \\\phantom<0>\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & \boldred <1>& 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin r_1-1/3\cdot\\ \phantom <0>\\r_3-2r_2\\\phantom<0>\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right). $$

На третьем шаге применяем третью строку. Ведущий элемент третьей строки (число 7) имеет номер $k=3$. Под третьей строкой лежит лишь одна строка, ведущий элемент которой (число -2) имеет номер 3. Следовательно, $k_<\min>=3$. Так как $k\le>$, то умножим третью строку на $\frac<1><7>$, а затем обнулим ненулевые элементы третьего столбца.

$$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & \boldred <7>& -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\1/7\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin r_1-2/3r_3\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\\r_4+2r_3\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & -39/7 & -78/7\end\right) $$

На этом шаге мы используем четвёртую строку, которая является последней. Следовательно, это завершающий шаг алгоритма. Умножаем четвёртую строку на $-\frac<7><39>$, а затем обнуляем ненулевые элементы четвёртого столбца, расположенные над четвёртой строкой:

$$ \left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <-39/7>& -78/7\end\right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\\-7/39\cdot \end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& 2\end\right) \begin r_1-6/7\cdot\\ r_2-5r_4 \\ r_3+9/7r_4 \\ \phantom <0>\end\rightarrow \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end\right). $$

Решение окончено. Ответ таков: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Полное решение без пояснений:

$$ \left(\begin \boldred <3>& 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end\right) \begin 1/3\cdot\\ \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin \boldred <1>& 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2-3r_1\\r_3-6r_1\\r_4+3r_1\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & \boldred <-1>& 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin \phantom<0>\\-1\cdot \\\phantom<0>\\\phantom<0>\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & \boldred <1>& 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin r_1-1/3\cdot\\ \phantom <0>\\r_3-2r_2\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & \boldred <7>& -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\1/7\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow $$ $$ \left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin r_1-2/3r_3\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\\r_4+2r_3\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <-39/7>& -78/7\end\right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\\-7/39\cdot \end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& 2\end\right) \begin r_1-6/7\cdot\\ r_2-5r_4 \\ r_3+9/7r_4 \\ \phantom <0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end\right). $$

На первом шаге алгоритма мы станем использовать первую строку. Ведущий элемент первой строки (число 1) имеет номер $k=4$. Ведущие элементы строк, расположенных под первой строкой (числа -1, -2, 1 и -2) имеют номера 1, 3, 1 и 1. Наименьшим среди перечисленных номеров ведущих элементов нижележащих строк будет $k_<\min>=1$. Так как $k\gt>$, то нужно поменять местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, надо поменять местами первую строку с второй, третьей или пятой. В принципе, выбрать для обмена можно любую строку, но так как в четвёртой строке ведущий элемент равен 1, то поменяем местами первую и четвёртую строки:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ -1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ -2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25. \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ -1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ -2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25. \end \right) $$

Теперь у первой строки номер ведущего элемента равен $k=1$, а наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк равен $k_<\min>=1$. Так как $k\le>$, то в качестве разрешающего элемента принимаем ведущий элемент первой строки. Разрешающий элемент уже равен 1, поэтому нужно просто обнулить все ненулевые элементы первого столбца, расположенные под первой строкой:

$$ \left(\begin \boldred <1>& -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ -1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ -2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25. \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+r_1\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_5+2r_1\end \rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21. \end \right) $$

На втором шаге алгоритма мы станем использовать вторую строку. Ведущий элемент второй строки (число -4) имеет номер $k=4$. Ведущие элементы строк, расположенных под первой строкой (числа -2, 1 и 5) имеют номера 3, 4 и 4. Наименьшим среди перечисленных номеров ведущих элементов нижележащих строк будет $k_<\min>=3$. Так как $k\gt>$, то нужно поменять местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, надо поменять местами вторую и третью строки:

$$ \left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21. \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21. \end \right) $$

Теперь $k=3$, $k_<\min>=4$. Так как $k\le>$, то в качестве разрешающего элемента принимаем ведущий элемент второй строки. Домножая на $-\frac<1><2>$ вторую строку, добьёмся того, чтобы разрешающий элемент стал равен 1. Кроме того, все элементы третьей строки нацело делятся на 2, поэтому домножим третью строку на $\frac<1><2>$.

$$ \left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & \boldred <-2>& 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21. \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/2\cdot\\1/2\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & \boldred <1>& 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21. \end \right) $$

Теперь пора обнулять все ненулевые элементы третьего столбца, расположенные ниже и выше второй строки, однако эти элементы и так равны нулю. Следовательно, просто переходим к следующему шагу.

На третьем шаге используем третью строку. Номер ведущего элемента третьей строки $k=4$, наиименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк $k_<\min>=4$. Так как $k\le>$, разрешающим элементом будет ведущий элемент третьей строки (число -2). Нужно домножить третью строку на $-\frac<1><2>$, а затем с помощью третьей строки обнулить все ненулевые элементы четвёртого столбца, расположенные выше и ниже третьей строки.

В принципе, нам ничто не мешает выполнить эти преобразования. Однако работать с дробями не очень хочется. Чтобы избежать работы с дробями можно поменять местами текущую третью строку с одной из нижележащих строк – с четвёртой строкой. Если мы это сделаем, то разрешающим элементом станет единица, что означает отсутствие необходимости работать с дробями. После смены строк выполним обнуление требуемых элементов:

$$ \left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21 \end \right) \overset><\rightarrow>\\ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21 \end \right) \begin r_1-3r_3\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_4+2r_3\\r_5-5r_3\end \rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4 \end \right) $$

Обратите внимание на то, что для четвёртой и пятой строк выполнено равенство $r_5=\frac<2><3>r_4$. Это означает, что одну из данных строк можно вычеркнуть из матрицы. Если это соотношение между пятой и четвёртой строками осталось нами незамеченным, то можно заметить, что все элементы четвёртой строки делятся нацело на 3, а все элементы пятой строки делятся нацело на 2. После выполнения соответствующих преобразований четвёртая и пятая строки станут одинаковыми, поэтому одну из них можно будет вычеркнуть. Вот так:

$$ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\1/3\cdot\\1/2\cdot\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2 \end \right)\rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2 \end \right) $$

Однако допустим, что мы не заметили ни выполнения равенства $r_5=\frac<2><3>r_4$, ни то, что элементы четвёртой и пятой строк нацело делятся на 2 и 3 соответственно. Тогда просто перейдём к следующему шагу алгоритма, и пятая строка станет нулевой. В следующих примерах я буду вычёркивать лишние строки по мере их появления, но сейчас, сугубо для демонстрационных целей, перейдём к четвёртому шагу без предварительного вычёркивания строк.

На четвёртом шаге используем четвёртую строку. Аналогично предыдущим шагам, получим:

$$ \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\1/3\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4 \end \right) \begin r_1+5r_4\\r_2+1/2\cdot\\r_3+4r_4\\\phantom<0>\\r_5-2r_4\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 \end \right)\rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2 \end \right) $$

Решение окончено. Посмотрим на столбцы, в которых есть ведущий элемент некоей строки. Это первый, третий, четвёртый и пятый столбцы. Следовательно, переменные $x_1$, $x_3$, $x_4$ и $x_5$ будут базисными, а переменная $x_2$ – свободной. Ответ будет таким:

Запишем полное решение без пояснений. В этой записи я вычеркну повторяющиеся строки сразу, как только они появятся, т.е. не дожидаясь обнуления пятой строки. Как вы уже поняли, метод Гаусса-Жордана допускает определённые вариации процесса решения. Мы можем вычеркнуть повторяющиеся или пропорциональные строки сразу (оставив при этом одну из них), а можем не делать этого и удалить впоследствии нулевые строки. Мы можем работать с дробями, а можем произвести вспомогательные действия, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1. Мы можем выбирать разрешающие элементы произвольно, а можем спускаться по строкам. Остаётся неизменной лишь общая идея метода: обнуление всех элементов столбца, кроме одного.

$$ \left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ -1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ -2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25. \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin \boldred <1>& -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ -1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ -2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25. \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+r_1\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_5+2r_1\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21. \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & \boldred <-2>& 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21. \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/2\cdot\\1/2\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21 \end \right) \overset> <\rightarrow>$$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\ 0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21 \end \right) \begin r_1-3r_3\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_4+2r_3\\r_5-5r_3\end \rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\1/3\cdot\\1/2\cdot\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 0 & \boldred <1>& 2 \end \right) \begin r_1+5r_4\\r_2+1/2\cdot\\r_3+4r_4\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2 \end \right) $$

Данный пример я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее. Решать станем с помощью последовательного перебора строк.

$$ \left( \begin \boldred <1>& -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end\rightarrow \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end \right)\rightarrow\\ \rightarrow \left[\begin &\text<Строки №4 и №5 одинаковы,>\\ &\text<вычёркиваем строку №5.>\end\right]\rightarrow \left(\begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & \boldred <1>& -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end \right) \begin r_1+r_2\\\phantom<0>\\r_3+r_2\\ r_4-r_2\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end \right) $$

Напомню, что появление строки вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end \right)$, где $x\neq<0>$, на любом этапе метода Гаусса-Жордана означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. $\left(\begin0&0&0&2\end\right)$, относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: $0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2$, откуда имеем $0=2$. Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.

Впрочем, к этому же выводу можно прийти, записав ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы. Вычеркнем нулевую строку:

$$ \left(\begin 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end \right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. $\rang\widetilde\neq\rang$, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Исследовать на совместность СЛАУ

Найти её решение методом Гаусса-Жордана.

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. $x_1=x_2=x_3=x_4=0$. Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса-Жордана.

$$ \left(\begin \boldred <1>& -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ -3 & 15 & 22 & -14 & 0\\ 2 & -10 & -21 & 16 & 0\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+3r_1\\r_4-2r_1\end\rightarrow \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\\ 0 & 0 & -19 & 20 & 0\end \right) $$

Обратите внимание на то, что $r_4=-r_3$, т.е. можно удалить одну из строк $r_3$ или $r_4$. Впрочем, если бы мы не заметили, что $r_4=-r_3$, то впоследствии четвёртая строка стала бы нулевой, и была бы удалена из матрицы. Убирая из матрицы строку $r_4$ и продолжая преобразования, получим:

$$ \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & \boldred <4>& 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0 \end \right) \begin \phantom <0>\\ 1/4\cdot\\ \phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & \boldred <1>& 3/4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0 \end \right) \begin r_1+5r_2 \\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 11/4 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 3/4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \boldred <19>& -20 & 0 \end \right) \begin \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ 1/19\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 11/4 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 3/4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -20/19 & 0 \end \right) \begin r_1-11/4\cdot \\ r_2-3/4\cdot \\ \phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & 17/19 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 15/19 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -20/19 & 0 \end \right) $$

Перед тем, как записать ответ, сделаем вывод относительно совместности данной системы. Так как ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang=3\lt<4>$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (имеет бесконечное количество решений). Ответ будет таким:

источники:

http://spravochnick.ru/matematika/metod_zhordana-gaussa/

http://math1.ru/education/sys_lin_eq/gjordan.html