Методические рекомендации по решению дифференциальных уравнений

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

1.

1.

2. а)

2. а)

б)

б)

в)

в)

г)

г)

Обыкновенные дифференциальные уравнения (методические указания по дисциплине «Математика»)

Обыкновенные дифференциальные уравнения

(методические указания по дисциплине «Математика»)

Скачать:

Предварительный просмотр:

ОГАОУ СПО «Красногвардейский сельскохозяйственный техникум»

Обыкновенные дифференциальные уравнения

(методические указания по дисциплине «Математика»)

на заседании ПЦК Зам. директора по УР

общеобразовательных дисциплин __________ И.И.Головина

Протокол № от « »___________2014 г. « »______________ 2014 г.

Председатель ПЦК _________ М.В.Овчарова

Рецензент: Н.В.Овчарова, преподаватель общеобразовательных дисциплин ОГБОУ СПО «Красногвардейский сельскохозяйственный технику»

Составитель: М.В.Овчарова, преподаватель общеобразовательных дисциплин ОГБОУ СПО «Красногвардейский сельскохозяйственный технику»

Методические указания по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» предназначены для студентов II курса, обучающихся по специальности 250203 «Садово-парковое и ландшафтное строительство» и преподавателей общеобразовательных дисциплин. В них рассмотрена методика решения различных дифференциальных уравнений, приведены примеры решений с подробным описанием методики решения.

а) понятие о дифференциальных уравнениях;

б) виды дифференциальных уравнений и их решение;

в) составление дифференциальных уравнений по условию задачи;

г) применение дифференциальных уравнений.

При изучении темы «Дифференциальные уравнения» студенты сталкиваются со многими проблемами, особенно это касается решения дифференциальных уравнений. Иногда они затрудняются правильно определить вид дифференциального уравнения и его порядок, верно выбрать алгоритм решения. Достаточно много вопросов возникает у студентов при нахождении общего и частного решений дифференциального уравнения. Много ошибок допускается в решении при разделении переменных и при интегрировании функций. Студенты не всегда правильно делают математические преобразования, соблюдают последовательность в решении. В результате многие непонятные вопросы у студентов по решению дифференциальных уравнений остаются невыясненными.

Для того, чтобы студенты самостоятельно выполнили решение того или иного дифференциального уравнения, при этом выявили недочеты и исправили свои ошибки, необходима постоянная помощь преподавателя. Однако эта задача может быть решена самостоятельно студентами, если они в своей работе воспользуются методическими указаниями, составленными преподавателем в помощь студентам по данной теме. В данных методических указаниях подробно изложена методика решения различных дифференциальных уравнений, сформулированы алгоритмы решений со ссылками на теоретический материал.

1. Понятие о дифференциальных уравнениях

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие производные искомой функции или ее дифференциалы. Например, уравнения являются дифференциальными, т.к. они содержат производную Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения. При решении дифференциальных уравнений сначала получается общее решение, затем, если известны начальные данные, то можно получить частное решение. Для этого необходимо:

• Подставить начальные данные в общее решение и вычислить С.
• Полученное числовое значение С подставить в общее решение.

Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши. Геометрически частное решение представляется одной интегральной кривой, а общее решение – совокупностью интегральных кривых.

В настоящее время диапазон применения дифференциальных уравнений очень широк. С их помощью решаются задачи математики, физики, биологии, электротехники, радиотехники, экономики, технологии производства и многих других сфер человеческой деятельности. Дифференциальные уравнения получаются в тех случаях, когда используются процессы, в описании которых используются такие величины, как скорость (быстрота) протекания процесса, изменение скорости и т. д. С помощью дифференциальных уравнений можно создать математическую модель изучаемого физического, химического или биологического процесса. Решение этих уравнений позволяет предсказать свойства изучаемого явления и прогнозировать конечный результат.

Порядок дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения классифицируют в зависимости от порядка производной, входящей в уравнение. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например, -дифференциальное уравнение первого порядка, т.к. наивысший порядок производной, входящей в него – первый.

— дифференциальное уравнение второго порядка, т.к. наивысший порядок производной, входящей в это уравнение – второй.

— дифференциальное уравнение третьего порядка.

1. Виды дифференциальных уравнений и их решение

а) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными

Уравнение вида , где и — данные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

Рассмотрим на конкретном примере решение таких уравнений.

Пример №1. Найти частное решение дифференциального уравнения :

Найти частное решение дифференциального уравнения:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными

Интегрируем обе части уравнения

Данное выражение получилось в результате интегрирования. Это и есть общее решение данного уравнения

Подставили в общее решение начальные условия

Нашли С из предыдущего уравнения

Подставили С в общее решение и получили частное решение данного уравнения

б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Уравнение вида , где — заданные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Решение таких уравнений осуществляется по следующему плану:

• Выражают производную функции через дифференциалы и
• Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.
• Разделяют переменные.
• Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.
• Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

Примечание: в зависимости от вида уравнения некоторые пункты плана решения могут быть опущены.

Пример №2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными

Методические рекомендации к дисциплине «СД.4 Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»

СД.4 Дифференциальные уравнения и

уравнения с частными производными

Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальностям

050201.00 − «математика – информатика»

050201.00 − «математика – физика»

Структура программы учебной дисциплины

1.1 Автор программы: кандидат физ.-мат. наук, доцент

1.2 Рецензенты: кандидат физ.-мат. наук, доцент , кандидат физ.-мат. наук, доцент

1.3 Пояснительная записка

Цель курса − обеспечение необходимого уровня теоретической подготовки будущего учителя математики и воспитание математической культуры. Подготовить студентов к восприятию курсов общей и теоретической физики (тех разделов, в которых необходимо решать дифференциальные уравнения).

Студенты должны знать основные понятия дифференциальных уравнений (общее и частное решение, особое решение, задача Коши); типы дифференциальных уравнений первого порядка, способы их решения; линейные дифференциальные уравнения и методы их решения; применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений;

иметь представление о дифференциальных уравнениях с частными производными и их решении, основных типах уравнений математической физики.

Студенты должны уметь решать дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах, Бернулли, Клеро и др.); уметь понижать порядок уравнения; решать линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Учебная программа составлена в полном соответствии с требованиями государственного стандарта высшего образования от 01.01.2001г.

1.4 Извлечение из ГОС ВПО

Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n — го порядка и линейные системы.

Уравнения с частными производными. Метод Фурье.

1.5 Объём дисциплины и виды учебной работы

Виды учебной работы в часах

1.6 Содержание дисциплины

1.6.1 Распределение дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:

Наименование раздела, темы

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия ДУ. Задачи, приводящие к ДУ

Уравнения с разделяющимися переменными

Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Уравнения в полных дифференциалах

Задача Коши существования и единственности

решения ДУ Общее решение

Огибающая семейства кривых. Уравнение Клеро

Дифференциальные уравнения высших порядков,

допускающие понижение порядка

Теорема существования и единственности

решения уравнения

Уравнения вида

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия. Теорема существования

Линейные ДУ без правой части:

определитель Вронского линейно зависимой и линейно независимой системы,

существование фундаментальной системы,

теорема об общем решении линейного ДУ,

понижение порядка линейного ДУ

Линейные ДУ с правой частью:

теорема об общем решении,

метод вариации произвольных постоянных

ЛДУ без правой части с постоянными коэффициентами:

теорема об общем решении

ЛДУ с правой частью с постоянными коэффициентами:

Применение ЛДУ в изучении колебательных явлений

Уравнения с частными производными

Основные понятия. Решение уравнений с частными производными

1.6.2 Содержание разделов дисциплины

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия ДУ. Задачи, приводящие к ДУ.

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.

Задача Коши существования и единственности решения ДУ Общее решение.

Огибающая семейства кривых. Уравнение Клеро

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Теорема существования и единственности решения уравнения .

Уравнения вида .

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Основные понятия. Теорема существования.

Линейные ДУ без правой части:

определитель Вронского линейно зависимой и линейно независимой системы,

существование фундаментальной системы,

теорема об общем решении линейного ДУ, понижение порядка линейного ДУ.

Линейные ДУ с правой частью:

теорема об общем решении,

метод вариации произвольных постоянных,

ЛДУ без правой части с постоянными коэффициентами:

теорема об общем решении.

ЛДУ с правой частью с постоянными коэффициентами:

.

Применение ЛДУ в изучении колебательных явлений

Уравнения с частными производными.

Основные понятия. Решение уравнений с частными производными.

1.6.3 Темы для самостоятельного изучения

Форма самостоятельной работы

Форма контроля самостоятельной работы

Дифференциальные уравнения первого порядка

Проверка домашних заданий

Форма самостоятельной работы

Форма контроля самостоятельной работы

Уравнения высших порядков

Проверка домашних заданий

Проверка и анализ результатов контрольной работы

Форма самостоятельной работы

Форма контроля самостоятельной работы

Уравнения с частными

Проверка домашних заданий

1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины

Планы проведения практических занятий

Практическое занятие № 1

Тема: Уравнения с разделяющимися переменными

Вопросы для обсуждения:

1.Уравнение первого порядка и его решение.

2. Уравнение с разделяющимися переменными.

3. Понятие об однородной функции двух независимых переменных.

4. Однородное уравнение.

Литература: [1], стр. 7 – 10, 15 – 16, 47 – 53, [2], стр. 277 – 278, 291 – 297.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[4], № 000, 2029, 2031, 2045, 2047, 2049, 2051, 2053, 2055, 2057, 2062(а), 2069, 2071.

Теоретический материал: [1], стр. 50 – 66 , [2], стр. 296 – 304.

Практическая часть: [4], № 000, 2030, 2032, 2046, 2048, 2050, 2052, 2054, 2056, 2058, 2062(б), 2068, 2070.

Практическое занятие № 2

Тема: Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Вопросы для обсуждения:

1. Особые решения однородного уравнения.

2. Линейные уравнения первого порядка без правой части.

3. Линейные уравнения первого порядка с правой частью.

4. Уравнения Бернулли.

Литература: [1], стр.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[4], № 000, 2075, 2077, 2085, 2089, 2091, 2093, 2095, 2097, 2099, 2101, 2103, 2109.

Теоретический материал: [1], стр. 67 – 70, [2], стр.

Практическая часть: [4], № 000, 2074, 2076, 2078, 2084, 2088, 2090, 2092, 2094, 2096, 2098, 2100, 2102, 2104, 2110.

Практическое занятие № 3

Тема: Уравнения в полных дифференциалах

Вопросы для обсуждения:

1. Понятие об уравнении в полных дифференциалах.

2. Признак уравнения в полных дифференциалах.

3. Построение общего интеграла.

Литература: [1], стр.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000.

Теоретический материал: Литература: [1], стр. 20 – 21, 33 – 37, 85 – 88, [2], стр. 277 – 285, 288 – 291.

Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000.

Практическое занятие № 4

Тема: Особое решение. Уравнение Клеро

Вопросы для обсуждения:

1. Задача Коши существования и единственности решения ДУ

2. Общее решение.

3. Огибающая семейства кривых.

4. Особое решение.

5. Уравнение Клеро.

Литература: [1], стр.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000.

Теоретический материал: Литература: [1], стр. 104 – 110. [2], стр. 310 – 318.

Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000.

Практическое занятие № 5

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков,

допускающие понижение порядка

Вопросы для обсуждения:

1. Теорема существования и единственности решения.

2. Уравнения вида

3. Уравнения вида

4. Уравнения вида .

Литература: [1], стр.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 316 – 317, № 1, № 3, № 5, № 7.

Теоретический материал: Литература: [1], стр. 104 – 110.

Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000, № 000, [2], стр. 316 – 317, № 2, № 4, № 6, № 8.

Практическое занятие № 6

Тема: Контрольная работа

Теоретический материал: Литература: [1], стр. 111 – 123, [2], стр. 319 – 325.

Практическое занятие № 7

Тема: Линейные дифференциальные уравнения

высших порядков без правой части

Вопросы для обсуждения:

1. Определитель Вронского.

2. Фундаментальная система решений ЛДУ.

3. Теорема об общем решении ЛДУ.

4. Понижение порядка ЛДУ.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[2], стр. 325, № 1, № 3, № 5, № 7, № 9, № 11, № 12, [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

Теоретический материал: Литература: [1], стр. 123 – 128, [2], стр. 326 – 329.

[2], стр. 325, № 2, № 4, № 6, № 8, № 10, [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

Практическое занятие № 8

Тема: Линейные дифференциальные уравнения

высших порядков с правой частью

Вопросы для обсуждения:

1. Теорема об общем решении.

2. Метод вариации произвольных постоянных.

Литература: [1], стр.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[2], стр. 329, № 2(1), № 3, № 5, № 7, стр. 341, № 30, № 32, [4], № 000, № 000.

Теоретический материал: Литература: [1], стр. 131 – 140, [2], стр. 329 – 332.

Практическая часть: [2], стр. 329, № 2(2), № 4, № 6, стр. 341, № 31, [4], № 000, № 000.

Практическое занятие № 9

Тема: Линейные дифференциальные уравнения без правой

части с постоянными коэффициентами

Вопросы для обсуждения:

1. Характеристическое уравнение.

2. Теорема об общем решении.

Литература: [1], стр.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 332, № 1,

Теоретический материал: Литература: [1], стр. 140 – 145, [2], стр. 332 – 341.

Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 332, № 2, № 4, № 6, № 8.

Практическое занятие № 10

Тема: Линейные дифференциальные уравнения с правой

частью с постоянными коэффициентами

Вопросы для обсуждения:

1. Метод неопределённых коэффициентов:

Литература: [1], стр.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[4], № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 340 – 341, № 1, № 3, № 5, № 7, № 9, № 11, № 21,

Теоретический материал: Литература: [1], стр. 140 – 145, [2], стр. 332 – 341.

Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 340 – 341, № 2, № 4, № 8,

№ 12, № 16, № 22, № 24, № 28.

Практическое занятие № 11

Тема: Линейные дифференциальные уравнения с правой

частью с постоянными коэффициентами

Вопросы для обсуждения:

1. Метод неопределённых коэффициентов:

.

Литература: [1], стр.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[4], № 000, № 000, № 000, [2], стр. 340 – 341, № 13, № 15, № 17, № 19, № 23, № 25, № 29,

Теоретический материал: Литература: [1], стр.

Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 340 – 341, № 6, № 10, № 14, № 18, № 20, № 26, № 34, № 36.

Практическое занятие № 12

Тема: Контрольная работа

1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины

1.8.1 Рекомендуемая литература

1. Демидович, Б. П. Дифференциальные уравнения : учеб. пособие / , . — Изд. 3-е, стер. — СПб. : Лань, 2008.

2. Егоров, А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями / . — Изд. 2-е, испр. и доп. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007.

3. В. Курс дифференциальных уравнений : учебник / . — 9-е изд., стер. — М. : КомКнига, 2006. Гриф

4. Матвеев, Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : учеб. пособие / . — изд. 5-е, доп. — СПб. : Лань, 2003.

1. Матвеев уравнения. – М., 1988.

2. , , . Курс математического анализа. т.2 – М., 1966.

3. Школьник уравнения. – М., 1963.

4. , , . Сборник задач по математическому анализу. –

5. Краснов дифференциальные уравнения. – М., 1988.

6. , Никольский математика. – М., 1981.

7. Пономарёв и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач. – М., 1962.

8. И., , Макаренко задач по обыкновенным

дифференциальным уравнениям. – М.: Высшая школа, 1965.

1.9 Примерные зачётные тестовые задания

Контрольная работа № 1 (два варианта)

1а) 1б)

2а) 2б)

3а) 3б)

4а)

4б)

5а) 5б)

Контрольная работа № 2 (два варианта)

1.10 Примерный перечень вопросов к экзамену

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия ДУ. Задачи, приводящие к ДУ.

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

3. Однородные уравнения.

4. Линейные уравнения.

5. Уравнения Бернулли.

6. Уравнения в полных дифференциалах.

7. Задача Коши существования и единственности решения ДУ Общее решение.

8. Огибающая семейства кривых. Уравнение Клеро

9. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

10. Теорема существования и единственности решения уравнения .

11. Уравнения вида .

12. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Основные понятия. Теорема существования.

13. Линейные ДУ без правой части:

определитель Вронского линейно зависимой и линейно независимой системы,

существование фундаментальной системы,

теорема об общем решении линейного ДУ, понижение порядка линейного ДУ.

14. Линейные ДУ с правой частью:

теорема об общем решении,

метод вариации произвольных постоянных,

15. ЛДУ без правой части с постоянными коэффициентами:

теорема об общем решении.

16. ЛДУ с правой частью с постоянными коэффициентами:

.

17. Применение ЛДУ в изучении колебательных явлений

18. Уравнения с частными производными.

Основные понятия. Решение уравнений с частными производными.

РАЗДЕЛ 2. Содержательный компонент теоретического материала.

Наименование тем лекций

1. Основные понятия ДУ. Задачи, приводящие к ДУ.

Уравнения с разделяющимися переменными.

2. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.

3. Уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши существования

и единственности решения ДУ Общее решение.

4. Огибающая семейства кривых. Уравнение Клеро.

Теорема существования и единственности решения уравнения .

5. Уравнения вида .

6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия. Теорема существования.

Линейные ДУ без правой части.

7. Определитель Вронского линейно зависимой и линейно независимой системы,

существование фундаментальной системы,

теорема об общем решении линейного ДУ,

понижение порядка линейного ДУ

8. Линейные ДУ с правой частью: теорема об общем решении,

метод вариации произвольных постоянных.

9. ЛДУ без правой части с постоянными коэффициентами:

характеристическое уравнение, теорема об общем решении.

10. ЛДУ с правой частью с постоянными коэффициентами:

.

11. Применение ЛДУ в изучении колебательных явлений

12. Уравнения с частными производными. Основные понятия.

Решение уравнений с частными производными.

РАЗДЕЛ 3. Глоссарий

Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные данной функции.

Дифференциальное уравнение I порядка – уравнение вида .

ОДУ I порядка, разрешённое относительно производной — уравнение вида .

Интегральная кривая — график решения дифференциального уравнения.

Интегрирование дифференциального уравнение – процесс нахождение его решений.

Линейное уравнение I порядка – уравнение, которое может быть записано в виде: , где и — непрерывные функции.

Линейное дифференциальное уравнение II порядка (ЛДУ) – уравнение вида .

Линейное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами — уравнение вида , где и — некоторые числа, — функция переменной .

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) – уравнение, связывающее функцию одной переменной, саму переменную и производные различных порядков . Обозначение: .

Общее решение ОДУ – такое решение , которое является функцией от переменной и произвольных постоянных .

Общее решение ЛДУ II порядка – это решение, содержащее две произвольные постоянные: .

Общее решение однородного ЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

а) если и характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , то общее решение запишется ;

б) если и характеристическое уравнение имеет два равных корня , то общее решение запишется ;

в) если и характеристическое уравнение имеет два различных комплексных корня , то общее решение запишется .

Однородная функции -го порядка – это функция , которая при подстановке вместо и соответственно и , удовлетворяет равенству .

Однородная функция нулевого порядка – это функция , которая при подстановке вместо и соответственно и , удовлетворяет равенству .

Однородное ЛДУ II порядка – уравнение вида .

Порядок ОДУ – наивысший порядок производных, входящих в уравнение.

Решение дифференциального уравнения – это функция , которая при подстановке её и её производных в уравнение обращает его в тождество.

Степень ОДУ – показатель степени производной наивысшего порядка, входящей в ОДУ.

Уравнения с разделяющимися переменными – уравнения, которые могут быть записаны в виде: или

Характеристическое уравнение для однородного ЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами — квадратное уравнение вида .

Частное решение ОДУ – решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных значениях постоянных.

РАЗДЕЛ 4. Практикум по решению задач

УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

; ; ;

— это общий интеграл данного дифференциального уравнения, т. к. искомая функция и не выражена через независимую переменную.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1.

; ; ; ; .

При у(2) = 1 получаем

Итого: или — частное решение;

Проверка: , итого — верно.

Пример. Решить уравнение

; ; ; ; — общий интеграл,

— общее решение

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

;

.

Если у(1) = 0, то

Итого, частный интеграл: .

Пример. Решить уравнение .

; ;

; ;

Получаем общий интеграл: .

Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

; ;; .

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение .

; ; ; ;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

Получаем частное решение

Пример. Решить уравнение .

Пусть .

Отметим, что u всегда положительна, т. к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Тогда

Разделяем переменные: Интегрируя, получаем: откуда общее решение

УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ.

Пример. Решить уравнение

Находим значение определителя .

Решаем систему уравнений

Применяем подстановку в исходное уравнение:

Заменяем переменную при подстановке в выражение, записанное выше, имеем: . Разделяем переменные:

; ;

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

Итак, выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение

Приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу:

, тогда

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на xy2: Полагаем .. Пусть Тогда

,

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями:

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение: ; ;

Итого, общее решение: C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C:

Окончательно получаем:

УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пример. Решить уравнение с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;

Решение:

. Подставим начальные условия:

Получаем частное решение (решение задачи Коши): .

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид: Общее решение линейного неоднородного уравнения: