Методические рекомендации по теме решение уравнений

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 240990 0

Мастер-класс «Методические особенности обучения решению уравнений в курсе математики 5-7 классов»
методическая разработка по алгебре (5 класс) на тему

Прадлагаю вашему вниманию мастер-класс с презентацией

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразоательное учреждение

«Гимназия №7» города Подольск Московской области

обучения учащихся решению уравнений

в курсе математики 5-7 классов»

Подготовила и провела

Ялунина Светлана Станиславовна

Мастер класс «Методические особенности обучения учащихся решению уравнений в курсе математики 5-7 классов»

Уважаемые коллеги! Я рада приветствовать вас на мастер-классе «Методические особенности обучения учащихся решению уравнений в курсе математики 5-7 классов».

Цели сегодняшнего мероприятия:

• рассмотреть различные виды уравнений, изучаемые в курсе математики 5-7 классов;
• привести алгоритмы их решения;
• дать методические рекомендации по обучению учащихся решению уравнений.

Я попрошу сегодня вас всех активно принимать участие в работе нашего мероприятия, выступать в роли учеников, не бояться задавать вопросы. Может даже ошибаться. Плохих отметок сегодня не будет.

Эпиграфом нашего мастер-класса я взяла слова современного польского математика Станислава Коваля:

Уравнение – это золотой ключ,

открывающий все математические сезамы.

З накомство ребенка с уравнениями начинается почти с самого начала изучения математики, задолго до ЕГЭ. Еще в младшей школе решаются простейшие алгебраические уравнения, которые служат фундаментом для построения алгоритмов решения уравнений в 11 классе. Каких только разновидностей уравнений не встретишь в школе: алгебраические, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические. Голова идет кругом. При этом почти к каждому разделу учебника математики прикрепляются уравнения определенного вида с различной комбинацией изученных действий, функций и разным уровнем сложности. Но важно помнить о том, что методы обучения решению уравнений на разных этапах освоения предмета имеют много общего, так как, по сути, перед учеником ставится одна и таже задача — подбор числа или чисел, удовлетворяющих данному равенству.

Основы работы с уравнениями закладываются, объясняются на простых математических объектах, пока предмет еще не разделен на алгебру и геометрию. Именно в этом возрасте ребенку отводится время на формирование представление о том, как изучаемый объект устроен и как он используется в реальных ситуациях. Исключение этого важного этапа математической подготовки в большинстве случаев оказывается впоследствии невосполнимым. Даже опытный учитель , работая с учеником старших классов, не сможет в полной мере компенсировать недостаток внимания к уравнениям в младших классах. Можно только дать представление о методах решения или натаскать на заучивание определенных алгоритмов.

Прежде чем говорить об алгоритмах по решению уравнений, давайте вспомним его определение.

Алгоритм – понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнить с данными, чтобы решить любую задачу данного типа.

Характеристические свойства понятия «алгоритм»:

• Свойство массовости — обеспечивает решение широкого класса задач данного типа;
• Свойство дискретности и элементарности шагов — т.е. разбить на последовательность отдельных шагов, только выполнив один шаг, переходим к другому;
• Свойство результативности — процесс вычисления прекращается за конечное число шагов.
• Свойство детерминированности — запись должна быть полной и четкой, чтобы не было потребности домысливать.

Всякий алгоритм описывает общий метод решения класса однотипных задач.

Правило — «свернутый» алгоритм. Всякий алгоритм можно назвать правилом, но не всякое правило можно назвать алгоритмом.

На своих уроках я выделяю три основных этапа:

• введение алгоритма;
• усвоение алгоритма;
• применение алгоритма.

• цель первого этапа – актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма, а также формулирование алгоритма;
• цель второго этапа – отработка операций, входящих в алгоритм, и усвоение их последовательности;
• цель третьего этапа – отработка алгоритма в знакомых (при варьировании исходных данных) и незнакомых ситуациях.

Формы работы с учащимися:

• на первом этапе — устная работа на повторение.
• на втором этапе – письменная коллективная работа с широким использованием комментирования выполняемых действий и групповая работа.
• на третьем этапе – самостоятельная работа.

Остановимся подробно на уроке в 5 классе.

5 класс . (см презентацию)

1 этап. Уравнения решаются на основе зависимости между результатом и компонентами арифметического действия.

• a+x=b Правило 1: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть

• a – x = b Правило 2: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить

вычитаемое и разность.

• x – a = b Правило 3: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого

• x · a=b Правило 4: Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение

разделить на известный множитель.

• x:а=b Правило 5: Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на

• a:х=b Правило 6: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на

• 1) x + 37 = 85;
• 2) m – 94 = 18;
• 3) 85 – z = 36;
• 4) 4x = 144;
• 5) x : 8 = 13;
• 6) 42 : x = 6

• 13899 + x = 2716 + 13899
• 4х + 4х = 424
• 15а – 8а = 714
• 8,6 – (x + 2,75) = 1,85
• 45,7х + 0,3х – 2,4 = 89,6
• x + 2,8 = 3,72 + 0,3

Учащиеся 5 класса сначала должны определить неизвестный компонент действия, а затем найти его, пользуясь одним из вышеперечисленных правил.

Заполните пропуски в формулировках и определениях.

• Уравнением называется ____________, содержащее ____________.
• Корнем уравнения называется такое значение ______________, при котором уравнение обращается в _____________ равенство.
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к _____________ вычитаемое.
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно _______________ вычесть _______________.

2 этап. Заполните пустые клетки в таблице.

3 этап. Узнайте, какое слово зашифровано в таблице.

Итак, на данном уроке вы сами увидели основные этапы формирования алгоритма решения уравнений.

-Уважаемые учителя, у вас возникли вопросы?

вопрос: Наверное, каждый учитель , слышал жалобы от родителей, связанные со снижением успеваемости при переходе в 6 класс. «Мой ребенок всегда хорошо решал уравнения и вдруг перестал их понимать», — часто жалуются родители. «Что нам делать? Я не могу ему донести то, что понимаю сама», — обычная картина. Как решить эту проблему?

В конце 5-го и в начале 6-ого класса понятие числа расширяется. Появляются уравнения с дробями (десятичными и обыкновенными) и вместе с ними приходят главные проблемы. Как теперь решить такое?

Одна из причин кроется в возрастных особенностях работы памяти ребенка и его мышления, в способности рассмотреть простой объект внутри сложного. В большинстве случаев ученику рано переходить к использованию алгоритмов в более сложных математических объектах.

Во-первых, понимание этих аналогий часто еще не успевает сформираться. Во-вторых, механизмы позволяющие переносить эти операции на более сложные объекты могут быть не отработаны на достаточном количестве заданий. В- третьих, сами операции и правила, по которым они выполняются, часто забываются.

Глубоким заблуждением многих методистов и школьных преподавателей является мнение о том, что правила нахождения компонентов алгебраических действий, просто заученные наизусть, помогают каждому ребенку принять решение о том, сложить ли ему данные числа, или отнять, найти ли разность a-b или b-a. Вспомните себя, всегда ли помогало вам на уроках математики такое правило: чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность? Приходится вспоминать названия участников действия, затем текст правила (каждое для своего случая). Пока ученик будет вспоминать текст, — успеет забыть где у него в уравнении стоит уменьшаемое, а где вычитаемое. Начнет вспоминать названия — забудет правило. А еще нужно правильно записать и произвести вычисления. Куда тут до правильного ответа? Укротить бы термины.

Как действует ученик в простом случае и почему он промахивается с подбором действий в более сложных? Дело в том, что к моменту, когда ему необходимо решить уравнение 8-x=3 в пятом классе он, как правило, получает хорошую практику вычислений и просто узнает знакомую картинку, в которой пропущено одно число. Он может и без правил догадаться, какое число ему поставить вместо икса. И если требуется записать действие для его нахождения, он переберет все возможные варианты с числами 8 и 3 (благо они перед глазами) и выпишет подходящее. Никакими правилами нахождения вычитаемого он в большинстве случаев не пользуется. Это слишком сложно для него.

С некоторым напряжением ученику даются уравнения, нагруженные несколькими действиями, например 42: (2х-8)=7. Если числа в таких уравнених не очень большие, то в голове пятиклассника реализуется тот же самый алгоритм подбора неизвестного компонента 2x-8 в делении. Этот алгоритм, обычно, опережает подбор действия, с помощью которого получается ответ. Сложности возникают только с тем, что ребенку приходится находить не икс, а некотороый промежуточный результат. Практика моей работы показывает, что с этим видом непонимния часто удается справиться сравнительно легко. Главная помощь здесь заключается в своевременном повторении понятия «корень уравнения» и «проверка корня». При этом учитель должен уделить внимание практическому ходу этой проверки и выделить в ней определенные этапы:
1) Берем наугад число для проверки
2) Выполняем его умножение на 2, затем вычитаем 8 и получаем некоторый промежуточный результат
3) делим 42 на него и должно получиться 7.

При такой форме ребенок в 95 % случаев сам скажет, что нужно разделить на 6. В этот момент учитель обязательно укажет ученику на то, что подобранное число 6 должно получиться в результате вычитания. Останется понять, как при вчитани числа 8 получить 6. Учитель должен поставить новую цель: что вставить вместо икса, чтобы после умножения на 2 и вычитания восьми эта шестерка получилась. Тогда надо решить уравнение, в котором слева уже стоит не 42: (2х-8)=7, а 2х-8. Этот момент отдельно выделяется и учителю обязательно нужно на нем остановиться отдельно. Решая такими путями уравнения, ребенок запоминиает поведение чисел. Те взаимосвязи, которые предлагабются ему для заучивания запоминаются в естественном порядке, а именно в процессе деятельности.

Существуют простые, но важные правила работы с методикой:

1) Учитель по математике должен исключить из текстов своих пояснений стандартные математические термины и шаблонные фразы («значение выражения», «переменная», «делитель», «значение переменной, при которой. »)

2) При подборе уравнения следует не дупустить проникновение в него повторяющихся действий и даже повторяющихся чисел (как начальной в записи самого уравнения, так и во всех дальнейших формах). Иначе ребенок запутается, о каком делении идет речь в конкретный момент и о каком числе 6 , если она используется дважды.

3) Каждая пара чисел в уравнении на каждом этапе решения должна быть удобной для подбора третьего числа.

Дроби…Подбор числа и действия затрудняется, так как операции с дробями делаются в несколько этапов. Если раньше ребенок мог распознать, что число а не делится на число b , то теперь уже можно делить друг на друга почти все числа. Сложнее узнать знакомое сочетание и подбирать для него соответствующее арифметическое действие. При достаточном количестве решенного ранее, способные дети запоминают алгоритмы и по аналогии применяют их в новой ситуации. А что делать отстающим? У многих из них информация о правилах еще успела прочно отложиться в его долговременной памяти.

В этом случае необходимо продлить время привычной деятельности ученика при решении уравнений. То есть подбирать действия прежним способом. Для этого преподавателю достаточно обязать (или разрешить) рядом с решаемым уравнением составить любой простенький пример на это же действие, но с натуральными числами. Допустим, надо решить уравнение:

Учитель просит ученика определить последнее действие в левой части уравнения, составить с его участием любой простенький пример из программы 2-го класса и записать его где-нибудь рядом.

-3 — (2:х+0,3) =-1 6- 2 =4

Ребенок смотрит, какой учасник последнего действия в исходном уравнении неизвестен, находит его аналог в придуманном примере и по нему подбирает арифметическое действие с соседними числами (благо они перед глазами). Затем просто переносит его на свое уравнение. И так с каждым исключением последнего действия. Полное оформление может выглядеть следующим образом:

-3 — (2:х+0,3) = -1 6- 2 =4

Ученик должен помнить, что в составленных примерах числа не повторялись. Не стоит cоставлять такие примеры:
и подобные им . 6-3=3 5+5=10

Для совсем слабых детей учитель может заготовить отдельные карточки с уже подобранными примерами на все действия и класть их перед учеником в нужный момент.

Вернемся к основной теме.

Общий приём решения уравнений:

слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

«Универсальный» алгоритм решения линейных уравнений с одним неизвестным вида:

1) раскрыть скобки (если таковые имеются);

2) оставить неизвестные в одной части уравнения, известные – в другой (уединение неизвестных);

3) привести подобные слагаемые;

4) разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном;

5) записать ответ.

Пример: 5х + 3 = 2х + 9

Первый этап формирования алгоритма

Устные упражнения на повторение:

1) Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного:

а) 8х + 5,9 = 7х + 20;

б) 6х – 8 = -5х – 1,6.

2) Оставьте в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой – не содержащие неизвестное:

а) 15y – 8 = -6y +4,6;

б) -16z + 1,7 = 2z – 1.

3) Приведите подобные слагаемые:

а) 15t + 8 – 8t – 6;

б) 13a + 4 – 7a — 25a;

в) 24m + 7 – 9m – 14m.

4) Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

Первый вид тестовых заданий:

1. Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», _________________ знаки слагаемых, стоящих в скобках.

2. Раскройте скобки:

-17,5 + (3,02 – 2,51) = __________________.

3. -(a + b) = __________________.

4. Коэффициентом такого выражения, как a или ab, считают _________.

5. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют ______________________ слагаемыми.

6. Выполните приведение подобных слагаемых:

• b – 2c + 4b – c = _________________________.

7. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то корни уравнения ________________________.

Второй вид тестовых заданий:

1. Выражение a + (b + c) можно записать без скобок:

a + (b + c) = a + b + c

2. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых.

3. Приведение подобных слагаемых выполняют на основании переместительного свойства умножения.

4. Число -30 является корнем уравнения

Третий вид тестовых заданий:

1. Раскройте скобки в выражении: a – (b + c — d)

2. Найдите значение выражения: 25 – (12 — 53)

3. Упростите: 5x – 5y – 6x + y

4. Найдите корень уравнения: 4 – 3y = 7 — y

Второй этап формирования алгоритма

1) -2x + 16 = 5x – 19

2) 4(3 – 2x) + 24 = 2(3 + 2x)

4) 0,5(4 + x) – 0,4(x — 3) = 2,5

5) 0,4(x — 9) – 0,3(x + 2) = 0,7

Третий этап формирования алгоритма

1. Решите уравнение: 4,2х + 5 = -7,6

2. Найдите сумму корней уравнений

х + 11,7 = 8,7 и (3х + 4,6) – 6,6 = 8,7 + 2,2

3. Отец в два раза старше сына и на 25 лет старше дочери. Сколько лет дочери, если всем вместе им 95 лет?

1. Решите уравнения:

б) 2(4 – 1,9х) = 0,8 – 0,2х.

2. На верхней полке в 3 раза больше книг, чем на нижней. После того, как с верхней полки сняли 15 книг, а на нижнюю добавили 11 книг, книг на обеих полках стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

3. Путь из города в село турист прошел со скоростью 4,8 км/ч. На обратном пути он увеличил скорость до 6 км/ч, что позволило ему пройти это расстояние на 1 час быстрее. Найдите расстояние от города до села.

Алгоритм решения линейного уравнения с двумя переменными типа: 5y – 2x = 1

1) воспользовавшись свойствами уравнений, выразить из данного уравнения одну переменную через другую;

2) воспользовавшись свойствами уравнений, добиться того, чтобы коэффициент при одной из переменных был равен единице;

3) взять произвольное значение одной из переменных и вычислить соответствующее ему значение другой переменной;

4) записать решение исходного (данного) уравнения в виде пары (пар) чисел.

если x = 2, то 6-1,5*2 = 6 – 3 = 3;

если x = 6, то 6-1,5*6 = 6 – 9 = -3.

Пары чисел (2; 3), (6;-3) – решение уравнения (1).

уравнение (1) имеет бесконечно много решений

Тестовые задания по теме: «Уравнение с одной переменной»

1. Выберите уравнения, для которых число -3 является корнем:

1) (2x + 3)(2x — 6) = 0; 3) (2x + 6)(x — 4) = 0;

2) (x2 — 9) + (x2 — 7) = 2; 4) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = 0.

а) 1; 2; б) всех; в) 3; 4; г) 2; 3; 4.

2. Найдите все натуральные значения p, при которых корнем уравнения px = 8 является целое число.

а) 1; 2; 4; 8; б) 1; 8; в) 2; 4; г) 2; 4; 8.

3. При каком значении c пара (c;3) является решением уравнения

4. Точка с абсциссой -3 принадлежит графику уравнения x – 2y = 10. Найдите ординату этой точки.

а) -6,5; б) 6,5; в) 4; г) -4.

Тестовые задания по теме «Уравнения с двумя переменными»

1. При каком значении c пара (c;3) является решением уравнения

2. Точка с абсциссой -3 принадлежит графику уравнения x – 2y = 10. Найдите ординату этой точки.

а) -6,5; б) 6,5; в) 4; г) -4.

1. Решите уравнения:

2. Определите значение x, при котором значение выражения -3х равно:

3. При каких значениях a уравнение ax = 8:

1) имеет корень, равный -4, 0;

2) не имеет корней;

3) имеет отрицательный корень.

Ну, а теперь давайте подведем итоги.

Можно ли научить решать любое уравнение?

Ответ неоднозначен. Ясно, что рассчитывать на изображение методики обучения решению уравнений, пригодной для всех детей и во всех случаях – все равно, что искать универсальное лекарство от всех болезней. Практическая ценность обучения школьников решению уравнений разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, чтобы раз и навсегда вооружить их приемами решения различных уравнений, которые будут возникать в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. А помогут в этом алгоритмы решения уравнений.

Так каким же должен быть алгоритм?

Методические рекомендации по организации работы учащихся с алгоритмами и формированию алгоритмического мышления.

• алгоритм должен быть по возможности наиболее кратким;
• «Читая и применяя алгоритм, старайтесь запоминать его»;
• пунктуационное соблюдение данного учителем образца решения задачи;
• указания в алгоритме желательно давать в таком виде, чтобы они содержали в себе все необходимые объяснения, какие учитель хочет слышать от учащихся по ходу решения задач.

Методические рекомендации к практической работе по математике на тему «Решение уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Практическое занятие №20

Тема: Основные приемы решения уравнений.

Цель: формирование умения применять различные методы решения иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.

Норма времени: (1час)

1.Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Основной метод решения иррациональных уравнений – возведение обеих частей уравнения в степень. При решении иррациональных уравнений, полученные корни требую проверки.

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

Метод решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле .

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1 . Решить уравнение .

Возведем обе части этого уравнения в квадрат

откуда следует, что .

: ⇔ . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.

: ⇔ . Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.

2.Показательные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Для решения показательных уравнений и необходимо, в первую очередь, пользоваться свойствами показательной функции.

Методы решения показательных уравнений:

Сведение обеих частей уравнения к одному основанию.

Вынесение за скобки общего множителя.

Замена переменной (приведение показательного уравнения к квадратному).

Пример 2 . Решите уравнение 3 5 x +2 =81 x  1 .

Решение . Данное уравнение равносильно уравнению

3 5 x +2 =3 4 x  4  5 x +2=4 x  4  x =  6.

3.Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида log _{h ( x )} f ( x ) = log _{h ( x )} g ( x ) или совокупности таких уравнений. Приведем соответствующее равносильное преобразование:

Второе неравенство системы можно заменить неравенством g ( x ) > 0 (какое из двух неравенств выбрать, зависит от того, какая из функций

f ( x ) или g ( x ) имеет более простой вид).

Методы решения логарифмических уравнений:

Используя определение логарифма.

Необходимо помнить, что переход от уравнения log _a f ( x )= log _a g ( x ) к уравнению f ( x )= g ( x ) может привести к появлению посторонних корней. Выявить эти корни можно либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения, которая задается системой неравенств, либо с помощью подстановки их в исходное уравнение.

Пример 3 . Решите уравнение

Решение . Данное уравнение равносильно уравнению

1). Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) = a ) .

Решение более сложных тригонометрических уравнений требует знания формул, выражающих свойства тригонометрических функций.

2). Способ замены .

Этот способ следует применять в том случае, когда после преобразований получаем некое алгебраическое уравнения относительно тригонометрической функции.

Уравнение вида a (sin x + cos x ) + b sin 2 x = c решаем, используя замену sin x + cos x = t . Тогда 1 + sin 2 x = t 2 , а уравнение после замены приобретает вид:

Пример 4 . Решите уравнение

3). Разложение на множители.

Некоторые уравнения можно преобразовать так, что слева будет произведение, а справа — ноль. После чего необходимо каждый множитель приравнять к нулю и найти всевозможные корни уравнения.

4). Однородные тригонометрические уравнения вида

Для его решения необходимо поделить уравнение на (sin x ) n ≠ 0

(т.к. sin x , cos x одновременно не равны 0). После чего вводим замену ctg x = z и получаем алгебраическое уравнение

Пример 5 . Решите уравнение

Выполните индивидуальные задания

Решите показательные уравнения:

2 3х ۰ 3 х = 576

5 х — 2· 5 х-2 = 23

4 2 x +1 +3·4 2 x  1  5·4 2 x =  64

36 х -4· 6 х -12 = 0

Решите логарифмические уравнения:

Решите тригонометрические уравнения:

sin 2 х — 4 sin х + 3 = 0

cos 2 х + 5 cos х — 6=0

sin 2 х + 3 sin х + 2 = 0

2 cos 2 х + 5 cos х + 3 = 0

1.Дайте определение и ррационального уравнения.

2.Какой основной способ решения и ррациональных уравнений?

3. Какие уравнения называются показательными? Назовите методы их решения.

4.Перечислите методы решения логарифмических уравнений.

Краткое описание документа:

Тема: Основные приемы решения уравнений.

Приведены примеры и задания по решению иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.

Методические указания.

1.Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Основной метод решения иррациональных уравнений – возведение обеих частей уравнения в степень. При решении иррациональных уравнений, полученные корни требую проверки.

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

Метод решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле .

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

2.Показательные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Для решения показательных уравнений и необходимо, в первую очередь, пользоваться свойствами показательной функции.

Методы решения показательных уравнений:

• Сведение обеих частей уравнения к одному основанию.
• Вынесение за скобки общего множителя.
• Замена переменной (приведение показательного уравнения к квадратному).
• 3.Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида log_h(x)f(x) = log_h(x)g(x) или совокупности таких уравнений. Приведем соответствующее равносильное преобразование: