Методичка по решению дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения (методические указания по дисциплине «Математика»)

Обыкновенные дифференциальные уравнения

(методические указания по дисциплине «Математика»)

Скачать:

Предварительный просмотр:

ОГАОУ СПО «Красногвардейский сельскохозяйственный техникум»

Обыкновенные дифференциальные уравнения

(методические указания по дисциплине «Математика»)

на заседании ПЦК Зам. директора по УР

общеобразовательных дисциплин __________ И.И.Головина

Протокол № от « »___________2014 г. « »______________ 2014 г.

Председатель ПЦК _________ М.В.Овчарова

Рецензент: Н.В.Овчарова, преподаватель общеобразовательных дисциплин ОГБОУ СПО «Красногвардейский сельскохозяйственный технику»

Составитель: М.В.Овчарова, преподаватель общеобразовательных дисциплин ОГБОУ СПО «Красногвардейский сельскохозяйственный технику»

Методические указания по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» предназначены для студентов II курса, обучающихся по специальности 250203 «Садово-парковое и ландшафтное строительство» и преподавателей общеобразовательных дисциплин. В них рассмотрена методика решения различных дифференциальных уравнений, приведены примеры решений с подробным описанием методики решения.

а) понятие о дифференциальных уравнениях;

б) виды дифференциальных уравнений и их решение;

в) составление дифференциальных уравнений по условию задачи;

г) применение дифференциальных уравнений.

При изучении темы «Дифференциальные уравнения» студенты сталкиваются со многими проблемами, особенно это касается решения дифференциальных уравнений. Иногда они затрудняются правильно определить вид дифференциального уравнения и его порядок, верно выбрать алгоритм решения. Достаточно много вопросов возникает у студентов при нахождении общего и частного решений дифференциального уравнения. Много ошибок допускается в решении при разделении переменных и при интегрировании функций. Студенты не всегда правильно делают математические преобразования, соблюдают последовательность в решении. В результате многие непонятные вопросы у студентов по решению дифференциальных уравнений остаются невыясненными.

Для того, чтобы студенты самостоятельно выполнили решение того или иного дифференциального уравнения, при этом выявили недочеты и исправили свои ошибки, необходима постоянная помощь преподавателя. Однако эта задача может быть решена самостоятельно студентами, если они в своей работе воспользуются методическими указаниями, составленными преподавателем в помощь студентам по данной теме. В данных методических указаниях подробно изложена методика решения различных дифференциальных уравнений, сформулированы алгоритмы решений со ссылками на теоретический материал.

1. Понятие о дифференциальных уравнениях

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие производные искомой функции или ее дифференциалы. Например, уравнения являются дифференциальными, т.к. они содержат производную Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения. При решении дифференциальных уравнений сначала получается общее решение, затем, если известны начальные данные, то можно получить частное решение. Для этого необходимо:

• Подставить начальные данные в общее решение и вычислить С.
• Полученное числовое значение С подставить в общее решение.

Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши. Геометрически частное решение представляется одной интегральной кривой, а общее решение – совокупностью интегральных кривых.

В настоящее время диапазон применения дифференциальных уравнений очень широк. С их помощью решаются задачи математики, физики, биологии, электротехники, радиотехники, экономики, технологии производства и многих других сфер человеческой деятельности. Дифференциальные уравнения получаются в тех случаях, когда используются процессы, в описании которых используются такие величины, как скорость (быстрота) протекания процесса, изменение скорости и т. д. С помощью дифференциальных уравнений можно создать математическую модель изучаемого физического, химического или биологического процесса. Решение этих уравнений позволяет предсказать свойства изучаемого явления и прогнозировать конечный результат.

Порядок дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения классифицируют в зависимости от порядка производной, входящей в уравнение. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например, -дифференциальное уравнение первого порядка, т.к. наивысший порядок производной, входящей в него – первый.

— дифференциальное уравнение второго порядка, т.к. наивысший порядок производной, входящей в это уравнение – второй.

— дифференциальное уравнение третьего порядка.

1. Виды дифференциальных уравнений и их решение

а) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными

Уравнение вида , где и — данные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

Рассмотрим на конкретном примере решение таких уравнений.

Пример №1. Найти частное решение дифференциального уравнения :

Найти частное решение дифференциального уравнения:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными

Интегрируем обе части уравнения

Данное выражение получилось в результате интегрирования. Это и есть общее решение данного уравнения

Подставили в общее решение начальные условия

Нашли С из предыдущего уравнения

Подставили С в общее решение и получили частное решение данного уравнения

б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Уравнение вида , где — заданные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Решение таких уравнений осуществляется по следующему плану:

• Выражают производную функции через дифференциалы и
• Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.
• Разделяют переменные.
• Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.
• Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

Примечание: в зависимости от вида уравнения некоторые пункты плана решения могут быть опущены.

Пример №2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными