Методика для решения линейных уравнений

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

• если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;
• если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
• если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Методика введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным

Разделы: Математика

Изучение уравнений в среднем звене начинается с введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным.

Равенство двух функций, рассматриваемых в общей области определения, называется уравнением. Переменные, входящие в уравнение, обозначаются латинскими буквами x, y,z, t … Уравнение с одной переменной х в общем, виде записывается так f(x)= g(x).

Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – это, значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Например, уравнение 3+x=7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3+x=7 верное равенство.

Уравнение (x-1)(x-2)=0 имеет 2 корня 1 и 2.

Уравнение x 2 +1=0 не имеет действительных корней, так как сумма двух положительных чисел не равняется 0.

Для того, чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правила, формулы или алгоритмы решения уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

1. преобразования данного уравнения к простейшим;
2. решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Если вторая часть является алгоритмической, то первая часть — в значительной степени — эвристической, что и представляет наибольшую трудность для учащихся. В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, поэтому важно знать с помощью каких преобразований это возможно. Здесь необходимо в доступной для ребенка форме дать понятие равносильности.

Уравнения, имеющие одни и теже корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения x+2=5 и x+5=8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3.Равносильны и уравнения x 2 +1=0 и 2x 2 +5=0 — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения х-5=1 и х 2 =36 не равносильны, так как первое имеет только один корень х=6, тогда как второе имеет два корня 6 и –6.

К равносильным преобразованиям относятся:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или одно и тоже целое алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению x 2 – 1 = 6x

3) Если в уравнении произвести раскрытие скобок и привести подобные слагаемые, то получится уравнения, равносильно данному.

Обучение решения уравнений начинается с простейших линейных уравнений и уравнений сводящихся к ним. Дается определение линейного уравнения и рассматриваются случаи, когда оно имеет одно решение; не имеет решений и имеет бесконечное множество решений.

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах = b, где а и b — действительные числа, а — называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом.

Для линейного уравнения ах = b могут представиться при случае:

1. а 0, в этом случае корень уравнения равен b/a
2. а = 0; b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0х = b, что верно при любом х, т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3. а = 0; b 0; в том случае уравнение принимает вид 0х = b, оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Так в 7 классе можно применить следующие уравнения:

1)

Это уравнение сводиться к линейному уравнению.

Умножением обеих частей на 12 (наименьшее общее краткое знаменателей 3, 4, 6, 12), получим:

8 + 3x + 2 – 2x = 5x –12,

8 + 2 + 12 = 5x – 3x + 2x,

2) Покажем, что уравнение 2 (х + 1) – 1 = 3 — (1 — 2х) не имеет корней.

Упростим обе части уравнения:

2х + 2 – 1 = 3 – 1 + 2х,

Это уравнение не имеет корней, т.к. левая часть 0 х равна 0 при любом х, а значит не равна 1.

3) Покажем, что уравнение 3(1 – x) + 2 = 5 – 3x имеет бесконечное множество корней.

При прохождении темы “линейные уравнения с двумя переменными” можно предложить учащимся графический способ решения уравнения. Данный метод основан на пользовании графиков функций, входящих в уравнение. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Основывается на выполнение следующих действий:

1) Преобразовать исходное уравнение к виду f(x) = g(x), где f(x) и g(x) функции, графики, которых можно построить.
2) Построить графики функций f(x) и g(x)
3) Определить точки пересечения построенных графиков.
4) Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.
5) Записать ответ.

Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток в том, что корни в общем случае определяются приближенно.

Следующим этапом в изучении линейных уравнений, являются уравнения с модулями, причем некоторые решения выполняются несколькими способами.

Решение уравнений, содержащих знак модуля и уравнений с параметрами можно назвать деятельностью, близкой к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Особой интерес представляют уравнения, содержащие знак модуля.

По определению модуля числа a, имеем:

Число –a может быть отрицательным при a>0; -a положительным при a -1, тогда

,

Видим, что число 0 принадлежит промежутку. Значит, является корнем. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -4.

На простых примерах рассмотрим алгоритм решения уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.

На базе введенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F(a;x)=0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

• устанавливаются область допустимых значений параметра и область определения;
• определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
• для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
• находятся общие решения x=f₁ (a),…, f_k (a) уравнения F(a;x)=0 на соответствующих множествах А_f1,…, А_fk значений параметра;
• составляется модель общих решений, контрольных значений параметра;
• на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);
• для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений
• Особое место в алгебре отводится линейным уравнениям с параметрами.

Рассмотрим несколько примеров.

1.	2х – 3 = m+1,

2х – 3 = + 4 m + 1,где m – неизвестный параметр.

Умножим обе части уравнения на 3, получим6х – 9 = m•х + 12m +3,

6х — m•х + 12m + 12,Вынесем общий множитель за скобки, получимх•(6-m) = 12(m+1),

, 6 – m ? 0, m ? 6.так как стоит в знаменателе дроби.Ответ: , при m 6.

Уравнение 2х – 3 + m (х/3 + 4) + 1 имеет множество решений, заданных формулой при всех значениях m, кроме 6.

2. , при m 2, x 1, n 0.

mx – n = 2x – 2 + 2n + 3xn,

mx – 2x – 3xn = — 2 + 2n +n,

mx – 2x – 3xn = 3n – 2,

x (m – 2 – 3n) = 3n – 2, при m 2, x 1, n 0.

Рассмотрим случай, где a = 0, тогда

m = 3n +2, при n 0

n = .

m = 3 • + 2,

x(4 – 2 – 3 ) = 3 • — 2,

x – любое число, кроме x = 1.

б) 3n – 2 0

0 • x = b. В этом случае уравнение не имеет решений.

2) a 0

m – 2 – 3n 0

m 2 + 3n.

x = , при x ? 1,

1,

3n – 2 m – 2 – 3n,

3n + 3n 2 – 2 + m,

6n m (n )

В этом случае уравнение решений не имеет.

Значит, при n = и m = 4, x – любое число, кроме 1; при n = 0, m = 6n

(n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 уравнение решений не имеет. Для всех остальных значения параметров x = .

Ответ: 1. n = , m = 4 – x ? R\.

2. n = 0, m = 6n (n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 – решений нет.

3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .

В дальнейшем предлагается рассмотреть решение задач методом составления линейных уравнений. Это сложный процесс, где надо уметь думать, догадываться, хорошо знать фактически материал.

В процессе решения каждой задачи надо четко размечать четыре этапа:

1. изучение условия задачи;
2. поиск плана решения и его составление;
3. оформление найденного решения;
4. критический анализ результата решения.

Теперь рассмотрим задачи, при решении которых применяются линейные уравнения.

1. Сплав меди и цинка содержит меди на 640 г. Больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса сплава первоначально?

Пусть в сплаве было х г. цинка, тогда меди (640 + х) г. после того, как выделили 6/7 меди и 60% цинка, осталось 1/7 меди и 40% цинка, т.е. 0,4 части. Зная, что масса сплава оказалась равной 200 г., составим уравнение.

1/7 (х + 640) + 0,4•х = 200,

х + 640 + 2,8•х =1400,

Значит, цинка было 200 г., а меди 840 г.

(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (г.) – масса сплава. Ответ: первоначальная масса сплава 1040 г.

2. Сколько литров 60% серной кислоты нужно прибавить к 10 л 30% кислоты, чтобы получить 40% раствор?

Пусть число литров 60% кислоты, которое прибавим х л, тогда раствора чистой кислоты будет л. А в 10 л 30% раствора чистой кислоты будет л. Зная, что в полученных (10 + х) смеси будет чистой кислоты л, составим уравнение.

+=,

60х + 300 = 40х + 400,

60х – 40х = 400 – 300,

Значит, нужно прибавить 5 л 60% кислоты.

При изучении темы “Решение линейных уравнений” рекомендуется некоторая историческая справка.

Задачи на решение уравнений первой степени встречаются еще в вавилонских клинописных текстах. В них же есть некоторые задачи, приводящие к квадратным и даже кубическим уравнениям (последние, по-видимому, решались с помощью подбора корней). Древнегреческие математики нашли геометрическую форму решения квадратного уравнения. В геометрической же форме арабский математик Омар Хайям (конец XI – начало XII века н. э.) исследовал кубическое уравнение, хотя и не нашел общей формулы для его решения. Решение кубического уравнения было найдено в начале XVI века в Италии. После того, как Сципиан дель Ферро решил один частный вид таких уравнений в 1535 году, итальянец Тарталья нашел общую формулу. Он доказал, что корни уравнения x 3 + px + q = 0 имеют вид x =.

Это выражение обычно называют формулой Кардано, по имени ученого, узнавшего ее от Тартальи и опубликовавшего в 1545 году в своей книге “Великое искусство алгебраических правил”. Ученик Кардано – молодой математик Феррари решил общее уравнение четвертой степени. После этого на протяжении двух с половиной столетий продолжались поиски формулы для решения уравнений пятой степени. В 1823 году замечательный норвежский математик Нильс Хендрик Абель (1802-1829) доказал, что такой формулы не существует. Точнее говоря, он доказал, что корни общего уравнения пятой степени нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня. Глубокое исследование вопроса об условиях разрешимости уравнений в радикалах провел французский математик Эварист Галуа (1811-1832), погибший на дуэли в возрасте 21 года. Некоторые проблемы теории Галуа решил советский алгебраист И.Т.Шафаревич.

Наряду с поисками формулы для решения уравнения пятой степени велись и другие исследования в области теории алгебраических уравнений. Виета установил связь между коэффициентами уравнений и его корнями. Он доказал, что если x₁,…,x_n – корни уравнения x n + a₁x n-1 +…+a_n=0, то имеют место формулы:

Литература:

1. Журнал “Математика в школе” 6, 1999
2. Приложение к газете “Первое сентября”- математика 20, 1999.
3. С.И. Туманов “Алгебра”, пособие для учащихся 6-8 классов.
4. Н.И. Александров; И. П.Ярандай “Словарь-справочник по математике”.
5. О.Б. Епишева; В.И. Крупич “Учить школьников учиться математике”.
6. Е.И.Ямщенко “Изучение функций”.
7. А.И. Худобин; М.Ф. Шуршалов “Сборник задач по алгебре и элементарным функциям”.
8. Ш. А. Алимов, В.А. Ильин “Алгебра 6-8 классы”.