Методика изучения дробно рациональных уравнений

Методика решения дробно — рациональных уравнений. Подготовка учащихся к ОГЭ.
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Методика решения дробно — рациональных уравнений.

Подготовка учащихся к ОГЭ.

( из опыта работы учителя математики МБОУ Погребская средняя общеобразовательная школа Стратий Татьяны Николаевны)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методика решения дробно — рациональных уравнений.

Подготовка учащихся к ОГЭ.

( из опыта работы учителя математики МБОУ Погребская средняя общеобразовательная школа Стратий Татьяны Николаевны)

Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике является одним из документов, определяющих структуру и содержание КИМов. В нем сформулированы требования к уровню подготовки выпускников основной школы. В разделе III прописано требование «Уметь решать уравнения, неравенства и их системы»

Код контролируемого умения

Уметь решать уравнения, неравенства и их системы

Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения , сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы

Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы

Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств

Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений исходя из формулировки задачи

С темой «Дробные рациональные уравнения » учащиеся впервые знакомятся на уроках алгебры в 8 классе. Вводится понятие дробно-рационального уравнения, указывается чёткий алгоритм его решения, разбираются базовые примеры. В 9 классе при изучении главы II «Уравнения и неравенства с одной переменной» расширяем знания учащихся по теме «Дробные рациональные уравнения», решаем более сложные задания. Результаты обучения в значительной степени зависят от конкретной методики обучения, которую применяет учитель на уроках. Учитель, при активном сотрудничестве с обучающимися, должен помочь им выделить систему общих указаний, которые будут служить ориентирами при решении уравнений.

Целесообразно четко сформулировать алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

В ходе решения дробно-рациональных уравнений необходимо установить, являются ли найденные корни целого уравнения допустимыми значениями переменной. Учащиеся нередко ошибаются, пропуская этот момент, поэтому надо настойчиво добиваться, чтобы в каждом случае алгоритм был выполнен до конца.

Важно научить обучающихся пользоваться «методом пристального взгляда» чтобы они зрительно видели разложение знаменателей на простые множители и безошибочно находили наименьший общий знаменатель. Такая методика решения уравнений позволяет школьникам не допускать ошибок при решении дробных рациональных уравнений, успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

Следует также предварительно отработать умения и навыки учащихся при выполнении тождественных преобразований, решения квадратных и линейных уравнений, раскладывания квадратного трёхчлена на множители, нахождения ОДЗ, основного свойства пропорции, формул сокращённого умножения

Приемы решения дробных рациональных уравнений находят естественное и важное применение при решении текстовых задач. При решении текстовой задачи учащиеся выполняют три этапа, входящие в процесс решения:

— переводят задачу на язык алгебры (составляют математическую модель),

— решают полученное уравнение,

— выполняют содержательный анализ полученного ответа.

В практической деятельности при проведении уроков по этой теме я применяю организацию учебной деятельности следующим образом: обучающиеся работают по группам. Одна группа решает текстовые задачи – им требуется в процессе решения получить дробное рациональное уравнение. Другая группа работает над решением этих же уравнений. Последующая проверка у доски работы двух групп представляет полное решение текстовой задачи с обоснованной записью ответа. В зависимости от наполняемости класса можно организовать подобным образом работу четырех или шести групп. Такая организация урока позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, развивает коммуникативные навыки, умение работать в сотрудничестве позволяет закрепить умение решать текстовые задачи и одновременно умение решать дробные рациональные уравнения.

Все выпускники 9 класса должны уметь решать дробные рациональные уравнения.

Чтобы достичь поставленной задачи учителю следует руководствоваться методическими требованиями к системе упражнений, направленной на организацию усвоения приемов решения дробных рациональных уравнений.

1. система упражнений должна обеспечивать возможность активного участия обучаемых в конструировании приема решения рассматриваемого класса задач (в нашем случае решения дробных рациональных уравнений)
2. система упражнений должна обеспечить усвоение и необходимое повторение каждого из приемов, входящих в качестве составной части в формируемый прием ( решения дробных рациональных уравнений)
3. система упражнений должна строиться по принципу систематичности, постепенного нарастания сложности, содержать задания комплексного характера, выполнение которых требует распознания типа уравнения и осознанного выбора способа его решения.

Стандартный вид дробно-рационального уравнения:

Область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения: Решение уравнений сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнения вида

Где – многочлены, можно решать, используя основное свойство пропорции:

Основные методы решения рациональных уравнений.

1. Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее.

Квадратные уравнения ax 2 + bx + c = 0 решаются по формуле или используется теорема Виета: x 1 + x 2 = – b / a; x 1 x 2 = c / a.

2.Способ группировки : путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3. Способ подстановки : ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно какую следует сделать подстановку.

(x 2 + x – 5) / x + 3x / (x 2 + x – 5) + 4 = 0,

легко решается с помощью подстановки (x 2 + x – 5) / x = t,

получаем t + (3 / t) + 4 = 0.

Или: 21 / (x 2 – 4x + 10) – x 2 + 4x = 6.

Здесь можно сделать подстановку x 2 – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) — t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение

(x 2 + 2x) 2 – (x +1) 2 = 55.

Переписав его иначе, а именно (x 2 + 2x) 2 – (x 2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x 2 + 2x=t.

Имеем t 2 – t – 56 = 0, t 1 = – 7, t 2 = 8. Осталось решить x 2 + 2x = – 7 и x 2 + 2x = 8.

В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например

Уравнение (x + a) 4 + (x + b) 4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

Симметрическое уравнение (возвратное) a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.

Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если

a + b = c + d и т.д.

К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относится также метод замены переменной.

1. Подбор : при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 ищем в виде p / q,

где p — делитель a 0 , q — делитель a n , p и q взаимно просты, pÎ Z, qÎ N.

5. “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

Некоторые приемы решения дробно- рациональных уравнений рассмотрим на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Сводим заданное уравнение к стандартному виду :

Его решением будет решение системы

Значит, решением заданного уравнения является

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:

Оба корня являются решениями, так как подходят по ОДЗ. В ответе имеем:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Группируем слагаемые

Получаем уравнение или, то же самое,

Полученное уравнение имеет корни:

Возвращаемся к переменной Х :

В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений

Которые решаем на ОДЗ: Приходим к ответу

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:

Получаем уравнение, которое приобретает вид

Заменяем и приходим к уравнению

Решая его, найдем корни:

Возвращаемся к старой переменной:

Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ):

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Введем замену:

Тогда и получим уравнение

Решая квадратное уравнение, находим корни:

Вернемся к переменной Х :

Решаем первое уравнение:

Второе уравнение не имеет решения, так как

Заключение: Чтобы сформировать умение решать дробные рациональные уравнения всеми обучающимися 9 класса, учителю математики необходимо разработать систему упражнений, направленную на отработку приемов и методов решения этих уравнений.

На этапе подготовки — создать условия для активного восприятия, через упражнения на повторение, упражнения пропедевтического характера.

На этапе усвоения — через систему упражнений необходимо создать условия, которые позволяют обучающимся осознать и прочно запомнить новые сведения ( последовательность действий, алгоритм).

На этапе закрепления – создать условия для усвоения знаний в ходе их применения в различных ситуациях.

Используемая литература и электронные ресурсы

1. Д.Т. Письменный «Готовимся к экзамену по математике»- М.; Рольф, Айрис-пресс,1998г.

2. «Математика. Подготовка к ГИА- 2015»- под редакцией Ф.Ф. Лысенко, Ростов- на-Дону, Легион. 2014г.

3. «Алгебра -9 класс»- Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. под редакцией

С.А. Теляковского, М.: Просвещение,2010г.

4. Л.И. Заввич «Итоговая аттестация. Задания по математике»М,:Просвещение,2011г.

5. С.С.Минаева,Л.О.Рослова «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации».М.,Экзамен.2014г.

6. М.Р.Леонтьева, С.Б. Суворова «Упражнения в обучении алгебре»,М.,Просвещение,2005г.

7. Ресурсы, представленные на портале ФЦИОР (Федеральный центр информационных образовательных ресурсов) – http://fcior.edu.ru , http://eor.edu.ru

8. Каталог образовательных ресурсов сети Интернет для школы — http://katalog.iot.ru/

9. Справочная информация по математическим дисциплинам

10. Образовательный математический сайт http://www.exponenta/ru

11. Публикации по алгебре, геометрии, тригонометрии

Преподавание математики. 8-й класс. Тема: «Решение дробно-рациональных уравнений» (методика взаимообмена заданиями)

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели и задачи:

• учить распознавать дробно-рациональные уравнения;
• создать условия для закрепления учащимися основных этапов решения дробно-рациональных уравнений;
• развивать внимание (концентрацию);
• развивать личностные качества (целеустремленность, через потребности ставить перед собой цели и достигать их; настойчивость, через формирование способности к преодолению трудностей; чувства собственного достоинства, через формирование адекватной самооценки у учащихся);
• формировать мотивы учения через формирование мотивов самосовершенствования и формирование мотивов деятельности (создание ситуации успеха).

Организация работы

I. Подготовительный этап

Класс разбивается на 2 группы по 8 человек (1 группа – базовый уровень усвоения, 2 группа – повышенный уровень усвоения). Каждой группе дается по 2 комплекта карточек одного варианта (с различными цветовыми сигналами: красный, синий, желтый, зеленый). Каждая карточка имеет 2 задания.

Перед проведением урока учитель выбирает 4 сильных учеников, которые будут консультировать на уроке. Им предлагается решить каждому по 2 карточки (базового и повышенного уровня одного цвета). Затем им так же выдаются карточки повышенного уровня усвоения.

II. Основной этап

1. Организационный момент.

2. Учитель сообщает, чему будет посвящен урок, его цель и объясняет алгоритм работы.

1. Получив карточку, запишите в тетради ее цветовой сигнал и приступайте к выполнению задания 1.
2. Если возникает вопрос, то подойдите к учителю или консультанту.
3. Выполнив задание 1, подойдите к консультанту (первичный контроль).
4. Приступайте к заданию 2.
5. По окончании работы с карточкой отчитайтесь перед консультантом, который делает соответствующие пометки в листе учета.
6. По маршруту ищите партнера для дальнейшей работы.
7. Поменяйтесь сразу карточками, приступайте к выполнению задания по алгоритму, начиная с п.2. Обратите внимание: тот ученик, у которого берется карточка, является консультантом и проверяющим.
8. Работа выполняется, пока каждый не выполнит все 4 карточки с различными цветовыми сигналами.
9. Если перед обменом карточками партнер еще не готов меняться, то вы можете выполнить дополнительные задания.
10. Выходной контроль:

а) Самостоятельная работа на 10 минут с аналогичными заданиями (на 2 варианта).
б) Сдаются тетради на проверку.

Оценка складывается из:

• работы по карточкам (лист учета);
• самостоятельной работы;
• проверки тетрадей.

Оценка будет оглашена на следующем уроке.

Конспект урока по теме «Дробно-рациональные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

учителем математики и экономики Карпеевой О. В.

МБОУ «Средняя школа № 17»

г. Дзержинска Нижегородской области

Тема урока: Дробно-рациональные уравнения

Учебник: Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов и др., М., 2009.

Программа : Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7 – 9 классы / Сост.

Бурмистрова Т. А. Издательство «Просвещение», М, 2009.

Тип урока: Урок изучения нового

Учебная задача: Сформулировать определение дробно-рационального уравнения, а также вывести основные алгоритмы решения дробно-рациональных уравнений

Тип урока: Проблемно-развивающий.

Тип обучения: Личностно-ориентированный.

— формировать понятия дробно-рациональных уравнений;

-рассмотреть различные способы решения дробно-рациональных уравнений;

— рассмотреть алгоритм решения дробно-рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;

— обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;

— проверить уровень усвоения темы путем проведения тестовой работы.

— развить умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

— развить интеллектуальные умения и мыслительные операции – анализ, синтез, сравнение и обобщение;

— развить инициативу, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

— развить навыки исследовательской работы.

— развить приёмы умственной деятельности, памяти, внимания

— воспитать познавательный интерес к предмету;

— воспитать самостоятельность при решении учебных задач;

— воспитать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Дидактическая единица: определение, правило.

Познавательные средства: сравнение, аналогия, обобщение.

1. Индивидуальная (работа у доски);

2. Фронтальная (при повторении и закреплении);

3. Коллективная (при формулировании определения, алгоритмов решения).

1. По источнику получения знаний:

— Словесный (рассказ учителя);

— Наглядный (работа с презентацией);

— Практический (выполнение упражнений).

2. По характеру учебной деятельности:

— Частично-поисковый (определения и свойства выводятся под руководством учителя).

3. По дидактическим целям:

— Метод приобретения знаний.

4. По содержанию учебного материала:

— Метод первичного усвоения учебного материала.

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Активизация прежних знаний – 5 мин.

3. Изучение нового материала – 15 мин.

4. Физминутка: 3 мин.

5. Закрепление – 18 мин.

6. Подведение итогов – 3 мин.

Домашнее задание – 1 мин.

Необходимое техническое оборудование –

-таблица алгоритма решение дробных рациональных уравнений;

— сетевой (компьютерный) класс,

— подключение к Интернету.

1. Организационный момент

1.1. Вступительное слово учителя

Учитель : Здравствуйте, ребята! Эпиграф нашего урока:

Торопись ведь дни проходят, ты у времени в гостях.

Не рассчитывай на помощь. Помни – всё в твоих руках.

Учитель: Решить анаграммы: таимдкисрнн (дискриминант), ретокоз (отрезок), ниваренуе (уравнение), фэкоцинетиф (коэффициент), ерокнь (корень). Исключите лишнее слово. Какая тема объединяет остальные слова?

Ученик: Эти слова объединяют тему «Квадратные уравнения».

1.3. Создание проблемной ситуации.

Учитель: На доске написаны уравнения, посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Ученик: Не все можем решить сможем только 1,3 уравнение решить, а остальные уравнения у нас вызывают затруднения.

1.4. Совместное формулирование темы и цели.

Учитель: Уравнения, в которых левая и правая часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока.

Ученик: Дробные рациональные уравнения.

Решение дробных рациональных уравнений.

Учитель: Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний.

2.1. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

Учитель: А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобится нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы (вопросы на экране)

1. Что такое уравнение?

Ученик: 1. Равенство с переменной или переменными.

Учитель: 2. Как называется уравнение №1?

Способ решения линейных уравнений.

Ученик: 2 .Линейное.

Все с неизвестным перенести в левую часть, уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель .

Учитель: 3. Как называется уравнение №3?

Способы решения квадратных уравнений.

Ученик: 3. Квадратное.

Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .

Учитель: 4. Что такое пропорция?

Основное свойство пропорции.

Ученик: 4. Равенство двух отношений.

Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .

Учитель: 5. Какие свойства используются при решении уравнений?

Ученик: 5. 1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)

Учитель: 6. Когда дробь равна нулю?

Ученик: 6. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала

Учитель: Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Как можно решить данное уравнение?

Ученик: Это уравнение можно решить методом пропорции.

Ученик решает уравнение у доски.

Учитель: Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции?

Учитель: Правильно. Решаем самостоятельно с последующей проверкой на экране

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Учитель : Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.Ваши предложения по решению этого уравнения.

Ученик: Домножить на 6

Учитель: Правильно, домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей.

Учитель: Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель?

Учитель: Правильно №6.Решаем его в тетрадях а один на закрытой доске с последующей проверкой.

Учитель: Теперь попытайтесь решить уравнение №7, 1 группа — применяя основное свойство пропорции,

2группа – домножая обе части уравнения на общий знаменатель.

х=0 х-5=0 х 2 -3х-10=0

Учитель: Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

• Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7?
• Что такое корень уравнения
• Как выяснить является ли число корнем уравнения?

Ученик: В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной .)

Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство . Сделать проверку .

Учитель: Давайте выполним проверку.

Ученик: При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения.

Учитель: Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку?

Ученик: Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Учитель: Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений путем приведение к общему знаменателю:

1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Записать ответ.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений с помощью свойства пропорции:

4. Решить уравнение.

1. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
2. Записать ответ.

Конкретизация и отработка материала

Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

Дети сами формулируют алгоритм.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель.

Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель

Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в,и); № 601(а,д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

Постановка домашнего задания

Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.

1. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
2. Решить в тетрадях № 600(а,г,д)-1уровень; №601(г,з)-2уровень,№613-для всех.

Попробовать решить №606(а)(по желанию).

Выходной контроль

по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

• «5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания.
• «4» — 75%-89%
• «3» — 50%-74%

· «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.

Оценка 2 в журнал не ставится, 3 — по желанию.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

• 1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
• 2 – интересно, но не понятно;
• 3 – не интересно, но понятно;
• 4- не интересно, но понятно.

Подведение итогов урока

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Нельзя забывать делать проверку.

В посторонних корнях

I. Организационный момент.

Учитель : На предыдущих уроках мы с вами уже знакомились с некоторыми свойствами функции. Напомните, какие свойства функции вам знакомы?

Ученик : Область определения, множество значений.

Учитель : Сегодня мы познакомимся с вами еще с одним свойством.

II . Актуализация прежних знаний .

Учитель : Прежде чем перейти непосредственно к монотонности функций вспомните какие типы функций вам знакомы?

Ученик : Линейные и квадратичные.

Учитель : Какие функции являются линейными, а какие квадратичными?

Ученики : Функции вида у = вх + к называются линейными, а функции вида у = ах 2 + вх + с, где

а 0 называются квадратичными.

Учитель : Среди предложенных формул выберите: а) линейные функции; б) квадратичные функции.

На доске заранее выписаны формулы:

1) у = 4х – 5 2) у = х 2 + 5х – 1 3) у = 4) у = 6

5) у = — 4х 2 +5х 3 – 6 6) у = -2х 7) у = -2х 2 + 4х – 1 8) у = х – 2

Ученики : Линейные функции – 1, 4, 6; квадратичные функции – 2, 7.

Учитель : Что является графиками линейных и квадратичных функций?

Учитель : Графиком линейной функции является прямая, а графиком квадратичной – парабола.

Учитель : Среди предложенных графиков выберите графики линейных и квадратичных функций.

На доске заранее представлены чертежи:

1) 2) 3) 4)

Ученик : линейная функция – 2, квадратичная функция – 1.

Учитель : Рассмотрим график некоторой функции и изучим особенности данного графика.

— 5 -3,5 — 3 — 2,5 0 1

Учитель : Попытайтесь воспроизвести график данной функции слева направо.

Ученик : Если вести карандаш по графику данной функции слева направо, то сначала рука идет вверх, потом вниз, а затем снова вверх.

Учитель : В этом случае говорят, что функция сначала возрастает, а затем убывает. Попытайтесь сформулировать определение возрастающей и убывающей функции.

Ученик : Функция называется возрастающей, если ее график слева направо направлен вверх. Функция называется убывающей, если ее график слева направо направлен вниз.

Учитель : Как вы думаете, почему мы рассматривали график слева направо, а не наоборот?

Ученик : Так как мы пишем слева направо, или чиловая ось направлена слева направо.

Учитель : Совершенно правильно. Таким образом, мы с вами сформулировали геометрическое определение возрастающей и убывающей функции. Но существует еще алгебраическое определение возрастающей и убывающей функции. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. А вместе возрастание и убывание функции называется ее монотонностью.

Учитель : В данном определении есть слова на некотором промежутке. Как вы думаете почему?

Ученик: Так как одна и та же функция может на некотором промежутке возрастать, а на другом убывать.

Учитель: Используя заданную функцию, определите ее промежутки возрастания и убывания.

Ученик: Функция возрастает от , убывает .

Учитель: Используя заданные чертежи графиков функций, определите промежутки монотонности.

На доске заранее подготовлены чертежи:

1) 2) 3) 4)

Ученик : Для 1 функции: ;

для 2 функции: ;

для 3 функции: ;

для 4 функции: .

Учитель : Данные функции были заданы своими графиками, а как выяснить монотонность, если функции заданы формулами?

Ученик : Можно попытаться построить графики этих функций.

Учитель : Напомните основные этапы построения графиков линейных и квадратичных функций.

Ученик : Чтобы построить график линейной функции необходимо вычислить значения в двух произвольных точках. Чтобы построить график квадратичной функции необходимо вычислить координаты вершины параболы, определить направление ее ветвей и пересечение с осями координат.

Учитель : Используя правило построения графиков линейных функций выяснить промежутки монотонности следующих функций:

1) у = 2х +1 2) у = — 2х +1

Ученики : (два ученика выполняют задание у доски)