Методика изучения систем логарифмических уравнений

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Курсовая работа на тему «Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство просвещения Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Чеченский государственный

Геометрии и методики преподавания математики

по дисциплине: «Методика обучения математики» .

на тему: «Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств»

Выполнена студенткой 4 курса МИ1 группы

очной формы обучения

Профиль «Математика» и «Информатика»

__________ Тепсуркаева Хава Адаовна

Подпись ФИО студента

(Ученая степень и звание)

___________ Багашева Аймани Бураевна

подпись ФИО руководителя

Работа защищена «___» _________2021г. протокол №______

ГЛАВА 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ……………………………………. 5

1.1. Методические особенности изучения логарифмических уравнений и неравенств…..………………………………………………………….………….5

1.2. Анализ заданий на решение логарифмических уравнений в составе ЕГЭ……………………………………………………………………………..…..8

ГЛАВА 2. ВИДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ……………………………….11

2.1. Метод решения по определению логарифма………………..…………..11

2.3. Метод замены переменной………………………………………..……. 13

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения……………..……. 16

2.6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию……….17

Актуальность работы. В школьном курсе математики важное место занимает решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. В зависимости от авторов учебника эта тема изучается в 10 или 11 классе. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства встречаются в заданиях ЕГЭ. Поэтому, изучению методов решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств должно быть уделено особое внимание. Из вышеуказанного следует актуальность выбранной темы, необходимость рассмотрения этой темы для будущего учителя математики.

При решении логарифмических уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями:

— незнание четкого алгоритма решения логарифмических уравнений;

— при решении логарифмических уравнений, ученики производят преобразования, которые не равносильны исходным уравнениям;

— при решении логарифмического уравнения введением новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.

Цель данной работы: изучить теоретический материал по теме «Логарифмические уравнения в школьном курсе», провести анализ этой темы в учебниках алгебра и начала анализа, рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений, систематизировать и обобщить основные особенности этой темы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— изучить требования государственных стандартов по теме «Логарифмические уравнения»;

— проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начала анализа;

— систематизировать методы решения логарифмических уравнений;

— систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы.

Объектом исследования является процесс обучения математики в старших классах.

Предметом исследования являются методические особенности изучения показательных и логарифмических уравнений, неравенств.

− анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования;

− методы статистической обработки полученной информации.

Структура работы : введение, две главы, заключение, список литературы. Объем работы: 27 стр.

ГЛАВА 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

1.1 Методические особенности изучения логарифмических уравнений и неравенств.

Первоначально в курсе алгебры изучались такие функции, вычисление значений которых сводилось к четырем арифметическим действиям и возведению в степень. Для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь находить логарифмы чисел, т.е. выполнять новое для учащихся действие – логарифмирование. До появления компьютеров логарифмы широко использовались для выполнения вычислений и детально изучались в школе. Теперь же их роль стала вспомогательной, а изучение в школе не стало столь подробным.

Знакомство с логарифмами чисел и их свойствами для многих учащихся достаточно сложно. Поэтому полезны подробные и наглядные объяснения. Обычно логарифм определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число: , т.к. . Следует обратить внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому . Таким образом, получается основное логарифмическое тождество , где Это равенство является краткой символической записью определения логарифма.

Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. Т.к., например, по определению логарифма , , то, перемножая эти равенства и используя свойство умножения степеней, получаем , . Последнее равенство показывает, что отсюда и следует свойство логарифма произведения

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10 ( десятичный логарифм) и по основанию ( — натуральный логарифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию: , где

Т.к. на микрокалькуляторе есть клавиши и , то для вычисления логарифма по основаниям, отличным от 10 и , нужно использовать формулу перехода.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

(1)

Утверждение 1. Если , уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение

Пример 1 . Решить уравнения:

Решение. Используя утверждение 1, получим

Приведем основные свойства логарифма.

. Основное логарифмическое тождество:

где

Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

Замечание. Если тогда свойство примет вид

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

Замечание. Если , тогда свойство примет вид

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

. Формула перехода к другому основанию:

, в частности, если , получим ,

Используя свойства , легко получить следующие свойства

и, если в (5) c — четное число ), имеет место

[1 c .214]

Перечислим и основные свойства логарифмической функции :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При логарифмическая функция строго возрастает а при , — строго убывает

5. Если , то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при а если , то логарифмическая функция положительна при и отрицательна при .

6. Если то логарифмическая функция выпукла вверх, а если — выпукла вниз [1 c .217].

Важнейшей частью школьного курса математики является обучение методам решения уравнений. Для успешного решения уравнений необходимо знать и использовать свойства показательной и логарифмической функций, свойства действий со степенями, определение логарифма, основные логарифмические тождества.

Цель темы – обучение учащихся методам решения логарифмических уравнений.

Для передачи теоретического материала наиболее эффективна исследовательская работа учеников, которая сопровождается беседами учителя с учащимися. Для закрепления материала используются задания из учебника, дополнительной литературы.

Особое место отводится самостоятельной работе – решению уравнений, подготовка сообщений, проработке теоретического материала. При изучении темы «логарифмические уравнения» учащиеся должны уметь:

1. Определять методы решения логарифмических уравнений.

2. Решать логарифмические уравнения.

1.2 Анализ заданий на решение логарифмических уравнений в составе ЕГЭ.

Рассмотрим задания из состава ЕГЭ, содержащие примеры на решение логарифмических выражений уравнений:

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения

Ответ : 21.[2 c .40]

3. Решите уравнение

Если, уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.

4. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) Поскольку отрезку принадлежит единственный корень −2.

Ответ : а) −2; 1, б) −2.

5. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Из уравнения получаем:

б) Заметим, что .

Значит, указанному отрезку принадлежит только корень −2.

Ответ: а) −2 и 16; б) −2. [2 c.30]

Анализируя задания ЕГЭ, можно сделать вывод о том, что задачи на решение логарифмических уравнений могут встречаться в любой части заданий ЕГЭ. В первойчасти обычно предлагают решить простейшие логарифмические уравнения. Во второй части можно встретить более сложные логарифмические уравнения, решение которых обычно является одним из этапов выполнения задания. Уравнения в части «С» могут быть и комбинированные, т.е. быть логарифмическими, иррациональными, тригонометрическими и показательными и т.д.

В части «С» предложены не только логарифмические уравнения, но и системы уравнений. Задание «С-1» заключается в том, чтобы решить уравнение и выбрать подходящий корень из определенного промежутка [10 c .162].

ГЛАВА 2. ВИДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

2.1. Метод решения по определению логарифма

Решение уравнений, основанных на определении логарифма.

Пример 1

Решение: По определению логарифма

корень уравнения.

Ответ:

ОДЗ

Используем определение логарифма:

Ответ:

2.2. Метод потенцирования

Решение логарифмических уравнений типа сводится к решению уравнения

Это следует из монотонности логарифмической функции.

Потенцирование — это переход от уравнения вида к уравнению , где — отличное от единицы положительное число, — элементарные алгебраические функции,

Для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения .Среди полученных выбрать те, которые принадлежат ОДЗ уравнения

В случае, если уравнение решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.[3 c .168]

принадлежит интервалу значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.

Ответ:

значит, −5,5 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: [4 c .87].

2.3. Метод замены переменной

Уравнения вида решаются с помощью подстановки , которая приводит уравнение к виду

Если t — корень уравнения , то после возвращения к подстановке можно найти корень исходного логарифмического уравнения, т. е. (аналогично находятся и другие корни, если они есть) [1 c .219].

оба принадлежат ОДЗ.

Пример:

Обозначив получим уравнение

Корни этого уравнения

Из уравнения находим, что а из уравнения =2 следует, что

Оба корня принадлежат ОДЗ:

Пример:

Введём новую переменную:

Вернёмся к обозначенному:

Первый корень не принадлежит ОДЗ, а значит, решением является

Ответ: [4 c .89].

2.4. Графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

· левую и правую части уравнения представить в виде функций;

· построить графики обеих функций в одной системе координат;

· найти точки пересечения графиков, если они есть;

· указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения [3c. 118]

Пример . (обратить внимание на несовершенность этого способа)

ис.1

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения

Уравнения вида решаются логарифмированием обеих частей уравнения.

Логарифмирование — это переход от уравнения к уравнению

Рассмотрим на примерах.

Пример:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

Ответ:

Пример:

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

Пусть

По теореме Виета

Вернёмся к обозначенному

значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: .

2.6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

Решение: Приведем все логарифмы к основанию 2, по формуле перехода находим: , аналогично .

Ответ:

ОДЗ

Пусть

Тогда

Отвеет: .

2.7. Методическая разработка урока по теме «Решение логарифмических уравнений»

План — конспект урока по теме:

«Решение логарифмических уравнений»

Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: развить память, внимание, умение работать самостоятельно;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Педагогические технологии: информационно-коммуникационные, коллективная система обучения – вариационная пара.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

I. Организационный момент.

Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию. Объявление темы.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории :

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

2. Работа по карточкам :

Вычислить:

3. Фронтальный опрос класса (сопровождается слайдами презентации)

ЕГЭ 2009. Математика. Справочник / А. М. Титаренко, И.

В. Третьяк, Т. М. Виноградова. – М: Эксмо, 2018. – 448 с.

3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2014.

4. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2013. – 143 с.

5. Система тренировочных задач и упражнений по математике./ Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. – М.:Просвещение, 2015. – 208 с.

6. Мордковича А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: задачник /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.-М.: Мнемозина, 2017. – 315 с.

7. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др., 2012. – 464 с.

8. ЕГЭ – 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией А.В. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2015. – 192 с.

9. Алгебраический тренажер: пособие для школьников и абитуриентов/ под редакцией Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

– М.: Илекса, 2017. – 320 с.

10. Математика. Репетитор. ЕГЭ-2009. Авторы: В.В.Кочагин; М.Н.Кочагина. — М.: Эксмо, 2019. – 272 с.

11. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие/ Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2018. – 352 с.

12. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие/ И.Ф. Шарыгин. М.: Дрофа, 2016. – 479 с.

13. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 2017. – 416 с.

Фрагмент методического пособия «Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы «Логарифмические уравнения».
методическая разработка по математике на тему

Анализ стандартов среднего (полного) общего образования по математике базового и профильного уровней

Сравнивая стандарты базового и профильного уровней, следует отметить, что различия содержания, обязательного минимума основных образовательных программ, обязательных умений учащихся обусловлены различием целей базового и профильного уровня обучения математике.

Цели изучения математики на базовом уровне предполагают формирование представлений о математике как универсальном языке науки и лишь об общих идеях и методах математики; развитие логического мышления и пространственного воображения лишь на уровне необходимом для будущей профессиональной деятельности и дальнейшего обучения, не ставится цель развития математического мышления, творческих способностей и самостоятельной деятельности в области математики; овладение математическими знаниями, не требующее углубленной математической подготовки; понимание математики, как части общечеловеческой культуры.

Скачать:

Вложение	Размер
fragment_metodicheskogo_posobiya_po_algebre_pri_izuchenii_temy_logarifmicheskie_uravneniya.doc	287 КБ

Предварительный просмотр:

Фрагмент методического пособия «Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы «Логарифмические уравнения».

Анализ стандартов среднего (полного) общего образования по математике базового и профильного уровней

Изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:

Формирование представлений об идеях и методиках математики, о математике, как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

Овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;
Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности;
Воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Обязательный минимум содержания основных образовательных программ профессионального уровня при изучении логарифмических уравнений:

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число e .

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

Решение логарифмических уравнений и неравенств и их систем.

Требования к подготовке школьников, изучающих математику по программе базового уровня, не предусматривают детального изучения логарифмических уравнений; от учащихся требуется умение решения простейших логарифмических уравнений, в большинстве случаев без глубокого анализа полученного ответа.

Требования к изучению математики на профильном уровне предусматривают умения:

решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

доказывать несложные неравенства;

решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

В целом, содержание материала темы «Логарифмические уравнения» на базовом и профильном уровнях остается практически одинаковым, однако глубина изучения материала на этих уровнях существенно различается.

Какой учебник выбрать для изучения темы «Логарифмические уравнения»?

Чем дольше работаешь, тем ответственнее относишься к выбору учебного материала. На курсах, опытные преподаватели всегда ссылаются на разные источники информации, а ты с уважением относишься к мнению таких специалистов, потому, что понимаешь – Учитель учится всегда! Работая по разным учебникам, обращаешь внимание на изложение материала. Где-то теоретический материал изложен лучше, понятнее, где-то практический – разнообразнее, интереснее. В зависимости от уровня подготовки класса, и при наличии дополнительных учебных часов вносишь коррективы в учебное планирование.

Рассмотрим примеры распределения времени на изучение темы логарифмические уравнения:

Выполним сравнительный анализ содержания школьных учебников по математике.

Логико-дидактический анализ представляет последовательность действий: определение цели обучения теме; логический и математический анализ содержания темы (теоретического и задачного материала); постановка основных учебных задач и выбор соответствующих учебно-познавательных действий; отбор основных средств, методов и приёмов обучения; определение форм контроля и оценки процесса и результата учебной деятельности учащихся.

Логический анализ темы, прежде всего, сводится установлению логической организации учебного материала в ней с учётом специфики аксиоматического метода. Математический анализ сводится к выяснению основной математической идеи темы (ответ на вопрос, о чём в этой теме узнаем), к выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, к осмыслению применяемых в теме математических методов и приёмов. Результатом выполнения логико-математического анализа будет определение «ядерного» материала, логической строгости его изучения и математических методов и приёмов изучения этого материала. На основе логико-математического анализа теоретического материала темы выполняется анализ математических задач. Результатом анализа математических задач будет в каждой теме своя типология; основные задачи, которые необходимо решать в классе; методическое отношение к остальным задачам.

Проведём логико-математический анализ темы «Логарифмические уравнения» в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:

какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;
какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;
какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;
какие задачи приводятся в задачном материале пункта.

В рассматриваемых учебниках исследуемой теме отводится разное место. Так, в учебнике А.Н. Колмогорова тема «Логарифмические уравнения» изучается в десятом параграфе пункт 39 главы «Показательная и логарифмическая функции». В учебнике С.М. Никольского она изучается в шестом параграфе пункт 6.2 главы «Корни, степени, логарифмы». В учебнике Н.Я. Виленкина во втором параграфе пункты 3-4 главы «Показательная, логарифмическая и степенная функции». А в учебнике А.Г. Мордковича данная тема изучается в пятьдесят втором параграфе главы «Показательная и логарифмическая функции».

Проанализируем учебный материал.

В учебнике А.Н. Колмогорова тема «Логарифмические уравнения» объединена с логарифмическими неравенствами в пункте «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Сразу (без определения) даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что его решением является . Затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств.

В учебнике С.М. Никольского тема «Логарифмические уравнения» выделена отдельным пунктом. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:

«Пусть a — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. Тогда уравнение

называют простейшим логарифмическим уравнением «.

далее в параграфе рассматриваются различные примеры решения уравнений.

В учебнике Н.Я. Виленкина данная тема разбита на два пункта и рассматривается одновременно с логарифмическими неравенствами:

1. «Простейшие логарифмические уравнения и неравенства», где вводится понятие логарифмического уравнения, корня уравнения и рассматриваются простейшие примеры:

«Простейшим логарифмическим уравнением (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , . Так как равенство равносильно равенству , то получем:

Если , то корень уравнения равен «.

2. «Решение логарифмических уравнений и неравенств», где формулируется теорема:

Уравнение , где , , равносильно системе:

состоящей из уравнения и двух неравенств.

Даётся краткий алгоритм для решения логарифмических уравнений:

Для решения уравнения при , нужно:

1) решить уравнение f (x) =g (x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 ( или, то же самое, неравенству g (x) >0 ; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

Далее рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений, но в данном учебнике они более сложные.

В учебнике А.Г. Мордковича тема «Логарифмические уравнения» выделена отдельным пунктом. Понятие логарифмического уравнения дано следующим образом:

» Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

где a — положительное число, отличное от 1, и уравнения, водящиеся к этому».

Если и , то логарифмическое уравнение (где , ) равносильно уравнению .

Выделяются три основных метода решения логарифмических уравнений:

1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции (он был рассмотрен ранее при изучении свойств функции).

2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, изложенной в параграфе.

3) Метод введения новой переменной.

Все методы решения логарифмических уравнений рассмотрены в данном параграфе на примерах, или в предыдущих параграфах.

Задачный материал включает: простейшие логарифмические уравнения, а также более сложные, содержащие в подлогарифмическом выражении квадратный трёхчлен и иррациональность, содержащие в основании дробные числа, выражения с переменной и иррациональность, дробные логарифмические уравнения, уравнения, содержащие логарифм в степени, логарифмические неравенства и системы уравнений. В учебниках Колмогорова и Мордковича выделены обязательные задания и задания повышенного уровня. Профильное различие заключается в количестве практического материала и в сложности предлагаемых заданий.

Сравнительный анализ содержания школьных учебников показал, на наш взгляд, что для работы в классе с углубленным изучением математики, т.е. для естественно-математических классов, больше всего подходит учебник А. Г. Мордковича, для общеобразовательных классов учебники С.М. Никольского и Н. Я. Виленкина, для гуманитарных классов, в которых математика изучается по минимуму учебник А.Н. Колмогорова.

Специально разработанные учебники по математике для разных профилей не получили широкого распространения, поэтому при подготовке к уроку я пользуюсь несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Например, при подготовке к уроку математики в классе естественно-математического профиля использую одновременно учебники А.Г. Мордковича и С.М. Никольского, А.Н. Колмогорова и Ш.А. Алимова, что обусловлено полнотой содержания по данной теме и трудностью подобранного задачного материала. В этом состоит одна из проблем обучения математике в классах разного профиля.

Модульная карта изучения темы «Логарифмические уравнения»

1. Учебная цель: познакомить учащихся с логарифмическими уравнениями и способами их решения, научить решать логарифмические уравнения.

2. Блок информации: учебник

Урок 1. Решение логарифмических уравнений (с использованием модульного обучения и лекционного метода). Промежуточный контроль: Работа по карточкам, индивидуальная работа, самостоятельная работа, взаимоконтроль и взаимопомощь. Проверка домашних дифференцированных работ.

Урок 2. «Подготовка к контрольной работе». Взаимоконтроль, выставление рейтинговых оценок, самооценка.

Урок 3. Контрольная работа по теме: «Логарифмические уравнения». Промежуточный контроль: самоконтроль, взаимоконтроль, домашняя дифференцированная работа, контроль учащихся при выполнении заданий.

источники:

http://infourok.ru/kursovaya-rabota-na-temu-metodika-izucheniya-logarifmicheskih-uravnenij-i-neravenstv-5294347.html

http://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2018/02/24/fragment-metodicheskogo-posobiya-problema-obucheniya-matematike