Методика обучения решению уравнений учащихся
методическая разработка по алгебре
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
metodika_obucheniya_resheniyu_uravneniy.doc | 287.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Методика обучения решению уравнений учащихся
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство,промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений.
Проблема методики формирования умений решать уравнения является актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации деятельности учащихся. Важным является раскрытие процесса формирования умений и навыков решения уравнений.
Я хочу в своей работе рассмотреть вопросы связанные с изучением уравнений в курсе математики. Поэтому я перед собой поставила следующие цели и задачи.
1. Изучить психолого — педагогическую и методическую литературу, Касающуюся изучению уравнений. Проанализировать школьные учебники и выделить в них место уравнений.
2. Составить конспекты уроков обучения решения различных видов уравнений с использованием самостоятельной работы.
3. Разработать самостоятельных работ для учащихся по различным темам
Теоретические аспекты обучению уравнений
Из истории возникновения уравнений.
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических
действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных,полные квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е.. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
Отсюда х == 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = — 2
для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
Ясно, что, выбирая в качестве нtизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bх = с, а> 0. (1)
В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
|«Обезьянок резвых стая |А двенадцать по лианам |
|Всласть поевши, развлекалась |Стали прыгать, повисая |
|Их в квадрате часть восьмая |Сколько ж было обезьянок, |
|На поляне забавлялась |Ты скажи мне, в этой стае?» |
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 13 уравнение Бхаскара пишет под видом
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
x2 — б4х + 322 = -768 + 1024,
Квадратные уравнения у ал-Хорезми
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.
2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.
Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не
говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»
(подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе
Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный
характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.
Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже
XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.
Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:
a) уравнение как средство решения текстовых задач;
b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом
c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или
координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Каждое кз этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.
Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно
— методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой,
функциональной и другими линиями школьного курса математики.
Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.
В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.
б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование,
которые также должны быть раскрыты в линии уравнений
в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за
исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k – натуральное число, большее 1) и ax=b.
Связь линии уравнений с числовой линией двусторонняя. Приведенный пример показывает влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений. Например,
введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом. Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна изважнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем. С функциональной линией непосредственно связан также и небольшой круг вопросов школьного курса математики, относящихся к дифференциальным и функциональным уравнениям. Сама возможность возникновения дифференциального
уравнения кроется в наличии операции дифференцирования (может быть поставлен вопрос о нахождении для заданной функции ( другой функции F, такой, что F’ (x)=f (х)).
Однако сама по себе возможность выделения дифференциальных уравнений в школьном курсе математики еще не следует из того факта, что имеются формальные основания для их рассмотрения. Как известно, теория дифференциальных уравнений обладает большой сложностью. В школьном обучении эта теория представлена лишь своими начальными частями, которые не образуют связного целого, а относятся к различным конкретным, по большей части прикладным вопросам.
По-видимому, понятие дифференциального уравнения допускает более широкое представление в школьном курсе. В настоящее время этот вопрос является открытой методической проблемой.
В отличие от дифференциальных, функциональные уравнения (неизвестным в которых, так же как и в дифференциальных, является функция) почти не представлены в школьном курсе математики. Единичные задания, связанные с этим классом уравнений, могут быть использованы при рассмотрении показательной функции, в связи с понятием обратной функции и др. В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений заключается прежде всего в возможности использования ее понятий для описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.
В школьной математике большую роль играет компонент, при
котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль
проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в известных нам учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу определения уравнения.
Еще один подход к определению понятия уравнения получается при
сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней уравнения — собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится
использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения.
Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина «множество».
Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.
В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Так,с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х)=b[х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное
При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное», который ближе, чем «переменная», связано с алгебраическим методом решения текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.
Равносильность и логическое следование.
Рассмотрим логические средства, используемые в процессе изучения уравнений и неравенств. Наиболее важным среди них является понятие равносильности.
Напомним, что уравнения называются равносильными, если выполнены условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны. Имеются два пути установления равносильности уравнений.
Первый: используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения х + 1=х + 2 и x2 + 1=x2 + 2 равносильны, потому что не имеют корней.
Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить
последовательный переход от одной записи к другой посредством
преобразований, не нарушающих равносильности.
Очевидно, что для большинства заданий второй путь более характерен. Это и понятно, ведь равносильность в теории уравнений как раз и используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения уравнений. Однако в преподавании ограничиваться им нецелесообразно, поскольку он относится только к практическому применению равносильности и требует первого для своего обоснования. Вместе с тем усвоение понятия равносильности как равносильности предикатов требует значительной культуры мышления и не может быть усвоено на начальных этапах изучения школьного
курса алгебры без специальных значительных усилий.
В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах значительные отличия.
В связи с рассматриваемым вопросом в изучении материала линии уравнений и неравенств можно выделить три основных этапа. Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное обоснование при рассмотрении конкретных примеров. По мере
накопления опыта индуктивные рассуждения все чаще заменяются такими, где равносильность фактически используется, но сам термин не употребляется. Длительность этого этапа может быть различной; она зависит от методических установок, принятых в данном учебном пособии.
На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и
сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, поскольку на нем происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких теоретических примерах.
На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Такой стиль характерен для курса алгебры и начал анализа, изучаемого в старших классах средней школы. Он применяется и в некоторых пособиях по алгебре для неполной средней школы.
Логическое следование начинает применяться значительно позже
равносильности и осваивается в качестве некоторого дополнения к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это, однако, не означает, что использование логического следования — вынужденная
мера. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.
Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения а -b= 0 к рассмотрению уравнения а=0). Такие переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения.
О классификации преобразований уравнений и их систем.
Можно выделить три основных типа таких преобразований:
1) Преобразование одной из частей уравнения.
2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.
3) Преобразование логической структуры.
Поясним эту классификацию.
Преобразования первого типа используются при необходимости упрощения выражения, входящего в запись решаемого уравнения. Например, решая уравнение cosx-tgx=l, можно пытаться заменить выражение в левой частиболее простым. В данном случае соответствующее преобразование приводит к
уравнению sin x= 1, неравносильному исходному за счет изменения области определения. Возможность получения при такой замене уравнения, неравносильного данному, приходится учитывать при изучении некоторых типов уравнений, например тригонометрических или логарифмических. В классе дробно- рациональных уравнений с этим явлением приходится сталкиваться гораздо реже. (Здесь это связано с возможностью потери корней при сокращении
дроби.) Наконец, в классе целых алгебраических уравнений рассматриваемый тип преобразований всегда приводит к уравнениям, равносильным данным.
Преобразование одной из частей уравнения используют раньше всех других преобразований уравнений, это происходит еще в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа. имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто.
Основой преобразований данного типа являются тождественные
преобразования. Поэтому классифицировать их можно в соответствии с классификацией тождественных преобразований, например раскрытие скобок, приведение подобных членов и т. д.
а) Случай, когда в системе имеется противоречивое уравнение (не имеющее решений):
№ 1. Ответ: .
Один из самых очевидных случаев: сразу можно заметить, что первое уравнение не имеет решений. Если же в правой части первого уравнения стояло бы неотрицательное число, то такая система имела бы решение. Немного усложнив данную систему, вместе со школьниками можно “придумать”, например, следующие не имеющие решений системы:
и т.д. Ответ: .
Обращаем внимание школьников на то, что каким бы в данном случае ни было второе уравнение системы, решений она иметь не будет (вспомним определение решения системы уравнений).
№ 2. Ответ: .
Первое уравнение системы имеет решения. В левой части второго уравнения сумма двух неотрицательных чисел, а в правой – отрицательное число. Противоречие. Отметим, что достаточно хотя бы одного противоречивого уравнения, чтобы дать ответ.
№ 3. Ответ: .
Несколько более замаскировано противоречивое уравнение. Здесь, чтобы его распознать, нужно увидеть во втором уравнении формулу квадрата разности. Далее аналогично номеру 1.
Задание школьникам: составьте еще системы, не имеющие решений.
№ 4. Ответ: .
Если сразу заметить или вспомнить, что дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю, то ответ очевиден. Если же заменить в условии ноль на ненулевое число, то решения системы могут появиться.
№ 5. Ответ: .
Результат деления отрицательного числа на отрицательное не может быть отрицательным, поэтому первое уравнение (а значит и система) не имеет решений.
б) Случай, когда в системе имеются неопределенные выражения (ОДЗ пусто):
№ 6. Ответ: .
В первом уравнении под знаком корня (радикала) стоит отрицательное выражение, значит, такого арифметического квадратного корня не существует ни при каких значениях x. Вспоминаем определение решения системы уравнений и делаем вывод о том, что система несовместна, т.е. не имеет решений. Таким образом, решение этой системы (и ряда других) нужно начинать с ОДЗ. Ведь если становится ясно, что ОДЗ пусто (как в данной системе), то и множество решений будет пусто.
Эта система не является системой рациональных уравнений, т.е. не входит в рассматриваемую тему, но она содержит принципиально важную идею, поэтому ее полезно дать и на данном этапе. К тому же это позволит повторить и закрепить определение системы рациональных уравнений. Определение и свойства арифметического квадратного корня восьмиклассникам уже известны.
Обсуждение: Как еще можно “построить” противоречивое уравнение? Какие ограничения на значения выражений могут быть? Из этой части урока делам вывод о том, что уравнение (а значит и соответствующая система уравнений) не имеет решений, когда:
а) не может выполняться равенство из-за тех или иных свойств:
ограничения по знаку: , , ,
дробь при ,
комбинации: , , при и и т.п.
б) какое-то входящее в него выражение не определено (т.е. не существует, не имеет смысла) (см. задание № 4):
не существует при ,
не существует при .
Здесь стоит провести параллель с заданиями, опирающимися на те же идеи. Это задания найти ОДЗ переменных в выражении, область определения функции (ООФ), множество значений функции (выражения).
в) Случай, когда в системе одно уравнение противоречит другому:
№ 7. Ответ: .
Один из самых явных случаев: видим, что левые части обоих уравнений совпадают, а правые – нет. Противоречие.
№ 8. Ответ: .
Если разделить второе уравнение на 4 и перенести все члены каждого уравнения в одну сторону, то станет видно, что уравнения противоречат друг другу.
Здесь логично возникает вопрос: а что делать, если не заметили сразу, что система несовместна? Ответ: решать ее известными методами. Ответ получится сам собой, если все делать верно и понимать про вырожденные уравнения (0=0, 4=0 и т.п.), при встрече с которыми многие школьники теряются, как показывает школьная практика. Поэтому для преодоления возможных затруднений здесь важно обратить внимание учащихся на то, что при решении любых уравнений или систем вопрос ставится всегда один и тот же: “При каких значениях неизвестной верно равенство?” или соответственно “При каких парах (тройках, четверках, …) переменных верны одновременно все равенства системы?”. Помня это, нетрудно понять, что если в ходе решения получилось что-то вроде 0=4, то решений у этого “уравнения” и у исходной системы нет; а если же получилось, например, 0=0 и нет других противоречий, то решений у системы бесконечно много.
Задание школьникам: придумайте еще несколько систем, не имеющих решений, таких чтобы при замене в ней одного числа или знака на другое решения у нее появлялись. Придуманные системы по парам занесите в таблицу:
Система, не имеющая решений | Система, имеющая решения |
Таким образом, результатом первичного анализа системы может быть один из трех важных выводов:
1) (–) система не имеет решений дальнейшее решение не нужно,
2) (+) система имеет решение (решения) нужно решать,
3) (?) система может иметь решения (а может и не иметь) нужно решать и помнить про сказанное выше.
После этой части урока вместе со школьниками делается вывод о том, что начинать решение системы нужно с ее анализа, т.к. если сразу удастся понять, что она не имеет решений, то не надо будет тратить время на решение, а сразу можно будет дать верный ответ. В этом присутствует и воспитательный эффект, касающийся важности предварительного анализа ситуации, объекта, явления.
На данном материале идет отработка важного навыка “всматривания” в систему и ее составные части – уравнения. Заметим, что тот же навык может отрабатываться и при решении уравнений (например, методом замены неизвестной). Он же пригодится и при решении систем, имеющих решение.
Стоит обратить внимание школьников на различные термины, употребляющиеся по отношению к уравнениям и системам, не имеющим решений (несовместным, противоречивым). Это важно для понимания математических задач и текстов, взятых из различных источников.
Для закрепления материала, в том числе терминологии, и проверки результатов этой части урока ученикам предлагается небольшое задание: заполнить следующую таблицу (в каждой ячейке проставьте знаки +, – или ? в зависимости от того, характеризует ли указанное в заголовке столбца данную систему). Столбцы таблицы: система | имеет решения | ответ: ? | не определено какое-то выражение | противоречива | несовместна | совместна.
2. Случай, когда одно из уравнений содержит лишь одну неизвестную.
№ 9. Ответ: и .
Очевидных противоречий в данной системе нет (в отличие от предыдущих). Можно заметить, что в первом уравнении системы присутствует только одна переменная (d), поэтому первое уравнение мы можем сразу решить. Его корни: -1 и 2. Подставляем эти значения по очереди во второе уравнение и находим другую неизвестную – z. Здесь вспоминаем, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными являются пары чисел.
При решении данной системы у школьников возникает разумный вопрос: “В каком порядке записывать в ответе числа, ведь здесь не x и y?”. Ответ: в алфавитном (как и в случае с x и y).
3. Случай, когда в явном виде имеется общее выражение в нескольких уравнениях, т.е. обобщенная подстановка, приводящая к ответу, уже подготовлена.
Вспоминаем стандартный метод подстановки, известный школьникам с 7-го класса. Отмечаем, что он работает в любых системах уравнений, не только в системах линейных уравнений.
Рассматриваем идею о том, что подставлять в другое уравнение можно не только переменную, но и некое выражение. Для этого должны иметься одинаковые выражения в нескольких уравнениях системы. В данном случае это так. Здесь же может возникнуть разумный вопрос: “Что делать, если одинаковых выражений в уравнениях нет?”
Таким образом, переходим к обобщенному методу подстановки и затрагиваем идею о выражении как обобщенной переменной (отсюда берет начало метод замены неизвестной, используемый при решении уравнений и систем.). В данной системе можно заменить на новую переменную z. Тогда система примет вид элементарной системы линейных уравнений. Анализ учебных пособий и методов решения систем уравнений показал, что очень широкий класс систем, предлагаемых в школьном курсе математики, решается с помощью обобщенного метода подстановки, который можно назвать центральным, главным методом. Попробуем этим методом решать все предлагаемые далее системы.
Тут два варианта проведения обобщенной подстановки: b 2 и b 2 + u 2 . Второй в данном случае удобнее, хотя чтобы его применить, исходную систему надо “подготовить”: разложить левую часть второго уравнения на множители. Первый требует больше алгебраических преобразований, следовательно, вероятность ошибок при решении возрастает. Таким образом, иногда подстановку придется подготовить (прежде чем выполнять).
Здесь начнем выявлять и фиксировать приемы, позволяющие выделять общие выражения в двух уравнениях. В данном примере – прием разложения на множители. Какие еще могут быть приемы? Их может быть очень много. Эту область можно назвать “творческой”, т.к. здесь нужно “изобрести” способ сделать так, чтобы появились одинаковые выражения, причем удобные для дальнейшего решения системы. “Творческая” область весьма обширна.
Здесь тоже два варианта выполнения подстановки. В указанном выше варианте используется другой прием – домножение обеих частей одного из уравнений системы на неизвестную. Тонкий момент: домножать на ноль нельзя . Но именно такова здесь ОДЗ!
4. Случай, когда в уравнениях нет подходящих общих выражений для подстановки, но они легко могут быть выделены.
На примере этой системы можно “изобрести” новый для 8-классников метод – метод почленного деления. Эта система решается методом деления и решается методом обобщенной подстановки, который в данном случае фактически дублирует в неявном виде метод деления.
№ 17.
Здесь сталкиваемся с тем, что решений у системы не конечное, а бесконечное количество. Как записать ответ в этом случае? У школьников часто возникают сложности в таких случаях.
5. Переход к методу сложения.
№ 18. . Ответ: .
Можно выполнить обобщенную подстановку (2 варианта подстановки), а можно сложить уравнения. Вспоминаем метод сложения (метод вычитания). Отметим, что метод сложения в данном случае фактически дублирует метод обобщенной подстановки, лишь немного упрощая выкладки.
Кстати, в данном случае на уровне обыкновенной логики можно было сразу сделать вывод, что решений у системы нет.
6. Случай, когда есть несколько вариантов подстановки.
№ 19.
Есть выбор: иметь дело с целыми числами (если подставлять r 2 ) или с дробными (если подставлять j 2 ). Удобнее и надежнее работать с целыми числами, поэтому лучше выбрать первый вариант, хотя к ответу приведут оба. Можно здесь сделать замену, но необходимости нет.
Можно ли к данной системе применить метод сложения? Сразу к исходной системе бессмысленно, т.к. обе неизвестные останутся. Но если домножить уравнения на подходящие числа, то сложение полученных уравнений может избавить от одной из неизвестных, что поможет решить систему. Получаем обобщенный метод сложения или метод уравнивания коэффициентов (в литературе называется по-разному).
7. Случай, когда удобна замена неизвестной
№ 20.
Нетрудно заметить одинаковые выражения в уравнениях, их замена на новые неизвестные позволит упростить систему. Приходим к методу замены неизвестной.
8. Система трех уравнений с тремя неизвестными.
№ 21. Ответ: и .
Обобщенный метод подстановки здесь по-прежнему работает, однако подстановку нужно будет выполнить несколько раз. А что если попробовать сложить все уравнения? Получится a = 1. Т.е. в данном случае метод сложения весьма удачен.
Из очередной части урока делаем вывод:
Обобщенный метод подстановки позволяет решить широкий спектр систем уравнений. Для решения этим методом нужно выделить подходящие общие выражения в нескольких уравнениях, выразить из какого-то уравнения одно из выражений через остальные переменные и подставить в другие равенства системы для того, чтобы свести систему к уравнению с одной неизвестной. При этом стандартный метод подстановки является частным случаем обобщенного, а методы сложения (вычитания), уравнивания коэффициентов, почленного деления, замены неизвестной являются “помощниками” обобщенного метода подстановки, позволяющими несколько упростить выкладки.
9. Дополнительные задания.
Рассуждаем далее: метод сложения, вычитания, деления был. А как же с методом умножения? Есть ли он? Полезен ли он? Да. Пример:
№ 22. подставляем.
Обобщенный метод подстановки здесь “напрашивается”, т.к. имеются общие выражения (x 2 y), но не помогает. Зато хорошо работает метод умножения одного уравнения системы на другое.
№ 23.
Из первого уравнения системы можно найти и x и y, однако это не пара, которая войдет в ответ.
Придумайте и нарисуйте схему, отражающую предлагаемый вами алгоритм решения произвольной системы уравнений с учетом всего рассмотренного и сказанного на уроках. Так чтобы если дается система уравнений и ваша схема, то, пользуясь последней как подсказкой, человек решил бы данную систему.
На следующих уроках – проверка этого задания, обсуждение предлагаемых схем и создание одной общей для класса схемы, отражающей всю полноту ориентировочной основы деятельности по анализу и решению данной системы уравнений. Дальнейшая работа будет направлена на организацию усвоения выявленной и зафиксированной совместно со школьниками схемы решения систем уравнений.
Методика изучения основных классов уравнений, неравенств и их систем
Методика изучения числовых систем в 5-6 классах
1. Представьте структуру и отношения между числовыми множествами в форме диаграмм Эйлера-Венна либо в виде классификационной схемы. Охарактеризуйте общую схему (этапы) изучения числовых систем (см. например, учебники /5/, /9, с.130/)
2. Проведите сравнительный анализ изучения числовых систем в 5-9 классах в различных школьных учебниках. Для этого необходимо:
- Понять авторскую позицию: проанализировать трактовку понятий (основные определения), содержание и последовательность изучения материала, авторское обоснование таких трактовок и последовательности (см. соответствующие книги для учителя по классам)
- Сравните авторские позиции (найдите общие подходы и различия)
- Оцените положительные и отрицательные стороны каждого подхода
Основные сведения занесите в таблицу:
Учебники Понятия, последовательность | Виленкин и др. 5,6 кл. | Дорофеев и др. 5-9 кл. | Шеврин Л.Н. и др. 5-6 кл. | Макарычев и др 7-9 кл. | Алимов и др. 7-9 кл. | Мордкович и др. 5-9 кл. |
1 основные определения конкретных видов чисел 2.последовательность изучения числовых множеств 3.особенности методики изложения (введения) понятий |
На основе проведенного анализа составьте математическую карту изучения числовых систем в современных школьных учебниках (см. Приложение 24 учебника Малова И.Е. и др. Система профессиональной подготовки учителя основной школы при изучении курса методики преподавания математики. Брянск, 1999 – есть ксерокс).
- Разделите группу на «авторские коллективы» (распределение авторских комплектов учебников производит староста группы), обсуждение вопроса 2 проведите в форме деловой игры «Какой учебник лучше?» на примере изучения десятичных дробей. Сделайте общий вывод.
- Методика изучения обыкновенных дробей и действий над ними в 5 классе.
- Методика изучения обыкновенных дробей и действий над ними в 6 классе.
1. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С. и др. Математика: 5 и 6 кл. — М.: Просвещение, последнее издание.
- Внеклассная работа по математике/ Под ред. С.И. Шварцбурда: Кн. Для учителя, М.: Просвещение, 1984
- Глейзер Г.И. История математики в школе (4-6 кл.). – М.: Просвещение, 1981.
- Математика, 5 и 6 кл. / Дорофеев Г.В. и др.- М.: Просвещение , последнее издание.
- Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987.Гл. 1.
- Методика преподавания математики в средней школе: частные методики / Под ред Колягина Ю.М.. – М, 1977
- Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск, 1986.
- Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе. — М, 1987.
- Малова И.Е. и др. Система профессиональной подготовки учителя основной школы при изучении курса методики преподавания математики. Брянск, 1999
- Математика: учебник-собеседник. 5 и 6 кл./ Шеврин Л.Н. и др. М.: Просвещение, последнее издание
- Учебники математики для 5-6 классов серии «Математика, психология, интеллект» Гельфман Э.Г. и др. (на кафедре методики обучения математике и физике, у лаборанта)
Методика изучения основных классов уравнений, неравенств и их систем
1. Проведите сравнительный логико-дидактический анализ понятий «уравнение» и «неравенство», их видов и систем в учебных пособиях, входящих в федеральный комплект, за 5-9 классы. Заполните по каждому учебнику для каждого понятия, с указанием класса, следующую таблицу (методическое задание 1):
Учебники Виленкин и др. Дорофеев и др. Макарычев и др. Алимов и др. Мордкович и др.
Понятия, методы 5,6 кл. 5-9 кл. 7-9 кл. 7-9 кл. 7-9 кл.
1. общее определение уравнения
2. определение конкретных
видов уравнений (неравенств) и их
3. методы (способы) решения
4. методы (приемы) преоб-
разования уравнений (неравенств)
5.особенности методики изложения
(введения) понятий, методов
При составлении таблицы проследите за развитием понятий уравнения и неравенства в 7-9 классах по сравнению с 5-6 классами: уточняются ли определения данных понятий, какие новые виды уравнений и неравенств появляются в 7-9 классах, какова математическая и логическая основа изложения новых видов уравнений и неравенств (использование новых понятий «переменная»,
«равносильность», «область допустимых значений» и др.), в чем состоит различие между уравнением первой степени и линейным уравнением и т.д. Используйте материал пособий /1, стр. 124 -135/, /2, стр. 124-133/, /3, стр. 209-213/
2. Дайте характеристику основных этапов изучения уравнений, неравенств и их систем /2, стр. 118-124/. Раскройте методику формирования обобщенного приема решения уравнений и неравенств с одним неизвестным алгебраическим способом /4, стр.82-85/. Разработайте фрагмент урока на введение и отработку соответствующих приемов и алгоритмов (методическое задание 2). Подберите соответствующую систему упражнений (см., например, /8,стр.176-180/)
3. Рассмотрите методическую схему изучения понятия системы уравнений с двумя уравнениями /1, стр 127-128/. Разработайте по аналогии методическую схему для изучения понятия квадратного уравнения, используя школьные учебники (методическое задание 3)
4. Постройте классификацию уравнений (неравенств) и их систем, изучаемых в основной школе. Объясните критерии, положенные в основу этой классификации.
1. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Сост. Мишин В.И.
3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. Под ред.Е.И.Лященко.
4. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике.
5. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи.
6. Петров В.А. К вопросу о равносильности уравнений // Математика в школе, 1991, № 3.
7. Алексеев Р.Б., Курляндчик Л.Д. Неравенства// Математика в школе, 1992, № 3
8. Из опыта преподавания математики в школе. Сост. А.Д.Семушин, С.Б.Суворова.
http://urok.1sept.ru/articles/556054
http://lektsii.org/6-76591.html