Исследовательская работа Методы решения уравнений и неравенств с параметром (стр. 1 )
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 |
Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка
Методы решения уравнений и неравенств с параметром
ученик 11 А класса МОАУ
Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9
Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17
Методы решения систем уравнений и неравенств. 22
Список используемой литературы.. 32
Введение
Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.
Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:
· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;
· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.
Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс».
Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Объект исследования: задачи с параметрами.
Цель данной работы:
— выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;
— решить уравнения с параметрами;
— углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. Показать способы решения уравнений с параметрами.
Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.
1. Подобрать и изучить литературу;
2. Решить подобранные задачи;
Параметр
Имеется несколько определений параметра:
— Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, , — «Толковый словарь математических терминов»).
— Переменныеa, b, c, …, k, которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры ( – «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).
Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром. Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром.
Уравнение вида ax2+bx+c=0, где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.
Контрольные значения параметра
Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.
Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:
— старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;
— знаменатели в дроби;
— дискриминант квадратного двучлена.
Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.
Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:
1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
3. Преобразовать уравнение-следствие к виду , где х — неизвестное, — действительные числа или функции от параметра.
4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:
а) ; б) .
5. Исключить те значения параметра, когда найденный корень (или ) обращает в нуль общий знаменатель; найти при этом значении параметра (или ).
6. Записать ответ.
При каких b корни уравнения х2-4bх+4b2– 1=0 лежат на промежутке от (1; 6)?
Выделим квадрат двучлена:
х=2b+1
Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1 0
х1==2b+1
Учебное пособие «Уравнения и неравенства с параметрами»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная
школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино
муниципального района Клявлинский
« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов
данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)
Авторы
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Ромаданова Ирина Владимировна
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Сербаева Ирина Алексеевна
Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9
Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15
Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17
Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…. 16-18
Задания для самостоятельной работы…………………………. 21-28
Уравнения и неравенства с параметрами.
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:
Выделить особое значение — это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.
Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.
Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.
Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.
Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.
§ 1. Линейные уравнения и неравенства.
Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра a является значение а = 0.
Если а ¹ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х=.
Если а = 0, то уравнение принимает вид : 0х= b . В этом случае значение
b = 0 является особым значением параметра b .
При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.
При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.
Неравенства вида ах > b и ax b ( а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток
(; +), если a > 0 , и (-;) , если а . Аналогично для неравенства
ах b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а
Пример 1. Решить уравнение ах = 5
Решение : Это линейное уравнение .
Если а = 0, то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.
Если а ¹ 0, х = — решение уравнения.
Ответ: при а ¹ 0, х=
при а = 0 решения нет.
Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.
Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)
ах + 3х = 2а +6
Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:
Если а= -3, то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3, уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.
Ответ: При а = -3, х R ; при а ¹ -3, х = 2.
Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?
Решение: Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение
2(а — 2) х = а 2 – 4а +4
2(а — 2) х = (а – 2) 2
При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.
При а ¹ 2 х =. По условию х > 1, то есть >1, а > 4.
Ответ: При а <2>U (4;∞).
Пример 4. Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.
Решение. ах = 8 – линейное уравнение.
а =,
y = a – семейство горизонтальных прямых;
y = — графиком является гипербола. Построим графики этих функций.
Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.
Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:
y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).
Построим графики этих функций.
Ответ:При|а|>1— один корень
при | а|≤1 – уравнение корней не имеет.
Решение : ах + 4 > 2х + а 2 (а – 2) х > а 2 – 4. Рассмотрим три случая.
а=2 . Неравенство 0 х > 0 решений не имеет.
а > 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х > а + 2
а (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х а + 2
Ответ. х > а + 2 при а > 2; х при а при а=2 решений нет.
§ 2. Квадратные уравнения и неравенства
Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:
1 ) дискриминанта квадратного уравнения: D = b ² — 4 ac , (²- ас)
2) формул корней квадратного уравнения: х 1 =, х 2 =,
(х 1,2 = )
Квадратными называются неравенства вида
Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).
Если дискриминант квадратного трехчлена a х 2 + b х + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R .
Если квадратный трехчлен имеет корни (х 1 2 ), то при а > 0 он положителен на множестве (-; х 2 )( х 2; +) и отрицателен на интервале
(х 1 ; х 2 ). Если а 1 ; х 2 ) и отрицателен при всех х (-; х 1 )( х 2; +).
Пример 1. Решить уравнение ах² — 2 (а – 1)х – 4 = 0.
Это квадратное уравнение
Решение: Особое значение а = 0.
При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.
При а ≠ 0. Найдем дискриминант.
Если а = -1, то D = 0 – один корень.
Найдем корень, подставив вместо а = -1.
-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.
Если а ≠ — 1 , то D >0 . По формуле корней получим: х=;
х 1 =2, х 2 = —.
Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и
а ≠ — 1 уравнение имеет два корня х 1 =2, х 2 =-.
Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а
y = х²-2х-8— графиком является парабола;
y =а— семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ: При а -9, уравнение имеет два решения.
Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х ?
Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если
, откуда следует, что a > 6 .
§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,
сводящиеся к линейным
Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.
В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1. Решить уравнение = 0
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2
При а = -2 корней нет.
Пример 2 . Решить уравнение— = (1)
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² — 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.
Найдем дискриминант = (1 – а)² — (а² — 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х 1 = а + 1, х 2 = а — 3.
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х 1+1=0, х 1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.
Если х 1+2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = — 3. Таким образом, при а = — 3, х1 — посторонний корень уравнения. (1).
Если х2+1=0, то есть (а – 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х2 — посторонний корень уравнения (1).
Если х2+2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,
х2 — посторонний корень уравнения (1).
В соответствии с этим при а = — 3 получаем х = — 3 – 3 = -6;
при а = — 2 х = -2 – 3= — 5;
при а = 1 х =1 + 1= 2;
при а = 2 х=2+1 = 3.
Можно записать ответ.
Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2, то х= -5; 3) если а= 0, то корней нет; 4) если а= 1, то х= 2; 5) если а=2, то х=3; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х1 = а + 1, х2 = а-3.
§4. Иррациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.
Уравнение вида = g ( x ) равносильно системе
Неравенство f ( x ) ≥ 0 следует из уравнения f ( x ) = g 2 ( x ).
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:
≤ g(x) ≥g(x)
Пример 1. Решите уравнение = х + 1 (3)
Это иррациональное уравнение
Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе .
При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.
При а≠ 2 х=. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1: ≥ — 1, ≥ 0,
откуда а ≤ или а > 2.
Ответ: При а≤, а > 2 х= , при уравнение решений не имеет.
Пример 2. Решить уравнение = а (приложение 4)
Решение. y =
y = а – семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Пример 3 . Решим неравенство (а+1)
Решение. О.Д.З. х ≤ 2. Если а+1 ≤0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то
(а+1)
откуда х (2- 2
Ответ. х (- ;2 при а ( —;-1, х (2- 2
при а ( -1;+).
§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:
Sinx = a x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)
Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, , n Z, ≤1. (2)
Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют .
tg x = a x= arctg a + πn, n Z, aR
ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, aR
Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:
1. sin x > a arcsin a + 2 πn Z,
при a xR ; при a ≥ 1, решений нет.
при а≤-1, решений нет; при а >1, xR
3. cos x > a — arccos a + 2 πn x arccos a + 2 πn , n Z ,
при а xR ; при a ≥ 1 , решений нет.
при а≤-1 , решений нет ; при a > 1, x R
5. tg x > a, arctg a + πnZ
Пример1. Найти а, при которых данное уравнение имеет решение:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Решение. Запишем уравнение в виде
Уравнение cosx = 5- а имеет решения при условии -1≤ 5- а ≤1 4≤ а ≤ 6, а уравнение cosx = — а-1 при условии -1≤ -1- а ≤ 1 -2 ≤ а ≤0.
Ответ. а -2; 0 4; 6
Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство + b > 0 выполняется при всех х ≠ πn , n Z .
Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а π /2 при а ≥0.
§ 6. Показательные уравнения и неравенства
1. Уравнение h ( x ) f ( x ) = h ( x ) g ( x ) при h ( x ) > 0 равносильно совокупности двух систем и
2. В частном случае ( h ( x )= a ) уравнение а f ( x ) = а g ( x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем
и
3. Уравнение а f ( x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению
f ( x )= log a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f ( a x ) > 0 при помощи замены переменной t = a x сводится к решению системы неравенств а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.
При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f ( x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.
Пример 1 . При каких а уравнение 8 х = имеет только положительные корни?
Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 8 х >1 >1 >0, откуда a (1,5;4).
Ответ. a (1,5;4).
Решение. Рассмотрим три случая:
1. а . Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых х R .
3. а > 0 . a 2 ∙2 x > a 2 x > x > — log 2 a
Ответ. х R при а > 0; решений нет при a =0; х (- log 2 a ; +) при а> 0 .
§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства
Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.
В частности, если а >0, а ≠1, то
log a g (x)= log a h(x)
2. Уравнение log a g (x)=b g (x)= a b ( а >0, a ≠ 1, g(x) >0).
3. Неравенство log f ( x ) g ( x ) ≤ log f ( x ) h ( x ) равносильно совокупности двух систем: и
Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то
log a f (x) ≤ b
log a f (x) > b
Пример 1. Решите уравнение
Решение. Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение
log х – 2 = 4 – log a x log х + log a x – 6 = 0, откуда log a x = — 3
х = а -3 и log a x = 2 х = а 2 . Условие х = а 4 а – 3 = а 4 или а 2 = а 4 не выполняется на ОДЗ.
Ответ: х = а -3 , х = а 2 при а ( 0; 1) (1; ).
Пример 2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение
2 log — + a = 0 имеет решения.
Решение. Выполним замену = t и получим квадратное уравнение 2 t 2 – t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8 a . Рассмотрим D ≥0, 1-8 а ≥0 а ≤.
При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.
Ответ. а =
Пример 3 . Решить неравенство log ( x 2 – 2 x + a ) > — 3
Решение. Решим систему неравенств
Корни квадратных трехчленов х 1,2 = 1 ± и х 3,4 = 1 ±.
Критические значения параметра : а = 1 и а = 9.
Пусть Х1 и Х2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда
Х 1 Х 2 = Х – решение исходного неравенства.
При 0 a 1 = (- ;1 — )( 1 + ; +), при а > 1 Х 1 = (-;+).
При 0 a 2 = (1 —; 1 +), при а ≥9 Х 2 – решений нет.
Рассмотрим три случая:
1. 0 a ≤1 Х = (1 —;1 — )(1 + ;1 +).
3. a ≥ 9 Х – решений нет.
Высокий уровень С1, С2
Пример 1. Найдите все значения р, при которых уравнение
р ∙ ctg 2 x + 2 sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.
Решение. Преобразуем уравнение
р ∙ ( — 1) + 2 sinx + p = 3, sinx = t , t , t 0.
— p + 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .
Пусть f ( y ) = 3 t 2 – 2 t 3 . Найдем множество значений функции f ( x ) на . у / = 6 t – 6 t 2 , 6 t — 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f (-1) = 5, f (1) = 1.
При t , E ( f ) = ,
При t , E ( f ) = , то есть при t , E ( f ) = .
Чтобы уравнение 3 t 2 – 2 t 3 = p ( следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно p E ( f ), то есть p .
Ответ. .
При каких значениях параметра а уравнение log (4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 имеет ровно один корень?
Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:
4 x 2 – 4 a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .
Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.
4∙ 0 2 — 4 a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
1) a 1 = 1. Тогда уравнение имеет вид: log (4 x 2 +4) =2. Решаем его
4 x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4 x 2 + 4 = х 4 + 4 x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.
2) a 2 = 3. Уравнение имеет вид: log (4 x 2 +4) =2 х = 0 – единственный корень.
Высокий уровень С4, С5
Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение
х 2 – ( р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7рх 2 + 2х 2 – 14 рх — 3х +21 р ≤ 0.
Решение. Пусть х 1, х 2 – целые корни уравнения х 2 – ( р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х 1 + х 2 = р + 3, х 1 ∙ х 2 = 1. Произведение двух целых чисел х 1 , х 2 может равняться единице только в двух случаях: х 1 = х 2 = 1 или х 1 = х 2 = — 1. Если х 1 = х 2 = 1, то р + 3 = 1+1 = 2 р = — 1; если х 1 = х 2 = — 1, то р + 3 = — 1 – 1 = — 2 р = — 5. Проверим являются ли корни уравнения х 2 – ( р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая р = — 1, х 1 = х 2 = 1 имеем
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ ( — 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ ( — 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = — 5, х1 = х2 = — 1 имеем ( — 1) 3 – 7 ∙ ( — 5) ∙ ( -1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ ( -5) × ( — 1) – 3 ∙ ( — 1) + 21∙ ( -5 ) = — 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = — 1 и р = — 5.
Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а, при которых число 1 принадлежит области определения функции
у = ( а — а ).
Решение. у = ( а — а ). Область определения данной функции составляют все значения х, для которых а — а ≥ 0.
Если значения х = 1 принадлежит области определения, то должно выполняться неравенство а— а ≥ 0, а≥ а (1)
Таким образом, необходимо найти все а > 0, удовлетворяющие неравенству (1).
1) а = 1 удовлетворяет неравенству (1).
2) При а > 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а ≥ а 2 +6,
а 2 — 5а + 4 ≤ 0. Решение этого неравенства: 1≤ а ≤ 4. Учитывая условие а >1, получим 1
а 2 — 5а + 4 ≥ 0. Его решение а ≤ 1; а ≥ 4 с учетом условия 0
Решение уравнений и неравенств с параметрами
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме
Методика решений уравнений и неравенств с параметрами. Можно использовать на факультативных занятиях и при подготовки к ЕГЭ (часть С).
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
reshenie_uravneniy_i_neravenstv_s_parametrami_metodicheskie_rekomendacii.docx | 305.48 КБ |
Предварительный просмотр:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОУ НПО профессиональное училище № 37
«РАЗРАБОТКА МЕТОДИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ РЕШЕНИЯ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ»
Мацук Галина Николаевна,
преподаватель математики ГОУ НПО
профессионального училища № 37 МО.
2. Цели, основные задачи, методы, технологии, требования к знаниям.
3. Методика решения квадратных уравнений с параметрами в общем виде.
4. Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
5. Параметр как равноправная переменная.
6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами в общем виде.
7. Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.
Основная задача обучения математике в профессиональном училище заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточной высокой математической культуры.
Профилированное обучение математике осуществляется через решение задач прикладного характера, связанных с профессиями по металлообработке, электромонтажным работам, деревообработке. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля общения, проявляющегося в определенных умственных навыках. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью. С их помощью можно проверить знания основных разделов элементарной математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской работы.
Обучение задачам с параметрами требует от обучающихся больших умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, коллективно-познавательный труд. Задачи с параметрами ориентированы для изучения во время обобщающего повторения на 2 курсе в период подготовки к итоговой государственной аттестации и на 3 курсе на дополнительных занятиях при подготовке обучающихся, изъявивших желание сдавать выпускные экзамены в форме ЕГЭ.
Основным направлением модернизации математического образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение ЕГЭ. В заданиях по математике в последние годы вводятся задачи с параметрами. Обязательны такие задания на вступительных экзаменах в вузы. Появление таких задач очень актуально, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления абитуриента. Анализ предыдущих результатов ЕГЭ за несколько предыдущих лет показывает, что выпускники с большим трудом решают такие задания, а многие даже не приступают к ним. Большинство либо вовсе не справляются с такими заданиями, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в проведении в выпускных группах при подготовке к экзаменам специальных тем по решению задач с параметрами и задач прикладного характера, связанных с профессиональной направленностью.
Изучение данных тем предназначено для обучающихся 3 курса, которые хотят научиться способам решения задач повышенного уровня сложности по алгебре и началам анализа. Решение таких задач вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.
В процессе решения задач с параметрами в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Так как в учебном плане в профессиональных училищах предусмотрено проведение консультаций по математике, которые имеются в расписании учебных занятий, то для обучающихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к изучаемому предмету, имеющих дальнейшей целью поступление в вуз, целесообразно использовать указанные часы для решения задач с параметрами для подготовки к олимпиадам, математическим конкурсам, различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Особенно актуально решение таких задач для прикладного и практического характера, которое поможет при проведении различных исследований.
2. Цели, основные задачи, методы, технологии, требования к знаниям.
- Формирование умений и навыков по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратных уравнений и неравенств.
- Формирование интереса к предмету, развитие математических способностей, подготовка к ЕГЭ.
- Расширение математических представлений о приемах и методах решения уравнений и неравенств.
- Развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности.
- Приобщение к творческой, исследовательской и познавательной деятельности.
- Обеспечение условий для самостоятельной творческой работы.
- Воспитание у обучающихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, активности, творческой инициативы, умений коллективно-познавательного труда.
Основные задачи проекта:
- Предоставить обучающимся возможность реализовать свой интерес к математике и индивидуальные возможности для его освоения.
- Способствовать усвоению фактических знаний и умений.
- Показать практическую значимость задач с параметрами в сфере прикладного исследования.
- Научить способам решения стандартных и нестандартных уравнений и неравенств.
- Углубить знания по математике, предусматривающие формирование устойчивого интереса к предмету.
- Выявить и развить математические способности обучающихся.
- Обеспечить подготовку к поступлению в вузы.
- Обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.
- Организовать исследовательскую и проектную деятельность, способствующую развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств.
Методы, используемые при проведении занятий:
- Лекция – для передачи теоретического материала, сопровождающаяся беседой с обучающимися.
- Семинары – для закрепления материла по обсуждению теории.
- Практикумы – для решения математических задач.
- Дискуссии – для аргументации вариантов своих решений.
- Различные формы групповой и индивидуальной деятельности.
- Исследовательская деятельность, которая организуется через: работу с дидактическим материалом, подготовку сообщений, защиту рефератов и творческих работ.
- Лекции – презентации с использованием компьютера и проектора.
- Лекционно-семинарская система обучения.
- Информационно-коммуникационные технологии.
- Исследовательский метод в обучении, направленный на развитие мыслительных способностей.
- Проблемное обучение, предусматривающую мотивацию к исследованию путем постановки проблемы, обсуждение различных вариантов проблемы.
- Технология деятельностного метода, помогающая вывить познавательные интересы обучающихся.
Требования к знаниям обучающихся.
В результате изучения различных способов решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами обучающиеся должны приобрести умения:
- Прочно усвоить понятие параметра в квадратном уравнении и квадратном неравенстве;
- Уметь решать квадратные уравнения с параметрами.
- Уметь решать квадратные неравенства с параметрами.
- Находить корни квадратичной функции.
- Строить графики квадратичных функций.
- Исследовать квадратичный трехчлен.
- Применять рациональные приемы тождественных преобразований.
- Использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.
- Уметь применять полученные знания при работе на персональном компьютере.
- Уроки – самооценки и оценки товарищей.
- Презентация учебных проектов.
- Тестирование.
- Рейтинг – таблица.
- Домашние задачи из сборников по ЕГЭ прошлых лет.
- Контрольные работы.
3. Методика решения квадратных уравнений с параметрами в общем виде.
Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего при решении уравнений и неравенств с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения и неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, сократить, вынести множитель за скобки и т.д. Встречаются задачи, которые можно разделить на два больших класса.
В первый класс можно отнести примеры, в которых надо решить уравнение или неравенство при всех возможных значениях параметра.
Ко второму классу отнесем примеры, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Класс таких задач неисчерпаем.
Наиболее понятный для обучающихся способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.
При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в обычной плоскости (х,у), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х,а), где х – независимая переменная, а «а» – параметр. Это прежде всего возможно в задаче, где приходится строить знакомые элементарные графики: прямые, параболы, окружности и т.д. Кроме того эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения.
При решении уравнений f (х,а) = 0 и неравенств f (х,а) › 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f (х,а), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А(а) х 2 + В(а) х + С(а) = 0 при А(а) = 0 превращается в линейное, если при этом В(а) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.
Вспомним основные формулы для работы с квадратными уравнениями.
Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х R – неизвестные, а, в, с – выражения, зависящие только от параметров, причем а ≠ 0, называется квадратным уравнением, а D = b 2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня
х 1 = , х 2 = , и тогда ах 2 + вх + с = а (х – х 1 ) (х – х 2 ).
Эти корни через коэффициенты уравнения связаны формулами Виета
Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня х 1 = х 2 = , и тогда ах 2 + вх + с = а (х – х 1 ) 2 . В этом случае говорят, что уравнение имеет одно решение.
Когда , т.е. = 2к, корни квадратного уравнения определяются по формуле х 1,2 = ,
Для решения приведенного квадратного уравнения х 2 + pх + q = 0
Используется формула х 1,2 = — , а также формулы Виета
Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых а, в, с – действительны.
Примеры. Решить уравнения:
При а ≠ — 1, х ≠ 2 получаем х 2 + 2ах – 3в + 4 = 0 и корни
х 1 = — а — , х 2 = -а + , существующие при
а 2 + 2а – 4 0, т.е. при
Теперь проверим, нет ли таких а, при которых либо х 1 , либо х 2 равен 2. Подставим в квадратное уравнение х = 2, при этом получим а = — 8.
Второй корень в таком случае равен (по теореме Виета) и при а = — 8 равен 14.
Ответ: при а = — 8 единственное решение х = 14;
Если а ( — ∞; — 8) (- 8; — 4) (1; + ∞) – два корня х 1 и х 2 ;
Если а = — единственное решение х = соответственно;
Если а ( — 4; 1), то х .
Иногда уравнения с дробными членами приводятся к квадратным. Рассмотрим следующее уравнение.
Решение: При а = 0 оно не имеет смысла, значение х должно удовлетворять условиям: х -1, х -2. Умножив все члены уравнения на а (х + 1) (х +2) 0,
Получим х 2 – 2(а – 1)х + а 2 – 2а – 3 = 0, равносильное данному. Его корни:
х 1 = а + 1, х 2 = — 3. Выделим из этих корней посторонние, т.е. те, которые равны – 1 и – 2:
х 1 = а + 1 = — 1, а = — 2, но при а = — 2 х 2 = — 5;
х 1 = а + 1 = — 2, а = — 3, но при а = — 3 х 2 = — 6;
х 2 = а — 3 = — 1, а = 2, но при а = 2 х 1 = 3;
х 2 = а — 3 = — 2, а = 1, но при а = 1 х 1 = 2.
Ответ: при а ≠ 0, а ≠ 2, , а ≠ — 3, , а ≠ 1 х 1 = а + 1, х 2 = а – 3;
при а = — 2 х = — 5; при а = — 3 х = — 6.
4.Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
Условия параметрических квадратных уравнений разнообразны. Например, нужно найти значение параметра при котором корни: положительны, отрицательны, имеют разные знаки, больше или меньше какого-либо числа и т.д. Для их решения следует использовать свойства корней квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Если D > 0, а > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с > 0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента в, а при с
Если D = 0, а > 0, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которого противоположен знаку коэффициента в.
Если D 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно установить свойства корней квадратного уравнения и для а
- Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.
- Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента в, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.
- Если в квадратном уравнении коэффициенты а и с имеют разные знаки, то оно имеет действительные корни.
- Если а > 0 и D = 0, то левая часть квадратного уравнения – есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то а > 0 и D = 0.
- Если все коэффициенты уравнения рациональны и дискриминант выражает полный квадрат, то корни уравнения рациональны.
- Если рассматривается расположение корней относительно нуля, то применяем теорему Виета.
Отбор корней квадратного трехчлена по условиям и расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой.
Пусть f (х) = ах 2 + вх + с, а 0, корни х 1 ˂ х 2 , ˂ .
http://infourok.ru/uchebnoe_posobie_uravneniya_i_neravenstva_s_parametrami-415388.htm
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2011/10/15/reshenie-uravneniy-i-neravenstv-s-parametrami