Методика обучения решению тригонометрических уравнений

Если строка в кавычках «. «, то найдутся страницы со словосочетанием в точно такой форме.

Если слова указаны через пробел или оператор «&», то найдутся страницы, содержащие все введенные слова в одном предложении.

Если указано несколько слов через оператор «|», то найдутся страницы, содержащие любое из введенных слов.

Если указано два слова через оператор «

», то найдутся страницы, содержащие первое, но не содержащие второе слово в одном предложении.

По вашему запросу ничего не найдено.

Убедитесь, что слова написаны без ошибок или попробуйте выбрать другие значения.

Методические рекомендации при изучении тригонометрических уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методика изучения тригонометрических уравнений

В данном параграфе раскроем специфику использования при решении тригонометрических уравнений трех общих методов решения уравнений:

метода разложения на множители;

метода введения новых переменных;

Рассмотрим довольно трудный, но принципиальный как с методической, так и с технической точек зрения вопрос об отборе корней в тригонометрических уравнениях. Выделим вкратце методические особенности решения систем тригонометрических уравнений.

2.1. Простейшие тригонометрические уравнения

Во всех учебниках А.Г.Мордковича из основных содержательно-методических линий в качестве приоритетной выбрана функционально-графическая линия. Это выражается прежде всего в том, что какой бы класс функций, уравнений, выражений ни изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме: функция – уравнения-преобразования.

По мнению А.Г.Мордковича целесообразнее сначала изучить «чистые модели» (таковыми в математике являются основные элементарные функции), а уж потом переходить к изучению «навороченных моделей» (таковыми в математике являются сложные выражения, которые надо упрощать, используя формульный аппарат). В тригонометрических уравнениях поступают примерно так же: сначала надо разобраться с «чистыми моделями», т.е. с простейшими тригонометрическими уравнениями и уравнениями, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов, и только потом переходить к «навороченным моделям», т.е. к уравнениям, которые надо сначала долго и упорно «раскручивать», используя рутинный аппарат формул. Обычная методическая ошибка в изучении тригонометрии в школе в последние годы заключается в следующем: школьникам не дают возможности разобраться со спецификой тригонометрических уравнений – простейших уравнений типа

А ведь в этих уравнениях заложено много новых дидактических компонентов, каждый из которых требует внимания, уважительного отношения, а значит, и времени. Вот эти компоненты.

До сих пор при решении уравнений школьникам встречался лишь случай конечного множества корней. Теперь же уравнение имеет бесконечно много корней. Надо это воспринять и прочувствовать.

Странная (для школьников) запись корней: то , то ; более того, само наличие параметра уже должно насторожить и учителя, и ученика. Мы же вместо осмысления ситуации заставляем детей просто писать каждый раз . Это, кстати, не соответствует четкости и организованности математиков, которые, как правило, о чем-то договариваются раз и навсегда и обычно соблюдают эту договоренность. Так вот, математики договорились, что в записи корней простейшего тригонометрического уравнения параметр всегда принимает любые целочисленные значения, и практически никогда этого явно не пишут ( за исключением особо ответственных случаев – на экзаменах или контрольных работах).

Требует специального внимания входящие в состав формул корней обратные тригонометрические функции – это тоже отдельный дидактический компонент.

Привыкнуть надо и к записи типа – это для учащихся далеко не просто.

Научив школьников решать уравнения вида , учитель может заметить, как тяжело им даются уравнения вида или .

Весьма трудным в методическом плане является вопрос об отборе корней в тригонометрических уравнениях. В основном, отбору корней учат только в конце изучения раздела, посвященного тригонометрическим уравнениям. Это – методическая ошибка. Учить отбору корней надо именно на простейших уравнениях, заложив соответствующие сюжеты в систему упражнений. Задачи, связанные с отбором корней, просто бесценны для осознания структуры формулы корней, для понимания роли параметра в этой формуле. При этом полезно показать школьникам оба известных приема: перебор по параметру и решение двойного неравенства.

Итак, в теме «Тригонометрические уравнения», которая предшествует изучению формул тригонометрии, предлагается изучать только то, что даст возможность школьникам почувствовать именно специфику тригонометрических уравнений. Перечень составляют: 1) простейшие уравнения – отыскание всех решений и нахождение корней, принадлежащих заданному промежутку; 2) уравнения, при решении которых используется метод введения новой переменной: однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям с помощью основного тригонометрического тождества, например (положив , получим ); 3) аналогичные тригонометрические неравенства.

2.2. Метод разложения на множители

Успешное применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений зависит от удачного выбора той или иной формулы из достаточно обширного списка формул тригонометрии. Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трем «законам»:

«увидел сумму – делай произведение» (речь идет о формулах для преобразований сумм в произведения);

«увидел произведение – делай сумму» (речь идет о формулах для преобразования произведений в суммы);

«увидел квадрат – понижай степень» (речь идет о формулах понижения степени).

Если мы не знаем, за что «зацепиться», с чего начать преобразование тригонометрического выражения, надо начинать с одного из этих «законов», и в большинстве случаев (по крайней мере, на школьном курсе) все пройдет удачно.

Пример 24. Решить уравнение

Решение. В левой части уравнения 4 раза и применяем 3 закон:

Теперь в левой части уравнения 2 раза применим 1 закон:

Остается рассмотреть три простых уравнения:

Из этих уравнений соответственно находим:

Можно заметить, что третья серия включает в себя первую целиком.

Метод введения новых переменных

Пример 25. Решить уравнение

Решение. Имеем последовательно:

Ни, ни за скобки вынести нельзя, значит, в этом однородном уравнении 3-й степени можно (без потери корней) осуществить почленное деление на , что приводит к уравнению

Значит, либо т.е. , либо, т.е. , либо , т.е.

Функционально-графический метод

Данный метод связан либо с построением графиков функций , либо с использованием каких-либо свойств этих функций. В тригонометрических уравнениях это выглядит достаточно красиво.

Пример 26. Решить уравнение

Решение. Так как , а на промежутке функция возрастает, то , т.е. . (2)

Значит, правая часть уравнения (1) должна быть положительной. Более того, поскольку , получаем

Сопоставляем неравенства (2) и (3), приходим к системе

Первое уравнение системы обращается в верное равенство только при . Поскольку это значение удовлетворяет и второму уравнению системы, то – единственный корень уравнения (1).

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Это довольно трудный в методическом отношении вопрос в школьных учебниках. В процессе решения тригонометрических уравнений могло быть допущено расширение области определения или мог быть использован метод возведения обеих частей уравнения в четную степень. Значит, могли появиться посторонние корни, поэтому из найденных решений нужно отобрать те, которые являются корнями заданного уравнения. Очень полезен как в дидактическом, так и в математическом плане сюжет: из корней данного тригонометрического уравнения отобрать те, которые принадлежат данному промежутку.

Пример 27. Найти корни заданного уравнения, принадлежащие заданному промежутку.

Решение. а) Осуществим «перебор по параметру».

Если , то , т.е. или

Если , то , т.е. или .

Оба этих значения больше, чем , т.е. не принадлежат заданному отрезку, тем более не принадлежат заданному отрезку те значения , которые получаются при .

Если , то , т.е. или ; из этих значений не принадлежит , а .

Если , то получаются точки левее, чем , т.е. не принадлежащие заданному отрезку.

б) в данном примере легче работать с долями числа . Имеем . Оценим значение . Заметим, что значит, т.е. Во всяком случае, . Осуществим «перебор по параметру».

Если , то . Из (1) следует, что

Если , то , значит, не принадлежит Тем более не подойдут те значения , которые получаются при а также при .

2.5. Системы тригонометрических уравнений

При решении систем тригонометрических уравнений применяются обычные приемы решения систем уравнений (подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных). Однако, есть два нюанса, которые рассмотрим на примере.

Пример 28. Решить систему уравнений

Решение. Заменив первое уравнений суммой, а второе – разностью обоих уравнений, получим систему, равносильную данной:

Из первого уравнения находим: . Из второго уравнения, если пользоваться общей формулой, получим: , но целесообразно при решении систем не применять общие формулы (типа ), а записывать решения с помощью числовой окружности. Получаем:

При решении систем тригонометрических уравнений существенным является принцип использования различных обозначений параметра в записи первого и второго уравнений системы. Другими словам, если в записи решения первого уравнения системы параметр обозначен буквой , то в записи решения второго уравнения системы эту букву в качестве параметра уже использовать нельзя.

Методика решения тригонометрических уравнений
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и прочее.

Основы тригонометрии, как и основы алгебры и начал анализа закладываются в школе. Тригонометрические функции начинают изучать в 8 классе на уроках геометрии и продолжают в 10-11 классах.

Скачать:

Вложение	Размер
metodika_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy.doc	895 КБ

Предварительный просмотр:

Методика решения тригонометрических уравнений

Учитель математики МОБУ СОШ № 19

МО КОреновский район

Выскребец Татьяна Владимировна

Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы попытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

13. Примеры для самостоятельного решения

Простейшие тригонометрические уравнения

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

Особо отметим некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
,
,
;
,
,
.
Каждая из функций и определена на отрезке [-1; 1] и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .
Функции и определены на всей числовой прямой и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .
При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным способом к одному или нескольким простейшим.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Исходное уравнение равносильно совокупности

Решением первого уравнения этой совокупности является семейство , а второго – семейство . Объединение этих двух множеств и есть решение уравнения(1). Эти решения можно для краткости записать в виде .
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Грубая ошибка, которую допускают при решении этого уравнения состоит в следующем: абитуриенты записывают решение , однако они не учитывают, что , следовательно, уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: Æ

Пример 3. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, получим

Далее многие абитуриенты для нахождения х возводят левую и правую часть уравнения (4) в квадрат, не учитывая, что , а это влечет за собой . Так как последнему неравенству удовлетворяют только , то

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

То всякое решение уравнения

Является решением совокупности уравнений

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции .
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество , уравнение представим в виде

Грубой ошибкой, которую часто допускают при решении, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на , так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Преобразуем правую часть уравнения (5) следующим образом

Затем перенесем все слагаемые в левую часть и получим

ОДЗ уравнения (6) являются все , за исключением . На данной ОДЗ уравнение (6) равносильно совокупности двух уравнений

Первое уравнение имеет решение , а второе . Однако ОДЗ принадлежат лишь , которые и являются решением исходного уравнения (5).
Ответ:

[свериться с ответом]

При всех значениях а решить уравнение

[свериться с ответом]

При всех значениях а решить уравнение

[свериться с ответом]

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество , осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения.
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Введем подстановку , тогда уравнение (2) примет вид

откуда . Так как , то корень не подходит. Следовательно,

[свериться с ответом]

Решение однородных уравнений.

где – действительные числа, называются однородными уравнениями степени относительно функций и .
К квадратичным уравнениям вида (1) приводятся уравнения вида

при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла

а также тождество

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений или не являются корнями уравнения (1), так как, если, например, , то из уравнения (1) следует, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на и ввести подстановку
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (3) является однородным уравнением первой степени. Разделив обе части на , получим равносильное уравнение . Откуда находим семейство , представляющее собой решение исходного уравнения (3).
Ответ: .

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (4) не является однородным, однако его можно преобразовать к однородному, если представить единицу следующим образом

Тогда уравнение (4) примет вид

которое равносильно совокупности трех уравнений

Решая их, найдем
Ответ:

[свериться с ответом]

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Разделим левую и правую часть уравнения (1) на :

то существует угол φ такой, что

Тогда уравнение (1) примет вид

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Разделим левую и правую часть уравнения на . Тогда получим

Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив получим
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Разделим левую часть на 2 и положим . Тогда уравнение (3) примет вид

Применив формулу , получим

[свериться с ответом]

При всех значениях а решить уравнение .

[свериться с ответом]

Решение уравнений с применением формул понижения степени.

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени

Решение.
Применив формулы и , приведем уравнение к виду

Далее осуществим ряд простых преобразований:

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

Решение первого из них есть , второго – , третьего –
Решением исходного уравнения является объединение полученных множеств.
Ответ: ; ;

Примеры для самостоятельного решения:

[свериться с ответом]

При всех значениях а и b решить уравнение .

[свериться с ответом]

При всех значениях а решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ: при Ø при

Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.

При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу (2), получим

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Откуда и
Ответ: ;

Решение.
Применив формулы понижения степени, уравнение (3) приведем к виду:

В соответствие с формулой (2), получаем равносильное уравнение

откуда имеем совокупность трех уравнений

Следовательно,
Объединив два последних множества решений, получим

[свериться с ответом]

При всех значениях a решить уравнение .

[свериться с ответом]

Решение уравнений методом универсальной подстановки.

Тригонометрическое уравнение вида

где R – рациональная функция, , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы корнями исходного уравнения.

Решение.
По условию задачи . Используем формулы (2) и заменим , тогда получим

откуда . Следовательно, .
Заметим, что в данном случае применение подстановки не сужает ОДЗ исходного уравнения.
Ответ:

[свериться с ответом]

Ответ:

[свериться с ответом]

Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.

Специфика тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня, состоит в том, что они сводятся к смешанным системам, где кроме уравнений нужно решать тригонометрические неравенства и из решений уравнений выбирать лишь те, которые удовлетворяют неравенствам.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и . Промежутку [-3;+∞) принадлежат и .
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и . Множеству (-∞;-3) принадлежат .
Ответ: ; ;

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Преобразуем уравнение (3) к виду

Так как , то уравнение (4) на ОДЗ равносильно совокупности двух систем

Уравнение из первой системы равносильно совокупности двух уравнений , а решением неравенства является множество . Из решений указанному множеству принадлежат .
Во второй системе совокупности (5) уравнение имеет решения , множеству (решение неравенства ) принадлежат , .
Ответ: ; , .

[свериться с ответом]

Найти все решения уравнения

[свериться с ответом]

Ответ: при при при

Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений.

При решении некоторых тригонометрических уравнений часто используется свойство ограниченности функций и , то есть следующие неравенства: , , .
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Проведем равносильные преобразования:

Так как , а , то ;
так как , а , то .
Сумма вдух неположительных слагаемых в (2) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Значит, уравнение (2) равносильно системе

Решением первой совокупности системы (3) являются углы , а решением второй — . Общими являются углы .
Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Используя прием, изложенный в примере 1, сведем уравнение (4) к равносильной системе:

Находя решение каждой совокупности системы (5), нетрудно установить, что общими будут углы .
Ответ:

[свериться с ответом]

При каких значениях a уравнение имеет единственное решение?

[свериться с ответом]

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.

Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x) , как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X , то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем , а функция g(x) ограничена снизу, причем , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении . Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. В этом параграфе также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений.
Пример 1. Решить уравнение

Преобразуем уравнение (1) к виду

Так как , а , то последнее уравнение равносильно системе

Второе уравнение системы (2) имеет единственный ко рень х=2, подставляя его в первое уравнение, убеждаемся, что он удовлетворяет ему. Следовательно, х=2 — корень системы (2), а значит, и уравнения (1).
Ответ: х=2

Пример 2. Решить уравнение

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, запишем исходное уравнение в равносильном виде

источники:

http://infourok.ru/metodicheskie-rekomendacii-pri-izuchenii-trigonometricheskih-uravneniy-1886973.html

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/07/01/metodika-resheniya-trigonometricheskikh-uravneniy

Методика обучения решению тригонометрических уравнений