Методика обучения решению задач способом составления уравнения

Решение задач методом составления уравнений. Методические рекомендации.

Наука и жизнь требует от школы не только сообщения определенных познавательных фактов своим воспитанникам, но и систематического ознакомления их с идеями и методами науки, передачи им интеллектуального опыта человечества. Очень важно научить обучаемых необходимым приемам рассуждений.

Просмотр содержимого документа
«Решение задач методом составления уравнений. Методические рекомендации.»

Решение задач методом составления уравнений

В методической литературе, в практике лучших учителей большое внимание уделяется воспитательной задаче обучения математике, формированию и развитию мышления обучающихся, выработке рациональных качеств мышления (порядка точности, краткости, схематичности).

Особое значение при этом приобретает выработка общих и специальных методов решения задач, формирование умений и навыков математической обработки различных фактов реальной жизни.

Наука и жизнь требует от школы не только сообщения определенных познавательных фактов своим воспитанникам, но и систематического ознакомления их с идеями и методами науки, передачи им интеллектуального опыта человечества. Очень важно научить обучаемых необходимым приемам рассуждений.

Важно не только сообщить учащимся сведения об этих приемах и методах, но и добиться того, чтобы приобретенные знания о методах обучающиеся знали и умело применяли. В современных учебниках и сборниках для учащихся недостаточно указаний, касающихся обще логических и специальных методов познания, применяемых в школе.

1.Идеи и принципы содержания и методики решения задач.

Обучение учащихся решению задач содержит в себе две важные составные части: выполнение подготовительных упражнений и решение текстовых задач.

В процессе обучения решению задач обучающиеся должны в известной мере овладевать основными идеями школьной математики, а именно:

соответствия, порядка, расположения;

доказуемости заключений относительно свойств пространственных форм и количественных соотношений в них;

применимости числа и меры к явлениям окружающегося мира.

Система работ по формированию у школьников умений и навыков выполнение подготовительных упражнений и решения задач должна строиться:

1.Гносеологический принцип познания- единство анализа и синтеза.

2. Методико-математические принципы: идейно-теоретическая направленность в обучении, особенно использование идей функциональной зависимости.

Овладение логическими и специальными методами познания, применяемыми при изучении математики в школе, особенно методами исследования различных процессов на основе учета всех возможных разновидностей данной ситуации, всех возможных соотношений между величинами, входящих в задачу.

Конструктивный подход к решению задач. Перспективный подход к решению задач, принцип обратной связи.

Повторяемость упражнений по спирали с постепенным усложнением, включением новых знаний в систему ранее приобретенных.

Самостоятельность выполнения упражнений, каждым учеником, внедрение элементов индивидуализации обучения детей в коллективе.

Самообучение и взаимное обучение в сотрудничестве.

Задачи школьной математики сводятся к небольшому числу зависимостей, которые приводят к нескольким типам уравнений.

Некоторые авторы указывают следующие виды уравнений, к которым сводится решение задач методом составления уравнений первой степени.

1-й тип задач. Задачи, приводящие к уравнениям вида f(x)= c.Например, ах+в=с.

Задачи этого типа тесно связаны с арифметическими задачами на зависимость между компонентами и результатами действий. Сюда относятся и задачи на деление с остатком.

2-й тип задач. Задачи, приводящие к уравнению вида: f(x)=g(x). Например, ах+в=сх+d.

Эти задачи алгебраического характера.

3-й тип задач. Задачи, приводящие к разностному и краткому сравнению величин путем сопоставления значений двух алгебраических выражений однородных величин. Решение таких задач приводит к уравнениям вида:

В некоторых пособиях третий тип рассматривают как варианты второго типа.

Задачи школьной математики, приводящие к квадратным уравнениям, в своей основе содержат комбинации двух линейных функций и их произведений, а также соотношения между функциями второй степени, аналогичные соотношениям, приведенным в трех типах задач для уравнений первой степени.

Функциональный подход к решению задач будет содействовать формированию у обучающихся умений и навыков в исследовании процессов реальной жизни, развитию их функционального мышления, способностей в анализе и синтезе, в индукции и дедукции. Без функционального подхода мы волей-неволей будем учить лишь решению отдельных задач, в итоге учащиеся из-за этих задач не увидят математики, ее идей и методов. Особое значение в развитии функционального мышления имеет составление таблиц, схем, графиков, диаграмм и формул.

2.Организация процесса обучения школьников при решении задач.

Рассматривая содержание и методику подготовительных упражнений, мы должны ответить на вопросы:

Какие упражнения следует выполнять?

Зачем их выполнять?

Когда их выполнять?

Как при этом будут работать дети, какие качества при этом у них будут воспитываться?

Что и зачем выполнять? Подготовительные упражнения можно разбить на две группы:

Система упражнений, не связанных с изучением текущего материала. Цель таких упражнений- систематическое повторение основных фактов и теоретических положений, уяснение логики и структуры изучаемой дисциплины.

Система упражнений, преследующих подготовку обучаемых к решению составных задач, с которыми обучающиеся ранее не встречались.

Эти два положения отвечают на первые два вопроса, что выполнять и зачем выполнять.

Важное значение для составления уравнения по условию задач имеют навыки и записи алгебраических выражений, равенств, неравенств с целью уяснений основных понятий и соотношений: равно, больше на столько-то, больше во столько-то, процент, отношение.

Для отработки этих понятий и соотношений между ними необходимы систематические упражнения в записи алгебраических выражений во всех классах основного общего образования. Существенно важно, чтобы упражнения носили не только абстрактный характер, но и характер практически реальных задач.

Полезно, чтобы каждый ученик приобрел умения и навыки записи под диктовку учителя алгебраических выражений, соответствующих сущности основных понятий, зависимостей и соотношений. Большое значение имеет запись формул, выражающих функциональную зависимость между величинами. Упражнения такого рода важны для уяснения учащимися сущности функциональной зависимости, аналитического выражения этой зависимости, развития функционального мышления.

Приведем упражнения, которые целесообразно давать систематически, повторяя их время от времени.

Скорость равномерного движения тела v, время движения t, путь s. Запишите формулы для определения s, v, t.

Цена товара К, количество m, стоимость c. Запишите формулы зависимости между c, m, К.

Производительность труда n, время работы t, объём выполненной работы А. Выразите зависимость между формулами для А, n и t.

Приняв объём работы за 1, запишите формулу зависимости между производительностью n, временем необходимым для выполнения этой работы, t и объёмом работы 1.

Мощность двигателя w, время работы t, работа А. Выразите зависимость формулами для А, w и t.

Расход горючего на 1км пути составляет n л/км, пробег машины s км, объём израсходованного горючего v л. Выразите зависимость формулами для v, s и n.

Резервуар объёмом V наполняется трубой за t ч, производительность трубы n л в час. Выразите зависимость между величинами V, n и t.

Вкладчик внес в кассу, а руб. по 3% годовых. Выразите его капитал через год формулой, обозначив этот капитал буквой А.

Вкладчик внес в банк, а руб. по р% годовых. Выразите его капитал через год обозначив этот капитал буквой К.

10.Выразите зависимость между массой m, объёмом V и плотностью d. Запишите выражения для каждой величины.

При делении 20 на 6 в частном получается 3 и в остатке 2. Свяжите все эти числа формулой. Выразите каждое число через другие.

Выразите формулой зависимость между делимым, а, делителем в, частным g и остатком r.Выразите каждое число через остальные.

Составьте эскизы известных фигур и запишите формулы для вычисления их площадей, обозначив стороны основания буквами, а и в, высоту буквой h, радиус r, площадь S с соответствующими индексами, например, площадь треугольника S3.

Запишите формулы для вычисления объёмов известных тел, составив предварительно эскизы и обозначив необходимые элементы.

Урожай с одного гектара a ц/га, площадь S га, вес урожая Р ц. Выразить зависимость между, а, S и Р формулой.

В отдельных упражнениях целесообразно указывать наименование величин.

Подготовительные упражнения полезно выполнять во всех разделах школьной математики в сочетании с изучением текущего материала.

Перед решением сложных задач полезны постепенно усложняющиеся упражнения, приводящие в конечном итоге рассматриваемому типу задач. Главным в этих упражнениях следует считать выявление закономерностей, установление функциональной зависимости, выражение этой зависимости формулой.

Рассмотрим несколько задач, при решении которых выявление закономерностей приводит к необходимому уравнению.

Задача. При выпечке ржаного хлеба припек составляет 0,3 массы взятой муки. Сколько муки нужно взять, чтобы получить 26 кг печеного хлеба?

В задаче очень важно установить функциональную зависимость между весом муки, весом печеного хлеба и припеком.

В этих целях полезно составить следующую таблицу, отражающую своеобразный эксперимент по составлению задач.

Во втором и последующих случаях результаты записываются на основании пропорциональности веса хлеба и муки.

В итоге проведенного исследования получается общая формула для решения прямой и обратной связи. Р_х=1,3*Р_{м ,} Р_м=Р_х/1,3

Она же дает возможность определить коэффициент пропорциональности и процент припека К из формулы Р_х=К* Р_х

Сам процесс решения таких задач способствует тому, чтобы учащиеся овладевали идеей функциональной зависимости между величинами, входящими в задачу, методами и техникой расчетов.

Можно высказать одно общее пожелание учителям: прежде чем приступить с учениками к решению составной задачи, целесообразно на уроке составить вместе с ними аналогичную задачу из основных простых, комбинируя и усложняя последние. Тот, кто научился хорошо строить, будет хорошо разбирать построенное без лишних потеть времени и сил.

Когда выполнять подготовительные упражнения?

Упражнения, не связанные с изучением текущего материала, направленные на усвоение основных фактов, идей и методов, целесообразно выполнять систематически с определенной повторяемостью, по спирали. Обогащая известное новыми фактами. Из опыта работы учителей установилось правило каждый вид основных упражнений повторять ежемесячно. Не следует стремится к тому, чтобы подобные упражнения выполнялись на каждом уроке, но и нецелесообразно делать чрезмерно длительные перерывы в их выполнении. В зависимости от содержания урока упражнениям отводится различное время. Если урок посвящен изучению нового материала, то повторительные упражнения можно отнести на конец урока. На уроках закрепления материала такие упражнения целесообразно давать в начале урока. В некоторых случаях подобные упражнения можно включать небольшими порциями в изложение материала урока.

Как выполнять упражнения? Как при этом будут работать дети?

Существуют различные способы и приёмы активизации выполнения упражнений каждым учеником.

Если учитель диктует условие и предлагает ученикам кратко в символической форме записать его, то при этом почти не бывает неработающих детей. Для учащихся фиксирование условия является своеобразным включением в работу. В этот период каждый из них мобилизует свои чувства и мышление на дальнейшую активную работу.

Например, учитель диктует: Найти число ,2/3 которого равны 12,6. После слов учителя «Найти число» дети пишут в своих тетрадях: х; после слов «2/3 которого» они пишут: х* 2/3; наконец, записывают: х*2/3=12,6

Таким образом, некоторая часть работы уже выполнена самостоятельно, остаётся ее продолжить. Хорошо известная истина- трудно начало дела. Когда начало положено, то дальнейшая работа уже совершается с определенным интересом. Поэтому после записи условия пример решают все обучающиеся.

Вместо диктанта полезно во многих случаях записывать условие задачи на доске в словесной форме. Учащиеся записывают его в символах в своих тетрадях и затем выполняют действия.

Во многих случаях условие может быть изображено учащимися с помощью чертежей и других иллюстраций. Например, пусть решается задача: Определить сторону квадрата, если с увеличением одной из его сторон на 2 см, а другой на 3 см. Площадь полученного прямоугольника будет на 21 см 2 больше, чем площадь квадрата. После слов «определить сторону квадрата» рисуют квадрат и пишут на его сторонах: х. После слов «с увеличением одной стороны на 2см, а другой на 3см» учащиеся чертят прямоугольник, на сторонах которого пишут «х+2 и х+3». Затем внутри фигур пишется формула для вычисления площади, и затем задача решается. Такой порядок решения задачи дает возможность учащимся ощутить и образно представить величины, входящие в задачу, и зависимость между этими величинами. После записи условия в краткой форме учащиеся выполняют задание устно, а в необходимых случаях письменно.

Таким образом, можно наметить следующую схему выполнения упражнений: Сообщение текста учителем, символическая запись учащимися условий, устное или полу письменное решение, запись ответа, проверка решения учителем, или взаимная проверка решения учащимися, или самостоятельная проверка решения.

При любом способе выполнения упражнения оно должно быть проверено самим учеником по контрольным ответам, записанным на доске, или учителем. Если упражнения даются с целью повторения и воспроизведения знаний, то полезно организовать взаимную проверку; если же учитель хочет выставить оценки за упражнения, то проверять должен сам.

Логико-психологические этапы решения задачи.

Правило решения задач.

Надежность деятельности ученика к решению задач обуславливается его умением выбора нужных операций, приводимых к получению нужного результата. Выбор операций, определяется структурой задачи, а также сформированностью приёмов умственной учебной деятельности обучающихся. Из этого вытекает необходимость расчленения задачи на составные элементы, отбор и составление этих элементов в ином плане, обеспечивающем активную работу учащимся. Из этого также вытекает необходимость разделения хода решения задачи на отдельные логико- психологические этапы, каждый из которых представляет собой определенную законченную часть решения задачи, дающую возможность осуществить операции следующего этапа.

В логико- психологическом плане такие этапы, содержащие определенные рекомендации, представляют собой программу деятельности учащихся, вызывающую соответствующие операции на уровне познавательных компетенции восприятия и мышления.

Без конкретной программы деятельности учащихся, без алгоритмов или общих указаний по поиску решения задач, по всей видимости, трудно организовать процесс обучения детей, ибо этот процесс имеет своими частями подражание и творчество.

В каждой задаче имеются явные и неявные данные и зависимости между величинами. Явные данные и зависимости психологически представляют собой сильные раздражители. Неявные данные, и особенно неявно выраженные зависимости, являются слабыми раздражителями, и поэтому дети в процессе решения задач часто не учитывают их, пропускают и как итог не справляются с решением задач.

Одна из важных задач учителя как раз и заключается в том, чтобы научить детей делать неявное явным, слабые раздражители сильными, научить детей выявлять и учитывать все данные и зависимости условия задачи.

Процессы реальной жизни характеризуются величинами, между которыми существуют определенные зависимости. Поэтому целесообразно научить детей начинать решение всякой задачи с установления процессов, описываемых в задаче, затем выявлять величины, характеризующие каждый процесс, уяснить функциональную зависимость между величинами. Все это представляет анализ задачи на функциональной основе, своеобразную теорию задачи.

Установление процессов, выявление величин и уяснение функциональной зависимости между величинами, входящими в задачу, поможет учащимся неявно выраженные данные и зависимости сделать явно выраженными, подготовить базу для решения задачи.

Выделим следующую схему и основанные на ней рекомендации.

этап. Анализ и собственная запись условия задачи. Анализ чертежа, если он необходим и построен. Сюда относятся: а) установление объекта наблюдения (исследования);

б) выделение процессов, подлежащих рассмотрению;

в) выявление величин, входящих в каждый процесс;

г) уяснение функциональной зависимости между величинами и составление формул этой зависимости;

д) схематическая запись условия задачи с обозначением неизвестных величин.

этап. Выявление оснований для составления уравнения или системы уравнений.

этап. Составление уравнения или системы уравнений.

этап. Решение уравнения или системы уравнений.

этап. Исследование корней уравнения (системы) с целью установлений решений задачи. Смысловой анализ решения задачи. Проверка расчетов и обоснований.

Анализ решения задачи. Рефлексия. Рассмотрение всех вариантов решения задачи. Выяснение возможности обобщения. Установление общих правил для решения подобных задач. Поиск более рациональных приемов решения задач.

Рассмотрим подробно каждый этап и рекомендации для учащихся при решении следующей задачи:

Автобус проходит расстояние АВ, равное 120 км, равномерно за определенное время. Через час после отправления из А, автобус был задержан у шлагбаума на 10 минут и, чтобы прибыть в пункт В по расписанию, должен был увеличить скорость на 6 км/ч. Найти первоначальную скорость.

Этап. Анализ и собственная запись условия задачи.

Математическое описание процесса заключается в установлении величин, характеризующих этот процесс, в выявлении закономерных связей между величинами, в записи формул, уравнений, или вычерчивании графиков, отражающих эти зависимости, в определении неизвестных различными способами.

Следующим шагом должно быть осознание структуры задачи, выявление неявных данных и зависимостей между величинами. Целесообразно, чтобы задача при этом была расчленена на составные части и записана каждым из учеников по-своему, но так, чтобы ничего не было упущено из ее условия.

Важно, чтобы при решении задачи явные и неявные ее данные были приведены во взаимодействие, чтобы ученики провести эксперимент с целью получения частных соотношений, на основе которых устанавливаются общие зависимости, закономерности, а затем различными способами выразить один и тот же факт.

По первому этапу целесообразно, чтобы ученикам были даны следующие рекомендации:

1) Уясните смысл текста задачи и значение каждого слова. Вспомните или прочитайте определение понятий, входящих в условие задачи.

2) Установите объект исследования (наблюдения).

3) Выявите процессы, описываемые в задаче. Заметьте сколько их, сколько раз придется вести наблюдение, сколько раз придется вести записи.

4) Укажите величины, характеризующие каждый процесс, обозначьте их и проставьте единицы измерения, уясните зависимость между величинами и запишите ее формулой. Если трудно написать формулу сразу в общем виде, запишите ее на частных примерах, а затем в общем виде.

5) Запишите условие задачи в понятной и доступной вам форме, для чего: выберите одну из неизвестных величин и обозначьте ее буквой, составьте для каждого процесса задачи алгебраические выражения. включая данные н неизвестные. Не забудьте о выбранных единицах измерения. Упростите выражения.

6) Расположите записанные алгебраические выражения в порядке, удобном для расчетов и сравнений, используйте при этом таблицу, график, рисунок или текстовое пояснение.

При решении приведенной выше задачи целесообразно составить графическую иллюстрацию условия задачи, на которую по мере анализа задачи следует нанести данные и неизвестные.

В тетрадях пишут:

s₁=x км t₂ = ч

Иллюстрация и дополнительные подрисовки (стрелки, знаки, символы и т.д.) содействуют более отчетливому представлению отношений между частями задачи, связей и нередко приводят непосредственно к желаемому результату.

Величины, характеризующие каждый вид движения (процесс): скорость v км/ч, время t ч, путь s =v t (учащимся со слабой успеваемостью целесообразно предложить записывать и производные формулы v=; t=).

Обучение учащихся 5-6 классов решению задач

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Обучение учащихся 5-6 классов решению задач методом составления уравнений (из опыта работы).

В программе по математике сказано, что раннее введение уравнений позволяет по-новому организовать обучение решению текстовых задач. На достаточно убедительных примерах раскрываются преимущества алгебраического способа перед арифметическим. Это значит, что нужно разумно сочетать арифметический способ решения задач с алгебраическими методам. Там, где задача легко решается арифметически, нет смысла прибегать к алгебраическому решению. Там же, где арифметические решения требуют искусственных приемов, основанных, по сути, дела на алгебраических преобразованиях. Целесообразнее применить алгебраические методы. Метод составления уравнений доступен учащимся 5-6 классов. Особенностью этого метода является постепенное введение и усложнение формального аппарата на основе широкого использования различных иллюстративно-наглядных средств.

Обучение решению задач путем составления уравнения — длительный процесс и включает в себя два наиболее важных звена: подготовительные упражнения, которые определяют успех в решении задач методом уравнений и решение текстовых задач.

Приступая к обучению детей решению задач методом составления уравнений, необходимо выяснить, какие подготовительные упражнения следует выполнить когда, как при этом работать будут дети, какие качества у них будут воспитываться.

Подготовительные упражнения я делю на две группы:

1 группа – система упражнений, применяемых с целью систематического повторения основных фактов и теоретических положений;

2 группа – система упражнений, преследующих подготовку учащихся к решению задач, с которыми ученики раннее не встречались.

К 1 группе отношу такие задачи:

Простейшие задачи на выполнение некоторого объёма работы. В них дается дневная производительность ( или часовая ), время выполнения работы и объём всей работы. Следует каждую из указанных величин выразить через две другие;

На нахождение стоимости товара;

Связанные с понятиями «на столько-то больше», «на столько-то меньше», «во столько-то раз больше», «во столько-то раз меньше»;

На нахождение суммы двух чисел, разности и др.

К 2 группе упражнение отношу усложненные упражнения, приводящие в конечном итоге к одному из указанных выше типов задач. Главное в упражнениях 2 группы – это выявление закономерностей, установление функциональной зависимости.

Упражнение 1 группы надо выполнять систематически с определенной повторяемостью, обогащая известное новыми фактами. Упражнения такого характера выполняются на различных этапах урока. Если урок посвящается изучению нового материала, то подготовительные упражнения относятся на конец урока. Если это урок закрепления, то подготовительный материал предлагается и в начале и в конце урока. Подготовительные упражнения предлагаются учащимся в форме диктанта, самостоятельной работы и др.

В своей практике обучение решению задач методом уравнений я начинаю с детального изучения учебника, знаний учащихся, тех задач, которые должные решать мои ученики. Предварительное знакомство с задачами дает возможность сгруппировать задачи, на вид уравнения, которое можно составить по условию задачи, все это, вместе взятое, позволяет произвести правильный отбор подготовительных упражнений, наметить методы и формы работы по этому материалу.

Большое значение имеет соблюдение преемственности в обучении 4 и 5 классов. В связи с этим работу надо начинать с изучения программ 1-4 классов и параллельно с посещения уроков чаще всего в 4 классе. При этом преследуются различные цели: знакомство с учащимися, изучение их знаний, умений и навыков;

Знакомство с объемом учебного материала, взятого учителем на урок, наблюдения, как дети с ним справляются, в каком темпе работают;

Важным результатом работы следует считать тот факт, что все учащиеся положительно относятся к учению, стремятся улучшить свои знания и навыки, в большинстве своем охотно выполняют индивидуальные задания, а нередко сами обращаются за дополнительными заданиями.

Успех учащихся во многом зависит от учителя: насколько учитель представляет себе знание ученика, какой метод преподавания применяет в своей практике. Об этом очень хорошо сказал Н.И.Лобачевский, что если учение математике, столь свойственное уму человеческому, остается для многих безуспешным, то это по справедливости должно приписать недостатком в искусстве и способе преподавания.

Знакомство и изучение методов работы учителя с классом непосредственно на уроке, в беседе с учителем после урока, путем просмотра тетрадей и т.д.

К началу учебного года мне удалось составить представление об учениках, которые придут в 5 класс. Стало возможным за сравнительно короткий срок определить проблемы в знаниях и умениях учащихся, особенности их учебных навыков. В результате проведенной работы было обращено внимание на повторение таких вопросов программы, как решение просты задач (на движение, на нахождение стоимости товара по данным задачи).

Проводя урок, учитель должен стремиться четко вести беседу с учащимися, добиваться активного участия всех учащихся при разборе задач и упражнений, разнообразить работу, используя наглядные пособия и дидактические игры. Надо с первых дней воспитывать у учащихся организованность, умение работать быстро и внимательно.

В 5 классе подготовка учащихся к решению задач методом составления уравнений началась уже с 1 сентября. На ряде уроков проводилось диагностирующие самостоятельные работы на 3-5 минут. Сразу проверялись самостоятельные работы, классифицировались ошибки и фиксировались пробелы в знаниях учащихся; им давались индивидуальные задания типа:

Найдите x , если:

От умения решать такие упражнения зависит успех каждого ребенка в дальнейшей его работе.

Другим очень важным этапом в курсе 5 класса является повторение решение задач действиями сложения, вычитания, умножения и деления, заданных в прямой и косвенной форме. Для примера привожу один из вариантов такой работы.

Цель: Проверка умения решать простые задачи на умножение и деление в прямой и косвенной форме.

Ученик купил 16 цветных карандашей по 2 р. за каждый. Сколько рублей ученик заплатил за покупку?

На лошади туристы ехали со скоростью 9 км/ч, а на поезде в 7 раз быстрее. С какой скоростью ехали туристы на поезде?

На машине турист проехал 36 км, что в 6 раз меньше того расстояния, которое он прошел пешком. Сколько км. Прошел турист пешком?

Сталь тяжелее алюминия в 3 раза. Стальная деталь массой 3 кг.330гр. Какую массу имела ба такая же деталь из алюминия?

Результаты этой работы показали, что многие среднеуспевающие и особенно слабые учащиеся затрудняются в решение задач в косвенной форме. В последующее работе учитывали выявленные затруднения детей, слабым учащимся иногда на уроке давали карточки с текстом задач, например:

В красном альбоме наклеена 24 почтовые марки, что в 3 раза меньше числа марок, наклеенных в синем альбоме. Сколько марок в синем альбоме?

Старший брат прочитал за год 36 книг, или в 3 раза больше, чем младший брат. Сколько книг прочитал младший брат.

Фабрика сшила 69 женских платьев, что в 3 раза меньше, чем детских. Сколько детских платьев сшила фабрика

После знакомства учащихся 5-го класса с темой «Выражение с переменной» очень часто на уроках предлагалось решить устно такие упражнения

Одно число а , другое на 7 больше. Найдите другое число.

Одно число к , другое в 3 раза больше. Найдите второе число.

На одной полке 32 книги, на другой на n книге больше. Сколько книг на второй полке? Сколько книг на двух полках вме

В первый день ученик прочитал, а страниц книги, во второй день на 14 страниц больше. Чем в первый, а в третий день в 2 раза больше, чем в первый день. Сколько страниц прочитал ученик во второй день, в третий день? За три дня вместе?

Подобных задач и упражнений много в самом учебнике математики для 5 класса. Очень многие из них мы решали на уроке устно. Многие ребята затруднялись в их выполнении. На помощь им приходила графическая иллюстрация (схема).

Описанная работа проводилась в конце учебного года в 5 и 6 классах. Система упражнений подготовительная, потому она еще не могла обеспечить полностью умение решать задачи методом уравнений, но подготовила к этому большинству учащихся. Сам процесс решения задач методом уравнений начинается с применения схемы весов с разновесками и различным предметами взвешивания. После 2 урока решения задач таким способом приступаем к решению таких задач: «Я задумала число. Прибавила к нему (отняла от него) 17, получила 37. Какое число задумала?» учащихся было сказано, что задуманное число можно обозначить переменной и получить по условию задачи уравнение. И только после этого предлагались текстовые задачи из учебника. На первых урока очень слабым учащимся приходилось помогать в обозначении неизвестного числа с помощью переменной, показывать по схеме весов, но потом ребята научились вводить переменную почти без ошибок.

При обучении решения задач важно, чтобы учащиеся твердо усвоили условия задачи, с этой целью целесообразно применять различные формы записи условия задачи, надо добавиться сознательного выбора величины, принимаемой за переменную, составление уравнения, решении я задачи, включая и запись ответа.

После решения уравнения и задачи выполняется проверка решения задачи устно, затем записывается ответ на поставленный вопрос задачи. Запись ответа – важный момент в решении задачи. Нередко учащиеся дают ответ по записи решения уравнения, а не по тексту задачи. Во избежание таких недоразумений необходимо приучать учащихся для записи ответа снова читать вопрос задачи, затем выбрать для ответа из своего решения числа, соответствующие вопросу задачи.

На решение задач методом составления уравнения в 5 классе времени отводится мало. Причем многие задачи можно решать и арифметическим способом. Можно показать и этот способ, с тем, чтобы ребята сопоставили оба метода, почувствовали простоту решения задачи методом составления уравнений и там, где можно, его применяли. С целью экономии времени уже в 5 классе записи решения многих задач оформляются очень кратко: записывается величина, которая принята за переменную, и уравнения. Промежуточные выкладки при решении уравнения по возможности выполняются устно, сама задача, где это, возможно, решается устно, и записываются только результатом устных вычислений. Такое оформления решения задачи позволяет решить за урок большое число задач

Главным в таких задачах является сам процесс составления уравнения и этому на уроках уделяется много внимания. Часто предлагают задачи для устного составления уравнений.

В 5 классе особое внимание уделяется тщательной отработке задач, решаемых методом уравнений, так как в 6 классе они в основном сосредоточены в разделе домашних заданий.

Программа ставит перед учителем задачу активного обучения учащихся на каждом этапе урока, поэтому проверка домашнего задания должна носить обучающий характер. При проверке домашнего задания с этой целью часто предлагается рассмотреть деформированную домашнюю задачу, что явилось подготовкой к выполнению контрольной работы.

Практика показала, что там, где не проводились устные подготовительные упражнения, с контрольной работой справились плохо. Если проводимой работы было недостаточно, помимо упражнений, решаемых в классе устно, учащихся предлагались задачи, подобные тем, которые давались в домашних и контрольных работах. Составляю и сейчас целую серию задач и даю учащимся решать на уроке, после уроков. Некоторые наборы задач даны в приложении.

Очень важным этапом в обучении решению задач является подготовка учащихся к восприятию решения задачи. Например, дается такая задача: Эту задачу можно решить двумя способами, каждый раз составляя уравнение:

1-й способ. Пусть длина второго куска x м, тогда длина первого куска электропровода x +64 м

2-й способ основан на зависимости между компонентами действия вычитания. Пусть во втором куске осталось x м провода, тогда в первом куске 3 x м.

Школьная программа ставит перед учителем задачу: научить учащихся решать задачи различным способами, показать преимущество одного способа перед другим, широко использовать теоретический материал при решении задач, дать рациональные приемы решения задач, развивая мышление учащихся. Для того чтобы навести учащихся на поиски второго способа, использую такие подготовительные упражнения

20-14=6. Что означает это запись? Среди ответов будет и такой (20 больше 14 на 6). Как называется числа 20,14,6? Как изменится разность между числами, если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить на 2 единицы? На 3 единицы?

В одной пачке 50 тетрадей в клеточку, а в другой 27. В какой пачке тетрадей больше и на сколько, если из каждой взять по 20 тетрадей? Почему разность не изменится?

Эти упражнения решать устно, а затем по условию задачи предложить вопросы:

Какой кусок электропровода больше и на сколько? Каким действием можно показать разницу в длине кусков? (вычитанием)

Как изменится разность длины кусков провода, если от каждого отрезать по 18 м? (Первый будет все равно больше второго на 64 м.) почему?

Надо навести учащихся на мысль о том, что в этом случае можно обозначить переменной длину остатков провода в кусках.

Во втором случае более простое уравнения. Его решение тоже очень простое, к тому же на примере этой задачи можно повторить теоретический материал, изученный в 5 классе.

Описанный прием работы позволяет выполнить главную цель программы – развивать мышление учащихся, формировать навыки.

При разборе той или иной задачи ученики предупреждаются, что на следующем уроке будет проверено умение её решать, или сообщается, что после разбора задача будет предложена для самостоятельного решения в классе.

Такая постановка работы способствует активизации учащихся, мобилизации их внимания и повышению ответственности за работу на уроке.

Важным результатом работы следует считать тот факт, что все учащиеся положительно относятся к учению, стремятся улучшить свои знания и навыки, в большинстве своем охотно выполняют индивидуальные задания, а нередко сами обращаются за дополнительными заданиями.

Успех учащихся во многом зависит от учителя: насколько учитель представляет себе знание ученика, какой метод преподавания применят в своей практике. Об этом очень хорошо сказал Н.И. Лобачевский, что если учение математике, столь свойственно уму человеческому, остается для многих безуспешных, то это по справедливости должно приписать недостатком в искусстве и способе преподавания.

Две бригады, работая вместе, заготовили 1200 т сена за 16 дней. Сколько тонн сена заготовили каждая бригада в день, если известно, что вторая бригада заготовила в один лень на 5 т меньше, чем первая бригада?

Одна бригада заготавливала за один день на 5т сена больше, чем другая. Сколько тонн сена заготавливали, в день две бригады вместе, если вторая за 7 дней работы заготовила на115 т сена меньше, чем первая.

В трех поселках 4500 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей в каждом поселке?

Три класса посадили на школьном участке 65 деревьев, 2-й класс посадил на 10 деревьев больше, чем 3-й класс и вдвое больше, чем 1-й класс. Сколько деревьев посадил каждый класс отдельно.

На заводе трех цехах работают 1200 человек. В 1 цехе вдвое больше рабочих, чем во II цехе, а в III на 400 человек больше, чем в 1 цехе. Сколько рабочих в каждом цехе?

Электропоезд имеет в своем составе цистерны платформы и товарные вагоны. Цистерн был на 4 меньше, чем платформа, и на 8 меньше, чем товарных вагонов. Сколько было в составе поезда отдельно цистерн, платформ и товарных вагонов, если общее число их равно 60?

На пришкольном участке было собрано 1800кг картофеля, свеклы и капусты вместе. Картофеля собрали в 5 раз больше, чем свеклы, а капусты 120кг больше, чем свеклы. Сколько килограмм овощей каждой культуры было собрано?

Три бригады трактористов вспахали вместе 720 га. 1 бригада вспахала 60 га больше, чем II , и на 60 га меньше чем III . Сколько гектаров вспахала каждая бригада отдельно

Для подготовки к контрольной работе .

От пункта А до пункта B туристы ехали на автобусе 2,5 ч, а обратный путь они проехали поездом за 3,5 ч. Найти сколько поезда, если она была на 16км/ч

Меньше скорости автобуса. Найти расстояние между пунктами.

Расстояние от села до города пешеход прошел за 2,5 ч, обратный пусть он проехал на мотоцикле за 2,25 ч. Скорость, с которой двигался пешеход от села до города, на 36 км/ч меньше скорости движения на мотоцикле. Сколько перехода и расстояние от села до города?

За 5 м поплина уплатили сколько же, сколько за 6 м сатина. Один метр сатина на 0,3 руб. дешевле 1 м поплина. сколько стоят 6 м сатина?

Токарь за 4 ч работы изготовил столько же деталей, сколько его ученик за 5 ч, причем токарь изготавливал в час 3 деталей больше ученика. Сколько деталей в час изготавливал ученик и сколько всего деталей изготовил токарь?

ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩЕГО ПРИЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ
методическая разработка по алгебре по теме

ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩЕГО ПРИЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩЕГО ПРИЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ

Выполнила: учитель математики средней общеобразовательной школы г. Андреаполя Тверской области Кузьмичева Маргарита Степановна

ЦЕЛЬ: формирование общих приемов решения задач методом составления уравнения

1. Выделить содержание обобщенного приема решения задач методом составления уравнения.
2. Запланировать качество усвоения обобщенного приема и соответствующих знаний
3. Подобрать учебные задания для обработки данного метода и установить последовательность этих заданий
4. Обеспечить поэтапную отработку данного метода с целью перенесения его в умственный план.
5. Запланировать формы контроля за действиями на всех этапах его выполнения

Используемые в ходе работы дидактические принципы:

• актуальность;
• доступность;
• систематичность;
• практическая направленность;
• сознательность

Противоречия в педагогической деятельности:

При традиционной методике математические задачи рассматриваются с целью формирования умений, которым предшествуют теоретические объяснения, т. е. рассматривается только обучающий аспект решению задач не обеспечивает формирования у учащихся общих умений и способностей в решении задач.

Для разыскания истины вещей необходим метод.

Р. Декарт Введение. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач. Если внимательно проанализировать содержание школьного курса математики, то можно увидеть, что он в основном состоит из теоретического обоснования решения различных типов задач. Поэтому естественно, что решению задач уделяется огромное внимание и значительное учебное время. За годы обучения в школе, каждый ученик решает более 10 тыс. различных задач. Проблема задач была проблемой исследования в дидактике, психологии, методике. В психолого- педагогической литературе широко обсуждаются различные аспекты использования задач в процессе обучения. В ней раскрываются вопросы: 1 ) сущности содержания обучения понятия «задача», « проблема», «условия задачи», «условие проблемы»;

1. задач как целей и средств обучения;
2. классификация задач;
3. функции задач в обучении;
4. построение системы задач;
5. индивидуализация в обучении;
6. процесса решения задач;
7. теории педагогических задач и теории учебника;
8. совершенствование методики работы учителей.

Знаменитый американский математик и педагог Д. Пойа (1887-1985) был первым после Р. Декарта, кто составил рекомендации по решению задач. После его книги « Как решать задачу» вышло немало книг и статей на эту тему. Считают, что этот прием хорош, так как он учит самостоятельности. Против этого трудно возразить. Однако следует отметить, что такой процесс приобретения опыта слишком длительный. Решение задач есть сложная умственная деятельность. Для того чтобы сознательно овладеть ею, надо, во-первых, иметь ясное представление о её объектах и сущности, во — вторых, предварительно овладеть теми элементарными действиями и операциями, из которых состоит эта деятельность, и, наконец, в — третьих, знать основные методы её выполнения и уметь ими пользоваться. Применение общих правил и алгоритмов не исключат проб, однако в таком случае пробы совершаются в определенном плане, целенаправленно и потому более рационально. Вот почему мы решили попытаться выявить наиболее общий прием решения задач методом составления уравнения, разработать обучающую программу, реализующую основные положения деятельностной теории усвоения и провести апробацию данной программы на учащихся средней школы (5 — 7 классы).

1. Подходы к изложению темы в современной методике.

Что же такое задача? Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Задача — это один из методов обучения и проверки знаний и практических навыков учащихся. Она является средством развития логического мышления учащихся и требует от них большой умственной работы. Степень сложности задачи зависит от содержания изучаемого вопроса, подготовки и возраста учащихся. Особенно широко применяются задачи в математике, физике, химии, географии. Своеобразие этих задач характеризуется математическим способом их решения. Каждая задача может быть дана учащимся лишь в том случае, если они прочно владеют знаниями, глубоко понимают закономерности предметов и явлений, которые содержатся в условии задачи. Поэтому задача, наряду с другими методами учебной работы, является надёжным средством контроля и проверки глубины и прочности знаний учащихся и их осмысленности, умения оперировать полученными знаниями и пользоваться ими на практике. Что значит решить задачу? Решение задачи не просто состоит в том, чтобы найти ответ, а требует установит те действия, с помощью которых это можно сделать. В классификации задач наиболее ясно выступают задачи на вычисление, построение и доказательство. Однако эта классификация не охватывает всех видов задач.- В методике преподавания отдельных учебных предметов приводятся более конкретные типы задач. Все виды задач, решаемых в школьном курсе математики можно поделить на различные группы по следующим критериям: по отношению к теории: стандартные, нестандартные; по характеру объектов: практические, математические; по характеру требований: нахождение искомых, преобразование или построение, доказательство или объяснение; по использованию на различных этапах обучения математике: игровые задачи (математические игры), стандартные задачи, методологические задачи, тестовые задачи; по видам действий ученика: задачи на усвоение математических понятий , задачи на запоминание, задачи на применение понятий в типичных ситуациях, задачи на применение понятий в проблемных ситуациях. Рассмотрим, в чем состоит традиционная методика обучения решению задач. Анализ ее показывает, что в ней в той или иной пропорции используется несколько методов. Первый метод состоит в том, что все задачи, которые считается необходимым перерешать с учащимися, разбиваются на многочисленные виды. Число этих видов может быть различным. Для каждого вида задач разрабатывается так называемый типовой способ решения, который учитель подробно демонстрирует на нескольких примерах-задачах. Затем учащиеся решают большое число задач этого вида на уроках у доски или самостоятельно дома. Естественно, что такой метод обучения может сформировать у учащихся лишь частные умения в решении типовых задач, причем эти умения, как правило, весьма нестойкие, которые учащиеся в лучшем случае «доносят» до письменных экзаменов, а потом быстро теряют. И лишь у некоторых наиболее одаренных учащихся вырабатывается интуитивное обобщенное умение поиска способа решения задач. Второй метод состоит в том, что в процессе обучения решается кроме типовых задач большое число разнообразных, так называемых развивающих, задач. Д. Пойа так и советовал: « Если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» При этом К. И. Нешков и А. Д. Семушин указывали, что « наибольшая польза от этих задач получается тогда, когда они достаточно разнообразны по содержанию и способам решения». Как видим, и этот метод ориентирован на способных и одаренных школьников, оставляя в стороне учащихся с менее развитыми способностями. Проанализированы их отношения и построена модель приёма в целом. Оказалось, что более 30 видов задач, отличающихся друг от друга сюжетом, требуют для своего решения ориентировки на такие величины и их отношения, которые характеризуют любой процесс: скорость процесса, время его протекания и продукт. Указанные элементы и их отношения составляют сущность всех задач на «процессы». Поскольку способ решения задачи определяется характером функциональных отношений, описанных в задаче, поэтому успешное решение задач исследуемых авторами статьи, предполагает, по их мнению, усвоение основных понятий, связанных с процессом, и их функциональных отношений. Основные выводы, которые мы сделали после изучения статьи, заключаются в том, что обучение решению задач должно рассматриваться как формирование у учащихся определенного вида умственной деятельности. В центре внимания обучающегося должна быть ориентировочная основа этой деятельности, освоив основные элементы которой, их отношения, он сможет решить любую задачу данного класса самостоятельно. Задачи, которые мы решаем в школе, различаются в первую очередь характером своих объектов. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других — все объекты математические ( числа, геометрические фигуры, функции и т. д.) Задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называют практическими (текстовыми, сюжетными); задачи, все объекты которых математические, называются математическими задачами. В курсе математики решаются лишь такие практические задачи, которые сводимы к математическим. Соответствующая математическая задача получается путем отвлечения от конкретных особенностей реальных предметов и заменой их математическими объектами. Сюжетные задачи были, несомненно, первыми задачами, в которых человек столкнулся в процессе познания окружающего мира, в процессе трудовой деятельности. Во всех наиболее древних математических памятниках культуры можно найти различные сюжетные задачи и разные методы их решения. В курсе математики рассматривается два способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины, посредством составления числового выражения и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений и систем уравнений, составляемых при решении задач. Его мы и рассмотрим более подробно. Впервые учащиеся начинают составлять буквенные выражения по задаче, а затем и сами уравнения в 5 классе. В учебниках пятого класса, в качестве обучения решению задач алгебраическим методом, даётся пример подробного рассуждения при составлении уравнения. Впервые учащиеся начинают составлять буквенные выражения по задаче, а затем и сами уравнения в 5 классе. В учебниках пятого класса, в качестве обучения решению задач алгебраическим методом, даётся пример подробного рассуждения при составлении уравнения. Начинаются рассуждения со слов « пусть х. », затем выстраиваются все отношения между величинами в задаче через словесные рассуждения. Продолжается решение задач методом составления уравнения в 6,7,8 и 9-ых классах. Количество часов в традиционном тематическом планировании для обучения учащихся решению задач алгебраическим методом предполагается следующее: