Методика введения понятия квадратные уравнения

Методика введения определения понятия квадратного уравнения

Разделы: Математика

Предложенный урок разработан на основе системы развивающего обучения. Вашему вниманию на примере введения определения квадратного уравнения наглядно представлена реализация всех восьми основных этапов урока, направленного не только на усвоение нового материала, но и на его понимание и осознание.

После каждого вопроса или задания учителя в скобках представлены правильные ответы и решения, ожидаемые от учащихся.

Математический анализ определения понятия квадратного уравнения.

Определение.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах+вх+с=0, где х — неизвестное, а, в, с — действительные числа, где: а0.

Родовое понятие — уравнение.

Видовые отличия:

1) имеет вид ах+вх+с=0

(х — неизвестное; а, в, с — действительные числа);

2) а0.

Определение имеет конъюнктивную структуру, так как видовые отличия разделены запятой (что равносильно союзу «и»).

Смысл определения: знание определения квадратного уравнения необходимо при решении некоторых сюжетных задач, при решении квадратных неравенств и их систем, к тому же многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией, при исследовании которой нужно знание определения квадратного уравнения.

Происхождение: понятие квадратного уравнения связано с понятием квадрата числа и с понятием квадратного корня.

Ход урока

Этап актуализации знаний.

Учитель предлагает классу решить следующую задачу:

Конверт с новогодней открыткой стоит 17 рублей. Конверт дешевле открытки на 5 рублей. Найти стоимость открытки.

Решение:

Пусть х рублей — стоимость открытки, тогда (х-5) рублей — стоимость конверта. Составим и решим уравнение:

Ответ: открытка стоит 11 рублей.

— Как вы решали эту задачу?

(Исходя из условия задачи, мы составили и решили уравнение)

— А что называется уравнением?

(Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой)

— Как называется уравнение, которое вы составили при решении данной задачи?

(Это линейное уравнение).

Этап мотивации учащихся.

Учитель предлагает классу решить еще одну задачу:

Найдите два последовательных натуральных числа, квадрат суммы которых больше суммы их квадратов на 112.

Ребята решают указанную задачу в парах (в группах):

пусть х — одно из искомых натуральных чисел, тогда (х+1) — другое искомое натуральное число. Исходя из условий задачи, запишем уравнение

(х+(х+1)) — 112 = х+ (х+1).

Преобразовав полученное выражение, ученики придут к уравнению

х+ х — 56 = 0.

На этом этапе у детей возникает затруднение, поскольку с уравнениями подобного вида они еще не встречались.

Этап постановки учебной задачи.

— Итак, с подобными уравнениями мы еще не знакомы. Какая же перед нами возникает задача?

(Дать определение этому уравнению и в дальнейшем изучить его свойства).

Этап планирования изучения и преобразования условий поставленной задачи.

— Что значит дать определение понятия?

1) дать название этому объекту (или ввести новый термин),
2) указать ближайшее родовое понятие,
3) выделить его свойства,
4) составить модель понятия).

План записывается на доске.

Этап моделирования.

— Давайте ответим на поставленные вопросы. Как вы предлагаете назвать такое выражение (х + х — 56 = 0)?

(Дети, очевидно смогут определить данное выражение как квадратное уравнение, поскольку они уже знакомы с понятиями уравнения и линейного уравнения. Если же этого не произойдет, то новый термин должен ввести учитель).

— Ну а на второй вопрос мы с вами уже ответили. Какое же у данного объекта (в смысле у квадратного уравнения) ближайшее родовое понятие?

— А теперь попытайтесь в парах составить модель квадратного уравнения. Иными словами: запишите квадратное уравнение в общем виде.

Возможно, ученики предложат следующие модели:

х + х + с = 0 (1)
х + вх + с = 0 (2)
ах + вх + с = 0 (3)
. . .

Этап преобразования модели.

Все модели, полученные учениками, выписываются на доску.

— А теперь давайте обсудим результаты вашей работы. Обратимся к (1) модели. Пусть тот, кто составил эту модель, объяснит нам ход своих рассуждений.

(Ученик, скорее всего, сошлется на задачу, которую им предложил учитель на этапе мотивации: эта задача свелась к уравнению вида х + х — 56 = 0).

Тогда учитель запишет на доске: 5х — 4х — 56 = 0.

(Это квадратное уравнение).

— Подходит ли к нему предложенная модель?

Таким образом, ученики приходят к правильной модели (3): ах + вх + с = 0.

— Ответьте на вопрос: чем характеризуется любое уравнение?

(В любом уравнении есть неизвестное число, обозначенное буквой).

— Что в нашей модели играет роль неизвестного?

— А что такое а, в и с?

— Может ли быть такое: а=0?

(Нет, так как уравнение при а=0 не будет квадратным).

— Подведем итог. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

(Квадратным уравнением называется уравнение вида ах + вх + с = 0 , где а, в и с — заданные числа, а0, х — неизвестное)

На доске и у учеников в тетрадях появляются следующие записи:

1. ах + вх + с = 0
УРАВНЕНИЕ	(х — неизвестное)	— КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ.
2. а0

— Теперь давайте запишем тему урока.

Учитель на доске, а ученики в тетрадях записывают тему урока «Понятие квадратного уравнения».

№1. Какие из следующих уравнений являются квадратными:

а) 17 — 4х + 5х = 0,
б) 17х + 24 = 0,
в) 3х + 4 = 0,
г) х — х = 0,
д) 26 — 13х = 0.

№2. Сможете ли вы записать квадратное уравнение, если его коэффициенты таковы:

Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель подводит итоги урока, выслушав ответы учащихся на следующие вопросы.

— Повторите определение квадратного уравнения.

— Зачем мы ввели понятие квадратного уравнения?

— Что бы вы хотели еще узнать о квадратном уравнении?

Методика введения понятия «Квадратное уравнение»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Домашняя контрольная работа №1 по методике обучению математике. Выполнил студент группы ПОМО132 Куликов Александр. Вариант – 9

Цель данной работы: разработать методику работы с таким математическим понятием как квадратное уравнение.

Для написания данной работы мною был выбран учебник Алгебра – 8. Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова. Год издания – 2010.

В данном учебнике определение выглядит следующим образом:

Проведём логико – математический анализ. Определение выглядит следующим образом:

– объект x является квадратным уравнением

– тогда и только тогда, когда

– объект x принадлежит множеству уравнений

Термин – квадратное уравнение

Видовые отличия — имеет вид вида выполняется условие .

Для того, чтобы ввести понятие «квадратное уравнение», нужно знать, что такое уравнение, что означает решить уравнение, что такое одночлен и многочлен.

Уравнением называется равенство, содержащую неизвестную переменную. Решить уравнение – значит найти такие значения переменной, при которой равенство обращается в верное выражение. Одночленом называется произведение, состоящее из чисел, переменных и их степеней. Многочленом называется сумма одночленов.

Для того, чтобы ввести понятие «квадратное уравнение» нужно уметь вычислять арифметические квадратные корни, квадратные корни из произведения и дроби, выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня, решать линейные уравнения.

Найти значение выражения

Этап введения определения

Рассмотрим с вами уравнения . Каждое из этих уравнений имеет вид , . В первом уравнение ; во втором уравнении ; в третьем .

Зададимся вопросом: а может ли быть равным 0? Рассмотрим вид уравнений . Если , то получим уравнение вида , а из курса 7-ого класса мы знаем, что уравнение полученного вида называется линейным. Следовательно, не может быть равным 0.

Рассмотрев примеры и получив ответ на наш вопрос, мы можем составить определение квадратного уравнения:

Поработаем с нашим определением. Числа называются коэффициентами квадратного уравнениями, где

– первый коэффициент (чисто, стоящее перед )

– второй коэффициент (число, стоящее перед )

– свободный член (число, не имеющее переменных).

Почему уравнение называется квадратным? Потому что в каждом уравнении вида , где наибольшая степень переменной – квадрат.

Заметим, что квадратным назовём уравнение второй степени, если одна из частей уравнений есть многочлен второй степени.

Приведённым называется квадратное уравнение, у которого .

Неполным называется квадратное уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов равен нулю. Неполные квадратые уравнения бывают трёх видов:

Этап усвоения определения

На этом этапе закрепим полученные знаний. Выполним следующие задания

Являются ли квадратным следующие уравнения? Если являются таковыми, то определите коэффициенты .

Какие из данных уравнений являются неполными?

Составьте квадратные уравнения, если известны коэффициенты

Какие из данных уравнений являются неполными? приведёнными?

Этап закрепления понятия

Данное понятие имеет широкий спектр применения:

решение квадратных уравнений и задач и помощью квадратных уравнений

решение дробно-рациональных уравнений

определение квадратичной функции, её свойства и график

разложение квадратного трёхчлена

решение квадратных неравенств, биквадратных уравнений и т.д.

Задание №1. Вывести формулы корней неполного квадратного уравнения

Задание №2. Решите уравнения

Задание №3. Найдите корни уравнений

Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле , где t (с) – время, , s (м) – пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 метров?

Из условия задачи получаем → → → . По смыслу задачи → .

Ответ: 4 секунды.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 952 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 044 материала в базе

Другие материалы

• 12.06.2016
• 626
• 0

• 12.06.2016
• 6687
• 48

• 12.06.2016
• 8681
• 83

• 12.06.2016
• 3729
• 11

• 12.06.2016
• 1015
• 2

• 12.06.2016
• 1163
• 5

• 12.06.2016
• 1531
• 13

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.06.2016 2445
• DOCX 37.8 кбайт
• 31 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Куликов Александр Юрьевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 25
• Всего просмотров: 83909
• Всего материалов: 41

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Новые курсы: управление детским садом, коучинг, немецкий язык и другие

Время чтения: 18 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Рособрнадзоре рассказали, как будет меняться ЕГЭ

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Урок по теме «Квадратные уравнения: основные понятия»
методическая разработка по алгебре (8 класс)

Разработка урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратичные уравнения: основные понятия» УМК Мордкович.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока по алгебре

Тема: «Квадратные уравнения: основные понятия».

УМК: Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – 12-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 215 с.

образовательная: формирование понятий: квадратное уравнение, приведённое квадратное уравнение, неприведённое квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, корень квадратного уравнения.

развивающая: развитие умения анализировать учебный материал, развитие умения слушать и вступать в диалог.

воспитательная: воспитание самостоятельности, внимательности, целеустремленности.

• повторить понятие «квадратное уравнение»;
• ввести понятие «приведенное квадратное уравнение»;
• ввести понятие «неприведенное квадратное уравнение»;
• ввести понятие «полное квадратное уравнение»;
• ввести понятие «неполное квадратное уравнение»;
• ввести понятие «корень квадратного уравнения»;
• осуществить самоконтроль новых знаний.

личностные: формирование самооценки на основе успешной деятельности;

регулятивные: планирование действий в соответствии с поставленной задачей; умение оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки;

коммуникативные: формирование умения слушать и понимать речь других, вступать в диалог;

познавательные: ориентироваться в системе знаний; составлять ответы на вопросы.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: раздаточный материал (карточки с заданиями для исследовательской работы, схема видов квадратного уравнения, лист самооценки).

1. Организационный этап (1 мин).
2. Итоги контрольной работы (4 мин).
3. Подготовка учащихся к работе на основном этапе урока (1 мин).
4. Этап усвоения знаний и способов действий (10 мин).
5. Этап первичной проверки понимания изученного (18 мин).
6. Этап рефлексии (2 мин).
7. Подведение итогов урока (3 мин).
8. Этап информации о домашнем задании (1 мин).

Цель: создать благоприятный психологический настрой на работу.

Форма работы: фронтальная.

личностные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;

регулятивные: прогнозирование своей деятельности;

коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог;

познавательные: осознанное и произвольное построение речевого высказывания.

Фиксация отсутствующих на уроке.

Проверка подготовленности к уроку: наличие учебника, тетради, письменных принадлежностей.

Дежурные называют отсутствующих

Проверяют наличие учебных

1. Итоги контрольной работы.

Цель: обобщить знания по предыдущей теме.

Форма работы: фронтальная.

регулятивные: выделение и осознание того, что уже пройдено;

коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

познавательные: поиск и выделение необходимой информации.

Раздает тетради с проверенными контрольными работами.

Предлагает выполнить около доски задание из контрольной работы, с которым справилось минимальное количество учащихся. (если такое есть)

Записывают оценки, полученные за контрольную работы в дневник.

Отвечают на поставленные учителем вопросы, выполняют задание по усмотрению учителя.

1. Подготовка учащихся к работе на основном этапе урока.

Цель: организовать целенаправленную работу учащихся, принятие ими цели урока.

Форма работы: фронтальная.

личностные: формирование интереса к новому материалу;

коммуникативные: постановка вопросов;

познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели.

Ребята, прежде чем перейти к изучению новой темы, давайте вспомним, о чем мы говорили на прошлых уроках?

Верно. А как вы думаете, существуют ли другие способы отыскания корней квадратного уравнения?

На последующих уроках мы познакомимся с различными способами нахождения корней квадратного уравнения.

Но сначала изучим основные понятия квадратных уравнений.

Какова же цель нашего сегодняшнего урока?

На прошлых уроках мы говорили о квадратных уравнениях, а именно учились их решать графическим способом.

Высказывают свои предположения относительно данного вопроса.

Изучить основные понятия, виды квадратных уравнений.

1. Этап усвоения знаний и способов действий.

Цель: обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изучаемой темы: квадратные уравнения.

Форма работы: фронтальная, парная.

личностные: формирование математической компетентности;

регулятивные: планирование, прогнозирование;

коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог;

познавательные: поиск и выделение необходимой информации.

Итак, мы определили цель сегодняшнего урока. Давайте сформулируем тему урока.

Откройте тетради, запишите сегодняшнее число, классная работа и тему урока.

Откройте учебник на с. 133 п. 24. Давайте поработаем с рабочим словарем и выясним, с какими понятиями мы должны познакомиться сегодня на уроке.

С понятием квадратного уравнения мы с вами уже встречались, давайте вспомним какое уравнение называется квадратным?

Верно. Как называются коэффициенты a, b, c?

Почему коэффициент а не может быть равен нулю?

Правильно. А многочлен – называют квадратным трехчленом.

А теперь предлагаю провести небольшую исследовательскую работу в парах.

Рассмотрите следующие группы квадратных уравнений. И с помощью учебника выясните по какому признаку разделены эти уравнения и как они называются:

;

.

+ 3х + 7 = 0;

.

;

.

;

;

.

Верно. Давайте составим схему по выявленным нами видам квадратных уравнений.

Какие виды квадратных уравнений нам встретились в данном задании?

Какие квадратные уравнения называются приведенными/ неприведенными?

Какие квадратные уравнения называются полными/ неполными?

После составления схемы, раздается в печатном виде учащимся в качестве памятки.

Виды квадратных уравнений мы определили, а теперь давайте выясним, что же называется корнем квадратного уравнения.

Где мы с вами уже встречались с корнями квадратного уравнения?

Как вы думаете что называется корнем квадратного уравнения?

Хорошо, а теперь давайте сравним ваше определение с определением, которое приводит нам автор учебника.

Близко ли то определение, которое дали мы и определение, приведенное автором?

Как вы думаете сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Верно. Квадратное уравнение может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

И на прошлых уроках мы выявляли этот факт с помощью построения графика функции.

На следующих уроках мы научимся определять количество корней уравнения без графической иллюстрации.

А теперь давайте выполним ряд упражнений на применение полученных знаний.

Формулируют тему урока «Основные понятия квадратных уравнений».

Открывают тетради, записывают дату, классная работа и тему урока.

Открывают учебник на указанной странице.

Сегодня на уроке мы должны познакомиться со следующими понятиями:

1. Квадратное уравнение;

2. Приведенное квадратное уравнение;

3. Неприведенное квадратное уравнение;

4. Квадратный трехчлен;

5. Полное квадратное уравнение;

6. Неполное квадратное уравнение;

7. Корень квадратного уравнения;

Уравнение вида , где a, b, c – некоторые действительные числа, причём

называется квадратным уравнением.

а — первый (старший коэффициент);

b – второй коэффициент;

с – свободный член.

Если коэффициент , то уравнение не будет являться квадратным.

Внимательно рассматривают предоставленные уравнения, выделяют признак, по которому они разделены на группы и с помощью учебника определяют виды этих уравнений.

I. Приведенные квадратные уравнения т.к. коэффициент а = 1.

(Полные т.к. коэффициенты a, b, c отличны от нуля).

II. Неприведенные квадратные уравнения т.к. коэффициент а 1.

(Полные т.к. коэффициенты a, b, c отличны от нуля).

III. Полные квадратные уравнения т.к. коэффициенты b, c отличны от нуля.

IV. Неполные квадратные уравнения т.к. присутствуют не все 3 слагаемых т.е. один из коэффициентов b, c равен нулю.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения, полные и неполные квадратные уравнения.

Квадратное уравнение является приведенным, если его коэффициент а = 1 и неприведенным, если коэффициент

а 1.

Квадратное уравнение является полным, если его коэффициенты b, c отличны от нуля и неполным, когда один из коэффициентов b, c равен нулю.