Методом даламбера найти уравнение формы однородной струны

Электронная библиотека

Рассмотрим неограниченную струну . Уравнение свободных колебаний однородной струны имеет вид

Видно, что x – at = C₁, x + at = C₂ – есть характеристики уравнения (4.28). Это уравнение в новых переменных запишется в виде:

Из последнего имеем:

где – произвольная функция . Интегрируя это уравнение по , найдем:

где – произвольная функция от . Положим

Возвращаясь к старым переменным х и t, будем иметь:

Решение (4.30) уравнения (4.28) называется решением Даламбера (методом характеристик).

Пусть требуется найти решение уравнения (4.28), удовлетворяющее начальным условиям:

Ввиду того, что струна бесконечная функции и заданы в . В решении (4.30) нашего уравнения нужно выбрать функции и так, чтобы удовлетворить начальным условиям (I.4.4). Из начальных условий (4.31) имеем

откуда, интегрируя второе равенство, получим

где С – произвольная постоянная.

Из равенства (4.32) найдем:

Подставим (4.33) в (4.30), получим:

Формула (4.34) даёт решения задачи Коши, если имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а – до первого.

Задача Коши поставлена корректно, а решение её единственное. Это видно из вывода формулы Даламбера.

Найти решение уравнения: , если .

Решение. Граничные условия отсутствуют, следовательно, струна – бесконечна в обе стороны. По формуле Даламбера:

По условию задачи: поэтому

Найти форму струны, описываемую уравнением: в момент , если

Решение. Здесь . Следовательно, по (4.34) получим

Если , то – струна параллельна оси Ох.

Найти решение уравнения: , если

Решение. По формуле Даламбера

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Методом даламбера найти уравнение формы однородной струны

Решебник Арутюнова Ю. С.
11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Решения задач из этого раздела размещены в формате pdf. Для их прочтения вам понадобится программа Adobe Reader, которую Вы можете скачать здесь.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp В раздел «Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление» входят следующие задачи.

&nbsp &nbsp &nbsp 471-480. &nbsp Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp, если в начальный момент &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями

&nbsp &nbsp &nbsp 471. &nbsp &nbsp 472. &nbsp &nbsp 473.&nbsp &nbsp 474.&nbsp &nbsp 475. &nbsp &nbsp 476. &nbsp &nbsp 477. &nbsp &nbsp 478. &nbsp &nbsp 479. &nbsp &nbsp 480.

&nbsp &nbsp &nbsp 481-490. &nbsp Представить заданную функцию W=f(z), где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .

&nbsp &nbsp &nbsp 481. &nbsp &nbsp 482. &nbsp &nbsp 483.&nbsp &nbsp 484.&nbsp &nbsp 485. &nbsp &nbsp 486. &nbsp &nbsp 487. &nbsp &nbsp 488. &nbsp &nbsp 489. &nbsp &nbsp 490.

&nbsp &nbsp &nbsp 491-500. &nbsp Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и определить область сходимости ряда.

&nbsp &nbsp &nbsp 491. &nbsp &nbsp 492. &nbsp &nbsp 493.&nbsp &nbsp 494.&nbsp &nbsp 495. &nbsp &nbsp 496. &nbsp &nbsp 497. &nbsp &nbsp 498. &nbsp &nbsp 499. &nbsp &nbsp 500.

&nbsp &nbsp &nbsp 501-510. &nbsp Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

&nbsp &nbsp &nbsp 501. &nbsp &nbsp 502. &nbsp &nbsp 503.&nbsp &nbsp 504.&nbsp &nbsp 505. &nbsp &nbsp 506. &nbsp &nbsp 507. &nbsp &nbsp 508. &nbsp &nbsp 459. &nbsp &nbsp 510.

&nbsp &nbsp &nbsp 511-520. &nbsp Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

&nbsp &nbsp &nbsp 511. &nbsp &nbsp 512. &nbsp &nbsp 513.&nbsp &nbsp 514.&nbsp &nbsp 515. &nbsp &nbsp 516. &nbsp &nbsp 517. &nbsp &nbsp 518. &nbsp &nbsp 519. &nbsp &nbsp 520.