Методом фурье найти решение уравнения колебаний струны

Метод Фурье

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье, или метод разделения переменных, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Рассмотрим этот метод, обратившись к простейшей задаче о свободных колебаниях однородной струны длины i, закрепленной на концах. §4. Свободные колебания однородной струны, закрепленной на концах Задача о свободных колебаниях однородной струны с закрепленными концами сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Метод Фурье Задачу (1 )-(3) называют смешанной: она содержит и начальные и граничные условия. Решение задачи начнем с поиска частных решений уравнения (1) вида При этом будем предполагать, что каждое из них удовлетворяет граничным условиям (2), но не равно нулю тождественно. Подставляя функцию и<х, t) в форме (4) в уравнение (1), получаем ИЛИ Последнее равенство (его левая часть зависит только от а правая — только от х) возможнолишь втом случае, если обе его части не зависят ни от ty ни от х,т.е. равны одной и той же постоянной.

Обозначим эту постоянную (разделения) через (-А), Из равенства (5) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения Граничные условия (2) дают откуда (T(t) £ 0) следует, что функция Х(х) должна удовлетворять граничным условиям Чтобы получить нетривиальные решения tt(x, t) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо найти нетривиальные решения уравнения удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (7)-(8), а также сами эти решения. Такие значения параметра А называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями задачи (7)-(8). Сформулированную таким образом задачу называют задачей Штурма—Лиувилля. Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7)-(8).

Рассмотрим отдельно три случая, когда 1.

При общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнения граничных условий (8), получим (6) (7) Так как определитель системы (9) отличен от нуля, то . Следовательно, Х(х) = 0, т. е. при нетривиальных решений задачи не существует. (9) 2. При А = 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Граничные условия (8) дают откуда С, = С2 = 0, и следовательно, при А = 0 нетривиальных решений задачи (7)-(8) также не существует. 3.

При Л > 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнение граничных условий (8), получим Система (10) имеет нетривиальные решениятогда и толькотогда, когда определитель системы равен нулю, Метод Фурье будут собственными функциями задачи. Собственные функции определены с точностью до постоянного множителя, который мы выбрали равным единице. При А = А* общее решение у равнения (6) имеетвид ктга кчга где Аки Bk — произвольные постоянные. Таким образом, функции удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых Ак и Вку В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая коневая сумма решений будет также решением уравнения (1).

То же справедливо и для ряда если он сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по х и по t. Поскольку каждое слагаемое в ряде (11) удовлетворяет граничным условиям (2), то этим условиям будет удовлетворять и сумма u(s, t) этого ряда. Остается определить в формуле (11) постоянные .4* и Вк так, чтобы выполнялись и начальные условия (3). Продифференцируем формально ряд (11) по t.

Имеем Полагая в соотношениях (l 1) и (12) t = 0, в силу начальных условий (3) получим Формулы (13) представляют собой разложения заданных функций вряд Фурье по синусам в интервале Коэффициенты разложений (13) вычисляются по известным формулам / I Теорема 2. Если и удоъчетворяет условиям и удовлетворяет условию то сумма tx(x, £) ряда (11), где -А* и В* опредыяются формулами (14), имеет в области непрерывные частные производные до второго порядка включительно по каждому из аргументов, удовлетворяет уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3), т. е. является решением задачи (1 )-(3).

Пример. Найти закон свободных колебаний однородной струны длины I, закрепленной на концах, если в начальный момент t = 0 струна имеет форму параболы — const), а начальная скорость отсутствует. 4 Задача сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод Фурье

Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), в виде Подставляя «(*,*) в форме (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим откуда причем в силу (2) Как было установлю но выше, собственные значения задачи (7)-(8) а соответствующие собственные функции Для А = Ащ общее решение уравнения (6) имеет вид пяа ижа Будем иска тъ решение исходной задачи в виде ряда Для определен ия коэффициентов -4Я и Z?„ воспользуемся начальными условия ми (3).

получаем, что 2?„ = 0 для любог о п, а из (10) Метод Фурье откуда, интегрируя по частям дважды . находи м . Подставляя наеденные значения А, и в ряд (9), получим решение поставленной задачи , Замечание. Если начальные фукхдда не удовлетворяют условиям теоремы 2, то дважды непрерывно дифференцируемого решения смешанной задачи (1)-(3) может и не существовать.

Однако если , то ряд (II) сходетс* равномерно при и любом t и определяет непрерывную функюао u(xtt). В этом случае можно говорить лишь об обобщенная решении задачи. Каждая из функций определяет так называемые собств енные колебания струны, закрепленной на концах. При собственных колебаниях, отвечающих к = 1, струна издает основной, самый низкий тон.

При колебаниях, соответствующих ббльшим Л.она издает более высокие тоны, обертоны. Записав *) в виде заключаем, что собственные колебания струны — стоячие волны, при которых точки струны совершают гармонические колебания с амплитудой Нк sin частотой Метод Фурье Мы рассмотрели случай свободных колебаний однородной струны, закрепленной на концах. Рассмотрим теперьслуч ай других граничных условий.

Пусть, например, левый конец струны закреплен, u(0, t) = 0, а правый конец х — 1 упругосвязан со своим положением равновесия, что соответствует условию . Нетривиальное решение u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее поставленным граничным условиям, будем опять искать в виде В результате подстановки в уравнение (1) приходим к следующей задаче о собственных значениям: найти такие значения параметра Л, для которых дифференциальное уравнение при граничных условиях имеет нетривиальные решения Х(х). Общее решение уравнения (15) имеет вид (А > 0)

Первое из граничных условий

Первое из граничных условий (16) дает С\ = 0, так что функциями Х(х) с точностью до постоянного множителя являются sin у/Хх. Из второго граничного условия Положим А = ir. Тогда Для отыскания и получаем трансцендентное уравнение. Корни этого уравнения можно найти графически, взяв в плоскости (f, z) сечения последовательных ветвей кривой z = tg(i//) прямой линией z = (рис. 7).

Обе части уравнения (18) — нечетные функции относительно р, поэтому каждому положительному корню i/fc соответствует равный ему по абсолютной величине отрицательный корень. Поскольку изменение знака Uk не влечет за собой появления новых собственных функций (они только изменят знак, что несущественно), достаточно ограничиться положительными корнями уравнения (18).

В результате опять получается последовательность собственных значений и отвечающие им последовательности собственных функций и собственных колебаний Кстати, для n-ой собственной частоты ип получается асимптотическое соотношение в частности, для I = т имеем Если правый конец струны х = I свободен, получаем cos vl = 0. Отсюда ul = § + тиг, так что в случае свободного конца собственные значения и собственные функции соответственно равны

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Свободные поперечные колебания струны. Стоячие волны. Метод Фурье

Главная > Документ

Тема 1 Свободные поперечные колебания струны. Стоячие волны.

Рассмотрим струну- тонкую гибкую упругую нить- длины l. Пусть в положении равновесия струна занимает отрезок [0, l] на оси Ох, причем в точках х=0 и х=l струна жестко закреплена и туго натянута. Если струна выведена из положения равновесия, она начинает колебаться. Предположим, что ее вывели из положения равновесия в начальный момент времени t=0; будем наблюдать колебание при t>0. Проведем через точку х=0

ось Ou, перпендикулярную оси Ох. Будем считать, что при t>0 каждая точка х струны может колебаться только в плоскости Oxu и только по перпендикуляру к оси Ох ( такие колебания называются поперечными колебаниями ). Через u(x,t) обозначим величину отклонения струны от положения равновесия в точке х и в момент времени t. График функции u=u(x, .) при фиксированном значении t называется мгновенным профилем струны (или мгновенным фото ).

В начальный момент времени струна может быть выведена из положения равновесия,

если ее оттянуть, придав ей некоторую начальную форму, и если точкам струны сообщить начальные скорости.

Предположим, что при t>0 на струну не действуют внешние силы; такие колебания называются свободными .

Функция u(x,t) является решением дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, линейного, однородного ( в дальнейшем мы узнаем, почему это уравнение еще называют гиперболическим уравнением):

Постоянная в правой части уравнения имеет физический смысл, она зависит от линейной плотности струны и от силы, с которой струна натянута.

Такое уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы из множества решений выделить одно, задаются начальные и (или) краевые условия; при этом исходят из физического смысла задачи:

то, что струна жестко закреплена на концах, приводит к КРАЕВЫМ условиям u(0,t)=0, u(l,t)=0;

то, что в начальный момент струне придали некоторую форму, приводит к НАЧАЛЬНОМУ условию u(x,o)=(x) с некоторой известной функцией (x);

то, что в начальный момент времени точкам струны сообщили некоторые скорости, приводит к НАЧАЛЬНОМУ условию

c некоторой известной функцией (x).

Таким образом, надо решить следующую задачу

Эта задача называется первой краевой задачей для данного дифференциального уравнения (по краевым условиям первого типа , когда на концах струны задано именно значение функции, а не производной от нее). Ту же задачу иногда называют начально-краевой задачей (или смешанной, т.к. в дополнительных условиях на решение уравнения есть и начальные, и краевые).

Найдем сначала хотя бы одно решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2) ( мы увидим в дальнейшем, что нами будет получено на самом деле бесконечное множество решений задачи (1)-(2)). Подчеркнем , что начальные условия (3)

мы пока использовать не будем.

Решение задачи (1)-(2) методом Фурье

Представим функцию u(x,t) в виде произведения функций X(x) и T(t), т.е. как произведение функций, каждая из которых зависит только от одной из двух переменных x и t . В таком разделении переменных состоит смысл метода Фурье ;

и его иногда так и называют: метод разделения переменных . Итак, пусть

Дробь, стоящая в левой части этого тождества, не зависит от t, а дробь в правой части не зависит от x, и они связаны между собой знаком тождества. Отсюда заключаем, что каждая из этих дробей является постоянной. Нас будет интересовать (и мы объясним это в дальнейшем) только случай отрицательной постоянной. Так что

обозначим эту постоянную через - 2 (>0) и придем к двум обыкновенным (!) дифференциальным уравнениям.

Каждое из этих уравнений является однородным, линейным, имеет постоянные коэффициенты. Значит, мы найдем общее решение того и другого уравнения с помощью соответствующего характеристического уравнения, воспользовавшись теоремой о структуре общего решения дифференциального уравнения названного типа:

|

C i и K i — произвольные постоянные.

Напомним, что мы решаем не просто дифференциальное уравнение (1), а хотим найти решение, удовлетворяющее краевым условиям (2). Поэтому имеем (если хотим получить нетривиальное решение)

T(t) не зависит от х, поэтому краевые условия (2) никак не сказываются на T.

Каждому значению m соответствует своя функция X(x), поэтому мы получаем бесконечное множество решений X m (x)=C ( m ) sin(m/l)x первого из рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений. А при каждом найденном  m =m/l второе уравнение имеет решение

(Вместо постоянной С 2 в выражении для Х мы ввели для каждой функции X m (x) свою постоянную С ( m ) ).

[Если предположить, что вместо постоянной - 2 мы взяли, скажем, постоянную к=4, то корни характеристического уравнения r 2 -4=0 равны 2, так что Х(х)=С 1 e 2 x +C 2 e -2 x , X(0)=C 1 +C 2 , X(l)=C 1 e 2 l +C 2 e -2 l . Используя краевые условия для функции X(x), получим систему алгебраических уравнений

Это приведет нас к тривиальному (тождественно равному нулю) решению Х(х)0. Подставляя его в формулу (4), получим u(x,t)0. Такой результат мы будем иметь при любой неотрицательной постоянной k. С физической точки зрения он неинтересен, т.к. означает, что струна все время наблюдения при t>0 находится в положении равновесия, не колеблется] .

Теперь подставим найденные нами функции в формулу (4) ( при этом каждому значению m будет соответствовать свое решение задачи (1)-(2), которое мы обозначим

Преобразуем полученное для u m выражение. Сначала обозначим

Уравнение (1) является, как мы отметили ранее, линейным и однородным, поэтому сумма конечного числа решений этого уравнения тоже является его решением (принцип суперпозиции). Оказывается, что этим свойством при некотором дополнительном предположении может обладать и сумма бесконечного числа решений ( обобщенный принцип суперпозиции ): примем без доказательства, что

функциональный ряд u 1 (x,t)+u 2 (x,t)+..+u m (x,t)+…

сходится и его сумма (функция, которую мы обозначим через u(x, t)) — решение уравнения (1). (Подробнее про обобщенный принцип суперпозиции мы скажем в одной из следующих лекций.)

При этом, так как каждый член этого ряда по условию равен нулю при х=0 и х=l, то и сумма ряда при этих значениях х обращается в нуль (сумма конечного или бесконечного числа нулей равна, конечно, нулю). Значит, мы ничего не «потеряли»: новая функция u(x,t), которая при некоторых значениях коэффициентов окажется решением всей смешанной задачи (1)-(3), пока, как и каждая из функций u m , является решением задачи (1)-(2).

Решение смешанной задачи (1)-(3)

Итак, рассмотрим функцию

Коэффициенты остались неизвестными. В то же время мы еще не воспользовались начальными условиями (3). Чтобы применить начальное условие для частной производной функции u(x,t) при t=0, нам придется продифференцировать функциональный ряд в любом из соотношений (5). Примем без доказательства, что этот ряд можно дифференцировать

и

Напомним, что функции  и  известны по условию и что 0 тригонометрический ряд Фурье по ортогональной в интервале [0, l] бесконечной системе функций Поэтому коэффициенты и коэффициенты

являются коэффициентами Фурье и находятся по известным формулам

Мы получили, что

решение первой краевой (смешанной) задачи (1)-(3) имеет вид

Изучим каждый из членов ряда (функции u 1 (x, t), u 2 (x, t),…) , через которые выражается

В выражении для функции X m (x) возьмем постоянную C ( m )

равной единице. Тогда

| \_______________

Пусть струна колеблется по закону u=u m (x, t).

Как функция u m (x, t) зависит от х?

1)u m (x, t)0 при T m (t)=0, т.е. все точки струны одновременно проходят положение равновесия, когда

2)|u m (x,t)| достигает наибольшего значения, когда

т.е. все точки струны одновременно достигают наибольшего для каждой из них

отклонения от положения равновесия.

Колебание, имеющее два указанных свойства, называется стоячей волной .

Это название можно объяснить и так: в любой фиксированный момент времени t>0

струна имеет форму синусоиды(кроме тех моментов, когда струна проходит положение равновесия), в разные моменты времени ординаты лишь умножаются на некоторую постоянную, положительную или отрицательную.

Так, поскольку

Рис.1.2 u=X 1 (x) — чёрная линия

Рис1.3 y=X 2 (x) — чёрная линия

Рис.1.4 y=sin3x — чёрная линия

Мгновенные профили струны u 1 (x, ), u 2 (x, ), u 3 (x, ) при различных фиксированных значениях времени t>o см. на рисунках 1.2, 1.3, 1.4, соответственно.

Функция u(x, t) представляет собой наложение друг на друга стоячих волн (сумму бесконечного числа этих волн). Говорят, что u(x, t) является суперпозицией стоячих волн u m (x, t). Мы увидим в дальнейшем, что в связи с этим в любой момент времени, когда струна не находится вся в положении равновесия, она имеет сложную форму. Это

станет видно уже тогда, когда вместо суммы бесконечного числа стоячих волн мы рассмотрим сумму только первых двух-трех.

Узлы и пучности.

Пусть струна колеблется по закону u=u m (x, t).

Точки x, 0 0 остаются на оси Ox (не колеблются), называются узлами . Функция u 1 узлов не имеет; функция u 2 имеет один узел ; функция u 3 имеет два узла C ростом m число узлов растет.

Точки струны, которые в любой момент времени (кроме тех, когда струна проходит положение равновесия) отстоят от оси Ох дальше, чем все остальные точки струны, называются пучностями . Функция u 1 имеет одну пучность ; u 2 — две, х=(¼)l, х=(¾)l; u 3 — три, х=(¼)l, х=(½)l, х=(¾)l. С ростом m число пучностей растет.

Мы теперь хотим изучить, как функция u m (x, t) зависит от t. Чтобы это лучше понять, мы сначала вспомним о том, что такое периодические функции и гармонические колебания.

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени T, называемый периодом ( незатухающие колебания маятника, явление переменного тока и т.д.).

Величины, связанные с периодическими явлениями, по истечении периода T возвращаются к своим прежним значениям и, следовательно, представляют собой периодические (по времени t) функции :

Не считая постоянной, простейшей из периодических функций является синусоидальная величина

Asin(t+), где - частота,

Гармонические колебания — это периодические колебания по указанному закону

(или по закону Acos(t+), о котором мы здесь говорить не будем).

С помощью синусоидальных величин образуем более сложные периодические функции.

1. Сложим функции sin(½)t и ½sin(½)t. Эти функции имеют одинаковую частоту и в сумме дают синусоидальную величину той же частоты, равной ½.

Рис.1.5 y=sin(½)t — чёрная линия

2. Сложим функции sint и sin2t, имеющие разные частоты. Функция, представляющая собой сумму, остается периодической, но (!) перестает быть синусоидальной величиной.

Рис.1.6 y=sint — чёрная линия, y=sin2t — зелёная линия

Мы получим периодическую функцию, если сложим конечное (или бесконечное) число синусоидальных величин Asinkt c различными частотами. Но, как и в примере 2 (Рис.1.6), сумма этих величин не будет синусоидальной величиной.

Снова рассмотрим стоячую волну

Фиксируем значение x=x 0 , 0 0 гармонические колебания около положения равновесия; частота этих колебаний равна A m 0 — амплитуда колебаний.

Имеем

Стоячая волна u n носит название n -ой гармоники. Чем больше номер гармоники,

тем больше частота колебаний по закону u= u n (x, t).

Как мы показали выше, сумма синусоидальных величин с разными частотами уже не является синусоидальной величиной. Так что колебания струны по закону , полученные с помощью суперпозиции функций u m (x, t),

являются колебаниями сложными, отличными от гармонических колебаний в каждой фиксированной точке струны.

Колебания струн музыкальных инструментов

Мы имеем формулу для величины отклонения струны u(x, t) от положения равновесия в точке х, 0xl, в момент времени t:

Коэффициенты находятся по формулам, указанным выше.

В ударных (рояль) и щипковых (арфа, гитара) инструментах струна совершает поперечные колебания. В щипковых инструментах колебания возбуждаются приданием струне некоторого начального отклонения u(x, 0)=(x) без начальной скорости ((x)0).

В ударных – ударом, придающим струне начальные скорости

без начальных отклонений ((x)0). Например, в рояле струна возбуждается ударом молоточка, обтянутого кожей.

Колеблющаяся струна вызывает колебания воздуха, которые человеческое ухо воспринимает как звук, издаваемый струной.

Звук струны — наложение «простых тонов», каждый из которых соответствует стоячей волне u m (x, t) (m-ой гармонике). Простой тон — звук определенной высоты, он получается в результате колебательного процесса в воздухе с некоторой фиксированной частотой для u 1 (x, t) — основная частота ; для u 2 (x, t);…; Значит, частота m-ой гармоники кратна основной частоте.

Высота тона зависит от частоты колебания, соответствующего этому тону. Сила тона (громкость) определяется его амплитудой. Самый низкий тон, который может создавать струна, определяется основной частотой . Это основной тон струны. Остальные тона, соответствующие частотам  2 ,  3 ,…, называются обертонами . Впервые на наличие в звуке кроме основного тона обертонов обратил внимание французский математик Жан Мари Дюамель (мы встретимся еще с его работами в одной из последующих лекций). Тембр звука (его окраска) зависит от присутствия наряду с основным тоном обертонов. В теории музыки объясняется, что наличие высоких обертонов, соответствующих u i (x, t), i>6, нарушает гармоничность звука и вызывает ощущение диссонанса.

Прием, носящий название флажолета , изменяет тон колеблющейся струны. Так, если к звучащей струне прикоснуться точно в середине, то звук ее резко меняется. При этом гасятся стоячие волны, имеющие в этой точке пучности (например, u 1 или u 3 ), а сохраняются гармоники, имеющие в этой точке узлы (например, u 2 «не замечает» прикосновения к струне). В результате остаются только гармоники u 2 k , и самым низким будет уже не основной тон, соответствующий частоте  1 , а тон, соответствующий частоте

Пусть в задаче (1)-(3) известны начальные функции:

Тогда коэффициенты при m=1, 2,… равны нулю, поскольку

Считая, что l=1, a=1, построить приближенно при t=1/3 мгновенный профиль струны.

Рассмотрим теперь первую краевую задачу с такими начальными данными, что все коэффициенты легко вычисляются, а ряд, в виде которого у нас представлена функция u(x, t), превращается в одно(!) слагаемое.

Пусть в задаче (1)-(3) известны начальные функции

(x)=sin2x, (x)0 и l=1, а=1.

Как в уже рассмотренной задаче, получаем, что коэффициенты

Коэффициенты

Так как sin2x — одна из функций ортогональной на отрезке [0, 1] системы , то

На Рис.1.2-1.10 изображены мгновенные профили струны в различные фиксированные моменты времени.

При t=¼ струна находится в положении равновесия:

Фурье Жан Батист Жозеф (1768- 1830)- французский математик. С 1796 года возглавлял кафедру анализа Политехнической школы в Париже. После 1717г. жил в Париже, был избран в Академию. В 1827г. стал ректором Политехнической школы. Ряды, названные его именем, сыграли большую роль в математике. Фурье работал над теорией теплоты, занимался теорией функций, интегральными и дифференциальными уравнениями. Его труд «Аналитическая теория теплоты» стал исходной точкой для создания теории тригонометрических рядов. Численному методу решений алгебраических уравнений посвящен его труд «Анализ определенных уравнений».

Араманович И.Г. и Левин В.И. Уравнения математической физики. М., Наука, 1969.

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Бином, 2009.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1999.

Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М., Мир, 1985.

Олейник О.А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и

Электронная библиотека

Здесь мы покажем, как применяются ряды Фурье при решении задачи о колебании струны. Под струной мы понимаем тонкую гибкую нить, не оказывающую сопротивления изгибу.

Рассмотрим струну, которая в начальный момент совмещена с отрезком оси Ох. Будем считать, что концы х = 0 и x = l закреплены на оси Ох. Пусть струна растягивается силами и , приложенными к её концам и направленными вдоль оси Ох. Если струну вывести из состояния равновесия и затем предоставить самой себе, под влиянием растягивающих сил точки струны придут в движение, стремясь вернуться в исходное положение. Придя в это положение, каждая точка струны будет обладать уже некоторой скоростью и по инерции пройдет дальше своего равновесного положения. При этом дальнейшем движении точек они будут тормозиться растягивающими силами и т.д. Таким образом, струна станет совершать некоторое колебательное движение. Задача состоит в исследовании этого движения.

Сделаем ряд предположений. Во-первых, считаем, что, выводя струну из состояния равновесия, мы придаем ей форму некоторой линии. Поскольку концы струны закреплены на оси Ох, то на функцию U(x) линии надо наложить требования U(0) = U(l) = 0. Во-вторых, будем предполагать, что каждая точка струны совершает только поперечные колебания, перпендикулярные оси Ох. В-третьих, колебания предположим малыми, что квадратами отклонений точек струны от оси Ох можно пренебречь. Кроме того, будем считать, что во все время движения струна будет сохранять пологую (гладкую) форму, это значит, что угол , образуемый касательной к струне с осью Ох, мал, чтобы можно было считать . Наконец, считаем струну однородной, причем массу единицы длины струны в её нерастянутом состоянии считать равной её плотности .

Возьмем какую-либо точку струны, имевшую в начальный момент t = 0 абсциссу х. Так как эта точка будет двигаться перпендикулярно оси Ох, то во время движения её абсцисса х не будет меняться. Ордината её у будет зависеть от времени, а также от того, о какой точке идет речь, а именно от абсциссы х этой точки, т.е. ордината будет функцией от х и t. Эту функцию в дальнейшем будем обозначать через U(x, t). Ясно, что она должна удовлетворять граничным условиям:

и начальным условиям:

первое из (4.10) выражает, что струне придана форма, а второе означает, что точки струны имеют начальные скорости (мы, предположим, что ).

Переведем физическую задачу на язык математики, т.е. выведем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять искомая функция U(x,t). Для этого выделим на струне элементарный участок, который при t = 0 совпадает с отрезком [x,x+dx] оси Ох. В момент t это будет дуга линии U(x ,t). Длина этой дуги:

пренебрегая (мы сделали допущение, что ), получим: ds = dx (т.е. струна не растягивается). Масса выделенного участка равна: . К этому элементу будут приложены растягивающие его силы. Пусть натяжение в точке х будет равно . Тогда к концам нашего элемента будут приложены силы и .

Они направлены по касательным в этих точках. Обозначим через и соответствующие углы в точках струны (рис. 4.1). Обозначим равнодействующую сил, приложенных к концам элемента, через , а ускорение элемента через . Тогда векторное уравнение движения элемента имеет вид:

Спроектируем это уравнение на ось Ох, находим:

( означает проекцию силы на ось Ох, а – численные значения натяжения в точке, абсцисса которой х).

Поскольку точки струны движутся перпендикулярно оси Ох, то , стало быть . Но

так как . Сопоставляя это с равенством , находим, что . Это значит, что величина натяжения не меняется вдоль струны. Но, так как на концах струны это натяжение есть , вместо F_x, F_x=dx будем писать: .

Спроектируем уравнение (4/11) на ось Оу:

Так как , а то (4.13) дает:

Тогда уравнение будет иметь вид:

где . Уравнение (4.14) называется уравнением свободных колебаний струны или волновым уравнением.

Таким образом, механическая задача свелась к чисто математической (получили математическую модель процесса колебания струны): найти такое решение уравнения (4.14), которое удовлетворяет начальным и граничным условиям (4.9) и (4.10). Существуют разные способы решить эту задачу. Один из способов был предложен в XYIII веке Д. Бернулли. Позже, уже в XIX веке, этот способ систематически применялся Фурье для решения целого ряда термодинамических задач, почему он и получил название метода Фурье. Этот способ мы рассмотрим далее. Он требует сначала решения одной важной задачи, которая носит название задачи о собственных значениях и собственных функциях. Однако решим одну вспомогательную задачу: найти функцию U = U(x, t), удовлетворяющую требованиям:

Отличие этой задачи от той, которую нам надо решить, состоит в том, что от искомой функции U(x ,t) мы не требуем, чтобы она удовлетворяла начальным условиям где , но зато требуем, чтобы она имела специальный вид X(x)T(t) и была отличной от тождественного нуля.

Измененная задача решается довольно просто и имеет бесконечное множество решений, из которых удается составить и решение нашей основной задачи.

Итак, пусть имеем первое условие (4.15).

Из него вытекает, существование такой точки , что . Тогда , т.е. . Подставим в граничные условия:

Отсюда видно, что искомая функция X(x) должна удовлетворять условиям:

Подставляя из четвертого условия (4.15.) во второе, получим:

Обратим внимание, на то, что правая часть (4.15) не зависит от . Следовательно, и левая часть от не должна зависеть. С другой стороны, эта левая часть может быть функцией только одного , ибо . Значит, левая (и правая) часть равенства должна быть постоянной величиной. Обозначим ее (пока неизвестную) через .

Допустим, что . Тогда из (4.17) следует . Отсюда и , т.е. должна быть линейной функцией. Подставляя в X(0 )= X(l) = 0, получим:

т.е. , а с ним и , что противоречит допущению первому из (4.15). Таким образом, не существует решения вспомогательной задачи для .

Допустим, что , т.е. , где можно считать положительным. Тогда

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Решая эту систему, находим . Это приводит к , что противоречит первому условию (4.15). Итак, неравенство невозможно.

Пусть , т.е. , где . Тогда

Решив это уравнение, получим:

Граничные условия дают: . Заменяя на С, имеем , а второе условие дает . Это возможно лишь при . Значит, для возможны значения , что приводит к следующим выражениям для :

причем при каждом может принять любое (отличное от 0) значение. Заметим, что здесь решена задача о собственных значениях и собственных функциях. Поэтому числа и функции называются соответственно: собственными числами, а функции собственными функциями, которые соответствуют собственным числам (значениям).

Выбрав возможное значение , и подставив в (4/17), получим:

где А и В – произвольные постоянные. Обозначая Т буквой Т_n и полагая , , получаем бесконечное множество решений вспомогательной задачи:

Отметим, что наше уравнение и условия линейны и однородны, т.е. такие, что сумма функций , которая удовлетворяет им, также будет решением. Поэтому функция

при условии сходимости ряда также будет решением. Чтобы функция (4.22) была решением исходной задачи надо подобрать и так, чтобы выполнялись начальные условия (4.10).

Первое условие с (4.10) дает:

Дифференцируя (4.22), получим:

Чтобы удовлетворить соотношению (4.24), надо положить . Соотношение (4.23) говорит, что коэффициенты должны равняться коэффициентам разложения функции , заданной на [0,l], по функциям в ряд Фурье. Поэтому

Таким образом, искомое решение имеет вид

где определяется по (4.25).

1) Полученное решение носит формальный характер, так как мы не исследовали сходимость ряда (4.26). Однако можно показать, что если функция гладкая на [0,l], то ряд сходится и его сумма U(x,t) удовлетворяет исходному уравнению и начальным и краевым условиям.

2) Примененный метод решения задачи обычно называют методом Фурье или методом разделения переменных или методом собственных функций.

Решение (4.22) с учётом , можно записать в виде:

Каждый член этого ряда представляет собой так называемую стоячую волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой , с амплитудой и частотой .

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00