Методом простой итерации найти корни уравнения маткад

Практическая работа №5

Цель работы:

• научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода простых итераций;

Задание №1.Решить нелинейное уравнение методом итераций.

Метод простых итераций является одним из наиболее важных способов численного решения уравнений. Этот метод состоит в следующем. Пусть дано уравнение

где f(x)  непрерывная функция, требуется определить вещественные корни этого уравнения. Запишем уравнение (1) равносильным уравнением

x= (x) (2)

Выберем каким-либо способом, например графически, приближенное значение корня x₀ и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим некоторое число

x₁= (x₀) (3)

Подставим теперь в правую часть уравнения (3) вместо x₀ число x₁. Получим новое число x₂= (x₁). Повторяя этот процесс, получим последовательность чисел x_n= (x_n-1) (n=1,2,…). Если эта последовательность сходится, то найдется число , которое и будет корнем уравнения (2). Итерационный процесс x_n= (x_n-1) сходится, если . Критерием окончания итерационного процесса является выполнение неравенства

, где ε 3-x-1=0

Практическая работа №6

Цель работы:

• научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода бисекции (половинного деления).

Задание №1.Решить нелинейное уравнение методом бисекции.

Метод бисекции (половинного деления) состоит в следующем.

Пусть дано уравнение

Деление продолжать до получения отрезка длиной ε ≤ 10-3.

• Определите левую часть нелинейного уравнения как функцию f(x).
• Построим график функции f(x), точка пересечения которого с осью и даст приближенное значение корня исходного уравнения. Определим по графику значения концов отрезка, содержащего корень уравнения: a=0, b=1.
• Задайте значения концов отрезка [a,b] в векторной форме. Для этого, используя палитру векторов и матриц, получите, оператор вектора на два элемента и заполните его идентификаторами концов отрезка a₀ и b₀. При помощи клавиши пробела выведите курсор за знак оператора, нажмите клавишу :, введите еще один оператор вектора на два элемента и заполните его значениями концов отрезка: 0 и 1.
• Задайте дискретную переменную i (от 0 до 10), определяющую количество этапов деления отрезка [a,b], за которое мы рассчитываем получить решение уравнения.
• Определите формулы вычисления концов отрезка на каждом этапе деления его пополам. На отрезке [a_i,b_i] серединой будет точка .

Если (знаки функции на концах разделенного отрезка разные), то начало нового отрезка для вычислений a_i+1 совпадет с a_i, т.е. a_i+1=a_i. В противном случае (знаки функции на концах разделенного отрезка одинаковые) a_i+1 совпадет с точкой половинного деления отрезка, т.е. .

Подобная операция необходима для другого конца отрезка [a_i, b_i], для b_i. Если , то конец нового отрезка для вычислений b_i+1 совпадет с точкой половинного деления отрезка, т.е. ; в противном случае b_i+1 совпадет с концом отрезка [a_i, b_i], т.е. b_i+1=b_i. Если же , то точка будет являться корнем нелинейного уравнения. Для реализации описанного процесса в Mathcad запишем формулы для определения начала и конца разделенного отрезка, воспользовавшись условным оператором if в векторной форме. Такая форма записи позволяет в вычислениях Mathcad использовать результаты предыдущих операций. Введем оператор вектора на три элемента и заполним его идентификаторами искомых величин a_i+1, b_i+1, g_i (g_i  для вычисления ). Введем знак присвоения и еще один оператор вектора на три элемента. Последний оператор заполните следующими формулами:

Условный оператор if работает следующим образом. Если логическое выражение, записанное в скобках, истинно, то переменная слева от знака := принимает значение выражения или величины, стоящей первой после логического выражения, в противном случае переменной присваивается значение выражения, или величины, стоящей на втором месте после логического выражения.

• Чтобы увидеть результат вычислений, введите последовательно a=,b=,g=. Вектор a покажет начала всех разделенных отрезков, b  концы этих отрезков. Вектор g содержит значения функции f(x) в серединах всех отрезков [a,b]. Среди значений вектора a или вектора b будет корень исходного уравнения.
• Определим корень уравнения следующим образом. Вычислим длину отрезка [a_i,b_i]i=0,…,10, определив ее как . Проанализируем значения вектора ε. Найдем элемент вектора, значение которого меньше заданной в условии задачи минимальной длины отрезка [a_i,b_i]. В нашем примере это значение элемента ε₁₀. Корнем уравнения будет значение .

Результат на экране:

Л евая часть нелинейного уравнения, определенная как функция f(x).

Локализация корня уравнения.

Д
искретная переменная i.

Формулы для определения начала и конца отрезка и определения значения f(x) в середине отрезка.

Значения длины вычисляемых отрезков.
Р
езультаты вычислений.
Длина отрезка [a₁₀, b₁₀] -3 .
З начение f(x) наиболее близкое к нулю.

К орень уравнения, который можно принять для десяти этапов деления отрезка.
Задачи для самостоятельного решения.

Методом бисекции (половинного деления) уточнить корень уравнения.

1. x3+x-1000=0 с точностью до 10-4 .
2. tg(x)=x на отрезке с точностью до 0.0001.

Практическая работа №7

Цель работы:

• научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода Ньютона (метод касательных).

Задание №1.Решить нелинейное уравнение методом Ньютона.

Знаменитый метод Ньютона является одним из наиболее эффективных способов численного решения нелинейных уравнений. Этот метод состоит в следующем. Пусть дано уравнение

где f(x)  непрерывная функция, требуется определить вещественные корни этого уравнения с точностью ε. Расчетная формула метода Ньютона имеет следующий вид

(2)

Выберем каким-либо способом, например, графически, приближенное значение корня x₀ и, подставляя его в правую часть уравнения (2), можем начать итерационный процесс вычисления корня уравнения.

Условием завершения итерационного процесса является выполнение условия

(3)

В случае выполнения неравенства (3), корнем уравнения (1) будем считать значение x_k+1.
Рассмотрим реализацию алгоритма метода Ньютона в Mathcad на следующем примере.

Найти действительные корни уравнения

с точностью до трех значащих цифр.

• Установим формат чисел так, чтобы результаты вычислений отображались с нужным количеством знаков после десятичной точки (запятой).
• Преобразуем заданное уравнение к виду (1) и определим его правую часть как функцию f(x).
• Определим приближенное значение корня уравнения графически. Для этого построим график функции . Этим значением будет значение x=a в точке пересечения графика функции с осью абсцисс.
• Определим начальное значение для вычислений следующим образом:

x₀:a.

• Определим дискретный аргумент k:=0..9, задающий количество итераций (вычисляемых значений x_k).
• Определим первую производную функции f(x) как функцию d(x):

• Определим вычислительную формулу Ньютона в векторной форме:

• Для получения вектора результатов в свободном месте рабочего пространства Mathcad напишите: x=. Введите условие оценки погрешности вычислений . Результат вычислений погрешности выведите на экран. Корнем уравнения будет x₂=1.171.

Результат на экране:

Нелинейное уравнение определено в виде функции.

Локализация корней уравнения графическим способом.

Приближенное значения корня уравнения.

К оличество итераций.

Н ачальное значение неизвестного для решения уравнения.

Вычислительная формула Ньютона.

Результат вычислений. Расчет погрешности вычислений.

Погрешность вычислений становится допустимой на второй итерации , поэтому допустимое решение получено на второй итерации .
Задачи для самостоятельного решения.

Используя метод Ньютона, найти с точностью ε=10-6 положительный корень уравнений

Цель работы: Изучить вычислительные возможности пакета MathCAD для решения нелинейных уравнений и систем, и оптимизационных задач.

Используемые программные средства: пакет MathCAD.

Решение уравнения с одним неизвестным. Метод простых итераций.Пусть задана непрерывная функция и требуется найти корни уравнения

(5.1)

Уравнение (5.1) заменим эквивалентным ему уравнением

(5.2)

Выберем некоторое нулевое приближение и вычислим последующие приближения по формулам:

(5.3)

Процесс итераций сходится , если выполнено условие на отрезке [a, b], содержащем корень .

Метод Ньютона.Пусть дано уравнение , корень которого отделен. Суть метода состоит в том, что дуга кривой заменяется касательной к ней и за приближение корня берется абсцисса точки пересечения касательной с осью OX.

В методе касательных приближение вычисляется по формуле , , в которой за нулевое приближение принимается такое значение из отрезка [a, b], для которого выполняется условие .

Оценка абсолютной погрешности определяется формулой , где .

Средства пакета MathCAD для решения нелинейных уравнений вида .Для решения уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает по-разному.

где f(х) – скалярная функция, определяющая уравнение;

х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;

а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно предварительно присвоить этой переменной некоторое число, в окрестности которого будет производиться поиск корня. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня. Отделить корень можно, построив график функции f(х)и с помощью опцииTrace(см.лабораторную работу № 3)определить примерно абсциссу пересечения графиком оси ОХ.

Пример 5.1.

Рассмотрим уравнение , корни которого известны заранее.

Примем начальное значение .

Решение.

Поиск корня уравнения в заданном интервале.Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

— внутри интервала не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно;

— значения и должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Пример 5.2.Найти корень уравнения из интервала .

Решение.

Поиск мнимых корней уравнения.Если уравнение не имеет действительных корней, но имеет мнимые, то их также можно найти.

Пример 5.3.Решить уравнение .

Решение.

Замечание.Явный вид функции может быть определен непосредственно в теле функции root.

Корни полинома.Если функция является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию polyroots(v), где v – вектор, составленный из коэффициентов полинома.

Поскольку полином n-й степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из элементов. Результатом действия функции polyroots является вектор, составленный из n корней рассматриваемого полинома. При этом не требуется вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root.

Пример 5.4.

Найти корни полинома

Решение.

1) Задаём полином .

2) Определяем вектор коэффициентов полинома

3) Находим вектор корней полинома

4)

Представляем результаты на графике:

Некоторые уравнения можно решить точно с помощью символьного процессора MathCAD. Делается это очень похоже на численное решение систем уравнений с применением вычислительного блока (см. пункт «Средства пакета MathCad для решения систем уравнений»). Присваивать неизвестным начальные значения нет необходимости.

Пример 5.5

Find

Вместо знака равенства после функции Find в листингах следует стрелка — знак символьных вычислений, который можно ввести с панели Symbolic (Символика) или, нажав клавиши + . При этом уравнения должны иметь вид логических выражений (знаки равенства нужно вводить с помощью панели Booleans (Булевы операторы) – жирные знаки равенства).

С помощью символьного процессора решить уравнение с одним неизвестным можно и другим способом:

1. Введите уравнение, пользуясь панелью Booleans (Булевы операторы) или нажав клавиши + для получения логического знака равенства.

2. Щелчком мыши выберите переменную, относительно которой требуется решить уравнение.

3. Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable/Solve (Переменная/Решить).

После строки с уравнением появится строка с решением или сообщение о невозможности символьного решения этого уравнения.

Символьные вычисления могут производиться и над уравнениями, которые помимо неизвестных содержат различные параметры.

Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций (последовательных приближений).Систему нелинейных уравнений можно записать в векторном виде

(5.4)

или подробно в координатном виде .

Нулевое приближение в случае двух переменных находится графически: на плоскости строят кривые и и находят точки их пересечения.

Для трех и более переменных удовлетворительных способов подбора нулевых приближений нет.

Заменим нелинейную систему (5.4) эквивалентной системой вида

. (5.5)

или .

Если итерации сходятся, то они сходятся к решению уравнения (предполагается, что решение существует).

Заканчивать итерации можно по критерию сходимости: , выполнение которого необходимо проверить для каждой компоненты.

Средства пакета MathCAD для решения систем нелинейных уравнений.При решении систем нелинейных уравнений, а также задач оптимизации используется специальный вычислительный блок, открываемый ключевым словом Given и имеющий следующую структуру:

Начальные условия

Given

Уравнения

Ограничительные условия

Выражения с функциями Find, Minner (Maximize, Minimize).

Начальные условияопределяют начальные значения искомых переменных и задаются в виде var:=value, т.е. обычным присваиванием переменным заданных значений.

Уравнения задаются в виде expr_left=expr_right с применением жирного знака равенства между левой и правой частями каждого уравнения, который вводится либо с палитры Boolean (Булевы операторы), либо сочетанием клавиши + .

Встроенная функция Find (x₁. ,x_n) возвращает значение одной или нескольких переменных для точного решения. Таким образом, число элементов вектора решений равно числу аргументов функции Find.

Пример 5.6. Решить систему уравнений в окрестности точки .

Решение.

Ответ: решением системы является точка

Замечание. Вычислительный блок использует константу CTOL в качестве погрешности выполнения уравнений, введенных после ключевого слова Given. Например, если , то уравнение будет считаться выполненным и при , и при .

Вычислительным блоком с функцией Find можно найти и корень уравнения с одним неизвестным. Действие Find в этом случае совершенно аналогично уже рассмотренным примерам. Задача поиска корня рассматривается как решение системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа, возвращаемого функцией Find (см. пример 5.5).

Если окрестность, в которой требуется найти решение системы, не задана, начальное приближение для решения можно задать, построив в одной графической области графики кривых, задаваемых уравнениями системы.

Пример 5.7.

Найти решение системы уравнений

Решение. Зададим функции и , соответствующие первому и второму уравнениям:

Построим графики поверхностей, описываемых этими уравнениями (рис. 5.1).

На графике видно, что в качестве начального приближения можно выбрать, например, точку (0,0).

.

Выполним проверку, подставив найденные значения в функции и :

Ответ: решением системы является точка .

Если не удаётся решить точно систему уравнений с помощью функции Find, можно попытаться найти её приближённое решение, заменив в вычислительном блоке функцию Find на функцию Minerr с тем же набором параметров.

Пример 5.8.

Минимизация функций.Система нелинейных уравнений в векторной форме

(5.6)

Рассмотрим функцию . Эта функция неотрицательна и обращается в нуль в том и только в том случае, если . Таким образом, решение исходной системы уравнений (5.6) будет одновременно нулевым минимумом скалярной функции многих переменных Иногда проще искать такой минимум, чем решать систему уравнений. Задачи минимизации функций принято называть задачами оптимизации, так как основной целью решения этих задач обычно является достижение оптимального режима работы. При этом минимизируемую функцию обычно называют целевой функцией.

Решение задач оптимизации складывается из следующих элементов: создание математической модели явления, определение целевой функции и важнейших параметров, подлежащих оптимизации, непосредственная минимизация некоторой функции (обычно большого числа переменных).

Функции MathCAD для решения задач оптимизации.MathCAD с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Второй вариант таит в себе опасность уйти в окрестность другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее при решении практических задач.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

— Minimize (f, x₁, . х_n) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

— Maximize (f, x₁, . х_n) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

— x₁, . х_n – аргументы, по которым производится минимизация (максимизация).

Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения.

Пример 5.9.Поиск локального экстремума в окрестности заданной точки.

Найти максимум функции в окрестности точки (4; 5).

Решение.

;

Ответ:функция имеет максимум, равный 4, в точке .

Пример 5.10.Поиск условного экстремума функции.

Найти минимум функции при условиях .

Решение.

1) Задаем целевую функцию, матрицу системы ограничений и вектор правой части этой системы

.

2) Задаем начальное приближение решения:

3) С помощью вычислительного блока находим вектор R, на котором достигается минимальное значение функции .

Ответ: минимум функции равен 32.155 и достигается в точке .

Порядок выполнения работы

Ответить на контрольные вопросы. Выполнить примеры из практической части. Выполнить задачи своего варианта.

Отчет должен содержать ответы на контрольные вопросы и результат решения соответствующего варианта.

1. Что значит отделить корень уравнения ?

2. Какие функции могут быть использованы для решения нелинейных уравнений?

3. Опишите конструкцию вычислительного блока.

4. В чем различие между функциями Find и Minner для решения систем нелинейных уравнений?

5. Где необходимо расположить ограничительные условия при решении задачи оптимизации?

Вариант 1

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции .

Вариант 2

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при ограничении , , .

Вариант 3

1. Решить уравнение , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при ограничении , , , .

Вариант 4

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции .

Вариант 5

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти минимальное и максимальное значения функции .

Вариант 6

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома , проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений:

4. Найти максимум функции при условиях , , , , , .

Вариант 7

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , , , .

Вариант 8

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , , , .

Вариант 9

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку

4. Найти минимум функции при условиях , , , , .

Вариант 10

1. Решить уравнение, предварительно отделив корни , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , , , .

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 6

ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ПАКЕТЕ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ MATHCAD

Цель работы: Изучить возможности символьного пакета Mathcad для программирования условных и циклических выражений. Приобретение навыков написания простейших программ.

Используемые программные средства:Mathcad.

Пакет инженерных расчетов Mathcad предлагает использовать средства программирования, которые позволяют пользователю создавать свои собственные функции, используя оператор присваивания, условный оператор, операторы цикла, операторы прерывания вычислений и оператор обработки ошибок, что оптимизирует работу пользователя и улучшает читаемость программы.

Для написания функций используется понятие программный блок (другое название – программный модуль).

Программный блок пишется с помощью инструкций (операторов) программирования. Инструкции программирования находятся на палитре компонент Programming, которую можно вызвать щелчком мыши на кнопке палитры компонент Math, либо выбрать пункт главного меню View ► Toolbars ► Programming.

Палитра компонент программирования имеет вид, изображенный на рис. 6.1.

Основной инструкцией программирования является инструкция Add Line, которая создает программный блок и позволяет добавлять инструкции в программный блок. Маска программного блока выглядит следующим образом , где черные квадраты – это поля для ввода инструкций.

Следующей по значимости инструкцией является инструкция локального присваивания . При присваивании значения переменной внутри программного блока используется не обычный оператор присваивания :=, а оператор локального присваивания . Если в программном блоке переменной присвоено значение, то областью действия данной переменной будет только программный блок. Вне данного программного блока может существовать другая переменная с тем же самым именем (глобальная переменная), но при этом они являются различными. Если глобальная переменная перед выполнением программного блока имела некоторое значение, то оно не изменится, если в следом идущем программном блоке локальная переменная с тем же именем будет принимать другие значения. В программном блоке могут фигурировать и переменные, которым раньше в программном блоке не было присвоено никакого значения, в таком случае данные переменные должны быть определены глобально – до выполнения программного блока.

Результатом выполнения программного блока есть значение, которое является последним вычисленным в программном блоке.

Пример 6.1. Найти значение выражения при и . Программный блок, вычисляющий данное значение, приведен на рис. 6.2.

Рис. 6.2

Разумеется, значения программных блоков можно присваивать переменным (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Следующий фрагмент документа Mathcad (рис. 6.4) показывает, что локальная переменная отличается от глобальной переменной с тем же самым именем.

При написания следующего программного блока используются как локальные, так и глобальные переменные.

Пример 6.2. Найти значение выражения при и . Программный блок, вычисляющий данное значение, приведен на рис. 6.5.

Рис. 6.5

Программный блок используется (это его основное предназначение) для написания собственно разработанных пользователем функций. В этом случае переменные, которые используются внутри программного блока, могут быть либо локальными, либо глобальными, либо параметрами функций. Параметры функций существуют только во время выполнения программного блока, где их значения можно изменять. Параметры функций могут совпадать с названиями глобальных переменных, при этом это различные переменные.

Пример 6.3. Вычислить значение функции при , и . Программный блок данной задачи приведен на рис. 6.6.

Инструкции if и otherwise используются для написания условных операторов. Инструкция if (если) имеет следующую маску ввода , где справа от инструкции if пишется условие (булевское выражение), при выполнении которого выполняются операторы, стоящие слева от инструкции if. Инструкция otherwise (иначе, в противном случае) имеет следующую маску ввода и всегда пишется после последовательно идущих инструкций if. Слева от инструкции otherwise пишутся операторы, которые выполняются тогда, и только тогда, когда условия всех непосредственно идущих инструкций if перед инструкцией otherwise не выполняются.

Булевские выражения пишутся с помощью булевских операторов, расположенных на палитре компонент Boolean, которую можно вызвать щелчком мыши на кнопке палитры компонент Math, либо выбрать пункт главного меню View ► Toolbars ► Boolean.

Палитра булевских компонент приведена на рис. 6.7.

Рис. 6.7

Назначение булевских операций следующее:

– равенство двух выражений;

– знак меньше;

– знак больше;

– знак меньше, либо равно

– знак больше, либо равно;

– знак неравенства двух выражений;

– отрицание логического выражения;

– конъюнкция (операция И) логических выражений;

– дизъюнкция (не исключающее ИЛИ) логических выражений (принимает значение ИСТИНА, если хотя бы одно из высказываний ИСТИНА, в противном случае принимает значение ЛОЖЬ);

– операция исключающего ИЛИ над логическими выражениями: принимает значение ИСТИНА, когда одно из высказываний принимает значение ИСТИНА, а другое высказывание принимает значение ЛОЖЬ, и принимает значение ЛОЖЬ, когда оба высказывания одновременно принимают значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.

Пример 6.4. Вычислить значение функции

при и .

Данная задача решена двумя различными способами (рис. 6.8 и рис. 6.9), однако программный код на рис. 6.9 считается более грамотным.

Рис. 6.8	Рис. 6.9

Пример 6.5. Вычислить значение функции

при , и .

Решение данной задачи приведено на рис. 6.10.

Рис. 6.10

Пример 6.6. Вычислить значение функции

при и , и , и .

Решение данной задачи приведено на рис. 6.11 и рис. 6.12, однако программный блок на рис. 6.12 считается более грамотным.

Рис. 6.11	Рис. 6.12

К инструкциям цикла относят инструкцию for и инструкцию while.

Инструкция for (цикл с заданным числом повторений) имеет следующую маску ввода:

Более подробно: маска ввода инструкции for имеет следующий вид:

for iÎBegin, Next .. End

Здесь переменная i, которая называется параметром цикла for, последовательно принимает значение с одним и тем же шагом: сначала значение Begin, потом значение Next, и так далее, пока значение i будет не больше значения End. При каждом значении i выполняются операторы, написанные ниже инструкции for. Если параметр Next инструкции for не указан, то шаг цикла равен 1. Напомним, чтобы набрать двоеточие (..) в инструкции for, надо нажать клавишу; (точка с запятой).

Пример 6.7. Функция f, зависящая от трех параметров Begin, End и h, находит сумму квадратов всех чисел от Begin до End с шагом h. Решение задачи приведено на рис. 6.13.

Инструкции можно вкладывать друг в друга (если это возможно).

Рис. 6.13

Пример 6.8. Параметром функции f является матрица A. Результатом функции f является вектор-столбец, состоящий из 3 координат: первая – минимальное значение матрицы A, вторая и третья – номер строки и номер столбца матрицы A, в которых находится минимальный элемент матрицы A (если матрица A обладает несколькими минимальными элементами, то номер строки и номер столбца матрицы A, в которых находится минимальный элемент матрицы, выбирается произвольным образом). Решение задачи приведено на рис. 6.14.

Рис. 6.14

В этом примере инструкция for, в которую вложена инструкция if, является вложенной в инструкцию for. При этом при выполнении условия в инструкции if выполняются три оператора. Для набора таких операторов надо выделить ячейку ввода, стоящую слева от инструкции if и выбрать инструкцию Add Line. Также при написании программного блока использовались две функции rows(A) и cols(A), которые соответственно вычисляют количество строк и столбцов матрицы A.

Инструкция while (цикл с предусловием) имеет следующую маску ввода:

.

Справа от инструкции while пишется условие, снизу инструкции while пишется набор операторов. Инструкция while «работает» по следующему алгоритму:

1. Проверяется условие. Если условие верно, то переходим к пункту 2, если условие не верно, то переходим к пункту 4.

2. Выполняется набор операторов.

3. Переходим к пункту 1.

4. Конец выполнения инструкции while.

Пример 6.9. Функция f, зависящая от двух параметров и , вычисляет значение следующего выражения

,

где число выбирается таким, что , а . Решение задачи приведено на рис. 6.15.

Рис. 6.15

Инструкция break вызывает прерывание (прекращение) выполнения цикла (for или while), внутри которого она находится. Если инструкция break не находится внутри цикла, то она вызывает прекращение выполнения программного блока.

Пример 6.10. Параметром функции f является матрица A. Результатом функции f является вектор-столбец, i-ый элемент которого содержит номер первого столбца строки i матрицы A, в котором содержится нулевой элемент матрицы A; если i-ая строка матрицы A не содержит нулевого элемента, то i-ый элемент полученного вектор-столбца равен . Решение задачи приведено на рис. 6.16.

Инструкция continue обеспечивает досрочное завершение очередного прохода цикла; эквивалент передачи управления в самый конец циклического оператора. А именно, если инструкция continue находится в инструкции while, то после выполнения инструкции continue цикл while начинает выполняться заново, т. е. с проверки условия; если инструкция continue находится в инструкции for, то после выполнения инструкции continue параметр цикла увеличивается на свой шаг.

Рис. 6.16

Инструкцию continue можно использовать, например, вместо инструкции otherwise с вложенной в нее инструкцией if.

Пример 6.11. Параметром функции minmax является матрица A. Результатом выполнения функции minmax является вектор-столбец размерности 2, первый элемент которого равен минимальному элементу матрицы A, а второй – максимальному. Решение задачи приведено на рис. 6.17 с инструкцией otherwise и на рис. 6.18 с инструкцией continue.

Инструкция return прерывает выполнение программного блока и выводит значение выражения, стоящего справа от инструкции return. Маска инструкции return имеет следующий вид .

Рис. 6.17	Рис. 6.18

Пример 6.12. Параметром функции f является матрица A. Результатом функции f является вектор-столбец, содержащий номер строки и номер столбца матрицы A, в которых находится первый нулевой элемент матрицы. Элементы матрицы идут в следующем порядке: слева верхнего угла матрицы по строчкам вниз. Если матрица A не содержит элемента, равного 0, то функция f выводит вектор-столбец с двумя координатами –1. Решение задачи приведено на рис. 6.19.

Инструкция on error позволяет создавать процедуры обработки ошибок. Эта инструкция задается в виде:

Выражение_1 on error Выражение_2

Если при выполнении Выражение_2 возникает ошибка, то выполняется Выражение_1.

Рис. 6.19

Пример 6.13. Написать программу, которая вычисляет значение следующей функции

Решение приведено на рис. 6.20.

Для обработки ошибок полезна также функция error(S), которая, будучи помещенной в программный блок, при возникновении ошибки выводит всплывающую подсказку с сообщением, хранящемся в символьной строке S.

Пример 6.14. Написать функцию, которая вычисляет значение функции при , а при выдает всплывающую подсказку “Division by zero”. Решение приведено на рис. 6.21.

Разработанные пользователем функции обладают тем свойством, что внутри функций можно вызывать как встроенные в Mathcad функции, так и функции, написанные пользователем раньше в этом документе Mathcad.

Пример 6.15. Написать программу, которая вычисляет функцию

,

где . Решение приведено на рис. 6.22.

Рис. 6.22

Порядок выполнения работы

Студенту рекомендуется изучить внимательно теоретический материал, проделать все примеры, в нем встречающиеся, и после этого приступать к выполнению своего варианта задания.

1. Краткий обзор по теоретической части.

2. Файл MathCAD с выполненными заданиями своего варианта.

Вариант 1

1. Составьте функцию, которая будет менять местами 2 строки матрицы.

2. Используя встроенную функцию error вычислите значение функции , либо выведите всплывающую подсказку «Division by zero».

3. Напишите функцию, которая возвращает значение , если аргумент функции есть число отрицательное; значение 0, если аргумент функции равен 0; значение 1, если аргумент функции есть число положительное.

Вариант 2

1. Составьте функцию, которая будет выводить сумму конечной геометрической прогрессии, при следующих значениях аргументов: – первый член геометрической прогрессии, – количество членов прогрессии, – знаменатель геометрической прогрессии.

2. Напишите функцию, которая возвращает квадратную матрицу размерности , на побочной диагонали которой стояли бы 1, а все остальные элементы матрицы равнялись бы 0.

3. Вычислите значение функции

Вариант 3

1. Напишите функцию, которая вычисляет сумму чисел , где – натуральное число.

2. Для числа , изменяющегося от –2 до 2 с шагом вычислите значение функции .

3. Составьте функцию для вычисления длины вектора.

Вариант 4

1. Напишите функцию pr(n), которая вычисляет произведение чисел , где – натуральное число, без использования оператора – факториал.

2. Создайте функцию для вычисления корней многочлена .

3. Используя оператор on error вычислите функцию, которая равняется при и 1 при .

Вариант 5

1. Создайте функцию для вычисления корней квадратного многочлена .

2. Напишите функцию, вычисляющее значение выражения , которое зависит от действительного числа и натурального числа .

3. Напишите функцию, которая возвращает знак «+», если значение и знак «–», если значение .

Вариант 6

1. Напишите функцию, которая будет выводить единичную (квадратную) матрицу. Аргументом функции является размерность матрицы.

2. Вычислите значение , используя итерационную формулу

, , .

В качестве приближенного значения квадратного корня берется такое значение , которое удовлетворяет условию , где – заданная точность вычисления. Аргументами функции являются числа и .

3. Используя Вами разработанную функцию, вычислите , где изменяется от 0 до 10 с шагом 1.

Вариант 7

1. Составьте функцию, которая будет выводить сумму арифметической прогрессии при заданных значениях: – первый член арифметической прогрессии, – количество членов арифметической прогрессии, – разность арифметической прогрессии.

2. Составьте программу для вычисления функции по формуле

3. Напишите программу, которая выводит абсолютное значение функции .

Вариант 8

1. Определите функцию, которая равна 1, если ее аргумент есть четное число, либо размещен между четным и нечетным числом, и 0 в противном случае.

2. Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем .

3. Напишите функцию, которая по данным матрицам и вычисляет матрицу , элементы которой равны .

Вариант 9

1. Напишите функцию, возвращающую диагональную матрицу, с наперед заданным значением величины, стоявшей на главной диагонали.

2. Составьте функцию для вычисления скалярного произведения двух векторов.