Как решать
показательные уравнения?
Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.
Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:
Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:
Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:
Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.
Решим что-нибудь посложнее.
Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:
Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^
И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:
И еще один пример:
Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Общий метод решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.
Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:
Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:
Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:
Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$
Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:
\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):
Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):
Подставим данное преобразование в наш пример:
Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:
Решение показательных уравнений при помощи замены
Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^
Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.
Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
И второй корень:
И еще один пример на замену:
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):
Подставим в исходное уравнение:
Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:
Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
И второе значение \(t\):
Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):
Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
Разберем каждое слагаемое:
Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:
Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):
Сделаем обратную замену:
И последний пример на замену:
Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!
И последнее слагаемое со степенью:
Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут
Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):
И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:
Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^
Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Лекция: «Методы решения показательных уравнений».
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему
1. Показательные уравнения.
Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение а x = b, где а > 0, а ≠ 1.
1) При b 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a с , а x = b с ó x = c или x = logab.
Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:
1) метод приведения к одному основанию ;
3) графический метод;
4) метод введения новых переменных;
5) метод разложения на множители;
6) показательно – степенные уравнения;
7) показательные с параметром.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| metody_pokazatelnye_uravneniya.docx | 207.68 КБ |
Предварительный просмотр:
Лекция: «Методы решения показательных уравнений».
1 . Показательные уравнения.
Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение а x = b, где а > 0, а ≠ 1.
2) При b > 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a с , а x = b с ⬄ x = c или x = log a b.
Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:
- метод приведения к одному основанию ;
- метод оценки;
- графический метод;
- метод введения новых переменных;
- метод разложения на множители;
- показательно – степенные уравнения;
- показательные с параметром.
2 . Метод приведения к одному основанию.
Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнение надо попытаться свести к виду
Примеры. Решить уравнение:
Представим правую часть уравнения в виде 81 = 3 4 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 3 4 ; x = 4. Ответ: 4.
Представим правую часть уравнения в виде и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.
Представим правую часть данного уравнения в виде 1 = 5 0 и перейдем к уравнению для показателей степеней x 2 -3x+2 = 0, откуда легко получить решения x = 1 и x=2.
Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:
, откуда 5 -x-1 = 5 -2x-2 ⬄ — x – 1 = — 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.
- 3 x = 5. По определению логарифма x = log 3 5. Ответ: log 3 5.
- 6 2x+4 = 3 3x . 2 x+8 .
Перепишем уравнение в виде 3 2x+4 .2 2x+4 = 3 2x .2 x+8 , т.е. далее
2 2x+4-x-8 = 3 3x-2x-4 , т.е. 2 x-4 = 3 x-4 . (Уже ясно, что x = 4). Перепишем уравнение, разделив на 3 x-4 ≠ 0. Отсюда x – 4 =0, x = 4. Ответ: 4.
7 . 2∙3 x+1 — 6∙3 x-2 — 3 x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3 x — 2∙3 x – 3 x = 9 далее 3∙3 x = 9, 3 x+1 = 3 2 , т.е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.
Тест №1. с выбором ответа. Минимальный уровень.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) корней нет
1) 7;1 2) корней нет 3) -7;1 4) -1;-7
1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
1) -1 2) 0 3) 2 4) 1
Тест №2 с выбором ответа. Общий уровень.
1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
1) 2;-1 2) корней нет 3) 0 4) -2;1
1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3
Теорема о корне : если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, число а –любое значение принимаемое f на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = а имеет единственный корень на промежутке I.
При решении уравнений методом оценки используется эта теорема и свойства монотонности функции.
Примеры. Решить уравнения: 1. 4 x = 5 – x.
Решение. Перепишем уравнение в виде 4 x +x = 5.
1. если x = 1, то 4 1 +1 = 5 , 5 = 5 верно, значит 1 – корень уравнения.
2. докажем, что он единственный.
Функция f(x) = 4 x – возрастает на R, и g(x) = x –возрастает на R => h(x)= f(x)+g(x) возрастает на R, как сумма возрастающих функций, значит x = 1 – единственный корень уравнения 4 x = 5 – x. Ответ: 1.
Решение. Перепишем уравнение в виде .
- если x = -1, то , 3 = 3-верно, значит x = -1 – корень уравнения.
- докажем, что он единственный.
- Функция f(x) = — убывает на R, и g(x) = -x – убывает на R=> h(x) = f(x)+g(x) – убывает на R, как сумма убывающих функций. Значит по теореме о корне, x = -1 – единственный корень уравнения. Ответ: -1.
Банк задач №2. Решить уравнение
4. Метод введения новых переменных.
Метод описан в п. 2.1. Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения. Рассмотрим примеры.
Примеры. Р ешить уравнение: 1. .
Перепишем уравнение иначе:
Обозначим 5 x = t > 0, тогда т.е. 3t 2 – 2t – 1 =0, отсюда t 1 = 1, -не удовлетворяет условию t > 0. Итак, 5 x = 1 = 5 0 x = 0. Ответ: 0.
Решение. Перепишем уравнение иначе:
Обозначим тогда — не подходит.
t = 4 => Отсюда — иррациональное уравнение. Отмечаем, что
Решением уравнения является x = 2,5 ≤ 4, значит 2,5 – корень уравнения. Ответ: 2,5.
Решение. Перепишем уравнение в виде и разделим его обе части на 5 6x+6 ≠ 0. Получим уравнение
2x 2 -6x-7 = 2x 2 -6x-8 +1 = 2(x 2 -3x-4)+1, т.е
Корни квадратного уравнения – t 1 = 1 и t 2 ,
x 1 = -1, x 2 = 4. Ответ: -1, 4.
Решение . Перепишем уравнение в виде
и заметим, что оно является однородным уравнением второй степени.
Разделим уравнение на 4 2x , получим
Заменим 2t 2 – 5t +3 = 0 , где t 1 = 1, t 2 = .
Банк задач № 3. Решить уравнение
Тест № 3 с выбором ответа. Минимальный уровень.
1) -0,2;2 2) log 5 2 3) –log 5 2 4) 2
А 2 0,5 2x – 3 0,5 x +2 = 0.
1) 2;1 2) -1;0 3) корней нет 4) 0
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
А 4 5 2x -5 x — 600 = 0.
1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
1) корней нет 2) 2;4 3) 3 4) -1;2
Тест № 4 с выбором ответа. Общий уровень.
1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А 2 2 x – (0,5) 2x – (0,5) x + 1 = 0
1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
1) 0 2) 1 3) 0;1 4) корней нет
5. Метод разложения на множители.
1. Решите уравнение: 5 x+1 — 5 x-1 = 24.
Решение. Перепишем уравнение в виде
Теперь в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель 5 x .
2. 6 x + 6 x+1 = 2 x + 2 x+1 + 2 x+2 .
Решение. Вынесем за скобки в левой части уравнения 6 x , а в правой части – 2 x . Получим уравнение 6 x (1+6) = 2 x (1+2+4) ⬄ 6 x = 2 x .
Так как 2 x >0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2 x , не опасаясь при этом потери решений. Получим 3 x = 1 ⬄ x = 0.
Решение. Решим уравнение методом разложения на множители.
Выделим квадрат двучлена
Решение. Преобразуем члены уравнения и перегруппируем слагаемые
x = -2 – корень уравнения.
Уравнение x + 1 = можно решить либо методом оценки, либо графически.
x = 1 – второй корень исходного уравнения.
Банк задач №4. Решить уравнение
а) 48 x – 4 2x+1 – 3 x+1 + 12 = 0.
б) 5 2x-1 + 2 2x – 5 2x +2 2x+2 = 0.
в) 3 x – 2 x+2 = 3 x-1 – 2 x-1 – 2 x-3 .
г) 4 x – 5 2 x + 4 = 0.
Тест №5 Минимальный уровень.
А 1 5 x-1 +5 x -5 x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
А 2 3 x+1 +3 x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
А 3 3 2x + 3 2x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
А 5 2 x -2 x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Тест № 6 Общий уровень.
А 1 (2 2x -1)(2 4x +2 2x +1)=7.
1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
1) 2,5 2) 3;4 3) log 4 3/2 4) 0
А 3 2 x-1 -3 x =3 x-1 -2 x+2 .
1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
А 4 
1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
1) 2 2) -2 3) 5 4) 0
6. Показательно – степенные уравнения.
К показательным уравнениям примыкают так называемые показательно – степенные уравнения, т.е. уравнения вида (f(x)) g(x) = (f(x)) h(x) .
Если известно, что f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнение, как и показательное, решается приравниванием показателей g(x) = f(x).
Если условием не исключается возможность f(x)=0 и f(x)=1, то приходится рассматривать и эти случаи при решении показательно – степенного уравнения.
1. Решить уравнение
Решение. Для нахождения корней уравнения следует рассмотреть четыре случая:
- x + 1=x 2 – 1 ( показатели равны);
- x = 1(основание равно единице);
- x = 0 (основание равно нулю);
- x = -1(основание равно -1).
Решим первое уравнение: x 2 – x – 2 = 0, x = 2, x = -1.
x 1 = 2 => 2 3 = 2 3 – верно;
x 2 = -1 => (-1) 0 =(-1) 0 – верно;
x 3 = 1 => 1 2 = 1 0 – верно;
x 4 = 0 => 0 1 = 0 (-1) – не имеет смысла.
Уравнение вида f(x) g(x) = 1 равносильно совокупности двух систем
Решение. x 2 +2x-8 – имеет смысл при любых x , т.к. многочлен, значит уравнение равносильно совокупности
Банк задач №5. Решить уравнение
7. Показательные уравнения с параметрами.
1. При каких значениях параметра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p 2 –3p = 0 (1) имеет единственное решение?
Решение. Введем замену 2 x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t 2 – (5p – 3)t + 4p 2 – 3p = 0. (2)
Дискриминант уравнения (2) D = (5p – 3) 2 – 4(4p 2 – 3p) = 9(p – 1) 2 .
Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.
1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t 2 – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.
2. Если p1, то 9(p – 1) 2 > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t 1 = p, t 2 = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем
Подставляя t 1 и t 2 в системы, имеем
Рассмотрим более общую задачу.
Задача 2. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a ?
Решение. Пусть 
тогда уравнение (3) примет вид t 2 – 6t – a = 0. (4)
Найдем значения параметра a, при которых хотя бы один корень уравнения (4) удовлетворяет условию t > 0.
Введем функцию f(t) = t 2 – 6t – a . Возможны следующие случаи.
Случай 1. Уравнение (4) имеет два различных положительных корня, если выполнятся условия
где t 0 — абсцисса вершины параболы и D — дискриминант квадратного трехчлена f(t);
Случай 2. Уравнение (4) имеет единственное положительное решение, если
D = 0, если a = – 9, тогда уравнение (4) примет вид (t – 3) 2 = 0, t = 3, x = – 1.
Случай 3. Уравнение (4) имеет два корня, но один из них не удовлетворяет неравенству t > 0. Это возможно, если
Таким образом, при a 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень . Тогда уравнение (3) имеет единственное решение
если a a a = – 9, то x = – 1;
Сравним способы решения уравнений (1) и (3). Отметим, что при решении уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению, дискриминант которого — полный квадрат; тем самым корни уравнения (2) сразу были вычислены по формуле корней квадратного уравнения, а далее относительно этих корней были сделаны выводы. Уравнение (3) было сведено к квадратному уравнению (4), дискриминант которого не является полным квадратом, поэтому при решении уравнения (3) целесообразно использовать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и графическую модель. Заметим, что уравнение (4) можно решить, используя теорему Виета.
Решим более сложные уравнения.
Задача 3. Решите уравнение
Решение. ОДЗ: x1, x2.
Введем замену. Пусть 2 x = t, t > 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид t 2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Найдем значения a , при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.
Рассмотрим функцию f(t) = t 2 + 2t – 13 – a . Возможны случаи.
Случай 1. Для того чтобы оба корня уравнения (*) удовлетворяли неравенству t > 0, должны выполняться условия
где t 0 — абсцисса вершины f(t) = t 2 + 2t – 13 – a , D — дискриминант квадратного трехчлена f(t).
Система решений не имеет.
Случай 2. Для того чтобы только один корень уравнения (*) удовлетворял неравенству t > 0, должно быть выполнено условие f(0) a > – 13.
Случай 3. Найдем значения a, когда t 2, t 4.
откуда a 11, a – 5.
Ответ: если a > – 13, a 11, a 5, то если a – 13,
a = 11, a = 5, то корней нет.
Список используемой литературы.
1. Гузеев В.В. Системные основания образовательной технологии.
2. Гузеев В.В. Образовательная технология: от приема до философии.
М. «Директор школы»№4, 1996 г.
3. Гузеев В.В. Методы и организационные формы обучения.
М. «Народное образование», 2001 г.
4. Гузеев В.В. Теория и практика интегральной образовательной технологии.
М. «Народное образование», 2001 г.
5. Гузеев В.В. Одна из форм урока – семинара.
Математика в школе №2, 1987 г. с .9 – 11.
6. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии.
М. «Народное образование», 1998 г.
7. Епишева О.Б. Крупич В.И. Учить школьников учиться математике.
М. «Просвещение», 1990 г.
8. Иванова Т.А. Как подготовить уроки – практикумы.
Математика в школе №6, 1990 г. с. 37 – 40.
9. Смирнова Н.М. Профильная модель обучения математике.
Математика в школе №1, 1997 г. с. 32 – 36.
10. Тарасенко Н.А. Некоторые способы организации практической работы.
Математика в школе №1, 1993 г. с. 27 – 28.
11. Утеева Р.А. Об одном из видов индивидуальной работы.
Математика в школе №2, 1994 г. с .63 – 64.
12. Хазанкин Р.Г. Развивать творческие способности школьников.
Математика в школе №2, 1989 г. с. 10.
13. Сканави М.И. Математика. Издатель В.М.Скакун, 1997 г.
14. Шабунин М.И. и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для
10 – 11 классов. М. Мнемозина, 2000 г.
15. Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике.
М. «Первое сентября», 2002 г.
16. Черкасов О.Ю. Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников и
поступающих в вузы. «А С Т -пресс школа», 2002 г.
17. Жевняк Р.М. Карпук А.А. Математика для поступающих в вузы.
Минск И РФ «Обозрение», 1996 г.
18. Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике. М. Рольф, 1999 г.
19. Денищева Л.О. и др. Учимся решать уравнения и неравенства.
М. «Интеллект – Центр», 2003 г.
20. Денищева Л.О. и др. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к Е Г Э.
М. «Интеллект – центр», 2003 г. и 2004 г.
21 Денищева Л.О. и др. Варианты КИМ. Центр тестирования МО РФ, 2002 г., 2003г.
22. Гольдберг В.В. Показательные уравнения. «Квант» №3, 1971 г.
23. Волович М. Как успешно обучать математике.
Математика, 1997 г. №3.
24 Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! М. Просвещение, 1988 г.
25. Якиманская И.С. Личностно – ориентированное обучение в школе.
«Директор школы», 1996 г. сентябрь.
26. Лийметс Х. Й. Групповая работа на уроке. М. Знание, 1975 г.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методы решения показательных уравнений.
Урок повторения и закрепления знаний с применением ИКТ. На уроке осуществляется индивидуальный подход к учащимся, включающий каждого в осознанную учебную деятельность и групповая форма работы. В течен.
Методы решения показательных уравнений
Изучению методов решения показательных уравнений должно быть уделено значительное внимание. Показательные уравнения, изучаемые на 1 курсе в колледже, осваиваются обучающимися хуже, та.
Основные методы решения показательных уравнений
Основные методы решения показательных уравнений.
разработка урока «Методы решения показательных уравнений» в 11 классе
конспект открытого урока по математике в 11 классе.
Метод.разработка по теме: «Методы решения показательных уравнений»
В школьном курсе математики важное место отводится решению показательных уравнений и неравенств и системам, содержащие показательные уравнения. Впервые ученики встречаются с показательными уравнениями.
алгебраические методы решения показательных уравнений
метод уравнивания оснований, разложение на множители, введение новой переменной, свойство монотонности.
Методическая разработка открытого урока «Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений»
Методическая разработка открытого урока «Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений".
http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2015/10/21/lektsiya-metody-resheniya-pokazatelnyh-uravneniy