Методы отбора корней в тригонометрических уравнениях презентация

Презентация по математике: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»
презентация к уроку по алгебре на тему

Решая тригонометрические уравнения, возникает вопрос отбора корней, связанных с областью определения и другими условиями.

Расскажем, как можно решить такую проблему.

Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами.

Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ Презентацию разработала учитель математики МБОУ СОШ №4 г. Покачи ХМАО-Югра Тюменской области Литвинченко Л.В.

Расскажем, как можно решить такую проблему . Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо: — найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ; попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений. Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности. Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения и другими условиями. Рассмотрим пример : 21 k — 24 n = 8 и решим его первым способом. Набольший общий делитель коэффициентов равен 3 , и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

Покажем, как искать решения. Решим уравнение 166 n — 44k = 6 . Для начала поделим обе части на 2 : 83 n — 22 k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k — и выразим ее через другую неизвестную: 3. Выделим в этой дроби целую часть: Обозначим , или 17 n – 3 = 22t . Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n ), и выделим из получающейся дроби целую часть: 6. Обозначим , или 5 t + 3 =17s . Продолжая в том же духе, выразим t через s : 7. Обозначим , или 5 v = 2s – 3 . Выразим s через v :

Обозначим , или v = 2 u – 3 . Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u , s через v , t через s , n через t , k через n . 10. Отправимся в обратный путь: v = 2 u – 3

Итак, решение получено : k = 83 u – 102 , n = 22 u – 27 , где u – произвольное целое число. Стало быть ответ таков: 44 k + 6 = 166 n для некоторого n ∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83 u – 102 , где u ∊ Z . Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами ( диофантового ) называется алгоритмом Евклида.

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π ( a+bn ) и π ( c+dk ) , где a, b, c, d — фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения. Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения π ( a+bn ) = π ( c+dk ) (1) с рациональными коэффициентами a, b, c, d . Решаем вторым способ уравнение (1) -на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов. Например, решить уравнения: а) б)

в) если НОД ( u , v ) больше 1, то (1) не имеет решений ; б) если НОД ( u , v ) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение ( n₀, k₀ ) уравнения (2) , т.е. такую пару целых чисел ( n₀, k₀ ), для которых выполняется равенство un₀ + vk ₀ = w ; г) запишем решение уравнения (1) в виде: или а) уравнение (1) приведем к виду un + vk = w (2) где u , v , w – фиксированные целые числа и их НОД ( u , v , w ) = 1; Изложим общие этапы решения уравнения π ( a+bn ) = π ( c+dk ) (1) :

Пример 1. Решить в целых числах уравнение Решение . Приведем это уравнение к виду (2): -12 n + 5k = 3 . Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5 t , k = 3 + 12 t , t ∊ Z . Ответ : n = 1 + 5t , k = 3 + 12 t , t ∊ Z . Пример 2. Решить в целых числах уравнение Решение . Приведем это уравнение к виду (2): 6 n — 40 k = 7. Так как НОД( 6 и 40 )=2 > 1, то решений нет. Ответ : нет решений. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Объединить семейства значений . Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности. Тогда ответ можно записать более компактно: x 2 Отметим на окружности значения x 1 – кружками , x 2 – квадратиками, (где x 1 и x 2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на равные части.

x 1 = , x 2 = Решение. I способ. Нанесем на окружности значения x 1 – кружками , x 2 – квадратиками . Значения x = π m являются повторяющимися. а ) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так: б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков: Пример 2. Объединить семейства значений.

Решим относительно k . Получим , при n =4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся. Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение 2 способ. Аналитическое решение.

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2 π . В таких случаях удобнее применять аналитический способ. Пример : Решение : заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные . Найдём такие целые k , при которых x = π +2 π k имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠ 3 π n , n ∊ Z . Ответ : x = π +2 π k , где k≠ 3 m +1 , m ∊ Z или x = π +6 π m , x =3 π +6 π m , m ∊ Z . Пусть π +2 π k =3 π n ; 1+2 k =3 n . Отсюда k=(3n-1) :2 = (2 n + n -1):2 = n +( n -1):2. Пусть m =( n -1):2. Тогда 2 m = n -1. Отсюда n =2 m +1. Следовательно k =(3(2 m +1)-1):2=(6 m +3-1):2=3 m +1. Итак, посторонние корни в серии x = π +2 π k будут при k =3 m +1 , m ∊ Z .

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА: Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются). Если период равен 2 π , то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2 π продолжаются. Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные. Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

Спасибо за внимание!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к программе спецкурса «Способы решения тригонометрических уравнений»

В авторской программе спецкурса: «Готовимся к ЕГЭ по математике» рассмотрен один из вопросов, который представлен в виде презентации «Способ решения тригонометрических уравнений». Показанные способы р.

Технологическая карта урока «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях» (10 класс)

Приемы и методы нахождения корней тригонометрического уравнения на указанном числовом промежутке.

Презентация к занятию «Общие методы решения тригонометрических уравнений»

Презентация для сопровождения занятия по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений».

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Некоторые задания №15 (С1) ЕГЭ по математике представляют собой тригонометрическое уравнение. В последние годы составители заданий ЕГЭ по математике в качестве задач задания №15 предлагают довол.

Система повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» при подготовке к ЕГЭ

Разработка посвящена организации повторения темы «Отбор корней в тригонометрических уравнениях», включает в себя дидактические материалы для проведения диагностической работы, конспект разноуровневого.

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 Отбор корней в тригонометрических уравнений

Пособие ориентировано на повторение курса геометрии и позваляет подготовиться к решению тригонометрических задач части С.

Подготовка к ЕГЭ. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.

Маршрутный лист и презентация в PP. Решение простейших тригонометрических уравнений. Геометрическая иллюстрация решения простейших тригонометрических уравнений. Отбор корней тригонометриче.

Презентация по математике на тему «Отбор корней в тригонометрическом уравнении»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Отбор корней в тригонометрических уравнениях Подготовили: Белкина Е.Н., Петрова Н.А., Супруненко М.Б., Косухина Е.С., Березуцкая О.П. Март, 2017

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях Арифметический Функционально-графический Алгебраический Геометрический

Арифметический способ перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

Найдите все корни уравнения принадлежащие промежутку Если n=0,то Если n=1,то Если n=-1,то Если n=-2,то

или Если n=0, то или Если n=-1, то или Если n=1, то или

Алгебраический способ а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней; б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

Найдём все «неподходящие» n.

Все «неподходящие» n

Решить уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку .

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим их отбором на заданном промежутке; б) изображение корней на координатной прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. Геометрический способ:

y 0 1 1 0рад 0,5 -1 Выполним отбор корней в предыдущем уравнении по-другому!

Решить уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

общий множитель общий множитель

Решить уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку .

Разделим на cos2x; cos2x≠0.

1 -1,5 ? -1 1 0 x y

Отбор корней на координатной прямой. х 0

Функционально-графический способ выбор корней с использованием графика простейшей тригонометрической функции.

x y 1 0 −1 y=0,5 y = sin x

Дано уравнение: а) Решите уравнение. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение: Тогда cos x = 0 или sin x = 0,5

Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку Итак, первый корень: Решаем неравенство: Так число k целое, то k1 = 2 k2 = 3 Находим корни, принадлежащие интервалу: Следующий корень:

Решаем неравенство: Для полученного неравенства целого числа k не существует. Следующий корень: Решаем неравенство:

Так как число k целое, то k = 1. Находим корень принадлежащий интервалу: Ответ:

www.alexlarin.net ФИПИ Решу ЕГЭ Гущин Д. В презентации использовались ресурсы:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 588 875 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 24.04.2018
• 1642
• 23

• 24.04.2018
• 672
• 0

• 24.04.2018
• 2680
• 56

• 24.04.2018
• 671
• 0

• 24.04.2018
• 544
• 0

• 24.04.2018
• 791
• 22

• 24.04.2018
• 312
• 0

• 24.04.2018
• 5792
• 267

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.04.2018 1607
• PPTX 1.7 мбайт
• 157 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Косухина Елена Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 3271
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Отбор корней

Презентация к уроку

Цель урока: обновление, развитие навыков работы с числовой окружностью и тригонометром в сопровождении презентации в программе Microsoft PowerPoint с настройками анимации; закрепление и систематизация умений выбора способа отбора корней при решении тригонометрических уравнений; использование разноуровневых заданий на печатной основе для дифференцированного подхода к учащимся различного уровня мотивации; развитие навыков аналитического мышления.

Ход урока

1. Активитизация знаний.

Устное повторение в форме фронтального опроса (с частичным выполнением заданий на печатной основе) основных свойств числовой окружности, тригонометра. На элементарном уровне, без синусов, косинусов повторяются основы тригонометрии, единая графическая модель – тригонометр, опорные макеты, формирование записи решений простейших тригонометрических уравнений, приемов нахождения и оптимальной записи точек, дуг, результата с помощью дидактических игр.

Приложение 1. 1 вариант самостоятельной работы на печатной основе.

Приложение 2. 2 вариант самостоятельной работы на печатной основе.

Приложение 3. 3 вариант самостоятельной работы на печатной основе.

Презентация.ppt (с комментариями).

2. Повторение и закрепление ранее изученного материала. Систематизация знаний учащихся, закрепление умений отбора корней в тригонометрических уравнениях различными способами.

№56.39. б) Решение уравнения

.

Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет своего смысла.

1)

Если то , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, не является корнем данного уравнения. Разделим уравнение почленно на , получим отсюда

Отберем корни уравнения, удовлетворяющие условию

Первый способ отбора корней – по тригонометру.

Соответствующую дугу удобно показать спиралью, чтобы она не зацикливалась. Получаем: первая “попавшая” на дугу точка вида

Остальные точки получаются прибавлением целого числа , таким образом,

Второй способ отбора (аналитический).

Учитывая, что получаем: отобранные корни имеют вид где

выберем большие либо равные 7,5. При n=0 меньше нуля, следовательно, из n большего нуля найдем те, для которых ; удобно занести результаты в таблицу:

Очевидно, что начиная с n=6 значения x удовлетворяют условию :

Тогда в этом случае отобранные корни можно записать в виде

2) Второй множитель обращает произведение в ноль при x=8 и x=120, т.к. первый множитель определён для любого x.

3) Ответ: 8, 120,

№18.13. в) №18.15. г) №18.17.б) – с проверкой на доске.

3. Учащиеся выполняют и сдают на проверку оставшуюся часть самостоятельной работы.

4. Домашнее задание – §18, повторить; №№18.13. — 18.17а).

Используемая литература:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)\ – М: Мнемозина, 2009.ISBN 978-5-345-01136-1
2. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики\ – М: ООО “Издательский дом “ОНИКС 21 век”: ООО “ Издательство “ Мир и Образование”, 2005. ISBN 5-329-01094-2, ISBN 5-94666-151-5
3. Сергеев И.Н. Математика. Задачи с ответами и решениями: учебное пособие /Издательство “КДУ”, 2009. ISBN 978-5-98227-628-5