Методы оценки параметров систем одновременных уравнений

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Система одновременных эконометрических уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общие сведения о системе одновременных эконометрических уравнений

Система одновременных экономических уравнений – это совокупность уравнений, которые позволяют исследователям установить наличие и степень связи (взаимозависимости) между эконометрическими переменными.

Выделяют две группы экономических переменных, из которых образуют эконометрические уравнения:

• эндогенные переменные, чьи значения определяют в результате функционирования изучаемой экономической системы (эндогенные переменные зависят как от экзогенных, так и от других эндогенных переменных);
• экзогенные переменные, чьи значения задаются извне (т.е. определяются вне эконометрической модели) и являются основой для определения значений эндогенных переменных (экзогенные переменные являются независимыми).

Функционирование сложных экономических систем может быть объяснено благодаря построению изолированных уравнений регрессии и измерению на их основе тесноты связи между переменными. Однако истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной не может быть описано одним отдельно взятым уравнением регрессии. В связи с этим в изучении экономических процессов важное значение приобрело структурирование связей между системой переменных.

В качестве примера системы одновременных эконометрических уравнений можно привести простейшую макроэкономическую (кейнсианскую) модель, которая состоит из двух уравнений:

В данной модели эндогенными переменными являются C (расходы на потребление) и Y (доход), а экзогенной переменной – I (инвестиции). b представляет собой коэффициент, который выражает предельную склонность к потреблению.

Характеристика структурной и приведенной форм системы уравнений

Данная система от всех других систем уравнения отличается наличием определенной структурной формы эконометрической модели. Это форма предполагает, что в правых и левых частях разных уравнений системы находятся одни и те же экономические переменные. Структурная форма системы одновременных эконометрических уравнений в случае переноса всех эндогенных переменных в левую часть может быть представлено в следующем матричном виде: YA = XB + E.

Готовые работы на аналогичную тему

Кроме структурной также выделяют приведенную (прогнозную) форму системы. По сути она есть представление системы, в котором эндогенные переменные выражены через экзогенные, то есть в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная. Тогда она выглядит так: Y = XП + U.

Приведенную форму системы всегда можно получить, если задана структурная форма. Однако обратное действие не всегда возможно, а если оно и возможно, то не всегда получается однозначный результат.

Если через коэффициенты приведенной формы можно выразить коэффициенты структурного уравнения, то оно называется идентифицируемым (в противном случае оно – неидентифицируемое). Точная индентифицируемость свойственна ситуации, когда способ подобного выражения является единственным. Если же их несколько, то говорят о сверхидентифицируемости.

Чтобы имела место идентифицируемость, требуется выполнение такого необходимого условия, как непревышение количества переменных правой части уравнения над количеством всех экзогенных переменных системы. Формулировка этого условия может отличаться. Так, часто говорят: количество экзогенных переменных, которые исключены из данного уравнения, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, которые включены в уравнение, за вычетом единицы.

Также выделяют условие, достаточное для признания идентифицируемости системы. Оно заключается в том, чтобы общее число эндогенных переменных системы за вычетом единицы не превышало ранг матрицы, который составлен из коэффициентов (в других уравнениях) при переменных, отсутствующих в данном уравнении.

Методы оценки систем одновременных эконометрических уравнений

Для того, чтобы оценить представленные в структурной форме уравнения системы, нецелесообразно непосредственно применять обычный метод наименьших квадратов. Это связано с тем, что подобное применение нарушит важнейшее условие регрессионного анализа — экзогенность (предопределенность, независимость) факторов. Тогда будут получены смещённые и несостоятельные оценки параметров.

Поэтому системы одновременных эконометрических уравнений оценивают посредством применения следующих методов:

• косвенный метод наименьших квадратов – подстановка в аналитическое выражение зависимости структурных коэффициентов от их приведённых оценок, которые получают в результате применения обычного метода наименьших квадратов;
• двухшаговый метод наименьших квадратов – оценивание сначала зависимости эндогенных переменных от всех экзогенных (первый шаг), а затем – структурной формы модели, в которой эндогенные переменные заменены на их оценки, полученные на первом шаге (второй шаг);
• трехшаговый метод наименьших квадратов – предыдущий метод дополняется третьим шагом, с помощью которого оценивают ковариационную матрицу вектора случайных ошибок системы уравнений;
• методы максимального правдоподобия – использование всей информации об ограничениях на приведённую форму эконометрической модели.

Оценка параметров систем одновременных уравнений в моделях пожарной статистики Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Меньших Анастасия Валерьевна, Тростянский Сергей Николаевич

Описана методика оценки коэффициентов структурной и приведённой моделей систем одновременных уравнений ; приведены необходимое и достаточное условия определения типа моделей, описаны методы оценки коэффициентов моделей в зависимости от их типа. Приведен численный пример нахождения явного вида одновременных уравнений пожарной статистики .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Меньших Анастасия Валерьевна, Тростянский Сергей Николаевич

ESTIMATION OF PARAMETERS OF SYSTEMS OF SIMULTANEOUS EQUATIONS MODELS OF FIRE STATISTICS

A technique for estimating the coefficients of the structural model and the present system of simultaneous equations , are a necessary and sufficient condition for determining the types of models, the methods of estimating the coefficients of models depending on their type. A numerical example of finding the explicit form of simultaneous equations fire statistics .

Текст научной работы на тему «Оценка параметров систем одновременных уравнений в моделях пожарной статистики»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В МОДЕЛЯХ ПОЖАРНОЙ СТАТИСТИКИ А. В. Меньших, С. Н. Тростянский

Описана методика оценки коэффициентов структурной и приведённой моделей систем одновременных уравнений; приведены необходимое и достаточное условия определения типа моделей, описаны методы оценки коэффициентов моделей в зависимости от их типа.

Приведен численный пример нахождения явного вида одновременных уравнений пожарной статистики.

Ключевые слова: пожарная статистика, одновременные уравнения, структурная и приведенная модели, идентифицируемость, сверхидентифицируемость, неидентифицируе-мость, оценка коэффициентов, необходимое и достаточное условие.

Введение. Большое значение для принятия управленческих решений в государственной противопожарной службе имеет анализ пожарной статистики [1, 2], который может быть использован как в интересах выявления факторов, влияющих на значения показателей пожарной статистики, так и в интересах прогноза будущих значений этих показателей. Очевидно, что показатели пожарной статистики в той или иной степени связаны между собой. Получение оценок связи этих показателей позволит повысить обоснованность принятия управленческих решений.

Меньших Анастасия Валерьевна, преп. кафедры прикладной математики и инженерной графики, Воронежский институт ГПС МЧС России;

Россия, г. Воронеж, тел.: (473)2363-305, e-mail: asy90@yandex.ru

Тростянский Сергей Николаевич, д-р техн. наук, доц., проф. кафедры физики,

Воронежский институт ГПС МЧС России;

Россия, г. Воронеж, тел.: (473)2363-305, e-mail: trostyansky2012@yandex.ru

© Меньших А. В., Тростянский С. H., 2013

Пожарная статистика представляет собой совокупность временных рядов, содержащих информацию о значениях показателей за последовательные периоды времени. Разработка методов анализа временных рядов пожарной статистики осуществлялась в [3—8]. В [7], в частности, описаны результаты исследования взаимовлияния количества пожаров и количества противопожарных мероприятий на примере Воронежской области. При этом оказалось, что имеется трехлетний временной лаг влияния противопожарных мероприятий на количество пожаров и двухлетний временной лаг влияния количества пожаров на число противопожарных мероприятий. Это является свидетельством того, что для прогноза пожарной статистики следует характеризующие её показатели оценивать одновременно. Для этого могут быть использованы так называемые одновременные уравнения, где зависимые переменные одних уравнений могут выступать в качестве независимых в других [9].

В работе рассматриваются способы анализа одновременных уравнений.

1. Виды моделей в форме систем одновременных уравнений. Системы одновременных уравнений в общем виде имеют следующий вид, называемый структурной моделью:

у = а10 + bi2y2 + . + bi„y„ + а11х11 + . + aimxm +Sl,

У2 = a20 + Ь21У1 + . + Ky„ + a21X11 + . + a2mXm + ^

. Уп = an0 + К1У1 + . + Ьт-1Уп-1 + an1Xn1 + . + anmXm + Sn

где уь у2, . уп — эндогенные (зависимые) переменные, нахождение которых является целью моделирования; х1, х2, . хт — экзогенные (независимые) переменные; £1, е2, . еп — случайные остатки.

Использование традиционного метода наименьших квадратов (МНК) для оценки коэффициентов структурной модели даёт смещённые и несостоятельные оценки [9]. Поэтому модель (1) преобразуют в приведённую модель

У1 =810 +811X11 + . + 81mXm +

У2 = 820 + 821X11 + . + 82mXm + ^

Уп = 8n0 +8n1 Xn1 + . + 8nmXm + Un ,

где и1, и2, . ип — случайные остатки.

При рассмотрении этих моделей должна быть решена проблема идентифицируемости, позволяющая определить, каким образом соотносятся между собой коэффициенты структурной модели (1) и приведённой модели (2).

2. Условия идентифицируемости моделей. Теоретически возможны три ситуации:

— модель является идентифицируемой, т. е. существует взаимно однозначное соответствие между коэффициентами структурной и приведённой моделей;

— модель является сверхидентифицируе-мой, т. е. по значениям коэффициентов приведённой модели может быть получено более одного значения коэффициентов структурной модели;

— модель является неидентифицируемой, т. е. по значениям коэффициентов приведённой модели не могут быть получены значения коэффициентов структурной модели.

Рассмотрим условия идентифицируемости моделей.

Существуют необходимое и достаточное условия для определения типа модели. При проверке этих условий проверяют идентифицируемость каждого уравнения структурной модели в отдельности и после этого делают вывод об идентифицируемости всей модели. Приведём описание этих условий в соответствии с [9].

Обозначим Н — количество эндогенных переменных в уравнении, D — количество экзогенных переменных, содержащихся в системе, но не входящих в данное уравнение.

Тогда необходимое условие идентифицируемости уравнения имеет вид:

— если D+1 = Н, уравнение идентифицируемо;

— D+1 > Н, уравнение сверхидентифици-

— D+1 H и уравнение сверхидентифицируемо.

Проверка достаточного условия, показала, что rank U = 1, т. е. rank U > Нист -1 для каждого уравнения, что не выявило неидентифицируемости системы. Поэтому система уравнений в целом является сверхидентифицируемой и для оценки её

1. Брушлинский, Н. Н. Системный анализ деятельности Государственной противопожарной службы /

Н. Н. Брушлинский. — М.: МИПБ МВД РФ; М.: Юникс, 1998. — 255 с.

2. Акимов, В. А. Введение в статистику экстремальных значений и ее приложения / В. А. Акимов, А. А. Быков, Е. Ю. Щетинин. — М.: ФГУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2009. — 524 с.

3. Белозеров, В. В. Модель оптимизации социально-экономических потерь от пожаров / В. В. Белозеров, Е. И. Богуславский, Н. Г. Топольский // Проблемы информационной экономики. Вып. VI. Моделирование инновационных процессов и экономической динамики: сб. науч. тр. / под ред. Р. М. Нижегородова. — М.: Ле-нанд, 2006. — С. 226—246.

4. Тростянский, С. Н. Экономический подход к прогнозированию пожарных рисков на объектах различных форм собственности / С. Н. Тростянский, А. Н. Шут-кин, Г. А. Бакаева // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. — 2011. — № 1 (1). — С. 27—28.

5. Тростянский, С. Н. Математическое моделирование вероятности возникновения пожаров на хозяйственных объектах / С. Н. Тростянский, Ю. Н. Зенин, Г. А. Бакаева // Пожарная безопасность: проблемы и перспективы: сб. ст. по материалам всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, 20 сент. 2012 г.: в 2 ч. Ч. 1. — Воронеж, 2012. — С. 264—266.

6. Богуславский, Е. И. Прогнозирование, анализ

и оценка пожарной безопасности: учеб. пособие /

Е. И. Богуславский, В. В. Белозеров, Н. Е. Богуславский; под общ. ред. Е. И. Богуславского. — Ростов н/Д: РГСУ, 2004. — 126 с.

7. Меньших, А. В. Моделирование структуры

временных рядов пожарной статистики / А. В. Меньших, С. Н. Тростянский // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — № 4. — С. 97—103.

8. Меньших, А. В. Исследование взаимосвязи показателей пожарной статистики / А. В. Меньших,

С. Н. Тростянский // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — № 1. — С. 48—53.

9. Эконометрика / под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Проспект, 2011. — 288 с.

коэффициентов должен быть использован двухшаговый МНК.

С использованием статистического пакета Excel для данной системы осуществлена реализация двухшагового МНК для данных пожарной статистики по Воронежской области за 2000— 2012 годы, которая позволила получить явный вид модели:

EY = 3579,28 + 0,01E(W3 -64,52/ + е1;

EN = -47545,80 +11,49Ef-2 + 2253,83/ + e1.

Заключение. Использование описанных выше методов позволяет учесть взаимосвязи между показателями пожарной статистики и тем самым значительно уточнить параметры моделей, повысить точность прогноза значений показателей, а следовательно и эффективность принятия управленческих решений.

1. Brushlinskij, N. N. Sistemnyj analiz deyatel’nosti Gosudarstvennoj protivopozharnoj sluzhby / N. N. Brushlinskij. — M.: MIPB MVD RF; M.: Yuniks, 1998. — 255 s.

2. Akimov, V. A. Vvedenie v statistiku e’kstrem-al’nyx znachenij i ee prilozheniya / V. A. Akimov, A. A. Bykov, E. Yu. Shhetinin. — M.: FGU VNII GOChS (FC), 2009. — 524 s.

3. Belozerov, V. V. Model’ optimizacii social’no-e’konomicheskix poter’ ot pozharov / V. V. Belozerov, E. I. Boguslavskij, N. G. Topol’skij // Problemy informacion-noj e’konomiki. Vyp. VI. Modelirovanie innovacionnyx pro-cessov i e’konomicheskoj dinamiki: sb. nauch. tr. / pod red. R. M. Nizhegorodova. — M.: Lenand, 2006. — S. 226— 246.

4. Trostyanskij, S. N. E’konomicheskij podxod k prognozirovaniyu pozharnyx riskov na ob’ektax razlichnyx form sobstvennosti / S. N. Trostyanskij, A. N. Shutkin, G. A. Bakaeva // Vestnik Voronezhskogo instituta GPS MChS Rossii. — 2011. — № 1 (1). — S. 27—28.

5. Trostyanskij, S. N. Matematicheskoe modelirovanie veroyatnosti vozniknoveniya pozharov na xozyajstvennyx ob’ektax / S. N. Trostyanskij, Yu. N. Zenin, G. A. Bakaeva // Pozharnaya bezopasnost’: problemy i perspektivy: sb. st. po materialam vseros. nauch.-prakt. konf. s mezhdunar. uchas-tiem, 20 sent. 2012 g.: v 2 ch. Ch. 1. — Voronezh, 2012. — S. 264—266.

6. Boguslavskij, E. 1 Prognozirovanie, analiz i

ocenka pozharnoj bezopasnosti: ucheb. posobie /

E. I. Boguslavskij, V. V. Belozerov, N. E. Boguslavskij; pod obshh. red. E. I. Boguslavskogo. — Rostov n/D: RGSU, 2004. — 126 s.

7. Men’shix, A. V. Modelirovanie struktury vremen-nyx ryadov pozharnoj statistiki / A. V. Men’shix,

S. N. Trostyanskij // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2012. — № 4. — S. 97—103.

8. Men’shix, A. V. Issledovanie vzaimosvyazi poka-zatelej pozharnoj statistiki / A. V. Men’shix,

S. N. Trostyanskij // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2013. — № 1. — S. 48-53.

9. E’konometrika / pod red. I. I. Eliseevoj. — M.: Prospekt, 2011. — 288 s.

ESTIMATION OF PARAMETERS OF SYSTEMS OF SIMULTANEOUS EQUATIONS MODELS OF FIRE STATISTICS

Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia;

Russia, Voronezh, tel.: (473)2363-305, e-mail: asy90@yandex.ru Trostyanskij S. N.,

D. Sc. in Engineering, Assoc. Prof.,

Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia;

Russia, Voronezh, tel.: (473)2363-305, e-mail: trostyansky2012@yandex.ru

A technique for estimating the coefficients of the structural model and the present system of simultaneous equations, are a necessary and sufficient condition for determining the types of models, the methods of estimating the coefficients of models depending on their type. A numerical example offinding the explicit form of simultaneous equations fire statistics.

Keywords: fire statistics, simultaneous equations, structural and reduced model, identifiability, reidentifiability, unidentifiable, estimation of coefficients, a necessary and sufficient condition.