Методы оценки параметров системы одновременных уравнений

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Оценка параметров систем одновременных уравнений в моделях пожарной статистики Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Меньших Анастасия Валерьевна, Тростянский Сергей Николаевич

Описана методика оценки коэффициентов структурной и приведённой моделей систем одновременных уравнений ; приведены необходимое и достаточное условия определения типа моделей, описаны методы оценки коэффициентов моделей в зависимости от их типа. Приведен численный пример нахождения явного вида одновременных уравнений пожарной статистики .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Меньших Анастасия Валерьевна, Тростянский Сергей Николаевич

ESTIMATION OF PARAMETERS OF SYSTEMS OF SIMULTANEOUS EQUATIONS MODELS OF FIRE STATISTICS

A technique for estimating the coefficients of the structural model and the present system of simultaneous equations , are a necessary and sufficient condition for determining the types of models, the methods of estimating the coefficients of models depending on their type. A numerical example of finding the explicit form of simultaneous equations fire statistics .

Текст научной работы на тему «Оценка параметров систем одновременных уравнений в моделях пожарной статистики»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В МОДЕЛЯХ ПОЖАРНОЙ СТАТИСТИКИ А. В. Меньших, С. Н. Тростянский

Описана методика оценки коэффициентов структурной и приведённой моделей систем одновременных уравнений; приведены необходимое и достаточное условия определения типа моделей, описаны методы оценки коэффициентов моделей в зависимости от их типа.

Приведен численный пример нахождения явного вида одновременных уравнений пожарной статистики.

Ключевые слова: пожарная статистика, одновременные уравнения, структурная и приведенная модели, идентифицируемость, сверхидентифицируемость, неидентифицируе-мость, оценка коэффициентов, необходимое и достаточное условие.

Введение. Большое значение для принятия управленческих решений в государственной противопожарной службе имеет анализ пожарной статистики [1, 2], который может быть использован как в интересах выявления факторов, влияющих на значения показателей пожарной статистики, так и в интересах прогноза будущих значений этих показателей. Очевидно, что показатели пожарной статистики в той или иной степени связаны между собой. Получение оценок связи этих показателей позволит повысить обоснованность принятия управленческих решений.

Меньших Анастасия Валерьевна, преп. кафедры прикладной математики и инженерной графики, Воронежский институт ГПС МЧС России;

Россия, г. Воронеж, тел.: (473)2363-305, e-mail: asy90@yandex.ru

Тростянский Сергей Николаевич, д-р техн. наук, доц., проф. кафедры физики,

Воронежский институт ГПС МЧС России;

Россия, г. Воронеж, тел.: (473)2363-305, e-mail: trostyansky2012@yandex.ru

© Меньших А. В., Тростянский С. H., 2013

Пожарная статистика представляет собой совокупность временных рядов, содержащих информацию о значениях показателей за последовательные периоды времени. Разработка методов анализа временных рядов пожарной статистики осуществлялась в [3—8]. В [7], в частности, описаны результаты исследования взаимовлияния количества пожаров и количества противопожарных мероприятий на примере Воронежской области. При этом оказалось, что имеется трехлетний временной лаг влияния противопожарных мероприятий на количество пожаров и двухлетний временной лаг влияния количества пожаров на число противопожарных мероприятий. Это является свидетельством того, что для прогноза пожарной статистики следует характеризующие её показатели оценивать одновременно. Для этого могут быть использованы так называемые одновременные уравнения, где зависимые переменные одних уравнений могут выступать в качестве независимых в других [9].

В работе рассматриваются способы анализа одновременных уравнений.

1. Виды моделей в форме систем одновременных уравнений. Системы одновременных уравнений в общем виде имеют следующий вид, называемый структурной моделью:

у = а10 + bi2y2 + . + bi„y„ + а11х11 + . + aimxm +Sl,

У2 = a20 + Ь21У1 + . + Ky„ + a21X11 + . + a2mXm + ^

. Уп = an0 + К1У1 + . + Ьт-1Уп-1 + an1Xn1 + . + anmXm + Sn

где уь у2, . уп — эндогенные (зависимые) переменные, нахождение которых является целью моделирования; х1, х2, . хт — экзогенные (независимые) переменные; £1, е2, . еп — случайные остатки.

Использование традиционного метода наименьших квадратов (МНК) для оценки коэффициентов структурной модели даёт смещённые и несостоятельные оценки [9]. Поэтому модель (1) преобразуют в приведённую модель

У1 =810 +811X11 + . + 81mXm +

У2 = 820 + 821X11 + . + 82mXm + ^

Уп = 8n0 +8n1 Xn1 + . + 8nmXm + Un ,

где и1, и2, . ип — случайные остатки.

При рассмотрении этих моделей должна быть решена проблема идентифицируемости, позволяющая определить, каким образом соотносятся между собой коэффициенты структурной модели (1) и приведённой модели (2).

2. Условия идентифицируемости моделей. Теоретически возможны три ситуации:

— модель является идентифицируемой, т. е. существует взаимно однозначное соответствие между коэффициентами структурной и приведённой моделей;

— модель является сверхидентифицируе-мой, т. е. по значениям коэффициентов приведённой модели может быть получено более одного значения коэффициентов структурной модели;

— модель является неидентифицируемой, т. е. по значениям коэффициентов приведённой модели не могут быть получены значения коэффициентов структурной модели.

Рассмотрим условия идентифицируемости моделей.

Существуют необходимое и достаточное условия для определения типа модели. При проверке этих условий проверяют идентифицируемость каждого уравнения структурной модели в отдельности и после этого делают вывод об идентифицируемости всей модели. Приведём описание этих условий в соответствии с [9].

Обозначим Н — количество эндогенных переменных в уравнении, D — количество экзогенных переменных, содержащихся в системе, но не входящих в данное уравнение.

Тогда необходимое условие идентифицируемости уравнения имеет вид:

— если D+1 = Н, уравнение идентифицируемо;

— D+1 > Н, уравнение сверхидентифици-

— D+1 H и уравнение сверхидентифицируемо.

Проверка достаточного условия, показала, что rank U = 1, т. е. rank U > Нист -1 для каждого уравнения, что не выявило неидентифицируемости системы. Поэтому система уравнений в целом является сверхидентифицируемой и для оценки её

1. Брушлинский, Н. Н. Системный анализ деятельности Государственной противопожарной службы /

Н. Н. Брушлинский. — М.: МИПБ МВД РФ; М.: Юникс, 1998. — 255 с.

2. Акимов, В. А. Введение в статистику экстремальных значений и ее приложения / В. А. Акимов, А. А. Быков, Е. Ю. Щетинин. — М.: ФГУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2009. — 524 с.

3. Белозеров, В. В. Модель оптимизации социально-экономических потерь от пожаров / В. В. Белозеров, Е. И. Богуславский, Н. Г. Топольский // Проблемы информационной экономики. Вып. VI. Моделирование инновационных процессов и экономической динамики: сб. науч. тр. / под ред. Р. М. Нижегородова. — М.: Ле-нанд, 2006. — С. 226—246.

4. Тростянский, С. Н. Экономический подход к прогнозированию пожарных рисков на объектах различных форм собственности / С. Н. Тростянский, А. Н. Шут-кин, Г. А. Бакаева // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. — 2011. — № 1 (1). — С. 27—28.

5. Тростянский, С. Н. Математическое моделирование вероятности возникновения пожаров на хозяйственных объектах / С. Н. Тростянский, Ю. Н. Зенин, Г. А. Бакаева // Пожарная безопасность: проблемы и перспективы: сб. ст. по материалам всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, 20 сент. 2012 г.: в 2 ч. Ч. 1. — Воронеж, 2012. — С. 264—266.

6. Богуславский, Е. И. Прогнозирование, анализ

и оценка пожарной безопасности: учеб. пособие /

Е. И. Богуславский, В. В. Белозеров, Н. Е. Богуславский; под общ. ред. Е. И. Богуславского. — Ростов н/Д: РГСУ, 2004. — 126 с.

7. Меньших, А. В. Моделирование структуры

временных рядов пожарной статистики / А. В. Меньших, С. Н. Тростянский // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — № 4. — С. 97—103.

8. Меньших, А. В. Исследование взаимосвязи показателей пожарной статистики / А. В. Меньших,

С. Н. Тростянский // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — № 1. — С. 48—53.

9. Эконометрика / под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Проспект, 2011. — 288 с.

коэффициентов должен быть использован двухшаговый МНК.

С использованием статистического пакета Excel для данной системы осуществлена реализация двухшагового МНК для данных пожарной статистики по Воронежской области за 2000— 2012 годы, которая позволила получить явный вид модели:

EY = 3579,28 + 0,01E(W3 -64,52/ + е1;

EN = -47545,80 +11,49Ef-2 + 2253,83/ + e1.

Заключение. Использование описанных выше методов позволяет учесть взаимосвязи между показателями пожарной статистики и тем самым значительно уточнить параметры моделей, повысить точность прогноза значений показателей, а следовательно и эффективность принятия управленческих решений.

1. Brushlinskij, N. N. Sistemnyj analiz deyatel’nosti Gosudarstvennoj protivopozharnoj sluzhby / N. N. Brushlinskij. — M.: MIPB MVD RF; M.: Yuniks, 1998. — 255 s.

2. Akimov, V. A. Vvedenie v statistiku e’kstrem-al’nyx znachenij i ee prilozheniya / V. A. Akimov, A. A. Bykov, E. Yu. Shhetinin. — M.: FGU VNII GOChS (FC), 2009. — 524 s.

3. Belozerov, V. V. Model’ optimizacii social’no-e’konomicheskix poter’ ot pozharov / V. V. Belozerov, E. I. Boguslavskij, N. G. Topol’skij // Problemy informacion-noj e’konomiki. Vyp. VI. Modelirovanie innovacionnyx pro-cessov i e’konomicheskoj dinamiki: sb. nauch. tr. / pod red. R. M. Nizhegorodova. — M.: Lenand, 2006. — S. 226— 246.

4. Trostyanskij, S. N. E’konomicheskij podxod k prognozirovaniyu pozharnyx riskov na ob’ektax razlichnyx form sobstvennosti / S. N. Trostyanskij, A. N. Shutkin, G. A. Bakaeva // Vestnik Voronezhskogo instituta GPS MChS Rossii. — 2011. — № 1 (1). — S. 27—28.

5. Trostyanskij, S. N. Matematicheskoe modelirovanie veroyatnosti vozniknoveniya pozharov na xozyajstvennyx ob’ektax / S. N. Trostyanskij, Yu. N. Zenin, G. A. Bakaeva // Pozharnaya bezopasnost’: problemy i perspektivy: sb. st. po materialam vseros. nauch.-prakt. konf. s mezhdunar. uchas-tiem, 20 sent. 2012 g.: v 2 ch. Ch. 1. — Voronezh, 2012. — S. 264—266.

6. Boguslavskij, E. 1 Prognozirovanie, analiz i

ocenka pozharnoj bezopasnosti: ucheb. posobie /

E. I. Boguslavskij, V. V. Belozerov, N. E. Boguslavskij; pod obshh. red. E. I. Boguslavskogo. — Rostov n/D: RGSU, 2004. — 126 s.

7. Men’shix, A. V. Modelirovanie struktury vremen-nyx ryadov pozharnoj statistiki / A. V. Men’shix,

S. N. Trostyanskij // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2012. — № 4. — S. 97—103.

8. Men’shix, A. V. Issledovanie vzaimosvyazi poka-zatelej pozharnoj statistiki / A. V. Men’shix,

S. N. Trostyanskij // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2013. — № 1. — S. 48-53.

9. E’konometrika / pod red. I. I. Eliseevoj. — M.: Prospekt, 2011. — 288 s.

ESTIMATION OF PARAMETERS OF SYSTEMS OF SIMULTANEOUS EQUATIONS MODELS OF FIRE STATISTICS

Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia;

Russia, Voronezh, tel.: (473)2363-305, e-mail: asy90@yandex.ru Trostyanskij S. N.,

D. Sc. in Engineering, Assoc. Prof.,

Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia;

Russia, Voronezh, tel.: (473)2363-305, e-mail: trostyansky2012@yandex.ru

A technique for estimating the coefficients of the structural model and the present system of simultaneous equations, are a necessary and sufficient condition for determining the types of models, the methods of estimating the coefficients of models depending on their type. A numerical example offinding the explicit form of simultaneous equations fire statistics.

Keywords: fire statistics, simultaneous equations, structural and reduced model, identifiability, reidentifiability, unidentifiable, estimation of coefficients, a necessary and sufficient condition.

Тема 8. Идентификация систем одновременных уравнений

Наиболее распространенные методы оценки параметров системы одновременных уравнений:

∙ косвенный метод наименьших квадратов;

∙ двухшаговый метод наименьших квадратов;

∙ трехшаговый метод наименьших квадратов;

∙ метод максимального правдоподобия с полной информацией;

∙ метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Для оценки параметров идентифицируемой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), а для оценки коэффициентов сверидентифицируемой системы применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Процедура применения КМНК состоит из следующих этапов:

1. структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

2. для каждого уравнения приведенной формы модели оцениваются приведенные коэффициенты ( ) обычным МНК;

3. коэффициенты приведенной формы модели преобразовываются в параметры структурной формы.

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

1. составляется приведенная форма модели, и определяются численные значения параметров каждого уравнения обычным МНК;

2. выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

3. обычным МНК определяются параметры структурного управления, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Таким образом, метод наименьших квадратов применяется дважды: при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических значений эндогенных переменных.

ДМНК является более общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК, поэтому в ряде компьютерных программ реализован только ДМНК.

Трехшаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что на первом шаге к исходной модели применяется обобщенный метод наименьших квадратов с целью устранения корреляции случайных членов. Затем к полученным уравнениям применяется двухшаговый метод наименьших квадратов. Если случайные члены в модели не коррелируют, то трехшаговый метод наименьших квадратов сводится к двухшаговому.

Пример 7. Рассмотрим систему линейных одновременных уравнений, структурная форма которой приведена в примере 6:

1. Определить метод оценки параметров модели.

2. Изложить методику оценки структурных параметров модели.

Проверка модели на идентифицируемость показала, что первое уравнение является сверхидентифицируемым, а второе – точно идентифицируемым (см. пример 6). Следовательно, для оценки параметров первого уравнения следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов, а для оценки параметров второго уравнения – косвенный метод наименьших квадратов.

Методика оценки параметров первого уравнения.

1. В соответствии со схемой ДМНК на первом этапе запишем приведенную форму модели:

Параметры каждого уравнения приведенной формы определяются обычным методом наименьших квадратов.

2. На втором этапе выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

В нашем примере переменная S_t, расчетные значения которой можно определить из второго уравнения приведенной формы модели.

3. В первое структурное уравнение, которое является сверхидентифицируемым, вместо фактических значений переменной S_t подставляем расчетные значения , найденные на втором шаге. Таким образом, получаем уравнение:

Параметры этого уравнения уже можно оценивать обычным методом наименьших квадратов.

Методика оценки параметров второго уравнения.

Параметры приведенной формы модели уже были определены на первом этапе.

Сравнивая второе уравнение структурной формы модели и второе уравнение приведенной формы, видно, что для получения соответствия между ними необходимо из второго уравнения приведенной формы исключить переменную Р_t и ввести переменную R_t.

Для этого из третьего уравнения приведенной формы модели выражаем переменную Р_t:

и подставляем ее во второе уравнение приведенной формы:

Теперь раскрываем скобки:

Сопоставляя полученное уравнение со вторым уравнением структурной формы, определяем коэффициенты:

Таким образом, все параметры структурной формы модели определены.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ВАРИАНТ 1

Предполагается, что объем предложения некоторого блага Y для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены Х₁ этого блага и заработной платы Х₂ сотрудников этой фирмы. Исходные данные за 16 месяцев представлены в таблице 10.

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 8 и остальным 8 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Изучается зависимость объема ВВП (Y, млрд. долл.) от уровня прибыли в экономике (Х_t, млрд. долл.). Получена следующая модель с распределенными лагами:

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии. R 2 =0,9.

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Структурная форма макроэкономической модели имеет вид:

C – расходы на потребление в период t,

Y_t – чистый национальный продукт в период t,

Y_t-1 – чистый национальный продукт в период t-1,

D_t – чистый национальный доход в период t,

T_t – косвенные налоги в период t,

G_t – государственные расходы в период t.

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 2

По данным, представленным в таблице 11, изучается зависимость объема валового национального продукта Y (млрд. долл.) от следующих переменных: Х₁ – потребление, млрд. долл., Х₂ – инвестиции, млрд. долл.

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 5 и остальным 5 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?

Структурная форма модели имеет вид:

Известно, что приведенная форма имеет вид:

1. Выберите метод определения структурных коэффициентов модели. Выбор обоснуйте.

2. Определите возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

ВАРИАНТ 3

По данным за два года изучается зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. долл.) от ряда факторов: Х₁ – денежные доходы населения, млрд. долл., Х₂ – доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. долл., Х₃ – численность безработных, млн. чел., Х₄ – официальный курс рубля по отношению к доллару США.

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Модель макроэкономической производственной функции описывается следующим уравнением:

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

Структурная форма макроэкономической модели имеет вид:

C_t – расходы на потребление в период t,

Y_t – чистый национальный доход в период t,

G_t – государственные расходы в период t,

Y_t-1 — совокупный доход в период t-1.

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 4

По данным за два года изучается зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. долл.) от ряда факторов: Х₁ – товарные запасы в фактических ценах, млрд. долл., Х₂ – номинальная заработная плата, руб., Х₃ – денежные доходы населения, млрд. руб., Х₄ – официальный курс рубля по отношению к доллару США.

6. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

7. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

8. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

9. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

10. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

По данным о динамике товарооборота (Y, млрд. руб.) и дохода населения (Х_t, млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии.

Значение R 2 =0,99.

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Одна из модификаций модели спроса-предложения имеет вид:

– предложение товара в период t,

– спрос на товар в период t,

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 5

По данным, представленным в таблице 14, изучается зависимость чистой прибыли предприятия (Y, млрд. долл.) от следующих переменных: Х₁ – оборот капитала, млрд. долл., Х₂ – численность служащих, тыс. чел., Х₃ – рыночная капитализация компании, млрд. руб.

11. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

12. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

13. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

14. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

15. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

4. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

5. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

6. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?

Структурная форма модели имеет вид:

Известно, что приведенная форма имеет вид:

3. Выберите метод определения структурных коэффициентов модели. Выбор обоснуйте.

4. Определите возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

ВАРИАНТ 6

По исходным данным за 16 месяцев, представленным в таблице 15, постройте уравнение зависимой объема предложения некоторого блага Y для функционирующей в условиях конкуренции фирмы от цены Х₁ этого блага и заработной платы Х₂ сотрудников этой фирмы.

6. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

7. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

8. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

9. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

10. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 8 и остальным 8 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

1. Используя исходные данные первой задачи и учитывая изменения экономической ситуации после 8 наблюдений, проверьте с помощью теста Чоу необходимость разбиения исходной выборки на две и построения для каждой из них отдельного уравнения регрессии.

2. Постройте уравнение регрессии с включением фиктивных переменных, учитывающее изменение ситуации после 8 наблюдения.

3. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

4. Сравните качество полученной модели и модели, построенной в задаче 1.

Структурная форма конъюнктурной модели имеет вид:

C_t – расходы на потребление в период t,

r_t – процентная ставка в период t,

M_t – денежная масса в период t,

G_t – государственные расходы в период t.

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 7

По данным за два года изучается зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. руб.) от ряда факторов: Х₁ – денежные доходы населения, млрд. руб., Х₂ – официальный курс рубля по отношению к доллару США, Х₃ – доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. руб., Х₄ – индекс потребительских цен, в % к прошлому году.

16. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

17. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

18. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

19. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

20. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

По данным о динамике товарооборота (Y, млрд. руб.) и дохода населения (Х_t, млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии.

Значение R 2 =0,97.

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Структурная форма модели имеет вид:

D_t – чистый национальный доход в период t,

M_t – денежная масса в период t,

C_t – расходы на потребление в период t,

Un_t – уровень безработицы в период t,

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.